50594352 int poly.pdf


Aperçu du fichier PDF 50594352-int-poly.pdf - page 3/499

Page 1 2 345499



Aperçu texte


4.4

Mesures et probabilit´es de densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Exemples de probabilit´es de densit´e . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 L’espace L1 des fonctions int´egrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 L’espace L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Th´eor`emes de convergence dans L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1 Convergence presque partout et convergence dans L1 . . . . . . .
4.7.2 Convergence d’une s´erie absolument
convergente et cons´equences
R
4.8 Continuit´e et d´erivabilit´e sous le signe
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Esp´erance et moments des variables al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Espace L1C (E, T, m) et espace L1RN (E, T, m) . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.1 Int´egrale des fonctions mesurables positives et espace L1 . . . . .
4.11.2 L’espace L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.3 Esp´erance et moments des variables al´eatoires . . . . . . . . . . .
5 Mesures sur la tribu des bor´
eliens
5.1 L’int´egrale de Lebesgue et l’int´egrale des fonctions continues .
5.2 Mesures abstraites et mesures de Radon . . . . . . . . . . . .
5.3 Changement de variables, densit´e et continuit´e . . . . . . . .
5.4 Int´egrales impropres des fonctions de R dans R . . . . . . . .
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Les espaces Lp
6.1 D´efinitions et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Les espaces Lp , avec 1 ≤ p < +∞ . . . . . . . . .
6.1.2 L’espace L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Quelques propri´et´es des espaces Lp , 1 ≤ p ≤ +∞
6.2 Analyse hilbertienne et espace L2 . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 D´efinitions et propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . .
6.2.2 Projection sur un convexe ferm´e non vide . . . .
6.2.3 Th´eor`eme de Repr´esentation de Riesz . . . . . .
6.2.4 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Dualit´e dans les espaces Lp , 1 ≤ p ≤ ∞ . . . . . . . . .
6.3.1 Dualit´e pour p = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Dualit´e pour 1 ≤ p ≤ ∞ . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Th´eor`eme de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . .
6.4 Convergence faible, faible-?, ´etroite, en loi. . . . . . . . .
6.4.1 Convergence faible et faible-? . . . . . . . . . . .
6.4.2 Convergence ´etroite et convergence en loi . . . .
6.4.3 Lois des grands nombres, th´eor`eme central limite
6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Espaces Lp , 1 ≤ p ≤ ∞ . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Espaces de Hilbert, Espace L2 . . . . . . . . . .
6.5.3 Th´eor`eme de Radon-Nikodym et Dualit´e dans les
6.5.4 Convergence faible, faible-?, ´etroite, en loi. . . . .

2

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

. 82
. 82
. 83
. 83
. 86
. 89
. 90
. 91
. 93
. 94
. 97
. 99
. 99
. 104
. 109

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

112
112
113
119
121
122

. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
espaces Lp
. . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

130
130
130
135
139
141
141
146
151
153
160
160
160
164
167
167
169
170
171
171
177
180
185

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.