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Parfait mdf 2 .pdf



Nom original: Parfait-mdf_2.pdf
Titre: Microsoft PowerPoint - Parfait-mdf
Auteur: YOUNES

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UNIVERSITE LIBANAISE
FACULTE DE GENIE
DEPARTEMENT MECANIQUE
MECANIQUE DES FLUIDES
INCOMPRESSIBLES
Rafic YOUNES
25/12/2006

M.D.F. - Rafic Younès

1

Chapitre 3 :
DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAIT

Sommaire :
I – Introduction
‡ II – Équation fondamentale de la
dynamique
‡ III – Application
‡ IV – Théorème de Bernoulli
‡ V – Applications
‡ VI – Théorème d’Euler
‡ VII – Application
‡

25/12/2006

M.D.F. - Rafic Younès

2

1

INTRODUCTION
‡
‡

Dynamique des fluides :
Il s’agit de tenir compte de toutes les forces agissant
sur les particules fluides en cours de mouvement.

‡

Une description quantitative du mouvement peut
être déduite d’équations fondamentales.

‡

Les forces en jeu sont uniquement des forces de
surface dues uniquement à la pression et des forces
de volume dues à la gravitation.

25/12/2006

M.D.F. - Rafic Younès

3

INTRODUCTION
Fluide parfait et fluide réel :
r
dF1− 2

r
dF1− 2
r
dF2−1

Fluide réel ou
parfait au repos

r
dF2−1

Fluide parfait
en mouvement

r
dF1− 2

r
dF2−1

Fluide réel en
mouvement

Les forces de surface sont normales
25/12/2006

M.D.F. - Rafic Younès

4

2

ÉQUATION FONDAMENTALE
Soit un volume VC d’un fluide parfait animé d’une
accélération γ, délimité par une surface S dans un
repère Galiléen R.

r

r

r
dV
+ FV = m ⋅
dt

∑F = F

S

avec

Volume VC

r
r
FS = − ∫ p ⋅ n ⋅ dS

&

S

Vitesse V

r
r
FV = ∫ ρ ⋅ g ⋅ dτ

Surface S

VC

La formule du gradient permet de passer d’une intégrale de surface à
une intégrale de volume

r
r
f ⋅ n ⋅ dS = ∫∫∫ g r ad ( f ) ⋅ dτ

∫∫

D’où

S

VC

r
dV
− ∫∫∫ ∇ ( p ) ⋅ dτ + ∫∫∫ ρ ⋅ g ⋅dτ = ∫∫∫ ρ ⋅
⋅ dτ
VC
VC
VC
dt
25/12/2006

r
dV
− ∇( p) + ρ ⋅ g = ρ ⋅
dt

M.D.F. - Rafic Younès

5

ÉQUATION FONDAMENTALE
Généralisation

Volume VC

Soit σ le tenseur des forces surfaciques
et fV le champ des forces volumiques
r
r
r
r
&
FV = ∫ fV ⋅ dτ
FS = ∫ σ ⋅ n ⋅ dS
r VC
S
r r
r
dV
∑ F = FS + FV = m ⋅ dt

Vitesse V

Surface S

La formule d’Ostogradeski permet de passer d’une intégrale de
surface à une intégrale de volume

∫∫

D’où

S

− ∫∫∫ ∇ (σ ) ⋅ dτ + ∫∫∫
VC

25/12/2006

VC

r
f ⋅ n ⋅ dS = ∫∫∫ div ( f ) ⋅ dτ
VC

r
dV
fV ⋅dτ = ∫∫∫ ρ ⋅
⋅ dτ
VC
dt
M.D.F. - Rafic Younès

r
dV
− ∇ (σ ) + fV = ρ ⋅
dt
6

3

ÉQUATION FONDAMENTALE

[

]

dV ∂V
=
+ V ⋅ grad ⋅ V
dt
∂t

avec

V ⋅ grad = V x




+ Vy
+ Vz
∂x
∂y
∂z

dV dV r V 2 r
=
eS +
en
dt
dt
r
r
dV dV r
=
⋅ eθ − ϖ 2 R ⋅ er
dt
dt

En coordonnés
cylindriques :

[V ⋅ grad ]⋅V =
( )

r
⎛V 2 ⎞ r
1
⎟⎟ − V ∧ rot V
grad ⎜⎜
2
⎝ 2 ⎠
25/12/2006

( )

r
⎛V 2 ⎞ r
r
∂V 1
1 r
⎟⎟ − V ∧ rot V = − ∇ ( p) + g
+ grad ⎜⎜
∂t 2
ρ
⎝ 2 ⎠
M.D.F. - Rafic Younès

7

ÉQUATION FONDAMENTALE
‡

5 inconnues…

‡

5 équations…

‡

Pression
Masse volumique
3 composantes de la
vitesse

‡

1 Équation de continuité
3 Équations du principe
fondamentale de la
dynamique
Masse volumique
constante

‡
‡

‡

‡

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M.D.F. - Rafic Younès

8

4

APPLICATION
‡

Soit un réservoir cylindrique rempli d’un fluide
ρ et animé
incompressible de masser volumique
r
d’un vitesse de rotation Ω = Ω ⋅ k .

‡

Trouver l’équation de la
surface libre du fluide
en écoulement établi.

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M.D.F. - Rafic Younès

9

APPLICATION
Projection de l’Équation d’Euler dans le repère cylindrique :



1 ∂p

=0
ρ ∂θ
1 ∂p
− Ω2 ⋅ r = − ⋅
ρ ∂r

Axe ortho-radial :
Axe radial :

r dV r
r
∇( p) + g =
⋅ eθ − Ω 2 ⋅ R ⋅ er
ρ
dt
1

Axe vertical : −

1 ∂p
⋅ −g=0
ρ ∂z

A la surface p = patm :
25/12/2006

p = p(r , z )



p( r , z ) = ρ ⋅ Ω 2 ⋅
p( r , z ) = ρ ⋅ Ω 2 ⋅

z = Ω2 ⋅
M.D.F. - Rafic Younès

r2
+ f (z )
2

r2
− ρg ⋅ z + C te
2

p
r2
+ atm + C te
2g ρ ⋅ g
10

5

THEOREME DE BERNOULLI
L’équation fondamentale de la dynamique peut s’écrire :

( )

r
r
r
∂V 1
1 r
+ grad V 2 − V ∧ rot V = − ∇ ( p ) + g
ρ
∂t 2

( )

Hypothèses de l’écoulement :
-Fluide parfait Incompressible : ρ = C te



r p
1 r
∇ ( p) = ∇ ( )

ρ

ρ

∂V
=0
∂t

-Écoulement permanent:

-Fluide soumis uniquement à la pesanteur :
r
r
g = − g ⋅ e z = − grad ( g ⋅ z ) = −∇ ( g ⋅ z )
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M.D.F. - Rafic Younès

11

THEOREME DE BERNOULLI
( )

( )

r
r p
r
⎛V 2 ⎞ r
⎟⎟ − V ∧ rot V = −∇ ( ) − ∇ ( g ⋅ z )
∇ ⎜⎜
ρ
⎝ 2 ⎠

Écoulement irrotationnel:

( )

r 1
r
Ω = rot V = 0
2

⎛ p V2

∇ ⎜⎜ +
+ g ⋅ z ⎟⎟ = 0
ρ
2



p

ρ

+

r
⎛ p V2
⎞ r
∇ ⎜⎜ +
+ g ⋅ z ⎟⎟ = V ∧ rot V
2
⎝ρ


Écoulement rotationnel:

( )

r
r
⎛ p V2

∇ ⎜⎜ +
+ g ⋅ z ⎟⎟ ⋅ dl = V ∧ rot V ⋅ dl
2
⎝ρ

Sur L.D.C. :

V2
+ g ⋅ z = C te
2

p

ρ

+

⎛ p V2

∇ ⎜⎜ +
+ g ⋅ z ⎟⎟ = 0
2
⎝ρ

V2
+ g ⋅ z = C te
2

Le long d’une ligne de courant, la quantité p/ρ + V2/2 + g.z se conserve.
Si l’écoulement est irrotationnel, la constante est la même dans tout le fluide
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M.D.F. - Rafic Younès

12

6

THEOREME DE BERNOULLI
‡

Multiplions l’équation de Bernoulli par ρ·VC :

p ·VC : Travail des forces de pression;
ρ·g·z·VC : Énergie potentielle due aux forces de
pesanteurs;
0,5·ρ·V2·VC = 0,5·m·V2 : Énergie cinétique
V2

La somme p ⋅ VC + m ⋅ 2 + ρ ⋅ g ⋅ z ⋅ VC
énergie totale constante.
25/12/2006

correspond à une

M.D.F. - Rafic Younès

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APPLICATION 1
Effet Venturi –
Mesure de débit :

Bilan de continuité :

qv = S A ⋅ V A = S B ⋅ V B

Bilan dynamique :

pA

OR

z A = zB

Effet Venturi :
25/12/2006

V A2
p
V2
+ g ⋅ z A = B + B + g ⋅ zB
ρ
ρ
2
2
2
2
pA VA
p
V
+
= B+ B
ρ
2
ρ
2
+

S A > SB

⇒ V A < VB

M.D.F. - Rafic Younès



p A > pB
14

7

APPLICATION 1
qv =

qv = S A ⋅ V A = S B ⋅ VB

VB =

p A = patm + ρ ⋅ g ⋅ z A'

patm

pB = patm + ρ ⋅ g ⋅ z B '

qv
SB

+ g ⋅ z A' +

ρ

qv = S A ⋅

Δ z = z A' − z B '
25/12/2006

& VA =

π ⋅ DA2
4



2 g ⋅ Δz
(DA d B )4 − 1

qv
SA

V A2 patm
V2
=
+ g ⋅ z B' + B
2
ρ
2

2 g ⋅ Δz
(S A S B )2 − 1

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APPLICATION 2
Sonde de pression –
Tube de Pitot :
p∞

ρ

+

V∞2
p
V2
+ g ⋅ z∞ = A + A + g ⋅ z A
2
ρ
2

z A = z∞

p∞

ρ

+

V∞2 p A V A2
=
+
2
ρ
2

La cinématique des mouvement montre qu’il existe des points d’arrêt

VA = 0

p A = p∞ + ρ ⋅

V∞2
2
pA : Pression de stagnation

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M.D.F. - Rafic Younès

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8

APPLICATION 2
Manomètre A :
Mesure de pA
Manomètre B :
Mesure de pB=p∞
V∞2
p
V2
+ g ⋅ z∞ = A + A + g ⋅ z A
ρ
2
ρ
2
2
⎛ p − p∞ ⎞
p∞ V∞
p

V∞2 = 2⎜⎜ A
+
= A
ρ ⎟⎠
ρ
2
ρ


p∞

z A = z∞
VA = 0

+

p A − p∞ = ρ ⋅ g ⋅ Δh
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V∞ = 2 g ⋅ Δh

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APPLICATION 3
Écoulement à niveau
constant – Théorème
de Torricelli :
pA

+

V A2
p
V2
+ g ⋅ zA = M + M + g ⋅ zM
ρ
2
2

ρ
p A = pM = patm

h = z A − zM
SM
<<< 1
SA
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VM2 V A2

= g⋅h
2
2

VM = 2 g ⋅ h


S2 ⎞
VM2 ⎜⎜ 1 − M2 ⎟⎟ = 2 g ⋅ h
SA ⎠


qv = σ ⋅ 2 g ⋅ h = C c ⋅ S M ⋅ 2 g ⋅ h
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9

APPLICATION 3

25/12/2006

M.D.F. - Rafic Younès

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THEOREME D’EULER
Soit un volume VC d’un fluide parfait animé d’une accélération γ,
délimité par une surface S dans un repère Galiléen R.
Soit Q la quantité de mouvement du VC

r
r
r r
dQ
= ∑ Fext = T + R
dt

Volume VC

Vitesse V
Surface S
T : Forces de surface

25/12/2006

R : Forces de volume

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10

THEOREME D’EULER
Théorème de transport de Reynolds :
∂G r r
∂G r
dG r
( P, t ) =
( P, t ) + ∫ ρ ⋅
⋅V ⋅ n dS
SC
∂M
∂t
dt
sys
VC

r
r
r
Soit : G ( P , t ) = Q ( P , t ) = ∫∫∫ ρ ⋅ V ⋅ dτ
VC

d
dt

∫∫

r

VC

ρ ⋅ V ⋅ dτ =

r r ∂
T+R=
∂t
En régime permanent :
25/12/2006

∫∫∫


∂t

∫∫∫

VC

r

r r r

ρ ⋅ V ⋅ dτ + ∫ ρ ⋅ V ⋅V ⋅ n dS
SC

r

VC

r r r

ρ ⋅ V ⋅ dτ + ∫ ρ ⋅ V ⋅V ⋅ n dS
SC

r r
r r r
T + R = ∫ ρ ⋅ V ⋅V ⋅ n dS
SC

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APPLICATION
Appliquons le résultat précèdent
au cas d’un tube de courant d’un
fluide incompressible. On
suppose la vitesse constante en
tout point d’une même section.
L’écoulement est aussi
r r
permanent :
T+R=∫

SC

r r
T+R=∫

S1

(ρ ⋅Vr )⋅Vr ⋅ nr ⋅ dS

(ρ ⋅Vr )⋅Vr ⋅ nr ⋅ dS + ∫ (ρ ⋅Vr )⋅Vr ⋅ nr ⋅ dS + ∫ (ρ ⋅Vr )⋅Vr ⋅ nr ⋅ dS
S2

r
− V1

r
V2

r r
r
r
T + R = − ρ ⋅ V1 ⋅V1 ⋅ S1 + ρ ⋅ V2 ⋅V2 ⋅ S 2
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S3

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0

(

r r
r r
T + R = qm ⋅ V2 − V1

)
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11

APPLICATION

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