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République Algérienne Démocratique et Populaire
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Centre Universitaire de Bechar
Institut de Génie Civil

Mr. Abdelaziz Yazid

Béton précontraint
Cours et exercices

Année Universitaire 2005/2006

Dédicace

Dédicace
Je dédie ce modeste travail :
A ma femme
A toute ma famille
A la famille SADKAOUI
A tous mes amis
A la Direction du Centre Universitaire de Bechar
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Mr. Abdelaziz Yazid

Béton précontraint : Cours et exercices

Abdelaziz Yazid

Centre Universitaire de Bechar

Avant-propos

Avant-propos

Ce document est un développement de certaines notes de cours du module TEC 197.
Il est destiné, particulièrement, aux étudiants de la 5ème année génie civil comme un
support pédagogique au cours « Béton précontraint ».
Certes, que la précontrainte est un sujet très vaste. Seuls sont donc retenus les points
importants, sans entrer dans trop de détails et de calculs.
Pour une meilleure compréhension, un langage scientifique assez simple a été utilisé
et de nombreuses applicati
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le cours et à dégager une idée claire sur les concepts abordés.
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le nombre de documents didactiques dans le domaine de la précontrainte
et contribuera à une plus large diffusion de ce concept en Algérie.

Mr. Abdelaziz Yazid

Béton précontraint : Cours et exercices

Abdelaziz Yazid

Centre Universitaire de Bechar

Sommaire

I

INTRODUCTION GENERALE ....................................................................................................01
CHAP I : GENERALITES SUR LA PRECONTRAINTE
1. INTRODUCTION .....................................................................................................................04
2. PRINCIPE DE LA PRECONTRAINTE .....................................................................................04
3. MODES DE LA PRECONTRAINTE .........................................................................................05
3.1. Précontrainte par pré tension............................................................................................05
3.2. Précontrainte par post tension ..........................................................................................06
3.3. Comparaison des deux procédés ......................................................................................08
4. AVANTAGES ET INCONVENIENTS ........................................................................................09
4.1. Avantages...........................................................................................................................09
4.2. Inconvénients .....................................................................................................................09
5. SYSTEMES DE PRECONTRAINTE .........................................................................................09
6. DOMAI
NED’
APPLI
CATI
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7. REGLEMENTS .........................................................................................................................10
8. APPLICATIONS .......................................................................................................................10
CHAP II : CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX
1. CARACTERISTIQUES MECANIQUES : BETON ....................................................................16
1.1. Qualités requises................................................................................................................16
1.2. Résistance à la compression ..............................................................................................16
1.3. Résistance à la traction......................................................................................................16
1.4. Déformations longitudinales instantanées.........................................................................17
1.5. Diagramme contrainte déformation ..................................................................................17
1.6. Déformations différées.......................................................................................................18
2. CARACTERISTIQUES MECANIQUES : ARMATURES ..........................................................22
2.1. Armatures passives ...........................................................................................................22
2.2. Armatures actives .............................................................................................................23
3. APPLICATIONS .......................................................................................................................27
CHAP III : SOLLICITATIONS ET SECTIONS DE CALCUL
1. PRINCIPE DE JUSTIFICATION .............................................................................................30
1.1 Etat limite ultime (ELU) ....................................................................................................30
1.2 Etat limite de service (ELS) ...............................................................................................30
Béton précontraint : Cours et exercices

Abdelaziz Yazid

Centre Universitaire de Bechar

Sommaire

II

2. ACTIONS ...................................................................................................................................30
2.1. Définition ..........................................................................................................................30
2.
2.Ty
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ons.................................................................................................................30
2.3. Valeurs représentatives des actions ..................................................................................31
3. SOLLICITATIONS.....................................................................................................................32
3.1. Définition ..........................................................................................................................32
3.
2.S
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ELU ........................................................................................32
3.
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ulàl

ELS.........................................................................................33
3.4. Valeurs de i .....................................................................................................................33
3.5. Charges routières ..............................................................................................................34
4. SECTIONS DE CALCUL ..........................................................................................................38
4.1. Caractéristiques géométriques des sections ....................................................................39
4.2. Types de sections ..............................................................................................................40
5. APPLICATIONS .......................................................................................................................42
CHAP IV : PERTES DE PRECONTRAINTE
1. DEFINITION ............................................................................................................................49
2. TYPES DE PERTES .................................................................................................................49
3.TENSI
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ORI
GI
NE .........................................................................................................49
4. PERTE DE TENSION (POST - TENSION) .............................................................................49
4.1. Pertes de tension instantanées ..........................................................................................49
4.2. Pertes de tension différées ..............................................................................................53
5. APPLICATIONS .......................................................................................................................55
CHAP V : DIMENSIONNEMENT DE LA PRECONTRAINTE
1. OBJECTIF DU DIMENSIONNEMENT ...................................................................................60
2. DIAGRAMME DE VERIFICATION .........................................................................................60
3. DONNEES DE BASE ..............................................................................................................61
4. APPROCHE DE LA PRECONTRAINTE ................................................................................61
4.1. Câble moyen fictif ..............................................................................................................61
4.2. Centre de pression ............................................................................................................62
4.3. Noyau limite ......................................................................................................................62
4.4. Excentricité du câble moyen fictif......................................................................................63
Béton précontraint : Cours et exercices

Abdelaziz Yazid

Centre Universitaire de Bechar

Sommaire

III

5. FUSEAU DE PASSAGE .........................................................................................................64
6. NOTION DE SECTION CRITIQUE .........................................................................................64
6.1. Section sous critique .........................................................................................................64
6.2. Section critique .................................................................................................................64
6.3. Section sur critique ............................................................................................................64
7. EVALUATION DE LA PRECONTRAINTE ..............................................................................65
7.1. Cas de section sous critique et critique .............................................................................65
7.2. Cas de section sur critique ................................................................................................65
7.3. Cas particulier ..................................................................................................................66
8. SECTION MINIMALE DE BETON .........................................................................................66
8.1. Cas de section sous critique et critique .............................................................................66
8.2. Cas de section sur critique ................................................................................................67
9. APPLICATIONS .......................................................................................................................67
CHAP VI : JUSTIFICATION DES SECTIONS COURANTES
1. JUSTIFICATION VIS A VIS DES SOLLICITATIONS NORMALES.........................................71
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1.2. Justificationàl

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2. JUSTIFICATION VIS A VIS DES SOLLICITATIONS TANGENTES ......................................75
2.
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ELS..........................................................................................................76
2.
2.J
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ELU.........................................................................................................77
2.3. Justification du béton .......................................................................................................79
3. DISPOSTIONS CONSTRUCTIVES ..........................................................................................79
4. APPLICATIONS .......................................................................................................................81
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES ........................................................................................85

Béton précontraint : Cours et exercices

Abdelaziz Yazid

Centre Universitaire de Bechar

Introduction générale

1

Introduction générale

Béton précontraint : Cours et exercices

Abdelaziz Yazid

Centre Universitaire de Bechar

Introduction générale

2

L'idée de soumettre le béton à un effort de compression permanent lui permettant
de travailler en flexion sans qu'il n'en résulte de traction avait été émise dès la fin
du XIXème siècle. Sa réalisation s'était cependant heurtée aux propriétés mécaniques
insuffisantes des aciers de l'époque, ainsi qu'aux conséquences mal maîtrisées
des déformations différées du béton soumis à des efforts permanents importants.
C'est seulement à la fin des années 1920 que les progrès dans la fabrication des aciers
durs et une meilleure connaissance du comportement différé du béton ont permis
à Eugène Freyssinet de mettre au point le béton précontraint, dans lequel les efforts
de compression permanents sont obtenus à l'aide d'armatures en acier fortement tendues.
Dans un élément en béton armé, l'armature en acier est destinée à se substituer
entièrement au béton dans les zones tendues, lorsque celui-ci se fissure par suite
d'allongement. Sous charge, les allongements communs des armatures du béton
deviennent trop grands, le béton se fissure (micro fissures), l'acier supporte alors seul
tout l'effort de traction. Dans un élément poutre en béton précontraint, l'acier
précontraint équilibre les efforts des charges extérieures et évite ainsi au béton de se
fissurer sous les charges d'exploitation. La compression initiale introduite grâce à la
précontrainte des poutres s'oppose aux tractions engendrées par les charges
et surcharges appliquées.
Par rapport aux béton armé classique, le béton précontraint comporte un ajout de câble
permettant de réaliser des structures beaucoup plus légères, donc de très grande portée,
là ou le béton armé se serait écroulé sous son propre poids.

Béton précontraint : Cours et exercices

Abdelaziz Yazid

Centre Universitaire de Bechar

CHAPITRE 1 : Généralités sur la précontrainte

3

Généralités sur la précontrainte

Béton précontraint : Cours et exercices

Abdelaziz Yazid

Centre Universitaire de Bechar

CHAPITRE 1 : Généralités sur la précontrainte

4

1. INTRODUCTION
Le béton est un matériau hétérogène qui présente une très bonne résistance
à la compression, par contre, il a une très mauvaise résistance à la traction.
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traduisent par une zone comprimée en partie supérieure et par une zone tendue en partie
inférieure (Figure I.1).
G,Q

Figure I.1
La poutre subit également des contraintes de cisaillement dues aux efforts tranchants qui
se produisent vers les appuis. Ces contraintes occasionnent des fissures à 45° que
le béton ne peut reprendre seul.
Dans ce cas de figure, deux solutions sont possibles :
Solution N°1: L’
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traction dans le béton (Principe du béton armé).

Figure I.2
Solution N°2 : L’
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aux contraintes de traction dues aux chargements (Principe du béton précontraint).

Figure I.3
2. PRINCIPE DE LA PRECONTRAINTE
La précontrainte a pour objectif, en imposant aux éléments un effort de compression axial
judicieusement appliqué, de supprimer (ou fortement limiter) les sollicitations de traction
dans le béton (Figure I.4).

Béton précontraint : Cours et exercices

Abdelaziz Yazid

Centre Universitaire de Bechar

CHAPITRE 1 : Généralités sur la précontrainte

5

G,Q
P

P

Effet de la flexion + Effet de la précontrainte = Elément précontraint
Compression

Traction

Figure I.4
Cette précontrainte peut être :

Une précontrainte partielle : autorisation des contraintes de traction limitées.

Une précontrainte totale : élimination totale des contraintes de traction.
3. MODE DE PRECONTRAINTE
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eprécontrainte, il existe deux possibilités.
3.1. Précontrainte par pré-tension
Dans ce procédé, les câbles de précontrainte sont tendus entre deux massifs solidement
ancrés avant le coulage du béton (Figure I.5). Cette technique est surtout employée sur
les bancs de préfabrication, pour réaliser des éléments répétitifs.
Mise en tension

Coulage du béton

Libration des câbles

Poutre précontrainte

Figure I.5

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CHAPITRE 1 : Généralités sur la précontrainte

6

Etapes générales de réalisation
Mise en tension des câbles.



Coulage du béton.



La libration des câbles après le durcissement du béton.



Par adhérence, la précontrainte de compression est transmise au béton.

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suivants :
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nettoyage des moules ;

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déroulement des armatures actives et blocage aux extrémités dans des plaques ;



mise en place des armatures passives ;



mise en place des moules dans leur position finale;



mise en place des déviateurs éventuels ;



mise en tension des armatures par des vérins ;



mise en place du béton par pont- roulant ou grue ;



lissage de la partie supérieure ;



vibration du béton ;



étuvage ou chauffage du béton ;



décoffrage ;



dé-tension des armatures actives ;



découpage des fils situés entre deux éléments préfabriqués ;



manutention et stockage.

3.2. Précontrainte par post-tension
Ce procédé consiste à tendre les câbles de précontrainte, après coulage et durcissement
du béton, en prenant appui sur la pièce à comprimer (Figure I.6). Cette technique
est utilisée pour les ouvrages importants est, généralement, mise en ouvre sur chantier.
La précontrainte par post tension se présente sous deux formes :

Une précontrainte par post-tension interne

Une précontrainte par post-tension externe
Etapes générales de réalisation
Placement des gaines dans le coffrage.



Coulage du béton.



Béton précontraint : Cours et exercices

Abdelaziz Yazid

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CHAPITRE 1 : Généralités sur la précontrainte

7

Après le durcissement du béton, la mise en tension des câbles.



Le blocage se fait par différents systèmes de cales sur une zone de béton fretté.



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Placement des gaines
Coulage du béton
Mise en tension

Poutre précontrainte

Figure I.6
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(actif - actif) ou en tendant une seule extrémité uniquement (actif –passif) (Figure I.7).
Actif - Actif

Actif - Passif

Figure I.7
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1) La protection des armatures de précontrainte contre la corrosion.
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avoir une assez faible viscosité pour couler facilement et pénétrer dans toutes
les ouvertures et entre fils des câbles de précontrainte ;
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après durcissement, avoir une résistance suffisante pour assurer efficacement
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présenter un retrait minimal ;
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Béton précontraint : Cours et exercices

Abdelaziz Yazid

Centre Universitaire de Bechar

CHAPITRE 1 : Généralités sur la précontrainte

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e comprend, généralement, les éléments
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a)- Disposi
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n.
b)- Les coupleurs : dispositif permettant les prolongements des armatures.
c)- Matériels de mise en tension : vérins, po
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des vérins etc.
d)- Les accessoires : gaines, t
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3.3. Comparaison des deux procédés
Une comparaison entre les deux procédés (post-tension et pré-tension) permet
de constater les observations suivantes :
Pré-tension
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2) La nécessite des installations très lourdes ce qui limite, par voie de conséquence,
le choix des formes.
3) La simplicité de la réalisation du procédé.
4) Une bonne collaboration du béton et des armatures.
5) Ladi
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Post- tension
1) Ne demande aucune installation fixe puisque ;c

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2) Elle permet le choix des différentes formes.
3) La possibilité de réglerl

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4) Laf
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eprécontrainte.
A côté de ces procédés classiques, il existe des procédés spéciaux qui sont réservés
à certains o
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
Précontrainte par enroulement
Béton précontraint : Cours et exercices

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CHAPITRE 1 : Généralités sur la précontrainte

9


Précontrainte par compression externe

Mise en tension par dilatation thermique

Mise en tension par expansion du béton
4. AVANTAGES ET INCONVENIENTS
4.1. Avantages
1) Une compensation partielle ou complète des actions des charges.
2) Une économie appréciable des matériaux.
3) Augmentation des portés économiques.
4) Une réduction des risques de corrosion.
4.2. Inconvénients
1) La nécessité de matériaux spécifiques.
2) Lané
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3) Lané
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4) Risque de rupture à vide par excès de compression.
5) Un calcul relativement complexe.
5. SYSTEMES DE PRECONTRAINTE
Les systèmes de précontrainte font l

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exploitants. Les principaux systèmes sont :

Système Freyssinet :
Ce système utilise des câbles composés de torons T 13, T 13 S, T 15 et T 15 S. La lettre T
est remplacée par la lettre K (exemple 12 K 15)

Système PAC :
Ce système utilise des câbles composés de 1 à 37 T 13, T 13 S , T15 ou T 15 S.

Système CIPEC :
Ce système utilise des câbles 4 T 13 à 19 T 13, 4 T 15 à 27 T 15, normaux et super.

Système VSL :
Ce système utilise des unités 3 T 12 à 55 T 13 , 3 T 15 à 37 T 15, normales ou super. Leur
dénomination est de la forme 5-n pour n T 13 et 6-n pour n T 15.(exemple :6-37
représente un câble ou un ancrage 37 T 15).
6
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ais Eugène Freyssinet.
Les premières applications pratiques sont tentées en 1933. Dans les années qui suivent,
les performances exceptionnelles de ce nouveau concept sont brillamment démontrées.
Béton précontraint : Cours et exercices

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CHAPITRE 1 : Généralités sur la précontrainte

10

Grâce à ces avantages le béton précontraint est utilisé d
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et les bâtiments de dimensions importantes :i
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On le retrouve dans de nombreux aut
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,
les barrages, les enceintes de réacteurs nucléaires...
7. REGLEMENTATIONS
IP1 : Instruction Provisoire n°1 du 12 Août 1965
IP2 : Instruction Provisoire n°2 du 13 Août 1973
BPEL 91 : Béton précontraint aux états limites
Euro code 2 : (Béton Armé et Béton précontraint ).
8. APPLICATIONS
Application 1
Soit une poutre de section B e
tav
e
cunmo
me
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ne
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i
eIs
ou
mise à un moment
fléchissant M et à un effort de précontrainte centré P1.
Vs
P1

h

P1

Vi

Précontrainte centrée

Déterminer le digramme des contraintes.
Dé
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on
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n
t
eP1.
Application numérique
Soit la section rectangulaire (50,120) cm soumise à un moment extérieur M=0.80 MNm.
Déterminer la valeur de P1.
Schématiser le digramme des contraintes.

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CHAPITRE 1 : Généralités sur la précontrainte

11

Solution
1. Digramme des contraintes

P1
B

MVs
I

MVs P1
I
B

Vs

h

=

+
Vi

MVi
I

2.Valeur de P1 :

0

P1
B

Du diagramme des contraintes, on a :

MVi P1 0  P1MVi B
I
B
I
AN : P1=4MN
0.5
6.67

6.67

13.33

0.6
1.2

=

+
0.6

- 6.67

0

6.67

Application 2
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a
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t
M et un effort de précontrainte P2 excentré de « e ».
Vs
P2

P2

h
Vi

Précontrainte excentrée

Béton précontraint : Cours et exercices

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CHAPITRE 1 : Généralités sur la précontrainte

12

Déterminer le digramme des contraintes.
Dé
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s
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nd
el

e
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rt de précontrainte P2.
Application numérique
Soit la section rectangulaire (50,120) cm soumise à un moment extérieur M=0.80 MNm.
Dans le deuxième cas de précontrainte excentrée, e
ns
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s
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c
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n
t
r
e
r
au maximum de e= - 0.45 m la position du câble.
Déterminer la valeur de P1.
Schématiser le digramme des contraintes.
Solution
1. Digramme des contraintes

P2eVs
I

P2
B

MVs
I

MVs P2 P2eVs
I
B
I

Vs

+

+

h

=

Vi

2. Valeur de P2 :

MVi
I

P2eVi
I

P2
B

0

Du diagramme des contraintes, on a :



MVi P2 P2eVi 0  P2  MVi
I
B
I
I 1 eVi
B I



AN : P2= 1.231 MN
0.5

4.10

-4.62

2.05

6.67

0.6
1.2

+

=

+

0.6

- 6.67

Béton précontraint : Cours et exercices

2.05

Abdelaziz Yazid

4.62

0

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CHAPITRE 1 : Généralités sur la précontrainte

13

0.5
6.67

- 2.57

4.10

0.6
1.2

=

+
0.6

- 6.67

0

6.67

Constatation :
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précontrainte de 4 à 1.231 MN et la contrainte maximum du béton de 13.34 à 4.1 MPa,
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Application 3
Soit une poutre de section rectangulaire (50x120) cm d’
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o
u
mi
s
e
aux moments Mmin=1.25 MNm et Mmax=3.2 MNm .
La valeur de la précontrainte et de son excentricité sont données égales à P=5.1 MN
et eo= - 0.44m.
Déterminer le diagramme des contraintes sous moments maximum et minimum.
Solution
Sous moment minimum
Effort de précontrainte centré = 8.5 MPa
Effort de précontrainte de flexion =(+ ou -) 18.70 MPa
Effort de flexion du moment min = (+ ou -) 10.42 MPa
0.5

0.22

-18.70

8.5

10.42

0.6

+

=

+

0.6

- 10.42

Béton précontraint : Cours et exercices

8.5

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18.70

16.78

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CHAPITRE 1 : Généralités sur la précontrainte

14

Sous moment maximum
Effort de précontrainte centré = 8.5 MPa
Effort de précontrainte de flexion =(+ ou -) 18.70 MPa
Effort de flexion du moment max = (+ ou -) 26.67 MPa
0.5

16.47

-18.70

8.5

26.67

0.6

+

=

+

0.6

18.70

8.5

- 26.67

0.53

Application 4
Soit une poutre de section rectangulaire (100, h) cm soumise à la précontrainte.
Déterminer la hauteur de la poutre.
Déterminer la force de précontrainte.
Dé
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Contrainte limite du béton :

Traction =0

Compression =1200 t/m2
NB : On néglige le poids propre de la poutre
6 tf

4m

Béton précontraint : Cours et exercices

6 tf

4m

4m

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CHAPITRE 2 : Caractéristiques des matériaux

15

Caractéristiques des matériaux

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CHAPITRE 2 : Caractéristiques des matériaux

16

1. CARACTERISTIQUES MECANIQUES : BETON
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fluencée par plusieurs
facteurs :
qualité du ciment



dosage en ciment



teneur en eau



l

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n



la température



l

hu
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é



la durée de chargement



1.1. Qualités requises


Une résistance élevée en compression.



L'étanchéité et la non-agressivité chimique.



Une faible sensibilité aux effets des déformations différées.



Une bonne maniabilité.

1.2. Résistance à la compression
Le béton est défini par la valeur de sa résistance à la compression à l'âge
de 28 jours, dite «résistance caractéristique spécifiée ». Celle-ci, notée fc28 .
Pour les sollicitations qui s'exercent sur un béton âgé de moins de 28 jours, on se réfère
à la résistance caractéristique fcj . Les règles BAEL et BPEL donnent, pour un âge j 28
jours et pour un béton non traité thermiquement :
si fc28 40 MPa

j
fcj 
fc28
4,76 0,83 j
et si fc28 > 40 MPa

j
fcj 
fc28
1,40 0,95 j
Au-delà de j=28 jours, on admet pour les calculs que fcj = fc28
1.3. Résistance à la traction
La résistance caractéristique à la traction, à l'âge de « j » jours, notée ftj ,
est conventionnellement définie par la formule :
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CHAPITRE 2 : Caractéristiques des matériaux

17

ftj = 0,6 + 0,06 fcj
ftj et fcj sont exprimées en MPa (ou N/mm²)
1.4. Déformations longitudinales instantanées
A défaut de résultats expérimentaux probants, on adopte pour le module
de déformation longitudinale instantanée du béton noté Eij, une valeur conventionnelle
égale à :

Eij 11000 3 fcj
Le module de déformation longitudinale différée Evj est donné par :

Evj 3700 3 fcj
1.5. Diagramme Contrainte - Déformation
Le diagramme caractéristique contrainte-déformation du béton a l'allure schématisée sur
la figure II.1 dite " parabole - rectangle".

Figure II.1
Le diagramme de calcul comporte un arc de parabole du second degré depuis l'origine
des coordonnées et jusqu'à son sommet de coordonnées 
bc = 2%o
de compression de béton donnée par :

et d'une contrainte

bc = 0,85. fcj/ .
b

Le coefficient prend en compte la durée probable d'application de la combinaison
d'actions .
= 1

t 24 heures

= 0,9

1 h  t 24 h

= 0,85 t 1 h

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CHAPITRE 2 : Caractéristiques des matériaux

18

Lorsqu'on a besoin d'une évaluation plus précise des déformations et à défaut
de données expérimentales probantes, il est nécessaire d'adopter le diagramme suivant
(Figure II.2) :

Figure II.2
En prenant en compte :
-

la valeur du module tangent à l'origine pour lequel on conserve la formule :

Eij 11000 3 fcj
- la valeur de la déformation au maximum de contrainte, appelé pic de contrainte, que
l'on peut évaluer par la formule : 
b0 
0,62 .10

3 3

fcj

- la valeur de la résistance à la compression du béton fcj .
1.6. Déformations différées
1.6.1. Retrait
Le retrait est le raccourcissement du béton non chargé, au cours de son durcissement.
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l

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les dimensions de la pièce ;
l
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s;
l
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t
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e
a
u;
le dosage en ciment ;
le temps.
La déformation relative de retrait qui se développe dans un intervalle de temps (t1 , t)
peut être évaluée au moyen de la formule :


r (t1 , t) = 
r [r(t) - r(t1)]

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CHAPITRE 2 : Caractéristiques des matériaux

19

avec :


r : la déformation finale de retrait
r(t) : la loi d'évolution du retrait, qui varie de 0 à 1 lorsque le temps t, compté à partir
de la fabrication du béton, varie de zéro à l'infini.
La loi d'évolution du retrait est donnée par:

r
t
 t
t 9 rm
t : l'âge du béton, en jours, compté à partir du jour de fabrication, et rm le rayon moyen
de la pièce, exprimé en centimètres :
rm= B/u
B:L’
a
i
r
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c
t
i
o
n
u: Le périmètre de la section
Dans le cas des bétons de structures précontraintes, réalisés avec du ciment Portland,
la déformation finale de retrait peut être évaluée par la formule :


r = ks 
0
Le coefficient ks dépend du pourcentage des armatures adhérentes s = As /B , rapport
de la section des armatures passives longitudinales (et, dans le cas de la pré-tension,
des armatures de précontrainte adhérentes) à la section transversale de la pièce.
Il s'exprime par la formule : ks 1
120 s
Le coefficient 
0 dépend des conditions ambiantes et des dimensions de la pièce.
On prendra dans l'eau :
-6

0 = - 60.10
et dans l'air :






0

100 h 6  80 .10
10 3 rm

6

où h est l'hygrométrie ambiante moyenne, exprimée en pourcentage d'humidité relative.
En l'absence de données plus précises, on peut prendre pour des ouvrages à l'air libre :

h = 55 dans le quart Sud-Est de la France
h = 70 dans le reste de la France.
A défaut de résultats expérimentaux le retrait final 
r est donné par les valeurs
forfaitaires suivantes :

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CHAPITRE 2 : Caractéristiques des matériaux

20

En France :
1,5 × 10-4 dans les climats humides,
2 × 10-4 en climat humide, ce qui est le cas en France, sauf en son quart Sud-Est,
3 × 10-4 en climat tempéré sec, comme dans le quart Sud-Est de la France,
4 × 10-4 en climat chaud et sec,
5 × 10-4 en climat très sec ou désertique.
En Algérie :
2 × 10-4 e
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r
i
e
3 × 10-4 en climat tempéré sec Zone B
4 × 10-4 en climat chaud et sec ZonesB’
,
C,
D1
5 × 10-4 en climat très sec ou désertique Zones D2 et D3.
1.6.2. Fluage
Le fluage correspond à une déformation croissante dans le temps sous contrainte
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e;
la contrainte appliquée ;
le dosage en ciment ;
la teneur en eau ;
l

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la température ;
l

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n
.
La déformation de fluage à l'instant t d'un béton soumis à l'âge j = t1

- t0

à une contrainte constante 1 est exprimée sous la forme :


fl =
ic Kfl (t1 - t0 ). f(t - t1 )
t0 : date du bétonnage,
t1 : date de mise en charge ;


ic : déformation conventionnelle instantanée sous l'effet de la contrainte 1

ic = 1 /Ei28
Kfl : coefficient de fluage, qui dépend notamment de l'âge (t1 - t0 ) du béton au moment
où il subit la contrainte 1 ;
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CHAPITRE 2 : Caractéristiques des matériaux

21

f(t - t1 ) : une fonction de la durée du chargement (t - t1 ), exprimée en jours, qui varie
de 0 à 1 quand cette durée varie de 0 à l'infini.
On peut également mettre 
fl sous la forme :


fl = 
i (t1 - t0 )f(t - t1 )

i : la déformation réelle instantanée : 
i = 1 /Eij ;
= Kfl Eij /Ei28 le rapport entre la déformation finale du fluage et la déformation
réelle instantanée.
Dans les cas courants, on peut prendre

= 2. La loi d'évolution de fluage f(t - t1 )

est donnée par la formule :

f
t t1


t t1
t t1 5 rm

Dans laquelle la durée de chargement (t - t1 ) est exprimée en jours et le rayon moyen rm
en centimètres.
1.6.3. Coefficient de poisson
Le coefficient de poisson du béton est pris égal à :


0,20 en zones non fissurées



zéro en zones fissurées

1.6.4. Coefficient de dilatation thermique
A défaut de résultats expérimentaux, le coefficient de dilatation thermique est pris égal
à 10-5 par degré C.
NB : pour améliorer la mise en place du béton, ses caractéristiques ou sa durabilité, on
peut être amené à ajouter des adjuvants en faible quantité lors de la confection du béton.
On utilise plus spécialement :
les accélérateurs de prise
les retardateurs de prise
les accélérateurs de durcissement
l
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les plastifiants
les hydrofuges de masse
les antigels.

Béton précontraint : Cours et exercices

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CHAPITRE 2 : Caractéristiques des matériaux

22

2. CARACTERISTIQUES MECANIQUES : ARMATURES
Les aciers utilisés en précontrainte sont de deux natures différentes :
les aciers actifs qui créent et maintiennent la précontrainte ;
les aciers passif nécessaires pour le montage , pour reprendre les efforts tranchants,
et pour limiter la fissuration.
2.1. Armatures passives
Ce sont des armatures identiques à celles utilisées dans le béton armé, ils ne sont mis en
tension que par la déformation de l'élément.
2.1.1. Description des différents types d'aciers
Les aciers généralement utilisés sont classés en plusieurs catégories :


Barres rondes lisses.



Barres à haute adhérence.



Fils (Fils à Haute adhérence et fils lisses).



Treillis soudés.

D’
u
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nb
é
t
onpr
é
c
ont
r
a
i
n
t:
Les aciers passifs longitudinaux
Les aciers passifs transversaux
2.1.2 Caractères des armatures passives
Les caractères des armatures passives à prendre en compte dans les calculs sont
les suivants :
Section nominale de l'armature
Module de déformation longitudinale
Le module de déformation longitudinale de l'acier Es est pris égal à 200 000 MPa.
Limite d'élasticité garantie
L'acier est défini par la valeur garantie de sa limite d'élasticité, notée fe .
Le tableau II.1 donne les désignations conventionnelles , les nuances et les limites
d

é
l
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c
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c

.

Béton précontraint : Cours et exercices

Abdelaziz Yazid

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CHAPITRE 2 : Caractéristiques des matériaux

23

Type

Désignation

Limited’
é
l
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t
i
c
i
t
é

Ronds lisses

FeE215

215

FeE235

235

FeE400

400

FeE500

500

Fils tréfilés HA et

FeTE500

500

Treillis soudés HA

TSHA

Treillis soudés lisses

TSL

Barres HA

500

Tableau II.1
Diagramme Contraintes -Déformations

Figure II.3
L’
a
p
t
i
t
u
ded
e l'armature à rester solidaire au béton
Cette aptitude est caractérisée par les coefficients d'adhérence dits de fissuration et de
scellement désignés respectivement par et .
Coefficients de fissuration : =1 ronds lisses

=1.6 barres HA ou fils HA de diamètre supérieur ou égal à 6mm
=1.3 fils HA de diamètre inférieur à 6mm
Coefficients de scellement : =1 ronds lisses

=1.5 barres HA ou de fils HA
2.2. Armatures actives
Les aciers actifs sont les aciers de la précontrainte, ils sont mis à des tensions.
A l'inverse des armatures de béton armé qui se contentent d'un acier de qualité courante,

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CHAPITRE 2 : Caractéristiques des matériaux

24

les armatures de précontrainte exige un acier satisfaisant un certain nombre de
conditions. Elles ont été classés par :
catégorie : fils, barres, torons.
classe de résistance.
2.2.1. Qualités requises


Une résistance mécanique élevée.



Une ductilité suffisante.



Une bonne résistance à la corrosion.



Une faible relaxation.



Un coût aussi bas que possible.

2.2.2 Caractères géométriques
Les fils
Les fils sont des armatures dont la plus grande dimension transversale est inférieure
à 12.5mm ;ils sont livrés en couronnes.
On distingue :
l
e
sf
i
l
sd

a
c
ier ronds et lisse de symbole L,



les fils autres que ronds et lisses de symbole L.



Les fils sont définis par leur diamètre nominal auquel correspond une section nominale
conventionnelle, suivant le tableau II.2
Diamètre

4

5

6

7

8

10

12.2

Section

12.6

19.6

28.3

38.5

50.3

78.5

117

Tableau II.2
Les barres
Les barres sont définies comme des armatures rondes et lisses de diamètre supérieur
à 12.5mm, ou non rondes ou non lisses ne pouvant être livrées en couronnes.
Les caractères géométriques sont le diamètre et la section conventionnellement définie
suivant le tableau II.3.
Diamètre

20

22

26

32

36

Section

314

380

531

804

1018

Tableau II.3

Béton précontraint : Cours et exercices

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CHAPITRE 2 : Caractéristiques des matériaux

25

Les torons
Un toron est un assemblage de 3 ou 7 fils enroulés en hélice et répartis en une couche,
éventuellemen
tau
t
o
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unf
i
lc
e
nt
r
a
l
.
Les torons sont caractérisés par le nombre de leur fils , par leur diamètre, et par leur
section. Le tableau II.4 fournit les valeurs correspondantes.
Type

3fils

7fils

7fils

7fils

7fils

standard standard

7fils
super

7fils
super

Diamètre

5.2

6.85

9.3

12.5

15.2

12.9

15.7

Section

13.6

28.2

52

93

139

100

150

Tableau II.4
2.2.3. Caractères de calcul
Les caractères des armatures de précontrainte à prendre en compte dans les calculs
sont :
section nominale de l'armature ;
la contrainte maximale garantie à rupture fprg
la contrainte à la limite conventionnelle d'élasticité fpeg
coefficient de relaxation 1000

1000 = 2,5 % pour la classe TBR (Très Basse Relaxation)
1000 = 8 % pour la classe RN (Relaxation Normale)
adhérence au béton ;
coefficient de dilatation thermique 10-5 par degré C.
module de déformation longitudinale :
Ep = 200 000 MPa pour les fils et les barres
Ep = 190 000 MPa pour les torons
diagramme efforts-déformations.
Les diagrammes à utiliser conventionnellement pour les calculs sont donnés
respectivement :

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CHAPITRE 2 : Caractéristiques des matériaux

26

Pour les fils tréfilés et les torons

Figure II.4

p

p
Ep

Pour

p 0,9 fpeg

Pour

p
 p

p 0,9fpeg 
p  100 
0,9 
Ep
fpeg

5

Pour les fils trempés et revenus et pour les barres :

Figure II.5
pour: 
p

fpeg
Ep

p Ep 
p

si non pfpeg

Ce dernier diagramme est toléré pour les fils tréfilés et torons si on ne recherche pas
une grande précision.
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CHAPITRE 2 : Caractéristiques des matériaux

27

3. APPLICATIONS
Application 1
Déterminer , pour un béton de fc28 = 30 MPa, les caractéristiques suivantes :


La résistance à la compression au jour j= 7 et 90 jours



La résistance à la traction au jour j= 7 et 90 jours



Module de déformation longitudinal instantané au jour j= 7 et 90 jours



Module de déformation longitudinal différé au jour j= 7 et 90 jours

Solution


La résistance à la compression au jour j= 7 et 90 jours

j
j= 7 jours : fc7 
fc28 = 20.04 MPa
4,76 0,83 j
j=90 jours : fc90=fc28= 30 MPa


La résistance à la traction au jour j= 7 et 90 jours

j= 7 jours : ft7=0.6+0.06 fc7 =1.80 MPa
j= 90 jours : ft90=ft28=0.6+0.06 fc28=2.4 MPa


Module de déformation longitudinal instantané au jour j= 7 et 90 jours

j= 7 jours : Ei7 11000 3 fc7 =30056.3 MPa
j= 90 jours : Ei90 11000 3 fc28 =34179.6 MPa
Application 2
Pour un béton fc28 = 35 MPa :


Déterminer la contrainte limite de compression ultime en situation courante
et accidentelle.



Déterminer la contrainte limite de compression en service



Tracer le digramme contrainte –déformation du béton



A défaut de données expérimentales probantes, dans le cas où on a besoin d'une
évaluation plus précise des déformations, tracer le diagramme contrainte –
déformation du béton.

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CHAPITRE 2 : Caractéristiques des matériaux

28

Application 3
Pour un acier passif FeE400 :





Déterminer la contrainte limite ultime en situation courante et accidentelle.

t
e
r
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e
rl
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r
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i
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i
on
préjudiciable et très préjudiciable.
Tracer le digramme contrainte –dé
f
or
ma
t
i
ondel

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i
e
r

Application 4
Pour un acier actif fpeg=1583MPa :


Tracer le digramme contrainte –dé
f
or
ma
t
i
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ac
i
e
r

Application 5

t
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r
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onder
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c
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i
on(
0.
3
0,0.
70)
m mise en
tension à j=7 jours dans les conditions suivantes :
Un climat humide Zone A
Un climat tempéré sec Zone B
Un climat chaud et sec zones B’,C etD1.
Un climat très sec ou désertique zones D2 et D3
Note : Voir le règlement algérien CBA93

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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul

29

Sollicitations et sections de calcul

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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul

30

1. PRINCIPE DE JUSTIFICATION
Les calculs justificatifs sont établi suivant la méthode des états limites. « Un état limite »
e
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tuné
t
a
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o
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e
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i
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f
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ab
l
ed

u
n
e
des actions appliquées.
1.1. Etat limite ultime (ELU)
Led
é
pa
s
s
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tàl
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Et
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u
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l
i
b
r
es
t
a
t
i
que
.
Etat limite de stabilité de forme : flambement
1.2. Etat limite de service (ELS)
L’
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r
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i
c
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u
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v
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as
t
r
u
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t
u
r
e
(fissures, fuites, désordres divers). Cet état est défini en tenant compte des conditions
d

e
x
p
l
o
i
t
a
tions et /ou de durabilité. On distingue :
Et
a
tl
i
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ou
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s
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r
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e
sf
i
s
s
ur
e
s
.
Etat limite de compression du béton : on limite volontairement la contrainte
de compression à une valeur raisonnable.
Etat limite de déformation : flèche maximale.
NB :Uno
u
v
r
ag
ed
e
v
r
as
a
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i
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t
i
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é
t
a
t
limite de service.
2. ACTIONS
2.1. Définition
Le
sac
t
i
o
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o
n
tl

e
n
s
e
mbl
ed
e
sc
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…)
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ur
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ontles suivants :
1) Actions permanentes : Les actions permanentes, notées G, représentent les actions
dont l'intensité est constante ou très peu variable dans le temps. Elles comprennent :
Le poids propre des éléments de la structure,
le poids des équipements fixes de toute nature (revêtements de sols et de plafonds ;
cloisons etc.),
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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul

31

les efforts (poids, poussées, pressions) exercés par des terres, par des solides ou par
des liquides dont les niveaux varient peu ,
les déplacements différentiels des appuis,
les f
or
c
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mp
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r
ma
n
e
n
c
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à la construction,
Dans la plupart des cas, le poids propre est représenté par une valeur nominale unique,
G0, calculée à partir des dessins du projet et des masses volumiques moyennes
des matériaux.
2) Actions variables : les actions variables, notées Q, représentent les actions dont
l'intensité varie fréquemment et de façon importante dans le temps. Elles sont définies par
des textes réglementaires en vigueur , on distingue :
les charges d'exploitation (poids et effets annexes tels que force de freinage, forces
centrifuges, effets dynamiques),
les efforts (poids, poussées, pressions) exercés par des solides ou par des liquides dont
le niveau est variable,
les charges non permanentes appliquées en cours d'exécution (équipements
de chantier, engins, dépôts de matériaux, etc.),
les actions climatiques : neige, vent, température, etc.
Les actions variables sont réparties en deux catégories :


Une action dite de base notée Q1



Le
sa
u
t
r
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
L’
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Si non :

La plus fréquente

La plus élevée

L’
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i
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e
3) Actions

accidentelles :

Les

actions

accidentelles,

notées

FA

,

provenant

d
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n
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ou le marché le prévoient .Exemple : les séismes, les explosions ,les chocs.
2.3. Valeurs représentatives des actions
Les différentes valeurs de l'intensité des actions, dites valeurs représentatives, sont :
Qk : v
a
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Béton précontraint : Cours et exercices

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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul

32


0i Qik : valeurs de combinaison
1i Qik : valeurs fréquentes
2i Qik : valeurs quasi-permanentes
La précontrainte est représentée par une valeur de calcul Pd qui est :

la plus défavorable de deux valeurs caractéristiques P1 et P2 pour les justifications
vis-à-vis des états limites de service,
P1 (x, t) = 1,02 P0 - 0,80 P (x, t)
P2 (x, t) = 0,98 P0 - 1,20 P (x, t)

sa valeur probable Pm pour les justifications vis-à-vis des états limites ultimes.
Pm (x, t) = P0 - P (x, t)
P0 représentant la précontrainte « à l'origine », correspondant à la tension p0 .

P (x, t) la perte de précontrainte au point d'abscisse x, à l'instant t.
3. SOLLICITATIONS
3.1. Définition
Les sollicitations sont les effets provoqués, en chaque point et sur chaque section
de la structure , par les actions.
3
.
2
.Sol
l
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c
i
t
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c
ulàl

ELU
1) Combinaisons fondamentales
En règle générale , les sollicitions de calcul à considérer sont les suivantes :


.Pm + 1,35.Gmax + Gmin + 
Q + 1,30i.Qik
p
Q1 1k
avec :
Gmax : ensemble des actions permanentes défavorables ;
Gmin
Q1k

: ensemble des actions permanentes favorables ,
: la valeur caractéristique de l'action de base ;

0i Qik : la valeur de combinaison d'une action d'accompagnement.

p =1 dans la plupart des cas

Q1=1,5 dans le cas général
2) Combinaisons accidentelles
Pm + FA + Gmax + Gmin + 11 Q1k + 2i.Qik

Béton précontraint : Cours et exercices

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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul

33

avec :
FA : la valeur nominale de l'action accidentelle,

11 Q1k : la valeur fréquente d'une action variable,
2i Qik : la valeur quasi-permanente d'une autre action variable.
3
.
3
.Sol
l
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c
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E.
L.
S
1) Combinaisons rares
Pd + Gmax + Gmin + Q1k + 0i Qik
2) Combinaisons fréquentes
Pd + Gmax + Gmin + 11 Q1k + 2i Qik
3) Combinaisons quasi-permanentes
Pd + Gmax + Gmin + 2i.Qik
3.4. Valeurs de i
1) Bâtiments

Tableau III.1

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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul

34

2) Pont route

Tableau III.2
3) Charges climatiques
Nature des charges

0

1

2

Vent

0.77

0.2

0

Neige : altitude < 500m

0.77

0.15

0

0.77

0.30

0.1

0.6

0.5

0

Altitude >500m
Température(variation
uniforme)

Tableau III.3
3.5. Charges routières
Les valeurs des charges routières, sont issues du fascicule spécial N° 72- 21 bis ; Cahier
des prescriptions communes .
1)- Système de charges A
2)- Système de charges B
Le système de charge B comporte 3 types de systèmes de chargement :
système Bc ( Figure III.1)
système Bt ( Figure III.2)
système Br ( Figure III.3)

Béton précontraint : Cours et exercices

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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul

35

Figure III.1

Figure III.2

Figure III.3

Béton précontraint : Cours et exercices

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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul

36

3)- Efforts de freinage
Les charges de chaussée des systèmes A et Bc sont susceptibles de développer
des réactions de freinage, Ff efforts s'exerçant à la surface de la chaussée, dans l'un ou
l'autre sens de circulation.
4)- Forces centrifuges
Par convention, les forces centrifuges Fc sont calculées uniquement à partir du système
Bc dans certaines conditions.
5)- Charges militaires
Sur les itinéraires classés pour permettre la circulation des convois militaires de l'une des
classes M 80 ou 120, les ponts doivent être calculés pour supporter les véhicules types ,
susceptibles dans certains cas d'être plus défavorables que les surcharges des systèmes A
et B.
Le système Mc se compose de véhicules types à chenilles ;
Le système Me se compose d'un groupe de deux essieux.

Convois M 80 :



Convoi Mc 80 (Figure III. 4)
Convoi Me 80 (Figure III. 5)


Convois M 120 :


Convoi Mc 120 (Figure III. 6)



Convoi Me 120 (Figure III. 7)

Figure III.4

Béton précontraint : Cours et exercices

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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul

37

Figure III.5

Figure III.6

Figure III.7

Béton précontraint : Cours et exercices

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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul

38

6)- Charges exceptionnelles
Sur les itinéraires classés pour permettre la circulation de convois lourds exceptionnels
de l'un des types D ou E, les ponts doivent être calculés pour supporter le véhicule-type
correspondant décrit ci-après, susceptible dans certains cas d'être plus défavorable que
les charges des systèmes A et B.
Convoi type D (Figure III.7)
Convoi type E (Figure III.8)

Figure III.8

Figure III.9
7)- Charges sur les trottoirs
Les trottoirs et les pistes cyclables, qui leur sont assimilées, supportent des charges
différentes selon le rôle de l'élément structural considéré et selon qu'il s'agit de ponts
portant à la fois une ou des chaussées et un ou des trottoirs, ou de ponts réservés
exclusivement à la circulation des piétons.
Charges locales
Charges générales
4. SECTIONS DE CALCUL
Dans le calcul des caractéristiques géométriques d'une section (position du centre
de gravité, aire, moments d'inertie...), on tient compte des dimensions que présente
la section dans la phase considérée.

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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul

39

4.1. Caractéristiques géométriques des sections
La r
é
s
ol
u
t
i
o
n de
sp
r
o
b
l
è
me
sd

RDM f
ai
tappe
là de
sc
ar
a
c
t
é
r
i
s
t
i
que
sgé
omé
t
r
i
q
u
e
s
des section droites des corps étudiés. Le principe fondamental consiste à déterminer
les contraintes qui agissent dans une section et de comparer la contrainte maximale avec
la contrainte limite : []
Traction simple

=F/B

Flexion simple =M Y/I
Flexion composée =F/B + M Y/ I
Les caractéristiques géométriques à étudier sont :
Aire de la section B [cm2]
Moments statiques Sx et Sy [cm3]
Mome
n
t
sd

i
n
e
r
t
i
eax
i
au
xI
xe
tI
y[
c
m4]
Mome
n
t
sd

i
n
e
r
t
i
ec
e
n
t
r
i
f
ug
e
sI
x
y[
c
m4]
Mome
n
t
sd

i
n
e
r
t
i
epo
l
a
i
r
e
sI
p[
c
m4]
Module de résistance Wx et Wy [cm3]
Module de résistance de torsion Wp [cm3]
Rayon de giration ix et iy [cm]
Re
nd
e
me
n
td’
un
es
e
c
t
i
o
n
a). Moment statique
Le
smome
n
ts
t
at
i
q
u
e
sdel

ai
r
ed’
u
nes
e
c
t
i
onparr
appor
tauxax
e
sXe
tYs
o
ntd
o
n
n
é
sp
a
r
les expressions :
S x 
y dA

S y 
x dA

A

A

S
il

a
x
eX o
ul

a
x
eYpa
s
s
epa
rl
ec
e
nt
r
edegr
av
i
t
édel
as
e
c
t
i
on,l
e
smome
nt
ss
t
a
t
i
q
u
e
s
Sx et Sy sont nuls.
b
)
.Mome
ntd’
i
ne
r
t
i
e
Le
smo
me
ntd’
i
ne
r
t
i
edel

a
i
r
ed’
un
es
e
c
t
i
onpa
rr
app
or
tauxax
e
sXe
tYs
ontdonnés par
les formules :
2

Ix 
y dA
A

Ixy 
xy dA y

2

Iy 
x dA

A

A

Lemo
me
n
td

i
n
e
r
t
i
ep
ol
a
i
r
ed’
un
es
e
c
t
i
one
s
tdo
nnépar:
Ip=Ix+Iy

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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul

40

Théorème :
Lemo
me
n
td’
i
ne
r
t
i
eax
i
a
ld

u
nes
e
c
t
i
onparr
a
pp
or
tàn

i
mpor
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la
x
ee
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g
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i
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o
nparr
appo
r
tàl

ax
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a
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l
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l
epl
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o
du
i
t
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el

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o
np
arl
ad
i
s
t
an
c
ea
uc
d
gd
el
as
e
c
t
i
onàl

axe considéré.
c). Module de résistance
Lemo
d
ul
ed
er
é
s
i
s
t
an
c
ee
s

g
alauqu
ot
i
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alpa
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ad
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a
n
c
e
d
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a
x
eàl
af
i
b
r
el
ap
l
usé
l
o
i
gné
e
.

WxIx
y

Iy
Wy
x

d). Rayon de giration
On appelle rayon d
egi
r
a
t
i
o
nl
aq
u
ant
i
t
éd
onn
é
eparl

é
q
ua
t
i
on:
ix Ix
B

iy

Iy
B

e
)
.Re
nd
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me
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unes
e
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i
o
n
Ler
e
n
de
me
ntd

u
nes
e
c
t
i
o
ne
s
td
on
népa
r:

 I
BViVs
4.2. Types de section
a). Section brute
C’
e
s
tl
as
e
c
t
i
o
ndubéton seul, telle qu'elle résulte des dessins de coffrage, sans réduction
des conduits et ancrages ( Figure III.10). Elle est utilisée pour l'évaluation :
du poids propre d'une structure ;
des rigidités des différentes pièces constituant la structure (en vue de calculer
les sollicitations hyperstatiques) ;
des déformations pour les parties d'ouvrages respectant les conditions de la classe II .

b

Bb =a * b

a

Figure III.10

Béton précontraint

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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul

41

b). Section nette
C’
e
s
tl
as
e
c
t
i
o
nt
ot
a
l
edubé
t
o
nav
e
cdé
du
c
t
i
onde
sc
o
ndu
i
t
se
t ancrages(Figure III.11).
Elle est utilisée pour le calcul des contraintes à l'ELS en classe I et II.

b

Bn =Bb-BV

a

Figure III.11
c). Section homogène
C’
e
s
tl
as
e
c
t
i
on ob
t
e
n
ue e
na
j
out
antà s
e
c
t
i
o
nn
e
t
t
el
as
e
c
t
i
o
n de
s ar
ma
t
u
r
e
s
longitudinales adhérente multipliée par un coefficient d'équivalence convenable « n ».
Section homogène = section nette +(section d'armatures longitudinales adhérentes)
x (Coefficient d'équivalence).
n = 5 : cas des actions de courte durée
n = 15 : cas des actions de longue durée
d). Section homogène réduite
Pour le calcul des contraintes en classe III , il y a lieu de faire intervenir des sections
homogènes réduites, définies à partir :
-

de la seule partie comprimée du béton de la section,

-

de la section des armatures passives longitudinales multipliée par le coefficient
d'équivalence nv = 15,

-

de la fraction  de la section des armatures longitudinales de précontrainte
multipliée par le coefficient d'équivalence nv = 15.

Section homogénéisée et réduite = (Section du béton comprimé seul)+ (section
d'armatures passives )x (nv) + (section d'armatures de précontrainte) x (nv )x ()
avec :

= 1 : cas de pré-tension
= 0,5 : cas de post-tension avec injection de coulis
= 0: cas de la post-tension lorsque les armatures ne sont pas adhérentes .

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42

e). Section d'enrobage
C’
e
s
tl
as
u
r
f
a
c
ed
é
l
i
mi
t
é
ep
a
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xpa
r
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l
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sàl

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x
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l
e
x
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o
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a
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r
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n
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sa
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mat
u
r
e
sd
ep
r
é
c
ont
r
ai
nt
e
,àu
nedi
s
t
a
n
c

g
a
l
e
minimale admise « c » (Figure III.12). Cette section est utilisée pour certaines
vérifications en classe II.

c
c

Figure III.12
5. APPLICATIONS
Application 1
Déterminer, pour une poutre en T, les caractéristiques géométriques suivantes :


L’
a
i
r
edel
as
e
c
t
i
on(
B)



Le moment statique (S)



La distance de la fibre supérieure (Vs) et la distance de la fibre inférieure (Vi )



Lemo
me
n
td

i
n
e
r
t
i
e(
I
)



Le module de résistance (W)



Le rayon de giration (i)



Le rendement de la section ()
1.00
0.20

0.90

0.40

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43

Solution


L’
a
i
r
edel
as
e
c
t
i
on

B = Bi = 0.48 m2


Le moment statique

S= Bidi =0.174 m3


La distance de la fibre supérieure (Vs)

Vs=S/B = 0.363 m


La distance de la fibre inférieure (Vi )

Vi=h-Vs =0.537 m


Lemo
me
n
td

i
n
e
r
t
i
e(
I
)

I=Ii +Bii2=0.03572 m4


Le module de résistance (W)

Ws=I/Vs = 0.0984 m3
Wi=I/Vi= 0.0665 m3


Le rayon de giration (i)

I  I =0.273 m
B


Le rendement de la section ()

 I =0.382
BVsVi
Application 2
1). Soit une section avec les caractéristiques suivantes :
hauteur h =110 cm

; surface B = 0.3912 m2

moment statique S =0.17315 m3 ;mome
ntd’
i
ne
r
t
i
eI
= 0.131944 m4

Vs

Vi

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