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USHTB 2010–2011

2LIC G´enie M´ecanique

MATHS 3 - DEVOIR 1
10/11/2010
NOM :

GROUPE :

PRENOM :

ENSEIGNANT :

Les livres et les cahiers ne sont pas autoris´es.
INSTRUCTIONS : Il y a 10 exercices pour un total de 100 points. Ecrivez votre
r´eponse finale dans le cadre. Si vous n’avez pas assez d’espace pour un exercice, ´ecrivez
sur le verso de la feuille pr´ecedente. Montrez toutes les ´etapes du calcul. Encadrez votre
r´esultat final. Supportez votre r´eponse par des explications si n´ecessaire.

1.

Donnez une formule pour le terme g´en´eral de la
½
¾
4 4
4 4
4
suite
− , ,− ,
,− ,···
1 4
9 16
25

2n+1
converge ou non.
5n
Si elle converge, trouver la limite.
2. D´eterminer si la suite an =


X

1 − n2
. La
2 − 3n + 1
n→∞
6n
n=1
s´erie est-elle convergente? Expliquez.

3. Calculer lim an pour la s´erie

1

4. Vrai ou Faux
Si Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an est la somme partielle de la s´erie

P∞
n=1

a) La s´erie converge si et seulement si limn→∞ Sn = 0.

(V / F)

b) La s´erie ne converge pas si limn→∞ Sn n’existe pas.

(V / F)

c) La s´erie converge si et seulement si limn→∞ Sn existe.

an , alors:

(V / F)

5. Laquelle de ces deux s´eries converge. Expliquez..

(1)


X

2n

n=0

(2)


X
n=1

1
n1.003

6. D´eterminez si la s´erie
du Test de l’int´egrale.


X

sin n

converge `a l’aide

n=1

7. Utilisez le Test de Comparaison de la Limite pour
µ ¶


X
X
1
1
sin
comparer la s´erie
avec la s´erie
.
n
n
n=1
n=1
La premi`ere s´erie est-elle convergente?
(rappel:
sin x
= 1.)
lim
x→0 x

2

8. Utilisez

R∞
n+1

f (x) dx ≤ Rn ≤

R∞
n

f (x) dx pour

estimer l’erreur faite en approximant la somme S de

X
1
avec les trois premiers termes.
la s´erie
3
n
n=1

9. Testez la convergence de la s´erie altern´ee:
3 3 3 3 3 3
− + − + − + ···
1 2 3 4 5 6

10. Utisez le Test de d’Alembert pour d´eterminer si

X
n!
la s´erie
converge.
2n
n=1


X
(−1)n+1

11. D´eterminez si la s´erie
est absolument
20
n5
n=1
convergente. La s´erie converge-t-elle?

12. D´eterminez si la s´erie


X
cos(ln n)
n=1

3

n5

converge.


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