50594352 int poly.pdf


Aperçu du fichier PDF 50594352-int-poly.pdf - page 4/499

Page 1 2 3 456499



Aperçu texte


7 Produits d’espaces mesur´
es
7.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Th´eor`emes de Fubini-Tonelli et Fubini . . . . . . . .
7.4 Mesure de Lebesgue sur la tribu des bor´eliens de RN
7.5 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Formules de changement de variables . . . . . . . . .
7.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.1 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.2 Fubini-Tonelli et Fubini . . . . . . . . . . . .
7.7.3 Mesure de Lebesgue sur B(RN ) . . . . . . . .
7.7.4 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.5 Changement de variables . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

194
194
195
199
203
206
210
211
211
212
213
216
217

8 Densit´
e, s´
eparabilit´
e, et compacit´
e dans les espaces Lp (Ω)
8.1 Th´eor`emes de densit´e pour les espaces Lp (Ω) . . . . . . . . .
8.1.1 Densit´e des fonctions Cc (Ω, R) dans Lp (Ω) . . . . . .
8.1.2 R´egularisation par convolution . . . . . . . . . . . . .
8.1.3 Densit´e de Cc∞ (Ω, R) dans Lp (Ω) . . . . . . . . . . . .
8.2 S´eparabilit´e de Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Compacit´e dans les espaces Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Propri´et´e de compacit´e faible . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

221
221
221
222
224
225
225
226
226

9 Vecteurs al´
eatoires
9.1 D´efinition, propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . .
9.2 Ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Vecteurs gaussiens, th´eor`eme central limite . . . .
9.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1 D´efinition, propri´et´es ´el´ementaires . . . . .
9.4.2 Ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.3 Vecteurs gaussiens, th´eor`eme central limite

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

230
230
234
236
238
238
239
240

10 Transformation de Fourier, fonction caract´
eristique
10.1 Introduction et notations . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Transformation de Fourier dans L1 . . . . . . . . . . .
10.2.1 D´efinitions et premi`eres propri´et´es . . . . . . .
10.2.2 Th´eor`eme d’inversion . . . . . . . . . . . . . .
10.2.3 R´egularit´e et d´ecroissance `a l’infini . . . . . . .
10.3 Transform´ee de Fourier d’une mesure sign´ee . . . . . .
10.4 Transformation de Fourier dans L2 . . . . . . . . . . .
10.5 R´esolution d’une EDO ou d’une EDP . . . . . . . . .
10.6 Fonction caract´eristique d’un vecteur al´eatoire . . . .
10.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7.1 Transformation de Fourier dans L1 . . . . . . .
10.7.2 Transform´ee de Fourier d’une mesure sign´ee . .
10.7.3 Transformation de Fourier dans L2 . . . . . . .
10.7.4 Fonction Caract´eristique d’une v.a.r. . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

242
242
242
242
244
245
246
247
249
250
252
252
253
254
254

3

.
.
.
.
.
.
.