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11 Esp´
erance conditionnelle et martingales
11.1 Esp´erance conditionnelle . . . . . . . . .
11.2 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1 Esp´erance conditionnelle . . . . .
11.3.2 Martingales . . . . . . . . . . . .

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12 Corrig´
es d’exercices
12.1 Exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.2 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.3 Probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Exercices du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.1 Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Exercices du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1 Int´egrale sur M+ et sur L1 . . . . . . . . . . . .
12.4.2 Espace L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.3 Esp´erance et moments des variables al´eatoires . .
12.5 Exercices du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6 Exercices du chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.1 Espaces Lp , 1 ≤ p ≤ ∞ . . . . . . . . . . . . . .
12.6.2 Espaces de Hilberts, espace L2 . . . . . . . . . .
12.6.3 Th´eor`eme de Radon-Nikodym et Dualit´e dans les
12.6.4 Convergence faible, faible-?, ´etroite, en loi. . . . .
12.7 Exercices du chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.1 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.2 Fubini-Tonelli et Fubini . . . . . . . . . . . . . .
12.7.3 Mesure de Lebesgue sur B(RN ) . . . . . . . . . .
12.7.4 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.5 Changement de variables . . . . . . . . . . . . .
12.8 Exercices du chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9 Exercices du chapitre 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.1 D´efinition, propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . .
12.9.2 Ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.3 Vecteurs gaussiens, th´eor`eme central limite . . .
12.10Exercices du chapitre 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.10.1 Transform´ee de Fourier dans L1 . . . . . . . . .
12.10.2 Transform´ee de Fourier d’une mesure sign´ee . . .
12.10.3 Fonction caract´eristique d’un v.a. . . . . . . . . .
12.11Exercices du chapitre 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.11.1 Esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . .
12.11.2 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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espaces Lp
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