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A. ALMERS & T. ELRAFIKI/ Cours de mécanique des fluides/ Chapitre II : Cinématique des fluides

Chapitre 2 : Cinématique des fluides
I- Introduction
IL s’agit d’étudier le mouvement des particules fluides sans faire intervenir les forces qui
entrent en jeu.

II- Description lagrangienne
Il existe en mécanique deux manière pour décrire le mouvement d’un système mécanique : la
description lagrangienne et la description eulérienne. Nous les étudierons successivement et
nous déterminons également les formules qui existent pour passer d’une description à l'autre.
Dans cette description, l'observateur suit chaque particule fluide à partir de l'instant initial.
z
t2 t
3
t1
M0 t 0


a
O

y

x




Une particule fluide donnée occupe au cours du temps la position x  OM qui sera fonction
du temps et des paramètres permettant d’identifier cette particule parmi les autres. On prendra






comme paramètre la position a  OM 0 de cette particule à t = 0 a (a1, a2, a3, t). On écrira
donc que les composantes x1, x2, x3 de la position à l’instant t de la particule qui à t = 0 était


en a (a1, a2, a3, t) sont des fonctions de types :

x1  f1 a1 , a2 , a3 , t 

x2  f 2 a1 , a2 , a3 , t 
x3  f3 a1 , a2 , a3 , t 
C'est-à-dire

x i  f i  a j , t 


 
x  x  a, t 
 



1

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En description lagrangienne les inconnues cinématiques sont des fonctions f1, f2, f3 et les
variables indépendantes sont a1, a2, a3 (variables de Lagrange).
 Trajectoire d’une particule fluide
La trajectoire est le lieu des positions successives d’une particule fluide au cours du temps.
Elles sont directement fournies par :

x i  f i  a j , t 


 Vitesse et accélération


Pour une particule fluide donnée, ie pour a fixé, la vitesse est donnée par :


x
v  a, t  
  t







a


Pour une particule fluide donnée, ie pour a fixé, l'accélération est donnée par :


v
  a, t  
  t






a

 Cas d'une propriété physique quelconque

Dans cette description, les propriétés physiques se réfèrent aux particules fluides que l'on suit.
Par exemple, on notera T  a , t  la température à l'instant t de la particule fluide qui était








en a à l'instant initial, sans se soucier de la position qu'elle occupe effectivement.

III-

Description eulérienne
t1
z

t2


x

t3

O

y

x
2

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Cette fois l'observateur est placé en un point M fixe du repère, et regarde passer les particules
fluides devant lui. Ainsi, à deux instants différents, ce n'est pas la même particule qui occupe


la position x M .



On notera F  x, t  la valeur de la propriété F au point x à l'instant t.
 

Les variables permettant de décrire ainsi un tel système sont les trois coordonnées d'espace
(repérant l'observateur), et l'instant d'observation. (x1, x2, x3, t) sont appelées les variables
d'Euler.
On montre qu'on peut prendre comme inconnues du mouvement les 3 fonctions :

v1  x1 , x2 , x3 , t 

v  x, t   v2  x1 , x2 , x3 , t 
 
v  x , x , x , t 
 3 1 2 3



IV-



Lien entre les deux descriptions

Soit une propriété physique F du fluide (scalaire, vecteur, tenseur) représentée par :
-


la description lagrangienne F  a, t  ;

-

la description eulérienne





 
F  x, t  ;
 

 

F  a, t   F  x  a , t  , t 
 
   



F  a1 , a 2 , a 3 , t   F  x1  a1 , a 2 , a 3 , t  , x2  a1 , a 2 , a 3 , t  , x2  a1 , a 2 , a 3 , t  , t 






 
 
 Conclusion
A cause des phénomènes de diffusion moléculaire, une particule fluide perd son individualité
rapidement. Donc l’observateur trouve des difficultés pour suivre une particule fluide pendant
longtemps. C’est pour cela la description Lagrangienne est assez délicate pour être appliquée
au cas de la mécanique des fluides. La description eulérienne reste la mieux adaptée au cas de
l’étude des fluides en mouvement.

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V- Trajectoire en description eulérienne et notion de ligne de courant à
un instant donné
 Trajectoire


Définition : Ensemble des positions x occupées par une particule fluide donnée.


Elle est donc solution de :

d'où :


d x   
 v  x, t   dxi  vi  x, t dt
dt
 
 

d x1
d x2
d x3


 dt









v1  x, t  v 2  x, t  v 3  x, t 
 
 
 

On a trois équations du premier ordre, donc 3 constantes d'intégration. On obtient ainsi une
famille de courbes à 3 paramètres. Pour observer, au sens propre, des trajectoires, on peut
mettre en suspension dans le milieu quelques particules et faire une photographie avec un
temps de pose très long.
 Ligne de courant à un instant t0 fixé
Définition : Ligne dont la tangente en chacun de ses points est le vecteur vitesse de la
particule fluide en ce point à un instant t0 fixé.






Le long d'une telle ligne, à t0 on a : MM '  d x parallèle à v

 x , t  , d’où :
 0



d x1
d x2
d x3





v1  x, t0  v 2  x, t0  v3  x, t0 






Ici, comme on a un système de deux équations différentielles du premier ordre, on obtient une
famille de fonctions à deux paramètres.
 Cas particulier des écoulements stationnaire

Définition : Un écoulement est stationnaire si en description eulérienne les grandeurs sont
indépendantes du temps. En particulier dans un tel écoulement, v  x , t   v  x 






Equation des trajectoires est donnée par :

d x1
d x2
d x3


 dt









v1  x  v 2  x  v3  x 
 
 
 
4







 

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Equation des lignes de courant :

d x3
d x1
d x2










v1  x  v 2  x  v 3  x 
 
 
 
On en déduit que dans un écoulement stationnaire les trajectoires et les lignes de courant sont
confondues.
VI- Accélération en variables d'Euler et Notion de dérivée particulaire

d'une propriété physique quelconque
 
 
 
 
Remarque préliminaire : si v  x , t  est le champ eulérien de vitesse, et   x, t  celui
 
 
d'accélération, en description eulérienne il est clair que :

 x , t   t   v  x, t 
v


 
 
v


 


  x ,t  
 lim
t
   t t 0




 
 
 


Car v  x , t   t  et v  x , t  sont des vitesses de particules fluides différentes. Or on cherche
 


le taux de variation de la vitesse d'une même particule fluide au cours du temps.

Considérons la fonction scalaire f x, y, z, t  rendant compte d’une grandeur physique
caractéristique d’un fluide au point de coordonnées x, y, z à l’instant t et soit u, v et w les trois


composantes de la vitesse

v en ce point.

La particule fluide sera à l’instant t  dt au point
La variation de la fonction f sera donc égale à :

x  u dt, y  v dt, z  w dt

df  f x  dx, y  dy, z  dz, t  dt   f x, y, z, t 
f
f
f
f
dx  dy  dz  dt
x
y
z
t
df f
f
f
f

u v
w
dt x
y
z
t

df 
D’où on a :

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La dérivée

df
Df
, qu’on le note
est appelée dérivée particulaire on a :
dt
Dt

Df f  

 V . grad f
Dt t
 


Dans ce cas, le champ d’accélération   x , t  en variable d’Euler est donné par :







d V V   


  x ,t  

 V grad V
t
  dt




VII- Description de vitesse au voisinage d’un point donné : champ de
vitesse d’un fluide.
Nous considérons deux points voisins d’un même fluide M (x, y, z) et M’(x+h, y+k, z+l) et




leurs vitesses respectives v M  et v ' M ' à un instant t.

v ' x  v x x  h, y  k , z  l   v x 

 vx
v
v
h x k  x l
x
y
z

v ' y  v y x  h, y  k , z  l   v y 

 vy

v ' z  v z x  h, y  k , z  l   v z 

 vz
v
v
h z k  z l
x
y
z

x

h

 vy
y

k

 vy
z

l

Ces deux expressions peuvent être écrites sous la forme :

1   v  v    v y  v x  
 k  dx
v ' x  v x   x  z  l  

2   z  x    x  y  
avec :

dx 

 vx
1   v y  vx 
1v v 
 k   x  z  l
h  

x
2  x  y 
2  z  x 

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v v  
1   v y  v x 
 h   z  y  l   d y
v ' y  v y  

2   x  y 
 y z  
avec :

v
1   v y  vx 
1v v 
 h  y k   z  y  l
d y  

2  x  y 
y
2  y  z 

v v  
1   v  v y 
 k   x  z  h  d z
v ' z  v z   z 
2   y  z 
 z x  
avec :

v
1v v 
1   v  vy 
 k  y k
d z   x  z  h   z 
2  z  x 
2  y  z 
y

D’où on obtient :



1  
v M , t   v M , t   ro t V  MM  D '
2

'





'

Ou bien



'
v M , t   v M , t     MM  D

'



Avec :
et

'






1
 t   Rot v est le vecteur tourbillon
2




D  d x ex  d y e y  d z ez est la vitesse de déformation

D’une manière générale, le mouvement d’une particule fluide est la superposition de d’une
translation, d’une rotation et d’une déformation :


Translation v M , t 

 
Rotation   MM


Déformation D

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Notion de ligne Tourbillon

On appelle ligne tourbillon une ligne tangente en chacun de ses points au vecteur tourbillon,
elle est telle que :

dx dy dz


x y z
VIII- Loi de conservation de la masse
 Expression locale de la conservation de la masse
On considère un volume V fixe pris dans un domaine fluide. Le fluide est en écoulement par
rapport à R (référentiel) et on peut imaginer des particules fluides qui traversent les frontières
(surface fermée S) de ce volume.


n

S
ds


v

z
(V)

y
x

A chaque instant t le fluide contenu dans V a une masse :

m

  dV
V

La variation de la masse totale par unité de temps du volume V s’écrit :

m 

 t t



 dV 

V

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
dV
V t



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Le débit massique qui traverse toute la surface S délimitant le volume V peut s’écrire sous la
forme :





 

 V . n ds

S

Si nous supposons que le volume est le siège d’une source ou d’un puits de masse caractérisée
par qv (masse créer ou détruite par unité de temps et par unité de volume).
La masse totale générée par tout le volume par unité de temps s’écrit :

 q

v

dV

V

Si nous effectuons un bilan de masse pendant dt pour le volume V, nous pouvons écrire :
«pendant dt : la variation de la masse totale contenue dans V est égale à la somme de la
masse qui traverse la frontière S + la masse créer à l’intérieure du volume V.

Et on écrit :


dV  
V t





 

 V . n ds 

S

 q dV
v

V

Le théorème d’Ostrogradsky permet le passage de l’intégrale de surface à l’intégrale de
volume pour le premier terme du second membre.


dV  
V t






div  v  

V

 q dV
v

V

Cette équation est valable quelque soit dv donc on peut écrire finalement :



 div  v   qv
t
Cette équation est appelée équation de conservation de masse ou équation de continuité.
 Cas particuliers
-

Ecoulement permanent (


 0) :
t


div  v   qv
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-

Ecoulement conservatif (qv=0) : absence de source ou puits de matière



 div  v   0
t

-

Ecoulement d’un fluide Incompressible :



  div v   qv
t
-

Ecoulement conservatif d’un fluide incompressible en régime permanent :


div v   0
 Ecoulement irrotationnel et potentiel de vitesse

 
On appel écoulement irrotrationnel un écoulement pour lequel : rot v   0




D’où il existe une fonction  ( x, y, t ) tel que v  grad 

vx 

Ou bien :



, vy 
y
x

et

vz 


z

Donc un écoulement irrotrationnel est un écoulement à potentiel de vitesse et réciproquement.
Pour l’écoulement conservatif d’un fluide incompressible en régime permanent, on a d’après
l’équation de continuité :


div v   0

soit


div grad    0

Ce qui donne :

    0

Donc pour
l’équation 

un

fluide

   0 .

incompressible

le

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potentiel

de

vitesse

est

défini

par

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 Notion de fonction de courant
Soit un écoulement dans le plan (o, x, y) son champ de vitesse est :

v ( x, y, t )
v 1
v2 ( x, y, t )



-

L’incompressibilité donne :


div v   0

v1 v2
v
v

0  1  2
x y
x
y
Sur une ligne de courant nous pouvons écrire :

v1 dy  v2 dx .

la relation précédente montre que c’est une différentielle totale donc il existe  ( x, y, t ) tel
que :
d ( x, y, t )  v1 dy  v2 dx à t fixe

 ( x, y, t ) s’appelle fonction de courant


Si on connaît  ( x, y, t ) alors on déduit v par :

v1 



et v 2  
y
x

La détermination du champ de vitesse d’un écoulement plan incompressible se ramène à celle
d’une fonction scalaire, la fonction de courant. Chaque ligne de courant sera caractérisée par
une valeur donnée de la fonction  . Cette fonction reste constante le long d’une ligne de
courant.

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