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2 PROCESSUS STOCHASTIQUES

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2.1 Processus stationnaires
Lorsque chacune des variables Xt v´erifie E(Xt ) < ∞, la loi du processus est partiellement
r´esum´ee par l’esp´erance des diff´erentes variables et par leurs covariances. Ces moments
d´ependent en g´en´eral du temps, ce qui est gˆenant quand de l’observation de r´ealisations
du processus on veut tirer de l’information sur la loi sous-jacente de ce processus. Pour
pouvoir obtenir une accumulation d’information on est amen´e a` consid´erer des processus
dits stationnaires.
D´efinition 1 Un processus est stationnaire au second ordre si:
- ∀t ∈ ZZ, E(Xt ) = µ ind´ependant de t
- ∀t ∈ ZZ, E(Xt2 ) < ∞
- ∀t, h ∈ ZZ, Cov(Xt , Xt+h ) = γ(h) ind´ependant de t
Ce type de stationnarit´e est aussi une propri´et´e d’invariance des deux premiers moments
par translation dans le temps. Mais on ne dit rien sur les moments d’ordre sup´erieur, ce qui
fait que cette d´efinition, tr`es commode par ailleurs, est sans doute trop floue.
Au lieu de consid´erer simplement les deux premiers moments d’un processus, on peut
d´ecider de s’int´eresser a` la distribution compl`ete des observations. On peut alors acc´eder a`
une d´efinition plus stricte de la stationnarit´e.
D´efinition 2 Un processus stochastique sera dit strictement stationnaire si la distribution
jointe de Xt et Xt+h ne d´epend pas de t, mais seulement de h.
Ici, c’est la distribution jointe qui est invariante par translation. Cette propri´et´e est
plus forte que la pr´ec´edente car un processus stationnaire au second ordre peut poss´eder
des moments d’ordre sup´erieur qui ne sont pas invariants par translation. La notion de
stationnarit´e stricte et de stationnarit´e au second ordre se confondent par contre pour les
processus Gaussiens car ceux-ci sont enti`erement r´esum´es par leurs deux premiers moments. Par contre d`es que l’on sort du cadre Gaussien comme dans les mod`eles GARCH,
on n’a plus coincidence entre les deux notions. Il est cependant courrant de se contenter de
la stationnarit´e au second ordre, car elle est plus facile a` d´ecrire.

2.2 Ergodicit´e
Pour estimer la loi d’un processus, on cherche a` accumuler de l’information en faisant
tendre le nombre d’observations vers l’infini. Pour que ce m´ecanisme d’accumulation
fonctionne, il faut que le processus ait une m´emoire finie. C’est a` dire qu’`a partir d’un
certain nombre d’observation, il n’y ait plus d’information nouvelle, mais simplement confirmation des informations pass´ees. Par exemple dans le probl`eme de l’estimation de la
moyenne, on veut que la moyenne empirique soit un estimateur consistant et que la variance de cet estimateur tende vers z´ero. On se rend compte que si un processus est cyclique,
ce qui revient a` dire que des observations tr`es e´ loign´ees peuvent eˆ tre corr´el´ees entre elles,
on n’arrivera pas a` accumuler de l’information. Cette propri´et´e de limitation de la m´emoire
d’un processus s’appelle ergodicit´e avec la d´efinition suivante: