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Nom original: CNAM_2005_Filtrage.pdfTitre: Traitement analogique du signalAuteur: sylvain.larribe@voila.fr CNAM 2005

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Traitement Analogique du Signal

Electronique B1

Le filtrage analogique

Sylvain LARRIBE

Imprimé le 10 mai 2005

CNAM Saclay 2005

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CNAM Saclay 2005

Préambule.............................................................................................................................................2
Introduction..........................................................................................................................................3
Fonctions de transfert des filtres ..........................................................................................................4
Passe-bas ..........................................................................................................................................4
Passe-haut.........................................................................................................................................6
Passe-bande (sélectif).......................................................................................................................7
Coupe-bande (rejecteur)...................................................................................................................7
Passe-tout (déphaseur) .....................................................................................................................8
Stabilité ............................................................................................................................................8
Temps de groupe (ou temps de propagation) :.................................................................................9
Gabarits des filtres .............................................................................................................................10
Centrage des gabarits .....................................................................................................................10
Normalisation.................................................................................................................................11
Transposition..................................................................................................................................11
Les Fonctions d'approximations ........................................................................................................13
Bessel .............................................................................................................................................13
Butterworth ....................................................................................................................................14
Chebychev......................................................................................................................................15
Les Filtres passifs...............................................................................................................................16
Les composants passifs ..................................................................................................................16
Structure des passe-bas ..................................................................................................................16
Tableaux des coefficients...............................................................................................................17
Transposition des impédances .......................................................................................................17
Les Filtres actifs .................................................................................................................................18
L'amplificateur opérationnel ..........................................................................................................18
Intégrateurs.....................................................................................................................................19
Filtre à contre réaction simple........................................................................................................21
Filtre à contre réaction multiple (MFB) : structure de Rauch........................................................24
Filtre à source de tension contrôlée (VCVS) : structure de Sallen and Key..................................26
Filtre à variable d’état : filtres universels.......................................................................................29
Filtre Passe tout ou déphaseur......................................................................................................32
Autres fonctions actives .....................................................................................................................34
Inverseurs d'impédances (NIC)......................................................................................................34
Amplificateurs non linéaires ..........................................................................................................35

Préambule
Ce document est un complément et non une alternative au cours de Traitement Analogique du
Signal dispensé au CNAM de Saclay. Son utilisation n'est pas autorisée lors des partiels ou
examens.

Sylvain LARRIBE

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Introduction
bande
Un filtre est un Système Linéaire Invariant dans le Temps
passante
Y(f)
permettant de diviser le spectre (espace fréquentiel) afin de
conserver une ou plusieurs parties (bande) de ce spectre.
f
Le filtre idéal permet de transmettre sans distorsion une
bande coupée
bande coupée
partie du spectre (bande passante) et bloque toutes les autres
transitions
immédiates
parties (bande coupée), avec un passage abrupt
Figure 1 : exemple filtre passe-bande idéal
(discontinuité) entre ces deux parties.
Les filtres sont caractérisés par leur fonction de transfert, et ils peuvent être classés en 5 familles,
suivant la bande du spectre de fréquences sur laquelle ils agissent :
coupe-bande
passe-bas
passe-tout
passe-bande
passe-haut

Le filtre idéal avec une discontinuité dans sa fonction de transfert n'est pas physiquement réalisable,
car sa réponse impulsionnelle nécessiterait que l'évolution du signal de sortie anticipe l'évolution du
signal appliqué en entrée (système non causal).
Les filtres analogiques réels présentent donc des imperfections avec lesquelles il faut trouver des
compromis en fonction de son application :
bande
transition progressive entre la bande passante et la bande
passante
Y(f)
coupée
irrégularité du gain dans la bande passante (ondulations)
f
affaiblissement dans la bande coupée
bande atténuée
bande atténuée
irrégularité du gain dans la bande coupée (ondulations)
zones de
transitions
irrégularité du temps de propagation
Figure 2 : exemple filtre passe-bande réel

Les compromis faits sur ces différentes imperfections
peuvent être regroupés sur un graphique appelé
gabarit du filtre.
Ce gabarit fixe les limites de la fonction de transfert
du filtre réalisé.

irrégularité
du gain

bande
passante

Y(f)

bande atténuée
filtre idéal

f
zones de
transitions
filtre réel

bande atténuée
gabarit

Le gabarit étant défini pour chaque application, il en
Figure 3 : exemple gabarit d'un filtre passe-bande
existe une infinité.
Afin de faciliter les calculs en vu de la réalisation des filtres, on peut moyennant un changement de
variable (transposition) se ramener à un filtre passe-bas, puis par un second changement de
variable (normalisation) se ramener à un gabarit dont la fréquence (pulsation) à la limite de la
bande passante vaut 1 (sans unité).
La fonction de transfert d'un filtre réel s'écrit sous la forme d'un rapport de polynômes complexes. Il
existe de nombreuses fonctions mathématiques, appelées fonctions d'approximations, pouvant
répondre à l'exigence du gabarit normalisé. Les principales fonctions d'approximations sont les
suivantes :
fonction de Bessel
fonction de Chebychev et Chebychev inverse
fonction de Butterworth
fonction de Cauer
La réalisation des filtres peut être faite à base de résistances, condensateurs et inductances, on parle
alors de filtres passifs, en opposition avec les filtres actifs qui comportent en plus des composants
actifs, comme par exemple les transistors ou amplificateurs opérationnels (ampli op ou aop), qui
nécessitent une source d'énergie externe (alimentation).
Sylvain LARRIBE

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Fonctions de transfert des filtres
La fonction de transfert d'un filtre s'écrit avec les notations complexe (jω) ou de Laplace (P),
comme le rapport de deux polynômes (Équation 1) :
H( p) =

N (P)
D( P )

=

a0 + a1 p + a2 p 2 + a3 p 3 + a4 p 4 + ... + aα pα
b0 + b1 p + b2 p 2 + b3 p 3 + b4 p 4 + ... + bβ p β

Équation 1

Pour tout système réel, le degré du dénominateur (β) doit être supérieur ou égal au degré du
numérateur (α) : β ≥ α.
Pour qu'un filtre soit stable, il faut que tous les pôles de la fonction de transfert soient à parties
réelles négatives.
L'ordre d'un filtre est donné par le degré du polynôme du dénominateur (β) de la fonction de
transfert.
Toutes les fonctions de transfert peuvent être décomposées comme le produit de fonctions de
transfert du premier et du deuxième ordre.
Les cinq types de fonctions de transfert (passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande et passetout) sont présentés ci-dessous avec leurs principaux paramètres.
G (dB)

Passe-bas

ωP

ωA

log(ω)

0

représentation symbolique

le gabarit

GP

GA

réponse impulsionnelle
sin (2πf C (t − t 0 ))
h( t ) = 2k ⋅ f C ⋅
2πf C (t − t 0 )

module

h(t)

2k.fC

filtre idéal

réponse harmonique (fonction de transfert)
H ( jf ) = k ⋅ e − j 2πft0 pour f < f C
pour f > f C
H ( jf ) = 0
phase
θ(H(f))

|H(f)|
k
-fC

t
0

h(t ) =

1

τ

t0

−t

H ( jω ) =

1

ω0

1

1+ j

20 log0,01
|H(jω)|

h(t)

1

0
-fC
-t0fC

+fC

t0 est le temps de propagation, (retard)
module :
H ( jω ) =

avec τ =

⋅e τ

0

ω
ω0

phase :
0,1

f

+fC

f

θ (H

1

( jω )

1
ω 
1 +  
 ω0 

) = − arctan

10

0 dB
-3,01 dB

2

ω
ω0

100

θ (H(j ω ))


-15°

0,75

-10 dB
-30°

1er ordre

0,5

-20 dB

-45°

-45°

-60°

0,25

-30 dB
-75°

0
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

exemple tracé avec : τ = 1

-40 dB

-90°

exemple tracé avec : ω0 = 1

ω0 est pulsation caractéristique. Pour un filtre du premier ordre, elle correspond à la pulsation pour

laquelle le gain a diminué de 3 dB (ω0 = ω(Gmax – 3dB)). Cela correspond également à la pulsation pour
laquelle la rotation de la phase est de ±45° (déphasage égale à 50 % du déphasage totale).
Le gain dans la bande passante est fixé arbitrairement à 0 dB soit k = 1.
Temps de propagation : voir le chapitre Temps de groupe (ou temps de propagation) :.

Sylvain LARRIBE

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m = 0 : h( t ) = ω 0 sin (ω 0t )
m<1: h =
(t )

ω 0 ⋅ e − mω t
0

1 − m2
2
m = 1 : h( t ) = ω 0 t ⋅ e −ω0t

(

sin ω 0t 1 − m

2

1

H ( jω ) =

(système oscillant)

)

1 + 2m ⋅ j
module :

(

− mω0t

m > 1 : h = ω0 ⋅ e
sinh ω 0t m 2 − 1
(t )
m2 − 1

)

Pour t donné, il y a continuité de h(t) en fonction de m.

phase :

exemple Figure 4

ω ω 
− 
ω 0  ω 0 

H ( jω ) =

2

exemple Figure 5

1
2

2
  ω 2  
1 −    +  2m ⋅ ω 
  ω 0   
ω 0 



θ (H ω ) = − arctan
(j )

2m ⋅ ω ⋅ ω 0
ω 02 − ω 2

ω0 est pulsation caractéristique. Suivant la définition retenue, elle peut correspondre, à la pulsation pour

2ième ordre

laquelle le gain a diminué de 3 dB (ω0 = ω(Gmax – 3dB)), à la pulsation ωp donnée par le gabarit, à la
pulsation correspondant à un déphasage égal à 50 % du déphasage total (θ = ±90° pour un filtre du 2ième
ordre)…
m est le coefficient d'amortissement. Il caractérise la fonction de transfert autour du point ω0 (passage de
la bande passante à la bande atténuée : Figure 5).
Plus m est grand, et plus l'amortissement est important, ce qui se traduit par un passage très progressif de
la bande passante à la bande atténuée. Lorsque m ≥ 1, la fonction de transfert est décomposable en deux
fonctions du premier ordre.
Pour les valeurs faibles (m < 0,707), il y a une résonance de la fonction de transfert. Dans ce cas, on parle
plus volontiers de facteur de qualité que de coefficient d'amortissement. Le facteur de qualité est noté Q et
il est défini par : Q = 1
2m
Temps de propagation : voir le chapitre Temps de groupe (ou temps de propagation) :.
0,050

h(t)

0,050

20 log |H(f)|

0,2

20 dB

0,2

0,5

0,5

0,707

10 dB

0,707

1

1
0 dB
-10 dB
-20 dB

-30 dB
-40 dB
0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

0,1

2

Figure 4 : réponse impulsionnelle en fonction de m
lieu de
G(max)

20 log |H(Ω)|

1

Figure 5 : réponse harmonique en fonction de m
Quelques valeurs caractéristiques
du gain G et de la pulsation Ω en
fonction de m.

m=0,05
ou Q=10

5 dB

m=0,25
ou Q=2

Ω=

G(max)
G(Ω =1)
Ω (0 dB)

Ω (-3dB)

0 dB

ω
ω0

G(ω =1) = −20 log( 2m)

Ω (Gmax)

G(max) = −20 log( 2m 1 − m 2 )

-3,01 dB

Ω (G max) = 1 − 2m 2

m=0,4

m=1

-5 dB

m=0,866

m=0,707

Ω ( 0 dB ) = 2 − 4m 2

m=0,5



-10 dB
0

10

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

(

Ω( −3dB ) = 1 − 2m 2 + 1 + 1 − 2m 2

)

2

2

Figure 6 : valeurs caractéristiques de G et Ω en fonction de m.

Sylvain LARRIBE

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Passe-haut

G (dB)

ωA

ωP

log(ω)

0
GP

le gabarit

représentation symbolique

GA

réponse impulsionnelle

réponse harmonique (fonction de transfert)
pour f < f C
H ( jf ) = 0
H ( jf ) = k ⋅ e − j 2πft0 pour f > f C


sin (2πf C (t − t 0 )) 

h( t ) = k  δ (t −t0 ) − 2 f C ⋅
2πf C (t − t 0 ) 


filtre idéal

module

−t

h(t ) = δ (t ) − ⋅ e τ

1er ordre

0
-fC
-t0fC

+fC

ω
ω0
=
ω
1+ j
ω0
j

H ( jω )

ω0
20 log0,01
|H(jω)|

h(t)

1

0

f

+fC

f

1

avec τ =

τ

θ(H(f))

k
-fC

1

phase

|H(f)|

0,1

1

10

0 dB

100
90°

θ (H(j ω ))
-3,01 dB

0,5

75°

-10 dB
60°

0
-1

0

1

2

3

4

5

6

-20 dB

7

45°

45°

30°

-0,5

-30 dB

-1

-40 dB

15°

exemple tracé avec : τ = 1

2ième ordre

exemple tracé avec : ω0 = 1

Un exemple pour différentes valeurs de m est
donné par la Figure 7
m = 0 : h( t ) = δ ( t ) − ω 0 sin (ω 0t )
− mω0t

(



(

ω 
−  
 ω0 

H ( jω ) =

1 + 2m ⋅ j

)(

) (

)(

)

2

ω ω 
− 
ω 0  ω 0 

m < 1 : h = δ − ω0 ⋅ e
(1 − 2m2 )⋅ sin ω0t 1 − m2 + 2m 1 − m2 ⋅ cos ω0t 1 − m 2
(t )
(t )
2
1− m
m = 1 : h(t ) = δ ( t ) − ω 0 e −ω0t (2 − ω 0t )
− mω0t

(

(

(

exemple Figure 8

))

m > 1 : h = δ − ω0 ⋅ e
(1 − 2m2 )⋅ sinh ω0t m2 − 1 + 2m m2 − 1 ⋅ cosh ω0t m2 − 1
(t )
(t )
2
m −1
h(t)

2

))

0,050

20 log |H(f)|

0,050

0,2

20 dB

0,2
0,5

0,5
0,707

0,707

10 dB

1

1
0 dB
-10 dB
-20 dB
-30 dB
-40 dB
0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0,1

Figure 7 : réponse impulsionnelle en fonction de m

Sylvain LARRIBE

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1

10

Figure 8 : réponse harmonique en fonction de m

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CNAM Saclay 2005

Passe-bande (sélectif)

G (dB)

ω 1A

ω0

ω 1P

ω 2P

ω 2A

log(ω)

0

le gabarit

représentation symbolique

GP

GA

réponse impulsionnelle
∆=

filtre idéal

f C 2 − f C1
2

et

fC =

réponse harmonique (fonction de transfert)
pour f ∉ ] f C1 ; f C 2 [
H ( jf ) = 0
H ( jf ) = k ⋅ e − j 2πft0 pour f ∈ [ f C1 ; f C 2 ]

f C 2 + f C1
2

module

sin (2π∆(t − t 0 ))
⋅ cos(2πf C (t − t 0 ))
h( t ) = 2k ⋅ ∆ ⋅
2π∆(t − t 0 )

1 ordre

θ(H(f))

k
-fC2

er

phase

|H(f)|

0 +fC1

-fC1

+fC1

f
+fC2

Un filtre passe-bande est toujours d'ordre pair

H ( jω ) =
1 + 2m ⋅ j

m = 0 : h( t ) = ω 0 cos(ω 0t )
2

ordre

)

(

(

m < 1 : h = ω ⋅ e −mω t  cos ω t 1 − m 2 − m ⋅ sin ω t 1 − m 2
0
(t )
0
0

1 − m2

m = 1 : h(t ) = ω0e −ω t (1 − ω 0t )
0

f

pente = -t0

2m ⋅ j

ième

+fC2

-fC1 0

-fC2

ω
ω0

ω ω 
− 
ω 0  ω 0 

2

)


0

)

(

)

(

m > 1 : h = ω ⋅ e −mω t  cosh ω t m 2 − 1 − m ⋅ sinh ω t m 2 − 1 
0
(t )
0
0


m2 − 1


0

Coupe-bande (rejecteur)

G (dB)

ω 1P

ω0

ω 1A

ω 2A

ω 2P

log(ω)

0

représentation symbolique

le gabarit

GP

GA

réponse impulsionnelle
∆=

filtre idéal

f C 2 − f C1
2

et

fC =

réponse harmonique (fonction de transfert)
H ( jf ) = k ⋅ e − j 2πft0 pour f ∉ ] f C1 ; f C 2 [
pour f ∈ [ f C1 ; f C 2 ]
H ( jf ) = 0

f C 2 + f C1
2



sin (2π∆(t − t 0 ))
cos(2πf C (t − t 0 ))
h( t ) = k  δ (t −t0 ) − 2∆


2
π
(
t
t
)
0



er

1 ordre

θ(H(f))

|H(f)|
k
-fC2

-fC1

f
0 +fC1

+fC2

+fC1

+fC2

f

-fC1 0

-fC2

pente = -t0

Un filtre coupe-bande est toujours d'ordre pair

H ( jω ) =

2ième ordre

Sylvain LARRIBE

phase

module

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ω 
1 −  
 ω0 

2

ω ω 
1 + 2m ⋅ j
− 
ω 0  ω 0 

2

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CNAM Saclay 2005

Passe-tout (déphaseur)
représentation symbolique
réponse impulsionnelle
h(t ) = k ⋅ δ (t −t )

réponse harmonique (fonction de transfert)
H ( jf ) = k ⋅ e − j 2πft0 pour f ∈ ]− ∞;+∞[

0

filtre idéal

phase

module

h(t)


k

t
0

θ(H(f))

|H(f)|

t0

f

f

0

0

pente = -t0

ω
ω0
=
ω
1+ j
ω0
1− j

H ( jω )

1er ordre

2

ω ω 
− 
ω 0  ω 0 
=
2
ω ω 
1 + 2m ⋅ j
− 
ω 0  ω 0 
1 − 2m ⋅ j

H ( jω )

2ième ordre

Stabilité
Un système est stable si après la fin d'une perturbation appliquée en entrée, la sortie retrouve sa
position d'équilibre initiale ( h( t ) 
→ 0 ).
t →+∞
Il existe différentes façons de vérifier la stabilité d'un système. Si l'on connaît h(t), il faut s'assurer
qu'elle tend vers 0 lorsque t tend vers l'infini. A partir de la fonction de transfert, il faut que tous ses
pôles soient à parties réelles négatives. Les pôles de H(P) sont les valeurs de P qui permettent
d'annuler le dénominateur de H(P).
Le critère de Routh Hurwitz permet de vérifier la stabilité d'un système dont on connaît la fonction
de transfert H(P), sans avoir à calculer ses pôles.
La Figure 9 résume les six cas possibles du comportement de la réponse impulsionnelle en fonction
de la position des pôles dans le plan complexe.

Figure 9 : pôles dans le plan complexe et stabilité
Sylvain LARRIBE

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Temps de groupe (ou temps de propagation) :
Le temps de groupe (tgr) est défini comme la dérivée de la phase par rapport à la pulsation.
t gr (ω ) =

− dθ


Il en découle qu'une phase linéaire donne un temps de groupe constant. Un temps de groupe
constant (indépendant de la fréquence) signifie que toutes les composantes spectrales d’un signal
sont transmises avec le même décalage temporel. L’intégrité de la forme du signal est ainsi
respectée sauf pour les composantes spectrales que l’on désire supprimer par filtrage des
amplitudes.
Dans le cas d'un filtre de Bessel, le temps de groupe correspond au temps nécessaire pour atteindre
50 % de la réponse indicielle.
passe-bas du premier ordre
fonction de transfert : H
( jω ) =

la phase est donnée par : θ (H

dθ (ω )


=−

ω0
ω +ω2
2
0

( jω )

passe-bas du deuxième ordre

1
1+ j

ω
ω0

) = − arctan

soit t gr (ω ) = +

1
lorsque ω tend vers 0, le temps t
gr ( 0 ) = +
de groupe tend vers
ω0

Sylvain LARRIBE

1 + 2m ⋅ j

ω
ω0

ω0
ω +ω2
2
0

1

fonction de transfert : H
( jω ) =

la phase est donnée par : θ (H

( jω )

ω ω 
− 
ω 0  ω 0 

) = − arctan

(

)

2

2m ⋅ ω ⋅ ω 0
ω 02 − ω 2

2m ⋅ ω 0 ω 02 + ω 2
ω + 2 2m 2 − 1 ω 02ω 2 + ω 4
2m
lorsque ω tend vers 0, le temps t
gr ( 0 ) = +
de groupe tend vers
ω0
t gr (ω ) = +

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4
0

(

)

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Gabarits des filtres
Les indices P et A sont associés respectivement aux grandeurs définissants les limites de la bande
passante et la bande atténuée (ou arrêt ou coupée).
L'axe des abscisses peut être gradué en fréquences (f) ou en pulsations (ω = 2πf).
filtre passe-bas
G (dB)

ωP

ωA

0

filtre passe-haut
G (dB)

log(ω)

GP

GP

GA

GA

ωP – 0 = ωP
ωA – ωP
+∞ – ωA (sa valeur est infinie)
ω
S= P
ωA
filtre passe-bande ou sélectif

bande passante
bande de transition
bande atténuée
sélectivité

G (dB)

ωA

ωP

log(ω)

0

ω 1A

:
:
:
:

ω0

ω 1P

0

ω 2P

ω 2A

log(ω)

GP

+∞ – ωP (sa valeur est infinie)
ωP – ωA
ωA – 0 = ωA
ω
S= A
ωP
filtre coupe-bande ou rejecteur

bande passante
bande de transition
bande atténuée
sélectivité

G (dB)

ω 1P

:
:
:
:

ω 1A

0

ω0

ω 2A

ω 2P

log(ω)

GP
∆ω

GA

bande passante
bandes de transitions
bandes atténuées
pulsation centrale
sélectivité

GA

ω2P – ω1P = ∆ω
ω2A – ω2P et ω1P – ω1A
+∞ – ω2A et ω1A – 0 = ω1A
ω 0 = ω 2 P ⋅ ω1P
: S = ω 2 P − ω1P
ω 2 A − ω1 A

:
:
:
:

bandes passantes
bandes de transitions
bande atténuée
pulsation centrale
sélectivité

+∞ – ω2P et ω1P – 0 = ω1P
ω2P – ω2A et ω1A – ω1P
ω2A – ω1A
ω 0 = ω 2 P ⋅ ω1P
: S = ω 2 A − ω1 A
ω 2 P − ω1P

:
:
:
:

La bande de transition est comme son nom l'indique, la bande située entre la bande passante et la
bande atténuée. Plus elle est étroite, et plus le filtre se rapproche du filtre idéal (sélectivité = 1),
mais plus l'ordre du filtre sera élevé.
Pour les filtres passe-bande et coupe-bande, la pulsation centrale est définie comme la moyenne
géométrique des pulsations de limite de bande passante (ω1P et ω2P).
Centrage des gabarits
Les filtres passe-bande et coupe-bande doivent être centrés avant toute normalisation ou
transposition.
Un gabarit est centré lorsque les pulsations centrales ω 0 P = ω 2 P ⋅ ω1P et ω 0 A = ω 2 A ⋅ ω1 A sont égales.
Dans le cas contraire, il faut centrer le gabarit, en modifiant une ou plusieurs pulsations. Ces
modifications vont obligatoirement dans le sens de rendre le gabarit plus contraignant, donc de
diminuer la bande de transition la plus large.
Une solution intéressante consiste à réduire la bande de transition la plus large, de façon
symétrique, en modifiant les deux pulsations.

Sylvain LARRIBE

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1er cas : ω 2 A > ω1P
ω 2 P ω1 A

ω 2' P =
G (dB)
0

2ième cas : ω 2 A < ω1P
ω 2 P ω1 A

ω1 A ⋅ ω 2 A ⋅ ω 2 P et '
ω1 P ⋅ ω 2 P ⋅ ω 2 A
ω2A =
ω1 P
ω1 A
ω 1A

ω 1P

ω0

ω'2P
ω 2P

ω'2A
ω 2A

ω1' P =
log(ω)

ω1 A ⋅ ω 2 A ⋅ ω1P et '
ω1 P ⋅ ω 2 P ⋅ ω1 A
ω1 A =
ω 2P
ω2A

G (dB)
0

GP

GP

GA

GA

ω 1A

ω'1A

ω'1P
ω 1P

ω0

ω 2P

ω 2A

log(ω)

Tableau 1 : exemple de centrage de gabarit

Normalisation
La normalisation doit être faite en abscisse et en ordonnée, il s'agit d'un changement de variable.
En abscisse, elle permet de translater le gabarit afin de ramener la pulsation (ou fréquence) de
coupure ou centrale pour les filtres passe et coupe-bande sur Ω = 1.
ω (grandeur sans unité).
Ω=
ω0
En ordonnée, elle permet de se ramener à un gain de 0 dB dans la bande passante (valeur
maximale). Il s'agit simplement d'ajouter un gain positif (amplification) ou négatif (atténuation).
En fin de synthèse, lors de la réalisation du schéma électrique du filtre et le choix des composants, il
ne faut pas oublier de dénormalisér, sans quoi la fréquence de coupure se situerait aux environs de
0,16 Hz (~1/2π).
La dénormalisation revient à faire l'opération inverse : ω = Ω ⋅ ω 0 , en faisant bien attention à la
valeur de Ω, qui pourra être différente de 1. Par exemple dans le cas d'un filtre de Butterworth une
seconde normalisation peut avoir lieu.
Transposition
La transposition est un changement de variable (Tableau 2) qui permet de convertir un gabarit (ou
une fonction de transfert) en un nouveau gabarit (ou fonction de transfert) d'un filtre de type passebas.
Ce changement est nécessaire pour la synthèse des filtres, car seuls les filtres passe-bas normalisés
sont tabulés.
De même que pour la normalisation, en fin de synthèse, il faut faire la transposition inverse, pour
obtenir le filtre attendu, sans quoi le filtre serait un passe-bas.

Sylvain LARRIBE

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notation
Laplace
Laplace normalisé

s=

p

ω0

complexe
complexe normalisé

jΩ =



ω0

passe-bas

passe-haut

p ⇐ ⇒ ω0
p
ω0
s ⇐ ⇒

1
s

jω ⇐ ⇒ ω 0

ω0
1
jΩ ⇐ ⇒
jΩ

passe-bande


1  p ω0 
 + 
2m  ω 0 p 



1  1
s + 
2m 
s

1  jω ω 0 


+
2m  ω 0 jω 
j  Ω2 − 1 



2m  Ω 



coupe-bande


2m

 p ω0 

+ 
 ω0 p 
⇒ 2m = 2m ⋅ s
 1  s2 +1
s + 
s


 ω ⋅ω



0
⇒ − 2m ⋅ j 
 ω 2 − ω 2 
0 


⇒ − j

2 mΩ
Ω2 −1

Tableau 2 : changement de variable pour la transposition vers ou depuis un filtre passe-bas

Sylvain LARRIBE

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Les Fonctions d'approximations
Une fonction d'approximation recherche à approcher le gabarit en ayant le degré le plus faible.
Ce document traite pour le moment des fonctions d'approximations de Bessel, Butterworth et
Chebychev.
Bessel
Les filtres de Bessel ou Thomson-Bessel sont des filtres polynomiaux pour lesquels le critère
d'optimisation est la régularité du temps de propagation ou temps de groupe (tgr) dans la bande
passante, raison pour laquelle ils sont aussi appelés filtres à phase linéaire. En contre partie, le
passage de la bande passante à la bande atténuée se fait très progressivement (la bande de transition
est importante).
La fonction de transfert est déterminée de façon que les n premières dérivées de tgr soient nulles
pour ω = 0.
Il n'existe pas de méthode analytique pour déterminer l'ordre d'un polynôme de Bessel répondant
aux paramètres d'un gabarit. Il faut le déterminer par approximations successives, faire appel aux
solveurs numériques, ou peut être plus simplement avec une représentation graphique dans un
tableur ou avec un logiciel de simulation électronique.
Les polynômes de Bessel sont donnés dans le Tableau 3 pour les premiers ordres.
n
1
2
3
4
5
6
7


polynômes de Bessel

D1 =
D2 =
D3 =
D4 =
D5 =
D6 =
D7 =


P +1
P 2 + 3P + 1
P 3 + 6 P 2 + 15 P + 15
P 4 + 10 P 3 + 45 P 2 + 105 P + 105
P 5 + 15 P 4 + 105 P 3 + 420 P 2 + 945 P + 945
P 6 + 21P 5 + 210 P 4 + 1260 P 3 + 4725 P 2 + 10395 P + 10395
P 7 + 28 P 6 + 378 P 5 + 3150 P 4 + 17325 P 3 + 62370 P 2 + 135135 P + 135135
Tableau 3 : polynômes de Bessel

Les polynômes de Bessel se calculent avec la formule de récurrence : Dn = (2n − 1)Dn−1 + P 2 Dn−2 . Ces
polynômes ne sont pas utilisés tels quels comme dénominateurs des fonctions de transfert des filtres
passe-bas, car le gain statique est différent de 0 dB ( H ( P ) 
→ ≠ 1 ) et il dépend de l'ordre du
P →0
polynôme. Ils ont donc été normalisés (Tableau 4) en gain ( H ( P ) 
→ = 1 ) et en pulsation
P →0
20 log H ( P ) = − 3dB .
( P =1)

n
2

polynômes de Bessel normalisés en gain et en pulsation
D2 = 0,618 P 2 + 1,361P + 1

3

D3 = 0,3607 P 3 + 1,2328 P 2 + 1,7556 P + 1

4

D4 = 0,1901 P 4 + 0,8995 P 3 + 1,9149 P 2 + 2,1138 P + 1

5

D5 = 0,08911 P 5 + 0,5506 P 4 + 1,588 P 3 + 2,6174 P 2 + 2,4266 P + 1

6

D6 = 0,03754 P 6 + 0,2916 P 5 + 1,0788 P 4 + 2,3944 P 3 + 3,3216 P 2 + 2,7033 P + 1
Tableau 4 : polynômes de Bessel normalisés

Pour l'utilisation de ces polynômes dans les filtres actifs, constitués par la mise en série de cellules
du premier et deuxième ordre, ils sont aussi proposés sous la forme quadratique.

Sylvain LARRIBE

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n
2

polynômes de Bessel normalisés en gain et en pulsation
D2 = 0,618 P 2 + 1,361P + 1

(

)

3

D3 = (0,756 P + 1) 0,4771P 2 + 0,9996 P + 1

4

D4 = 0,4883 P 2 + 1,3389 P + 1 0,3885 P 2 + 0,7738 P + 1

(

)(

(

)

)(

)

5

D5 = (0,665 P + 1) 0,4128 P 2 + 1,1401 P + 1 0,3245 P 2 + 0,621P + 1

6

D6 = 0,3891 P 2 + 1,2224 P + 1 0,3509 P 2 + 0,9691 P + 1 0,2759 P 2 + 0,5133 P + 1

(

)(

(

)(

)(

)

)(

)

7

D7 = (0,594 P + 1) 0,3396 P + 1,0946 P + 1 0,3012 P + 0,8305 P + 1 0,2382 P + 0,4333 P + 1

8

D8 = 0,3166 P + 1,112 P + 1 0,2984 P + 0,976 P + 1 0,2625 P + 0,721P + 1 0,209 P + 0,373 P + 1

(

2

)(

2

2

)(

2

2

)(

2

2

)

Tableau 5 : forme quadratique des polynômes de Bessel normalisés

Butterworth
Les filtres de Butterworth (Maximally Flat) présentent le gain le plus constant possible dans la
bande passante. Le carré du module de cette réponse fréquentielle est décrit par :
2

H ( jΩ ) =

ε : amplitude de l'ondulation dans la bande passante.

1
1 + ε ⋅ Ω 2n

Ω : pulsation normalisée.
n : ordre du filtre.

2

A partir des paramètres fournis par le gabarit, on peut calculer ε et n.
ε 2 = 10

− GP
10



 − GP
 −GA
ln 10 10 − 1 − ln 10 10 − 1



n≥ 
2 ⋅ ln Ω A

−1

l'ordre du filtre est le premier entier supérieur.

Les tables des polynômes de Butterworth (Tableau 6) sont données, pour 20 log H ( Ω ) = − 3dB , ce
( Ω =1)

qui correspond à ε = 1. Si le gabarit normalisé et transposé du filtre à réaliser n'a pas GP = -3 dB (ce
qui est le cas le plus fréquent), il faut calculer un nouveau gabarit (Figure 10) avec G'P, Ω'P et Ω'A.
G (dB)
0

Ω'P = 1 Ω'A
ΩP
ΩA

log(Ω)

GP = -3 dB

Ω'P = n ε ⋅ Ω P

GP = -10 log(1+ε2)
G'P = -3 dB

Ω' A = n ε ⋅ Ω A
et il ne faudra pas oublier de dénormaliser, en prenant

GA

non pas Ω = 1 mais Ω =

Figure 10 : gabarit passe-bas normalisé pour Butterworth

Sylvain LARRIBE

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1
n

ε

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n
2
3
4
5
6
7
8

polynômes de Butterworth normalisés pour ε = 1
D2 = P + 2 P + 1
D3 = (P + 1) P 2 + P + 1
2

(

D4 =
D5 =
D6 =
D7 =
D8 =

)



 2


+ 1 P 2 − 2 P cos
+ 1
 P − 2 P cos
8
8





 2
 2
(P + 1) P − 2 P cos + 1 P − 2 P cos + 1
5
5





11π
 2



+ 1 P 2 − 2 P cos
+ 1 P 2 − 2 P cos
+ 1
 P − 2 P cos
12
4
12







 2
 2
 2
(P + 1) P − 2 P cos + 1 P − 2 P cos + 1 P − 2 P cos + 1
7
7
7





11π
13π
15π
 2




+ 1 P 2 − 2 P cos
+ 1 P 2 − 2 P cos
+ 1 P 2 − 2 P cos
+ 1
 P − 2 P cos
16
16
16
16





Tableau 6 : forme quadratique des polynômes de Butterworth

Chebychev
Contrairement à l'approximation de Butterworth, l'approximation de Chebychev présente de
l'ondulation dans la bande passante. Ceci permet d'avoir un passage plus rapide entre la bande
passante et la bande atténuée, pour un filtre du même ordre. Le carré du module de cette réponse
fréquentielle est décrit par :
H ( jΩ )

2

ε : amplitude de l'ondulation dans la bande passante.
Ω : pulsation normalisée.
Tn2(Ω ) : carré du polynôme de Chebychev.

1
=
2
1 + ε ⋅ Tn2( Ω )

n : ordre du filtre.

Le polynôme de Chebychev est défini par
pour Ω ≤ 1

pour Ω ≥ 1

Tn ( Ω ) = cos( n ⋅ arccos( Ω))

Tn ( Ω ) = cosh( n ⋅ arccos h (Ω))

T0 = 1
T1 = Ω
T2 = 2Ω2 - 1
T3 = 4Ω3 - 3Ω
T4 = 8Ω4 + 8Ω2 + 1

et ces polynômes peuvent être calculer avec la formule de récurrence : Tn = 2Ω ⋅ Tn−1 − Tn−2 .
A partir des paramètres fournis par le gabarit, on peut calculer ε et n.
ε 2 = 10

− GP
10

arccos h

−1

n≥

10



Ga
10

−1

ε2

arccos h (Ω a )

La pulsation pour un gain de –3 dB est donnée par : Ω (−3dB ) = cosh  1 ⋅ arccos h  1  
 ε 
n
filtre d'ordre impair
G (dB)

ΩP = 1

0

ΩA

filtre d'ordre pair
G (dB)



GP

ΩA



GP
3ième ordre

4ième ordre

GA

Sylvain LARRIBE

ΩP = 1

0

GA

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Les Filtres passifs
Ce chapitre commence par faire un rapide rappel sur les trois composants à la base des filtres
passifs : résistances, condensateurs et inductances, puis il propose une fois que l'on a déterminé la
fonction d'approximation et l'ordre du filtre, une méthode de réalisation à base de condensateurs et
d'inductances.
L'utilisation des éléments des quartzs, des résonateurs céramiques et des filtres à ondes de surface
(SAW) n'est pas traitée dans ce document.
Les composants passifs
composants passifs
résistance

notation temporelle

u(t ) = R ⋅ i( t )
condensateur

i( t ) = C ⋅

du( t )
dt

inductance

u( t ) = L ⋅

di( t )
dt

notation complexe de Laplace (P)

U (P) = R ⋅ I(P)

Z R(P) =

I ( P ) = C ⋅ ( pU ( P ) − u( 0 + ) )

ZC ( P) =

U (P)
=R
I( P)
U (P)
I(P)

=

1
C⋅ p

u(0+) : condition initiale : tension aux bornes du condensateur à t = 0+

U ( P ) = L ⋅ ( pI ( P ) − i( 0 + ) )

Z R(P) =

U (P)
I(P)

= L⋅ p

i(0+) : condition initiale : courant dans l'inductance à t = 0+

Structure des passe-bas
En fonction de la valeur des impédances, on est en mesure de réaliser un filtre passe-bas suivant
n'importe quelles fonctions d'approximation. Les valeurs des impédances sont extraites des tables
(exemple Tableau 7) en fonction du type de filtre (Bessel, Butterworth ou Chebychev), de l'ordre du
filtre, de l'ondulation dans la bande passante pour les filtres de Chebychev.
Pour finir, il faut transposer le filtre (Tableau 8) si nécessaire et le dénormaliser en fonction de la
pulsation de coupure et de l'impédance du générateur et / ou de la charge.

Figure 11 : structure des filtres passifs, passe-bas normalisés

Sylvain LARRIBE

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Tableaux des coefficients

Ces tableaux donnent la valeur des impédances du filtre dont la structure est donnée par la Figure
11
Chebychev :

Ondulation 1,0 dB

Ondulation 0,5 dB

n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

g1
0,6986
1,4029
1,5963
1,6703
1,7058
1,7254
1,7372
1,7451
1,7504
1,7543
1,0177
1,8219
2,0236
2,0991
2,1349
2,1546
2,1664
2,1744
2,1797
2,1836

g2
1
0,7071
1,0967
1,1926
1,2296
1,2479
1,2583
1,2647
1,269
1,2721
1
0,685
0,9941
1,0644
1,0911
1,1041
1,1116
1,1161
1,1192
1,1213

g3

g4

g5

g6

g7

g8

g9

g10

g11

1,9841
1,5963
2,3661
2,5408
2,6064
2,6381
2,6564
2,6678
2,6754

1
0,8419
1,2296
1,3137
1,3444
1,359
1,3673
1;3725

1,9841
1,7058
2,4758
2,6381
2,6964
2,7239
2,7392

1
0,8696
1,2583
1,3389
1,3673
1,3806

1,9841
1,7372
2,5093
2,6678
2,7231

1
0,8796
1,269
1,3485

1,9841
1,7504
2,5239

1
0,8842

1,9841

2,6599
2,0236
2,8311
3,0009
3,0634
3,0934
3,1107
3,1215
3,1286

1
0,7892
1,0911
1,1518
1,1736
1,1839
1,1897
1,1933

2,6599
2,1349
2,9367
3,0934
3,1488
3,1747
3,189

1
0,8101
1,1116
1,1696
1,1897
1,199

2,6599
2,1664
2,9685
3,1215
3,1738

1
0,8175
1,1192
1,1763

2,6599
2,1797
2,9824

1
0,821

2,6599

Tableau 7 : valeurs normalisées des impédances pour un filtre passif passe-bas de Chebychev.
Le dernier point à -x dB (ondulation) est obtenu pour Ω0 = 1 rd/s

Transposition des impédances
composants
résistance

passe-bas
r

passe-haut
r

passe-bande
r

coupe-bande
r
2mA

1
A

A

inductance

A
2m

2m
A

1
2mA

2m

condensateur

γ

1

γ

γ

1
2mγ

2mγ

γ
2m

gain

k

k

k

k

Tableau 8 : transposition des impédances

Sylvain LARRIBE

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Les Filtres actifs
Ce chapitre commence par un petit rappel sur l'amplificateur opérationnel (ampli op) monté en
amplificateur différentiel et différentes structures d'intégrateur, puis il détaille quatre structures
différentes de filtres actifs construits autour d'un ou plusieurs amplificateurs opérationnels.
L'utilisation des transistors comme éléments actifs n'est pas traitée dans ce document.
Les filtres actifs ne sont pas obligatoirement stables, lorsque la valeur d’un ou plusieurs
constituants varie, la stabilité doit être particulièrement étudiée.
A cause de la limite fréquentielle des ampli op, ces filtres sont souvent limités aux
fréquences basses, le plus souvent en dessous du mégahertz.
Contrairement aux filtres passifs, il existe des méthodes automatiques de synthèse qui
conduisent à des schémas simples et réalisables.
L'amplificateur opérationnel
Il est possible de calculer facilement le gain d'un montage inverseur ou non-inverseur à partir de
l'amplificateur différentiel.
Amplificateur différentiel Rappel :
Z (Z + Z 2 )
− Z2
 V + Va 
Va + 4 1
Vb = Α mc  b
 + Α md (Vb − Va )
Z1
Z1 (Z 3 + Z 4 )
 2 
Z1 Z 4 − Z 2 Z 3 : amplification du mode commun
• Α mc = Z (Z + Z )
1
3
4
Z1 Z 4 + Z 2 Z 3 + 2Z 2 Z 4 : amplification du mode
• A md =
2 Z 1 (Z 3 + Z 4 )
différentiel.
Vs =

Si l’on ne veut amplifier que la différence Vb-Va, il faut que
Α mc = 0 .
Z
Vs
avec Z 1 Z 4 = Z 2 Z 3
H diff =
= 2
Vb − V a Z 1
Si l'on prend en compte le gain de l'amplificateur opérationnel (A0
amplification en boucle ouvert), on obtient :
Vs =



A0
 V + Va 
 Α mc  b
 + A md (Vb − Va )
Z2
2



+ A0 
1+
Z1

Figure 12 : gain en boucle ouverte d'un LM124

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Intégrateurs
Intégrateur inverseur :

H=

−1
Vs
=
Ve jRCω

1
RC ω

Module : H =

Argument : ϕ = π + 2kπ
2

Intégrateur non-inverseur :

Gain de l’amplificateur : k = Ra + Rb = 1 + Ra
Rb
Rb
kR2
Vs
=
H=
Ve R1 (1 − k ) + R2 + jR1 R2 Cω
Pour avoir un intégrateur, il faut que la partie réelle du
dénominateur soit nulle.
R
R
R
R1 (1 − k ) + R2 = 0 ⇒ k = 1 + 2 donc 2 = a
R1 Rb
R1

H=
Module : H =

2
RC ω

R1 + R2
1
×
R1
jR1Cω
si R1 = R2 = Ra = Rb

Argument : ϕ = − π + 2kπ
2

Intégrateur différentiel :
Il s’agit d’un cas particulier de l’amplificateur différentiel, avec
Z1 = R1, Z = 1 , Z3 = R3, et Z = 1 .
2
4
jC 2ω
jC 4ω
Il faut respecter Z 1 Z 4 = Z 2 Z 3 donc R1C 2 = R3 C 4

H=

Z
Vs
1
= 2 =
Vb − Va Z 1 jR1C 2ω

Intégrateur à capacité commutée :
Les 2 interrupteurs S1 et S2 sont commandés en
opposition de phase, par une horloge de fréquence
variable (FH), avec un rapport cyclique de 50%.
• Phase 1 : S1 fermé, S2 ouvert.
Le condensateur C0 se charge vers Ve : Q1 = C 0Ve
• Phase 2 : S1 ouvert, S2 fermé.
Le condensateur C0 se décharge vers 0 : Q2 = 0
Figure 13 : intégrateur à capacité commutée

Sylvain LARRIBE

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La variation de charge ∆Q = Q1 − Q2 = C 0Ve crée un courant I car I = ∆Q . Le temps ∆t correspond au temps d’un cycle
∆t
formé par les phase 1 et phase 2. Il est donc égal à la période de l’horloge (FH).
Le courant s’écrit sous la forme I = C 0 FH Ve , ce qui est équivalent à I = Ve . On peut donc assimiler 1 = R .
R
C 0 FH
La fonction de transfert du circuit (Figure 13) est donnée ci-dessous et elle correspond bien à celle d'un intégrateur.

H=
La constante de temps de cet intégrateur est égale à τ =

Vs − C0 FH
=
Ve
jCω

C . Il est possible de la faire varier en jouant sur la fréquence
C 0 FH

de l’horloge.
Intérêt :
Cet intégrateur est utilisé pour réaliser des filtres intégrés (filtre à capacités commutées) à base de la structure à
variables d’état, dont on peut faire varier les paramètres (fréquence de coupure F0 et facteur de qualité Q=1/2m) par la
simple fréquence d’une horloge.
Inconvénient :
On se trouve en présence d’un système échantillonné, il faut dont satisfaire le critère de Nyquist (ou théorème de
Shannon), à savoir, la fréquence d’horloge (FH) doit être supérieure au double de la plus haute des fréquences du signal
d’entrée. (Ve)

Sylvain LARRIBE

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Filtre à contre réaction simple

Les quadripôles Qa et Qb peuvent être définis par leurs paramètres d’admittance.
 I1   Y11 Y12 

la matrice d’admittance du quadripôle est   = 
 I 2   Y21 Y22 
  


 V1 
 
V2 
 

 I1a =Y11a ⋅V1a +Y12a ⋅V2a
 I1b =Y11b ⋅V1b +Y12b ⋅V2b
Les quadripôles Qa et Qb donnent 
et 
que l’on peut
I 2a =Y21a ⋅V1a +Y22a ⋅V2a
I 2b =Y21b ⋅V1b +Y22b ⋅V2b
I 2 a = − I1b

V = Ve
et  1a
et l’on obtient Y21a ⋅Ve=−Y12b ⋅Vs soit
simplifier car 
V2 a = V1b = −ε ≅ 0 V2b = Vs

H = Vs = − Y21a
Ve
Y12b
Généralisation :
Il est facile de généraliser car les
admittances en parallèles
s’additionnent.
m

∑Y

H = −

i =1
n

21ai

∑Y
j =1

12 bj

Lorsque les quadripôles sont symétriques, c’est à dire que l’on peut permuter I1, V1 avec I2, V2, alors
Y12 = Y21 et Y11 = Y22.
Quelques exemples de quadripôles ainsi que leur admittance :
Y21 = −

Y21 = −

Y21 = −

Sylvain LARRIBE

1
R

Y21 = − jCω

jCω
1 + jRCω

Y21 = −

1
RCω 

2 R1 + j

2 

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Y21 = −

1 + jRCω
R

jCω
jRCω
×
2
1 + 2 jRCω

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Exemple : avec le cas d'un filtre d'égalisation pour haut-parleur (Linkwitz Transform Circuit)

Figure 14 : circuit d'égalisation de Linkwitz.
source : http://www.linkwitzlab.com/

R1
C1

R2
C2

8,44 kΩ
1905 nF

36,98 kΩ
56 nF

R3
C3

70,32 kΩ
228 nF

Le quadripôle Qa est défini par la somme de Y21a1 et Y21a2 : Y21a = Y21a1 + Y21a 2 et le quadripôle Qb est
défini par la somme de Y21b2 et Y21b3 : Y21b = Y21b 2 + Y21b3 .
Y21a 2 = −

Y21a1 = −

jC 2ω
1 + jR 2 C 2ω

1
RCω

2 R1 1 + j 1 1 
2 


Y21b 2 = −

jC 2ω
1 + jR2 C 2ω

Y21b 3 = −

1
R C ω

2 R3  1 + j 3 3 
2 


La fonction de transfert du filtre est donnée par H = Vs = − Y21a
Ve
Y12b
2
2
R 1 + j (2 R1 + R2 )C 2ω − R1 C1C 2ω
2 + jR3C3ω
que l'on peut écrire sous la forme
×
soit H = 3 ×
2
2
R1 1 + j (2 R3 + R2 )C 2ω − R3 C3C 2ω
2 + jR1C1ω
2

ω 
ω
−  
1+ j
ω 3 et qui donne par identification et application numérique
 ω1  ×
H =k×
2
ω  ω  1+ j ω
1 + 2 m2 j
− 
ω4
ω 2  ω 2 

ω
1 + 2m1 j
ω1

k = 8,332
20 log(k) = 18,415 dB

ω1 = 362,757 rd/s
f1 = 57,735 Hz
m1 = 0,547

Sylvain LARRIBE

ω2 = 125,852 rd/s
f2 = 20,03 Hz

ω3 = 124,743 rd/s

ω4 = 124,392 rd/s

f3 = 19,853 Hz

f4 = 19,798 Hz

m2 = 0,626

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30 dB

20 dB

10 dB

0 dB

-10 dB

-20 dB

gain k
gain 3
gain 1
gain H
gain 4

-30 dB

-40 dB
1 Hz

gain 2

10 Hz

100 Hz

1000 Hz

Figure 15 : diagrammes asymptotiques

Figure 16 : phase et gain, ainsi que le diagramme asymptotique.

Sylvain LARRIBE

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Filtre à contre réaction multiple (MFB) : structure de Rauch

Elle est basée sur un amplificateur inverseur.
Il peut être plus facile de faire le calcul
de la fonction de transfert H à partir des
admittances que des impédances
Z1= 1
Y1

H=

Vs
−1
=
Ve Z1 Z1 Z 3 Z1 Z 3 Z1 Z 3
+
+
+
+
Z4 Z5 Z5 Z2Z5 Z4Z5

H=

ou

Z2 = 1
Y2

Z1= R1

Z2 = 1
jC2ω

Z3 = R3

Z4 = 1
Y4

Z5 = 1
Y5

− Y1Y3
Y1Y5 + Y2Y5 + Y3Y4 + Y3Y5 + Y4Y5

Impédance d'entrée : elle est donnée sous sa forme littérale par Z = Z +
1
e

Passe-bas :

Z3 = 1
Y3

Z 2 Z3Z 4
Z2Z3 + Z2Z4 + Z2Z5 + Z3Z4

Z4 =R4

Z5 = 1
jC5ω

H=

− R4
×
R1

1
2
R1 R3 + R1 R4 + R3 R4
1+ j
C5ω − R3 R4 C 2 C5ω
R1

La fonction de transfert d’un filtre passebas du second ordre est de la forme :
H = K0 ×

Passe-haut :
Z4 =

1
jC4ω

H=

Par identification, on obtient :

1

ω ω 
1 + 2mj
− 
ω 0  ω 0 

Z1 =

1
jC1ω

K0 =

2

Z 2 = R2

Z3 =

− R4
R1

ω0 =

1
R3 R 4 C 2 C 5

et

m=

C
1 1
1
1 

 R3 R 4 5
+
+
2  R1 R3 R 4 
C2

1
jC3ω

Z 5 = R5

R 2 R 5 C 1 C 3ω 2

1 + jR 2 (C1 + C 3 + C 4 )ω − R 2 R5 C 3 C 4ω 2

La fonction de transfert d’un filtre passehaut du second ordre est de la forme :
H = K0 ×

ω

 ω0
1 + 2mj





2

ω ω 

−
ω 0  ω 0 

Par identification, on obtient :
K0 =

C1
C4

ω0 =

1
R 2 R5 C 3 C 4

et

m=

1
(C1 + C3 + C 4 ) R2
2
R5 C 3 C 4

2

Dans cette configuration en filtre passe-haut, l'impédance d'entrée s'écrit :
R2
1
Ze =
+
jC1ω 1 + jR2 (C 3 + C 4 )ω − R2 R5 C 3 C 4ω 2
Dans la bande passante (ω > ω0), l'impédance d'entrée tend vers zéro, comme ZC1, ce qui peut par exemple créer
l'instabilité de l'étage en amont.

Sylvain LARRIBE

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Passe-bande :
La fonction de transfert d’un filtre passebande du second ordre est de la forme :
ω
j
ω0
H = K0 ×

ω ω 

1 + 2mj
−
ω 0  ω 0 

• Configuration a : Z1 = R1
Z3 =

1
jC 3ω

H=

Z4 =

R1
R5

1
jC 4ω

2

Z 2 = R2 ou

ω0 =

1
jC 2ω

Z 5 = R5

−1
 C4 
1
1 +
 + jR1C 4ω +
C 3 
jR5 C 3ω


Z 2 = R2

Cette structure de Rauch (contre réaction multiples) permet de
créer un filtre passe-bande de différentes façons suivant le choix
des impédances.


R 
1 + 1 
Z2 


R1 + R2
R1 R2 R5 C 3 C 4

Simplifications C3=C4=C
possibles
C3=C4=C

R1=R,

m=

R2=nR

R1=R2=R

C3=C4=C R1=R
R2 : non câblée
exemple Si l’on fixe ω0, m et C on obtient :

Z2 =

1
jC 2ω

Z 2 : non câblée

Z 4 = R4

H=

R1 R2
( R1 + R2 ) R5C3C4

ω0 =

(1 + n)m
RC

K0 =

−n
(1 + n)m

m=

R
2R5

ω0 =

2m
RC

K0 =

−1
2m

m=

R
R5

ω0 =

K0 =

−1
m

1

RR 5 C
1
R5 =
mCω 0

m
R1 =
Cω 0

m=

C 2 + C3 + C 4
2

ω0 =

1
R1 R5 C 3 C 4

m=

C3 + C4
2

Z 2 = R2 ou

R 2 R5 C 3
( R1 + R 2 ) R1C 4

nR
(1 + n) R5

1
R1 R5 C 3 C 4

jC1ω
1
Z5 =
jC5ω

K0 = −

m=

ω0 =

• Configuration b : Z = 1
1
Z 3 = R3

C3 + C 4
2

R2 : non câblée

K0 = −

R5 C 3
R1C 4

R1
R5C3C4

K0 = −

R5C3
R1C 4

R1
R5 C 3 C 4

1
jC 2ω

− jR4C1ω
RRCω
1 + j (R3 + R4 )C5ω + j 3 4 5 − R3 R4C1C5ω 2
Z2

Elle n'a pas d’intérêt particulier par rapport à la
précédente.
Z 2 = R2

Z2 =

1
jC 2ω

Z 2 : non câblée

Sylvain LARRIBE

ω0 =

1
R3 R4 C1C 5

m=

C
1 1
1
1 

 R3 R 4 5
+
+
2  R 2 R3 R 4 
C1

K0 = −

R4 C1
R3 C 5

ω0 =

1
R3 R4 (C1 + C 2 )C 5

m=

1 1
1

+
2  R3 R 4

K0 = −

R4
× C1
R3 (C1 + C 2 )C 5

ω0 =

1
R3 R4 C1C 5

m=

C
1 1
1 

 R3 R 4 5
+
2  R3 R 4 
C1

K0 = −

R4 C1
R3 C 5

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C5
 R3 R4
(C1 + C 2 )


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Filtre à source de tension contrôlée (VCVS) : structure de Sallen and Key
Elle est basée sur un amplificateur de tension non-inverseur.
Le gain de l’amplificateur est fixé par
R + Rb
, et
Ra et Rb, et il est noté k = a
Rb
k ≥ 1 . Il est possible sous certaines
conditions d’utiliser cette structure avec
comme amplificateur, un simple
transistor en collecteur commun (k~1).

H=

kZ 2 Z 4
Vs
=
Ve Z1 Z 4 (1 − k ) + Z1 (Z 2 + Z 3 ) + Z 2 (Z 3 + Z 4 )

Impédance d'entrée : elle est donnée sous sa forme littérale par Z = Z +
1
e

Passe-bas :

H=

Z1= R1

Z2 = 1
jC2ω

Z3 = R3

Z4 =

Z 2 (Z 3 + Z 4 )
Z 2 + Z 3 + Z 4 (1 − k )

1
jC 4ω

k
1 + j (R1C 2 (1 − k ) + R1C 4 + R3 C 4 )ω − R1 R3 C 2 C 4ω

La fonction de transfert d’un filtre passebas du second ordre est de la forme :
1

H = K0 ×
1 + 2mj

ω ω 
− 
ω 0  ω 0 

2

2

Par identification, on obtient :
K0 = k

ω0 =

1
R1 R3 C 2 C 4

et

m=

1  R1C 2 (1 − k ) + R1C 4 + R3 C 4
2 
R1 R3 C 2 C 4






Simplifications • En choisissant, R = R = R et C = C = C on obtient ω = 1 et m = 3 − k . Il est dont possible de
2
4
1
3
0
possibles
RC
2
régler indépendamment la fréquence de coupure F = ω 0 et le coefficient d’amortissement m ≤ 1 .
0



Si k > 3, m est négatif et le système est instable (oscillations).
exemple : Si l’on fixe ω0, m et C on obtient :

R=

1
Cω 0

k = 3 − 2m

• Dans le cas de k=1 (Ra = 0Ω et Rb non câblée), et en choisissant R1 = R3 = R on obtient :
m=

C4
C2

et ω =
0

1
En fixant ω0, m et R on obtient :
mRC 2

C2 =

1
mω 0 R

C4 =

m

ω0 R

Cette simplification est souvent proposée dans la littérature comme la structure de Sallen and Key,
mais elle présente peut d'intérêt, car elle donne des valeurs de condensateur difficile
d'approvisionnement.

Sylvain LARRIBE

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Passe-haut :

Z1 =

1
jC1ω

Z 2 = R2

Z3 =

1
jC3ω

Z 4 = R4

H=

− kR2 R4C1C3ω 2
1 + j (R2C1 + R2C3 + R4C3 (1 − k ))ω − R2 R4C1C3ω 2

La fonction de transfert d’un filtre passehaut du second ordre est de la forme :
ω

 ω0

H = K0 ×

1 + 2mj





2

Par identification, on obtient :
K 0 = −k

ω ω 

−
ω 0  ω 0 

ω0 =

1
R 2 R 4 C1 C 3

et

m=

1  R 2 C1 + R 2 C 3 + R4 C 3 (1 − k ) 

2 
R 2 R 4 C1 C 3


2

Simplifications • En choisissant, R = R = R et C = C = C on obtient ω = 1 et m = 3 − k . Il est dont possible
2
4
1
3
0
possibles
RC
2
ω
de régler indépendamment la fréquence de coupure F = 0 et le coefficient d’amortissement m ≤ 1 .
0



Si k > 3, m est négatif et le système est instable (oscillations).
exemple : Si l’on fixe ω0, m et C on obtient :

R=

1
Cω 0

k = 3 − 2m

• Dans le cas de k=1, et en choisissant C1 = C 3 = C on obtient : m = R 2 et ω =
0
R4

exemple : Si l’on fixe ω0, m et C on obtient :

R2 =

m

ω 0C

R4 =

1 .
mCR 4

1
mω 0 C

Dans cette configuration en filtre passe-haut, l'impédance d'entrée s'écrit :
R2 (1 + jR4 C 3ω )
1
Ze =
+
jC1ω 1 + j (R2 + R4 (1 − k ))C 3ω
R2 R4
mais pour les hautes
R2 + R4 (1 − k )
fréquences (~1MHz), le gain k tendant vers zéro (l'amplificateur opérationnel a une caractéristique passe-bas),
R2 R4
l'impédance d'entrée du filtre tend alors vers Z
e (ω >>ω 0 ) =
R2 + R4

Dans la bande passante (ω > ω0), l'impédance d'entrée tend vers Z
e (ω >ω 0 ) =

Passe-bande :
La fonction de transfert d’un filtre passebande du second ordre est de la forme :
ω
j
ω0
H = K0 ×

1 + 2mj

ω ω 

−
ω 0  ω 0 

La structure précédente ne permet pas de construire de filtre
passe-bande par le simple choix des impédances Z1 à Z4.
Il faut donc modifier un peu la structure, et il existe différentes
solutions.

2

Configuration a :
Z 1 = R1

Z 2 = R2

Sylvain LARRIBE

Z3 =

1
jC3ω

Z4 =

R4
1 + jR 4 C 4 ω

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H=

Par identification, on obtient :
R2 R4 C 3
R1 + R 2
K0 = k
ω0 =
(R1 + R2 )R1C 4
R1 R 2 R 4 C 3 C 4

R RCω
k× j 2 4 3
R1 + R 2

 R R C (2 − k ) + R 2 (R 4 C 4 + R 4 C 3 + R1C 3 ) 
R R R C C ω2
ω − 1 2 4 3 4
1 + j  1 4 4
R1 + R 2
R1 + R2



Simplifications • En choisissant, R1 = R 2 = R
possibles

et m = R1 R 4 C 4 (2 − k ) + R2 (R 4 C 4 + R 4 C 3 + R1C 3 )


(R1 + R2 )R1 R2 R4 C 3 C 4

R1 + R 2 = R 4 = 2 R et C 3 = C 4 = C on obtient :
9 − 2k
1
et
K0 = k
ω0 =
m=
RC
4

La fréquence de coupure et le coefficient d’amortissement sont indépendants. Le coefficient
d’amortissement m est compris entre 1,25 et 0 pour k compris entre 1 et 4,5.
exemple : Si l’on fixe ω0, m et C on obtient :

R=

1
Cω 0

k=

9
− 2m
2

• En choisissant, R1 = R 2 = R 4 = R et C 3 = C 4 = C on obtient :
ω0 =

2
RC

m=

5−k

et

2 2

K0 =

k
2

Le coefficient d’amortissement m est compris entre 1,414 et 0 pour k compris entre 1 et 5.
exemple : Si l’on fixe ω0, m et C on obtient :

R=

2
Cω 0

k = 5 − 2m 2

K0 =

5
2

− 2m

Configuration b :
La forme littérale de la fonction de transfert est :
kZ 2 Z 4
Vs
H=
=
Ve Z 1 Z 4 (1 − k ) + Z 1 (αZ 2 + Z 3 ) + Z 2 (Z 3 + Z 4 )
avec α = 1 + Z 3 + Z 4
Z5

En posant : Z 1 = R1
Z 4 = R4

et

Z5 =

Z 2 = R2

Z3 =

1
jC3ω

1 , on obtient bien
jC 5ω

un filtre passe-bande.
Par identification, on obtient :
R2 R4 C 3
K0 = k
(R1 + R2 )R1C 5

ω0 =

Simplifications • En choisissant, R1 = R 2 = R
possibles

k× j
H=

R 2 R 4 C 3ω
R1 + R 2

 (R R (1 − k ) + R1 R 2 + R 2 R 4 )C 3 + R1 R 2 C 5
1 + j 1 4
R1 + R 2


R1 + R 2
R1 R 2 R 4 C 3 C 5

et

m=


R R R C C ω2
ω − 1 2 4 3 5
R1 + R 2


(R1 R4 (1 − k ) + R1 R2 + R2 R4 )C 3 + R1 R2 C 5
2 × (R1 + R2 )R1 R 2 R 4 C 3 C 5

R1 + R 2 = R 4 = 2 R et C 3 = C 5 = C on obtient :
3− k
1
et
K0 = k
ω0 =
m=
RC
2

La fréquence de coupure et le coefficient d’amortissement sont indépendants. Le coefficient
d’amortissement m est compris entre 1 et 0 pour k compris entre 1 et 3.
1
exemple : Si l’on fixe ω0, m et C on obtient :
k = 3 − 2m
R=
Cω 0
• En choisissant, R1 = R 2 = R 4 = R et C 3 = C 5 = C on obtient :
ω0 =

2
RC

m=

4−k

et

2 2

K0 =

k
2

Le coefficient d’amortissement m est compris entre 1,06 et 0 pour k compris entre 1 et 4.
exemple : Si l’on fixe ω0, m et C on obtient :

Sylvain LARRIBE

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R=

2
Cω 0

k = 4 − 2m 2

(

K0 = 2 2 − m

)

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Filtre à variable d’état : filtres universels
Il est basé sur l’utilisation d’intégrateurs et de sommateurs. Il présente la particularité de fournir en
même temps une sortie passe-bas, une sortie passe-haut et une sortie passe-bande.

V1 = Ve − V2 − V3
Ve

+

-

∫τ

V1

-

V2
1

Sortie en V1 :

∫τ

V3

V2 =

2

Sortie en V2 :

τ 1τ 2 p 2
V1
=
Ve 1 + τ 2 p + τ 1τ 2 p 2

τ2 p
V2
=
Ve 1 + τ 2 p + τ 1τ 2 p 2

filtre passe-haut

filtre passe-bande

1
V1
τ1 p

V3 =

1
V2
τ2 p

Sortie en V3 :

V3
1
=
Ve 1 + τ 2 p + τ 1τ 2 p 2
filtre passe-bas

V1

V2

V3

V4

Figure 17 : Filtre à variable d'état (variante 1)

Cette structure est aussi appelée « cellule biquadratique »
V1 =

2 R3
2 R4
V2 − V3
Ve +
R3 + R4
R3 + R4

V2 =

−1
V1
jR1C1ω

V3 =

−1
V2
jR2 C 2ω

V4 = −Ve −

R3
V2
R4

Passe-haut : Vphaut = V1

H phaut =

− R1 R2 C1C 2ω 2

2 R4
V1
=
×
Ve R3 + R4

1+

2 R3
jR2 C 2ω − R1 R2 C1C 2ω 2
R3 + R4

La fonction de transfert d’un filtre passe- Par identification, on obtient :
haut du second ordre est de la forme :
H = K0 ×

ω

 ω0
1 + 2mj

Sylvain LARRIBE





2

ω ω 

−
ω 0  ω 0 

K0 =
2

− 2 R4
R3 + R 4

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ω0 =

1
R1 R 2 C1C 2

et

m=

R3
R3 + R 4

R2 C 2
R1C1

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Passe-bande : Vpbande = V2
2 R4
V V
−1
× H phaut =
×
H pbande = 2 × 1 =
R3 + R4
V1 Ve jR1C1ω

− jR2 C 2ω
1+

2 R3
jR2 C 2ω − R1 R2 C1C 2ω 2
R3 + R4

La fonction de transfert d’un filtre passe- Par identification, on obtient :
bande du second ordre est de la forme :
ω
j
− R4
ω0
1
K0 =
ω0 =
H = K0 ×
2
R3
R1 R 2 C1C 2
ω ω 
1 + 2mj

ω0

et

m=


− 
ω0 

R3
R3 + R 4

R2 C 2
R1C1

Attention, cette sortie est en opposition de phase par rapport aux sorties passe-haut et passe-bas.
Passe-bas : Vpbas = V3
V V
2 R4
−1
× H pbande =
×
H pbas = 3 × 2 =
R3 + R4
V2 Ve jR2 C 2ω

1
1+

2 R3
jR2 C 2ω − R1 R2 C1C 2ω 2
R3 + R4

La fonction de transfert d’un filtre passe- Par identification, on obtient :
bas du second ordre est de la forme :
1

H = K0 ×
1 + 2mj

ω ω 
− 
ω 0  ω 0 

2

K0 =

2 R4
R3 + R 4

ω0 =

1
R1 R 2 C1C 2

et

m=

R3
R3 + R 4

R2 C 2
R1C1

Coupe-bande : Vcoupe bande = V4

H coupebande

V
= 4 =
Ve

1 − R1 R2 C1C 2ω 2
1+

2 R3
jR2 C 2ω − R1 R2 C1C 2ω 2
R3 + R4

La fonction de transfert d’un filtre coupe- Par identification, on obtient :
bande du second ordre est de la forme :
H = K0 ×

ω
1 − 
 ω0
1 + 2mj





2

ω ω 

−
ω 0  ω 0 

K0 =1

ω0 =

2

1
R1 R 2 C1C 2

et

m=

R3
R3 + R 4

R2 C 2
R1C1

Attention, cette sortie est aussi en opposition de phase par rapport aux sorties passe-haut et passebas.
Intérêt :
Cette structure permet d'avoir en même temps un filtre passe-bas, passe-haut et passe-bande.
Elle permet de réaliser des filtres avec un fort facteur de qualité (Q=1/2m) > 10
Elle est disponible en circuit intégré.
Elle peut être facilement intégrée et commandée numériquement si l'on remplace des résistances par des capacités
commutées.
Inconvénient :
Cette structure nécessite 3 amplificateurs opérationnels
La phase des différentes sorties n'est pas identique.

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Une autre configuration permettant également d'obtenir un filtre coupe-bande est proposée par la
Figure 18. La sortie coupe-bande V4 est construite en faisant la somme des sorties passe-bas V3 et
passe-haut V1.
V4
Rb
2 R4
1 − R1R2C1C2ω 2
H coupebande =

Ve

=−

Ra

×

×
R3 + R4 1 +

2 R3
jR2C2ω − R1R2C1C2ω 2
R3 + R4

Par identification, on obtient :
K0 = −

Rb
2 R4
×
Ra R3 + R4

ω0 =

1
R1 R 2 C1C 2

et

m=

R3
R3 + R 4

R2 C 2
R1C1

Figure 18 : Filtre à variable d'état (variante 2)

Dans ce cas, il est possible de mettre R3 à la masse et l’entrée se fait sur l’entrée – de l’amplificateur
opérationnel, par l’intermédiaire d’une résistance série. Ceci offre la possibilité de choisir la polarité
des sorties vis à vis de l'entrée, ainsi que l'indépendance du facteur d'amortissement m vis à vis du
gain.
Il existe de nombreuses autres variantes connues que l'on retrouve sous les noms de Biquad,
Tow-Thomas, de KHN (Kerwin, Huelsman, Newcombe)…

Sylvain LARRIBE

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Filtre Passe tout ou déphaseur
Ils peuvent servir dans les systèmes asservis ou
dans les filtres pour améliorer la stabilité ou
modifier la phase.
1er ordre

La forme générale de la fonction de transfert est :
H=

Cas 1 :

Vs Z1 Z 4 − Z 2 Z 3
=
Ve Z1 Z 3 + Z1 Z 4

Z1 = Z 2 = Z 3 = R

Z4 =

1
jC 4ω

1
1 − jRCω
ω0 =
RC
1 + jRCω
Module : H = 1 Quelle que soit la fréquence.
H=

Argument : ϕ = −2 arctan(RCω )
temps de propagation : τ g = − dϕ

2 RC
soit τ g 0 = +2 RC lorsque ω → 0
τg = +
1 + ( RCω ) 2
Exemple obtenu avec R=10kΩ et C=22nF (F0 ≈ 724 Hz)
Réponse temporelle du filtre passe-tout,
à un signal carré de 250 Hz

L’atténuation constatée au-dessus de 100kHz est due à la bande
passante de l’amplificateur utilisé, ici un LM324.

Cas 2 : Z 1 = Z 2 = Z 4 = R

Z3 =

1
jC 3ω

1 − jRCω
1 + jRCω
Module : H = 1 Quelle que soit la fréquence.
H =−

Argument : ϕ = ±π − 2 arctan(RCω ) (en radians).
Par rapport à la configuration précédente, il y a juste une
inversion du signal de sortie : ϕ 2 = ϕ1 ± π
Autre application, en choisissant 3 résistances identiques pour Z1, Z2 et Z3, et en remplaçant Z4 par un interrupteur, cette
structure devient un modulateur ou démodulateur. Le signal de sortie est égal à Vs(t ) = α (t ) × Ve(t ) avec α (t ) la
commande de l’interrupteur : α (t ) = ±1 .
Sylvain LARRIBE

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2ième ordre
On reconnaît autour du premier
amplificateur opérationnel une
structure de Rauch configurée
en filtre passe-bande (Va).
Le second amplificateur fait la
somme pondérée du signal
d'entré avec celui issu du filtre
passe-bande (Va).
Figure 19 : filtre passe-tout du 2ième ordre

Calcul de la fonction de transfert :

équation de la sortie du 1er amplificateur opérationnel
− jR5C3ω
Va =
× Ve
1 + jR1 (C3 + C 4 )ω − R1 R5C3C 4ω 2

équation de la sortie du 2ième amplificateur opérationnel
Vs = −Ve − a × Va = −(Ve + a × Va)



− jR5Cω

Vs = −Ve1 + a ×
2 2 
1
2
jR
C
ω
R
R
C
ω
+

1
1 5



En remplaçant dans la deuxième équation Va par l'expression de la
première équation on obtient Vs en fonction de Ve :
soit

H=

Vs
1 + j (2 R1 − a × R5 )Cω − R1 R5C 2ω 2
=−
Ve
1 + 2 jR1Cω − R1 R5C 2ω 2

Pour avoir un déphaseur, le module de

Module : H =

Vs
=
Ve

ω0 =

1
R1 R5 × C

m=

R1
R5

Vs
doit être constant (indépendant de la fréquence).
Ve

(1 − R R C ω ) + ((2R − a × R )Cω )
(1 − R R C ω ) + (2R Cω )
2

1

2 2

2

5

1

2

1

5

5

2 2

2

1

Pour remplir cette condition, il faut que 2 R1 = −(2 R1 − a × R5 ) soit a = 4 R1 = 4m 2 et R1 = m 2 × R5
R5

 2 R1Cω 

Argument : ϕ = ±π − 2 arctan
2 2  (en radians).
 1 − R1 R5C ω 
Temps de propagation de groupe : τ g = − dϕ

2
2


2 R1C (1 + R1 R5C ω )
soit τ g 0 = +4 R1C lorsque ω → 0

τ g = 2
 1 + 2 R C 2ω 2 (2 R − R ) + (R R C 2ω 2 )2 
1
1
5
1 5


Exemple obtenu avec R = R5 = 10kΩ, C3 = C4 = 22nF, R1 = m2 x R5 et a = 4m2
Réponse temporelle du filtre passe-tout du 2ième ordre,
ième
Réponse fréquentielle du filtre passe-tout du 2 ordre
à un signal carré de 250 Hz

Figure 20 : réponse fréquentielle et temporelle pour différents coefficients d'amortissement m
L’atténuation constatée au-dessus de 100kHz est due à la bande passante de l’amplificateur utilisé, ici un LM324.

Sylvain LARRIBE

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Autres fonctions actives
Ce chapitre propose des inverseurs d'impédances, et des amplificateurs non linéaires basés sur des
structures à amplificateur opérationnel.
Inverseurs d'impédances (NIC)

L'inverseur d'impédance (Negative Impedance Converter) est un quadripôle qui permet de convertir
une impédance Zu en -αZu.
Ze =

V1
V
= α × 2 = −α × Z u
I1
I2

Deux cas peuvent être considérés :
V1 = V2 : donc I2 = α I1, il s'agit d'un inverseur d'impédance en courant (INIC).
I1 = -I2 : donc V1 = -α V2, il s'agit d'un inverseur d'impédance en tension (VNIC).

Inverseur d'impédance en courant 1 :
Ze = −

R1
Z u et
R2

α=

R1
R2

Conditions de fonctionnement :
Il faut s'assurer que suivant le choix de α, l'amplificateur reste bien dans
son domaine linéaire (V1 = V2), donc que la tension de sortie Vs ne sature
pas.

R 
V s = 1 + 2 V1 < V saturation
Zu 


De plus, ce système présente une double rétroaction, l'une sur l'entrée –
avec R1 (contre-réaction) et l'autre sur l'entrée + avec R2. Il convient
donc d'étudier les conditions de stabilités.
La réaction négative (contre-réaction) doit l'emporter devant la réaction positive, ce qui donne la relation suivante :
R g > α × Z u avec Rg la résistance de sortie du générateur, appliquée à l'entrée de l'inverseur d'impédance.

Inverseur d'impédance en tension 1 :
L'inverseur d'impédance en tension (VNIC) est obtenu en permutant R1
et Zu. Dans ce cas, l'impédance Zu n'est plus reliée à la masse.
R
R
Z e = − 1 Z u et α = 1 ces expressions sont inchangées.
R2
R2
Conditions de fonctionnement :
Non saturation :

R 
soit 1 + α V < V
V s = 1 + 2 V1 < V saturation
1
saturation
α
R1 


Stabilité : R g > α × Z u

En permutant les entrées + et – de l'amplificateur opérationnel, la fonction reste inchangée
(Inverseurs d'impédances) mais la condition de stabilité change. Ceci permet de choisir la
configuration en fonction des valeurs de Rg et Zu.

Sylvain LARRIBE

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Inverseur d'impédance en courant 2

Inverseur d'impédance en tension 2

Conditions de
fonctionnement :

Conditions de
fonctionnement :

Non saturation :

Non saturation :


R 
1 + 2 V1 < V sat
Z
u 



R 
1 + 2 V1 < V sat
R1 


Stabilité :

Stabilité :

Rg < α × Z u

Rg < α × Z u

Amplificateurs non linéaires

L’utilisation d’un composant présentant une fonction non linéaire comme une diode dans la boucle
de contre réaction d’un système asservi, permet de créer des amplificateurs non linéaires.
La diode Rappel :
Le courant dans une diode est donné par la
relation suivante :
d
 qV

I d = I s  e nkT − 1



Is : courant de saturation. Il dépend fortement
de la température.
q : la charge de l’électron :
1.602 × 10 −19 coulomb
k : constante de Boltzman : 1.38 × 10 −23 J / K
T : température de la jonction en Kelvin.
n : facteur d’idéalité (1 à 2).

Amplificateur logarithmique

Vs = −

kT  Ve 

ln
q  RI s 

kT
≈ 25 .6 mV à 25 °C
q

Amplificateur exponentiel

e

qVd
kT

qVd

>> 1

Vs = − RI s e kT

Ces structures ne sont pas utilisables en l’état car elles sont très sensibles aux paramètres de la
diode. n est variable d’une diode à l’autre, Is double environ lorsque la température augmente de
10°, et dépend de chaque type de diode.

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Amplificateur logarithmique compensé :
La diode est remplacée par une paire de transistors T1 et T2.

Vs 2 = −

kT Ve R0
ln
q Vref R

si le courant de
sortie I s 2 = 0

On voit que la fonction de transfert dépend encore de la
température, mais cette fois de façon connue et linéaire.
Précautions :
• I s 2 = 0 , il faut donc ajouter un étage de sortie à haute
impédance d’entrée. Celui-ci pourra également donner du
gain et compenser la dérive thermique.
• Les 2 transistors T1 et T2 doivent être intégrés sur la même
puce de silicium afin qu’ils aient des caractéristiques
semblables, et qu’ils soient à la même température.

Sylvain LARRIBE

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