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´
Elasticit´
e
Yves Debard
Institut Universitaire de Technologie du Mans

epartement G´
enie M´
ecanique et Productique
e-mail : yves.debard@univ-lemans.fr
http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html
24 mars 2006 – 15 octobre 2010

Table des mati`
eres
1 Contraintes autour d’un point
1.1 Coupure, facette et vecteur contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Contrainte normale et contrainte tangentielle . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Formule de Cauchy : tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . .
´
1.4 Equations
d’´equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
1.4.1 Equilibre
en translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
1.4.2 Equilibre en rotation : r´eciprocit´e des contraintes tangentielles
1.5 Directions et contraintes principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Cercles de Mohr des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Cercle de Mohr des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Cercles de Mohr des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
1.7 Etats
de contrainte particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
1.7.1 Etat
de contrainte uniaxial : traction ou compression simple . .
´
1.7.2 Etat
de cisaillement simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
1.7.3 Etat de contrainte isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
1.7.4 Etat
de contrainte plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 D´
eformations
2.1 Configuration, vecteur d´eplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Transformation des vecteurs : tenseur gradient de la transformation . . . . . .
2.3 Tenseur des dilatations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Tenseur des d´eformations de Green-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Transformation des longueurs et des angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Dilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 D´eformation de Green-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Allongement unitaire (d´eformation de l’ing´enieur) . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Transformation des angles : glissement de deux directions orthogonales .
2.5.5 Transformation des volumes et des surfaces . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Rep`ere principal, dilatations et d´eformations principales . . . . . . . . . . . . .
2.7 D´ecomposition polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Petits d´eplacements et petites d´eformations : ´elasticit´e lin´eaire . . . . . . . . .
2.8.1 Tenseur des d´eformations lin´earis´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Transformation des longueurs et des angles . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3 Directions et valeurs principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.4 D´ecomposition polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.5 Cercle de Mohr des d´eformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1
1
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3
5
5
6
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8
8
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10
10
11
12
12

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15
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18
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19
19
20
21
22
24
25
25
26
26
27

3 Loi de comportement ou loi constitutive
4 Crit`
eres de limite ´
elastique
4.1 Probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Crit`ere de Rankine ou de la contrainte normale maximale
´
4.2.1 Enonc´
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Validit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
4.2.3 Etat
plan de contraintes (σ3 = 0) . . . . . . . . . .
4.3 Crit`ere de Tresca ou du cisaillement maximal . . . . . . .
´
4.3.1 Enonc´
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Validit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
4.3.3 Etat
plan de contraintes (σ3 = 0) . . . . . . . . . .
4.4 Crit`ere de Von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28
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30
30
30
30
31
31
31
31
31
32

4.4.1
4.4.2
4.4.3

´
Enonc´
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Validit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
Etat
plan de contraintes (σ3 = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32
32
32

5 Probl`
emes particuliers d’´
elasticit´
e
5.1 Contraintes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 D´eformations planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Probl`eme axisym´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Flexion des plaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Champ de d´eplacements : mod`ele de Reissner/Mindlin
5.4.3 D´eformations et contraintes . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4 Forces et moments r´esultants . . . . . . . . . . . . . .
´
5.4.5 Energie
de d´eformation et ´energie cin´etique . . . . . .
´
5.4.6 Equations d’´equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.7 Mod`ele de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Torsion d’une poutre cylindrique : th´eorie de Saint-Venant . .
5.6 Contraintes dans une poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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32
33
34
35
35
36
37
38
39
39
40
40
42

6 D´
epouillement des rosettes d’extensom´
etrie
6.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Rosette `a 45 degr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Rosette `a 120 degr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Remarque : utilisation du cercle de Mohr des d´eformations .

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43
43
45
46
46

produit mixte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47
47
48
49

A Produit scalaire, produit vectoriel et
A.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . .
A.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . .
A.3 Produit mixte . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

B Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice sym´
etrique `
a coefficients
B.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3 D´ecomposition spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.4 Valeurs et vecteurs propres d’une matrice sym´etrique de dimension deux . . . . .


eels
. . .
. . .
. . .
. . .

50
50
50
51
52

C D´
epouillement des rosettes d’extensom´
etrie : programme Maple

53


ef´
erences

56

´
Elasticit´
e

1

Pr´
esentation
La th´
eorie de l’´
elasticit´
e ´etudie les d´
eplacements, les d´
eformations et les contraintes dans un
solide soumis `a des forces ext´erieures.
Nous adopterons les hypoth`eses suivantes :
– Le mat´
eriau est homog`
ene (il a les mˆemes propri´et´es en tout point) et isotrope (en un point
donn´e, il a les mˆemes propri´et´es dans toutes les directions).
– Le comportement du mat´eriau est lin´
eaire (les relations entre les contraintes et les d´eformations
sont lin´eaires) et ´
elastique (le solide reprend sa forme initiale d`es que les forces appliqu´ees sont
supprim´ees).
Le rep`ere {O; x, y, z} est un rep`ere orthonorm´e direct ; ~ı, ~ et ~k sont les vecteurs unitaires des axes
(figure 1).

Figure 1 – Rep`ere orthonorm´e {O; x, y, z} et vecteurs unitaires {~ı, ~, ~k}

1
1.1

Contraintes autour d’un point
Coupure, facette et vecteur contrainte

En chaque point M d’un solide, il existe des forces int´erieures que l’on met en ´evidence en effectuant
une coupure du solide, par une surface S, en deux parties A et B (figure 2).

Figure 2 – Coupure et facette ~n en M
La partie A, par exemple, est en ´equilibre sous l’action des forces ext´erieures qui lui sont directement
appliqu´ees et des forces int´erieures r´eparties sur la coupure.

´
Elasticit´
e

2

Consid´erons un point M de S. Soit dS un ´el´ement infinit´esimal de la surface S entourant M et ~n le
vecteur unitaire, perpendiculaire en M `a S et dirig´e vers l’ext´erieur de la partie A. Nous appellerons
cet ensemble facette ~n en M .
Soit dF~ la force qui s’exerce sur cette facette. On appelle vecteur contrainte sur la facette ~n
en M , la quantit´e :
dF~
(1.1)
T~ (M, ~n) =
dS
Remarque : une contrainte s’exprime en pascal (1 Pa = 1 N/m2 ) ; dans la pratique, on utilise
souvent le m´egapascal (1 MPa = 106 Pa = 1 N/mm2 )
Consid´erons, en un point M , le cylindre infiniment petit d’axe ~n, de hauteur h et de section dS
(figure 3).

Figure 3 – Efforts sur les facettes ~n et −~n
Quand h tend vers 0, le cylindre est en ´equilibre sous l’action des forces dS T~ (M, ~n) et dS T~ (M, −~n)
d’o`
u:
T~ (M, −~n) = −T~ (M, ~n)

1.2

Contrainte normale et contrainte tangentielle

Le vecteur contrainte peut ˆetre d´ecompos´e en sa composante suivant ~n et sa projection sur la facette (figure 4) :
T~ (M, ~n) = σn ~n + ~τn
(1.2)
avec
σn = ~n · T~ (M, ~n)

(1.3)

σn est la contrainte normale et ~τn est le vecteur cisaillement ou contrainte tangentielle. σn est
une valeur alg´ebrique positive (traction) ou n´egative (compression).

Figure 4 – Vecteur contrainte sur la facette ~n en M
Remarque : on a la relation (th´eor`eme de Pythagore) :
kT~ k2 = σn2 + k~τn k2

(1.4)

´
Elasticit´
e

1.3

3

Formule de Cauchy : tenseur des contraintes

Consid´erons le t´etra`edre infiniment petit MABC construit sur les axes x, y et z (figure 5). Soient ~n de
composantes (nx , ny , nz ) la normale unitaire au plan ABC dirig´ee vers l’ext´erieur du t´etra`edre et dS
l’aire du triangle ABC.

´
Figure 5 – Equilibre
du t´etra`edre (Cauchy)
On a (§ A.2) :
−−→ −→
AB ∧ AC = 2 dS ~n
= 2 dS nx ~ı + 2 dS ny ~ + 2 dS nz ~k
³−−→ −−→´ ³−−→ −−→´
= MB − MA ∧ MC − MA
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
= MB ∧ MC − MA ∧ MC − MB ∧ MA + MA ∧ MA
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
= M B ∧ M C + M C ∧ M A + M A ∧ M B + ~0
= 2 aire (MBC) ~ı + 2 aire (MAC) ~ + 2 aire (MAB) ~k

(1.5)

On en d´eduit par identification :
aire (MBC) = nx dS

,

aire (MAC) = ny dS

,

aire (MAB) = nz dS

(1.6)

Le t´etra`edre est en ´equilibre sous l’action des forces appliqu´ees sur ses faces (les forces de volume sont
des infiniment petits d’ordre sup´erieur) :
dS T~ (M, ~n) + nx dS T~ (M, −~ı ) + ny dS T~ (M, −~ ) + nz dS T~ (M, −~k ) = ~0
(1.7)
Il vient apr`es simplification :
T~ (M, ~n) = nx T~ (M,~ı ) + ny T~ (M, ~ ) + nz T~ (M, ~k)
Cette ´equation s’´ecrit sous forme matricielle :
h
i
{T (M, ~n)} = {T (M,~ı )} {T (M, ~ )} {T (M, ~k)} {n}

(1.8)

(1.9)

soit :
{T (M, ~n)} = [σ(M )] {n}
contraintes 1

o`
u [σ(M )] est le tenseur des
de
~
contraintes (figure 6) dans le rep`ere {~ı, ~, k} sont :

 ~ı
~
composantes sur
 ~
k

(formule de Cauchy)
Cauchy 2

(1.10)

en M . Les composantes du tenseur des

T~ (M,~ı ) T~ (M, ~ ) T~ (M, ~k)


σxx
σxy
σxz
 σyx
σyy
σyz 
σzx
σzy
σzz

(1.11)

1. En fait, [σ(M )] est la repr´
esentation matricielle dans le rep`ere {~ı, ~, ~k} du tenseur des contraintes en M .
2. Augustin-Louis Cauchy (1789-1857).

´
Elasticit´
e

4

Figure 6 – Vecteur contrainte sur les facettes ~ı, ~ et ~k en M
La contrainte normale sur la facette ~n en M est ´egale `a :
σn = ~n · T~ (M, ~n) = {n}T [σ(M )] {n}

(1.12)

Remarque : sur la facette ~ı (figure 7), le vecteur contrainte est :
T~ (M,~ı ) = σxx ~ı + σyx ~ + σzx ~k

(1.13)

d’o`
u la contrainte normale et le vecteur cisaillement :
σi = ~ı · T~ (M,~ı ) = σxx

,

~τi = σyx ~ + σzx ~k

(1.14)

Figure 7 – Vecteur contrainte sur la facette ~ı en M
Changement de rep`
ere : consid´erons le rep`ere orthonorm´e {~ı 0 , ~ 0 , ~k 0 } avec :


0
0
0
h
i h
i ~ı ·~ı ~ ·~ı ~k ·~ı


~ı 0 ~ 0 ~k 0 = ~ı ~ ~k ~ı 0 · ~ ~ 0 · ~ ~k 0 · ~
~ı 0 · ~k ~ 0 · ~k ~k 0 · ~k
{z
}
|

(1.15)

[R]

et

h
i h
i
~ı ~ ~k = ~ı 0 ~ 0 ~k 0 [R]−1

avec [R]−1 = [R]T

,

det[R] = 1

(1.16)

~ un vecteur de composantes :
Soit V
 
Vx 
{V } = Vy
 
Vz
et :

 0
 Vx 
{V 0 } = Vy0
 0
Vz

dans le rep`ere {~ı, ~, ~k}

(1.17)

dans le rep`ere {~ı 0 , ~ 0 , ~k 0 }

(1.18)

´
Elasticit´
e

5

On a les relations :
h
i
h
i
h
i
~ = V 0 ~ı 0 + V 0 ~ 0 + V 0 ~k 0 = ~ı 0 ~ 0 ~k 0 {V 0 } = ~ı ~ ~k [R] {V 0 } = ~ı ~ ~k {V }
V
x
y
z
On en d´eduit :

{V } = [R] {V 0 }

,

{V 0 } = [R]−1 {V } = [R]T {V }

(1.19)

(1.20)

De la formule de Cauchy (1.10) et des relations :
{T } = [R] {T 0 }
on d´eduit :
d’o`
u:

,

{n} = [R] {n0 }

(1.21)

[R] {T 0 } = [σ] [R] {n0 }

(1.22)

{T 0 } = [R]T [σ] [R] {n0 }

(1.23)

et la formule de transformation pour la matrice des contraintes :
[σ 0 ] = [R]T [σ] [R]

1.4

(1.24)

´
Equations
d’´
equilibre

Soit f~ la force par unit´e de volume appliqu´ee au point de coordonn´ees (x, y, z) du solide.
Soient ~γ l’acc´el´eration du point de coordon´ees (x, y, z) et ρ la masse volumique du mat´eriau.

1.4.1

´
Equilibre
en translation

´
Ecrivons
que la projection sur x de la somme des forces appliqu´ees au parall´el´epip`ede rectangle
infiniment petit, de centre M et de cˆot´es dx, dy et dz, est nulle (les contraintes qui interviennent sont
repr´esent´ees sur la figure (8)) :
− σxx (x, y, z) dy dz + σxx (x + dx, y, z) dy dz
− σxy (x, y, z) dx dz + σxy (x, y + dy, z) dx dz
− σxz (x, y, z) dx dy + σxz (x, y, z + dz) dx dy + fx dx dy dz
∂σxy
∂σxx
∂σxz
=
dV +
dV +
dV + fx dV = ρ dV γx
∂x
∂y
∂z

(1.25)

o`
u dV = dx dy dz. Il vient apr`es simplification :
∂σxz
∂σxx ∂σxy
+
+
+ fx = ρ γx
∂x
∂y
∂z

´
Figure 8 – Equilibre
du parall´el´epip`ede suivant x

(1.26a)

´
Elasticit´
e

6
De mˆeme :
et

1.4.2

∂σyz
∂σyx ∂σyy
+
+
+ fy = ρ γy
∂x
∂y
∂z

(1.26b)

∂σzz
∂σzx ∂σzy
+
+
+ fz = ρ γz
∂x
∂y
∂z

(1.26c)

´
Equilibre
en rotation : r´
eciprocit´
e des contraintes tangentielles

´
Figure 9 – Equilibre
du parall´el´epip`ede en rotation suivant z
´
Ecrivons
que la projection sur M z de la somme des moments des forces appliqu´ees au parall´el´epip`ede
est nulle (les contraintes qui interviennent sont repr´esent´ees sur la figure (9). Il vient, en n´egligeant
les infiniments petits d’ordre sup´erieurs `a 3 :
dx (dy dz σyx ) − dy (dx dz σxy ) = 0

(1.27)

soit (r´eciprocit´e des contraintes tangentielles) :
σxy = σyx

(1.28)

Figure 10 – R´eciprocit´e des contraintes tangentielles
De mˆeme :
σxz = σzx

,

σyz = σzy

(1.29)

Le tenseur des contraintes est donc sym´etrique :
[σ] = [σ]T

(1.30)

Remarques :
– Si ~n et ~n0 sont deux facettes en M , on d´eduit de l’´equation (1.30) :
~n · T~ (M, ~n0 ) = {n}T [σ(M )] {n0 } = {n0 }T [σ(M )] {n} = ~n0 · T~ (M, ~n)

∀ ~n , ~n0

(1.31)

– La contrainte normale sur la facette ~n est :
σn = {n}T [σ] {n}
= n2x σxx + n2y σyy + n2z σzz + 2 nx ny σxy + 2 nx nz σxz + 2 ny nz σyz

(1.32)

´
Elasticit´
e

1.5

7

Directions et contraintes principales

Existe t-il en M une facette ~n telle que le vecteur contrainte soit colin´eaire avec ~n (figure 11) ? Dans
ce cas, le vecteur cisaillement est nul sur cette facette et le vecteur contrainte T~ (M, ~n) satisfait la
relation :
T~ (M, ~n) = σn ~n
(1.33)
soit :
[σ(M )]{n} = σn {n}

(1.34)

σn est alors valeur propre du tenseur des contraintes et ~n est le vecteur propre associ´e.

Figure 11 – Face et contrainte principale en M
[σ(M )] est une matrice sym´etrique `a coefficients r´eels. Elle a trois valeurs propres r´eelles (distinctes
ou confondues). Si les trois valeurs propres sont distinctes, les vecteurs propres associ´es sont perpendiculaires entre eux.
Il existe donc en M un rep`ere orthonorm´e {M ; ~n1 , ~n2 , ~n3 } tel que sur les facettes ~n1 , ~n2 et ~n3 le
vecteur cisaillement soit nul (figure 12).
Les directions ~n1 , ~n2 et ~n3 sont les directions principales.
Dans le rep`ere principal {M ; ~n1 , ~n2 , ~n3 }, le tenseur des contraintes s’´ecrit :


σ1 0 0
[σ]{M ;~n1 ,~n2 ,~n3 } =  0 σ2 0 
0 0 σ3

(1.35)

o`
u les contraintes normales σ1 , σ2 et σ3 sont les contraintes principales.

Figure 12 – Faces et contraintes principales en M
Les trois contraintes principales sont les racines de l’´equation caract´eristique (§ B) :
P (σn ) = det ( [σ(M )] − σn [ I ] ) = 0 o`
u [ I ] est la matrice unit´e de dimension 3
soit



σxx − σn
σxy
σxz
σyy − σn
σyz  = −σn3 + I1 σn2 − I2 σn + I3 = 0
det  σxy
σxz
σyz
σzz − σn

(1.36)

(1.37)

´
Elasticit´
e

8

Les contraintes principales sont ind´ependantes du rep`ere {~ı, ~, ~k}. I1 , I2 et I3 sont des invariants :
I1 = tr [σ] = σxx + σyy + σzz = σ1 + σ2 + σ3
I2 =

(1.38a)

¢

2
2
2
(tr [σ])2 − tr [σ]2 = σxx σyy + σxx σzz + σyy σzz − σxy
− σxz
− σyz
2
= σ1 σ2 + σ1 σ3 + σ2 σ3

(1.38b)

2
2
2
I3 = det[σ] = σxx σyy σzz + 2 σxy σxz σyz − σxx σyz
− σyy σxz
− σzz σxy

(1.38c)

= σ1 σ2 σ3
Dans le rep`ere principal {M ; ~n1 , ~n2 , ~n3 }, les
  
σ1
T1 
T2 =  0
 
0
T3

composantes du vecteur contrainte sur la facette ~n sont :

  
0 0 n1  σ1 n1 
σ2 0  n2 = σ2 n2
(1.39)

  
σ3 n3
0 σ3
n3

o`
u n1 , n2 et n3 sont les composantes de ~n. Compte-tenu de la relation :
n21 + n22 + n23 = 1
on en d´eduit :

T12 T22 T32
+ 2 + 2 =1
σ12
σ2
σ3

(1.40)

Quand ~n varie, l’extr´emit´e du vecteur T~ (M, ~n) se d´eplace sur l’ellipso¨ıde de Lam´
e dont les axes
sont les directions principales et les demi axes sont σ1 , σ2 et σ3 .

1.6
1.6.1

Cercles de Mohr des contraintes
Cercle de Mohr des contraintes

En M , prenons comme rep`ere le rep`ere principal {M ; ~n1 , ~n2 , ~n3 }. Consid´erons la famille de facettes
passant par la direction principale ~n3 (figure 13). Soit ~n(cos θ, sin θ, 0), une de ces facettes. Sur cette
facette, les composantes du vecteur contrainte sont :


σ1 cos θ
{T } = σ2 sin θ
(1.41)


0
Le vecteur contrainte T~ (M, ~n) est donc situ´e dans le plan {M ; ~n1 , ~n2 }.
Soit ~t le vecteur unitaire, situ´e dans le plan {M ; ~n1 , ~n2 } et faisant avec ~n un angle ´egal `a

π
:
2



− sin θ
cos θ
{t} =


0
Projetons le vecteur contrainte sur les axes ~n et ~t :
T~ (M, ~n) = σn ~n + τn ~t
avec

(

σn = ~n · T~ (M, ~n) = {n}T [σ(M )] {n} = σ1 cos2 θ + σ2 sin2 θ
τn = ~t · T~ (M, ~n) = {t}T [σ(M )] {n} = −σ1 cos θ sin θ + σ2 cos θ sin θ

(1.42)

(1.43)

´
Elasticit´
e
soit

9
½

1
1
avec d = (σ1 + σ2 ) et r = (σ1 − σ2 )
2
2

σn = d + r cos(−2 θ)
τn = r sin(−2 θ)

(1.44)

` chaque facette ~n, nous pouvons donc associer un point Pn de coordonn´ees (σn , τn ) dans le reA
p`ere {σn , τn } orthonorm´e. Lorsque l’angle θ varie, ce point d´ecrit le cercle de centre (d, 0) et de
rayon r (figure 13).

Figure 13 – Cercle de Mohr des contraintes
Remarques :
– Les points repr´esentatifs des directions principales ~n1 et ~n2 sont les intersections (σ1 , 0) et (σ2 , 0)
du cercle avec l’axe σn .
– Si la facette ~n fait un angle θ avec la facette ~n1 , son point repr´esentatif sur le cercle de Mohr 3
fait un angle −2 θ avec le point repr´esentatif de la facette ~n1 .
1.6.2

Cercles de Mohr des contraintes

Soit T~ (M, ~n) = σn ~n + ~τn le vecteur contrainte sur la facette ~n quelconque en M . Les relations :
σn = {n}T [σ(M )] {n} ,

T 2 = σn2 + τn2

,

{n}T {n} = 1

o`
u τn = k~τn k s’´ecrivent dans le rep`ere principal {M ; ~n1 , ~n2 , ~n3 } :

σ n2 + σ2 n22 + σ3 n23 = σn


 1 1
σ12 n21 + σ22 n22 + σ32 n23 = σn2 + τn2


 2
n1 + n22 + n23 = 1
Si les trois contraintes principales sont



n21





n22






 n23

(1.45)

(1.46)

distinctes, on en d´eduit :
τn2 + (σn − σ2 ) (σn − σ3 )
(σ1 − σ2 ) (σ1 − σ3 )
τn2 + (σn − σ3 ) (σn − σ1 )
=
(σ2 − σ3 ) (σ2 − σ1 )
τn2 + (σn − σ1 ) (σn − σ2 )
=
(σ3 − σ1 ) (σ3 − σ2 )

=

(1.47)

Si on suppose σ1 > σ2 > σ3 , les in´egalit´es :
n21 ≥ 0 ,
3. Otto Mohr (1835-1918).

n22 ≥ 0 ,

n23 ≥ 0

(1.48)

´
Elasticit´
e

10
s’´ecrivent :

soit :

 2
 σn + τn2 − (σ2 + σ3 ) σn + σ2 σ3 ≥ 0
σ 2 + τn2 − (σ3 + σ1 ) σn + σ3 σ1 ≤ 0
 n2
σn + τn2 − (σ1 + σ2 ) σn + σ1 σ2 ≥ 0

(1.49)

 µ
µ



σ2 − σ3 2
σ2 + σ3 2

2

+ τn ≥
σn −


2 ¶


µ
µ 2 ¶2

σ3 + σ1 2
σ3 − σ1
σn −
+ τn2 ≤

2 ¶


µ 2 ¶2
µ
2


σ1 − σ2
σ
+
σ
1
2


+ τn2 ≥
 σn −
2
2

(1.50)

Figure 14 – Cercles de Mohr des contraintes
Le point de coordonn´ees (σn , τn = k~τn k) se trouve (figure 14) :
µ


σ2 + σ3
σ2 − σ3
– `a l’ext´erieur du demi-cercle de centre
, 0 et de rayon
.
2
2
µ

σ1 + σ3
σ1 − σ3
– `a l’int´erieur du demi-cercle de centre
, 0 et de rayon
.
2
µ 2

σ1 + σ2
σ1 − σ2
– `a l’ext´erieur du demi-cercle de centre
, 0 et de rayon
.
2
2
Remarque : de cette ´etude, on d´eduit la valeur maximale en M de la contrainte normale :
σmax = max(|σ1 |, |σ2 |, |σ3 |)

(1.51)

2 τmax = max ( σ1 , σ2 , σ3 ) − min ( σ1 , σ2 , σ3 )

(1.52)

et du cisaillement :

1.7
1.7.1

´
Etats
de contrainte particuliers
´
Etat
de contrainte uniaxial : traction ou compression simple

L’´etat de contrainte en un point M est uniaxial par rapport `a la direction ~ı (figure 15), si le tenseur
des contraintes se r´eduit `a :


σ 0 0
(1.53)
[σ(M )] =  0 0 0
0 0 0

´
Elasticit´
e

11

´
Figure 15 – Etat
de contrainte uniaxial
Cet ´etat de contraintes est appel´e ´etat de traction simple si σ est positif et ´etat de compression simple
si σ est n´egatif.
Le rep`ere {M ;~ı, ~, ~k} est le rep`ere principal.
1.7.2

´
Etat
de cisaillement simple

L’´etat de contrainte en M est un ´etat de cisaillement simple par rapport aux deux directions ~ı et ~
(figure 16), si le tenseur des contraintes se r´eduit `a :



0 τ 0
[σ(M )] = τ 0 0
0 0 0

(1.54)

´
de cisaillement simple : composantes du tenseur des contraintes
Figure 16 – Etat
Les contraintes principales et les directions principales sont :
σ1 = τ
 
√ 1
2
1
{n1 } =
2  
0

,

,

σ2 = −τ

,

σ3 = 0

 
√ 1
2
−1
{n2 } =
2  
0

,

(1.55)
 
0
{n3 } = 0
 
1

´
Figure 17 – Etat
de cisaillement simple : cercles de Mohr

(1.56)

´
Elasticit´
e

12
1.7.3

´
Etat
de contrainte isotrope

L’´etat de contrainte en un point M est isotrope (ou sph´erique) si :
T~ (M, ~n) = σ ~n ∀~n

(1.57)

Toute facette ~n en M est face principale. Les trois contraintes principales sont ´egales `a σ et le tenseur
des contraintes en M a pour expression (quelque soit le rep`ere) :


σ 0 0
[σ(M )] =  0 σ 0 
(1.58)
0 0 σ

´
Figure 18 – Etat
de contrainte isotrope
Les trois cercles de Mohr des contraintes se r´eduisent `a un point (figure 18).
1.7.4

´
Etat
de contrainte plan

En un point M , l’´etat de contrainte est dit plan par rapport aux deux directions ~ı et ~ (figure 19), si
le tenseur des contraintes se r´eduit `a : :


σxx σxy 0
[σ(M )] = σxy σyy 0
(1.59)
0
0 0

´
Figure 19 – Etat
de contrainte plan : composantes du tenseur des contraintes
Le vecteur contrainte sur la facette ~k est nul :
T~ (M, ~k) = ~0

(1.60)

La direction ~k est donc direction principale et la contrainte principale associ´ee est nulle :
~n3 = ~k

,

σ3 = 0

Les deux autres directions principales sont les solutions de l’´equation :
·
¸½ ¾
½ ¾
σxx σxy
nx
nx
= σn
avec n2x + n2y = 1
σxy σyy
ny
ny

(1.61)

(1.62)

´
Elasticit´
e

13

soit :

·
¸½ ¾ ½ ¾
σxx − σn
σxy
nx
0
=
σxy
σyy − σn
ny
0

(1.63)

Cette ´equation n’a de solution autre que la solution triviale nx = ny = 0 que si et seulement si :
·
¸
σxx − σn
σxy
det
=0
(1.64)
σxy
σyy − σn
d’o`
u l’´equation polynomiale en σn :
2
σn2 − (σxx + σyy ) σn + σxx σyy − σxy
=0
|
{z
}
|
{z
}
tr [σ]=σ1 +σ2

les contraintes principales :
σ1
σ2

¾
=

det[σ]=σ1 σ2

σxx + σyy
1q
2
±
(σxx − σyy )2 + 4 σxy
2
2

et les directions principales associ´ees :




cos θ1 
− sin θ1 
cos θ1
{n1 } = sin θ1
, {n2 } =




0
0

(1.65)

avec

tan θ1 =

σxy
σ1 − σxx
=
σxy
σ1 − σyy

(1.66)

(1.67)

o`
u θ1 est la position angulaire de la direction principale ~n1 par rapport `a l’axe x (figure 19).
Les cercles de Mohr des contraintes sont repr´esent´es sur la figure 20.

´
Figure 20 – Etat
de contrainte plan : cercles de Mohr des contraintes
Construction du cercle de Mohr de la famille de facettes passant par z : les facettes ~ı et ~ sont
deux facettes orthogonales de cette famille. Les points repr´esentatifs Pi et Pj de ces facettes dans le plan
de Mohr sont donc deux points diam´etralement oppos´es du cercle (figure 22). Les coordonn´ees de ces
points sont (figure 21) :
³
´
– facette ~ı : Pi = σn = ~n · T~ (M,~ı ) = σxx , τn = ~t · T~ (M,~ı ) = σxy
³
´
– facette ~ : Pj = σn = ~n · T~ (M, ~ ) = σyy , τn = ~t · T~ (M, ~ ) = −σxy

´
Figure 21 – Etat
de contrainte plan : facettes ~ı et ~

´
Elasticit´
e

14

On en d´eduit la construction du cercle de Mohr (figure 22) : dans le rep`ere orthonorm´e {σn , τn }, on
` l’aide d’une r`egle, on mesure les contraintes
trace le cercle de diam`etre Pi (σxx , σxy ) Pj (σyy , −σxy ). A
principales σ1 et σ2 , puis `a l’aide d’un rapporteur l’angle 2 θ1 .

Figure 22 – Cercle de Mohr
Changement de rep`
ere : dans le rep`ere orthonorm´e {M ; ~n, ~t, ~k} (figure 23) avec :
 


nx 
−ny 
nx
{n} = ny
, {t} =
 


0
0

(1.68)

le tenseur des contraintes a pour expression (´equation 1.24) :
[σ]{M ;~n,~t,~k} = [R]T [σ]{M ;~ı,~,~k} [R]

(1.69)

o`
u la matrice de transformation [R] est ´egale `a :

nx
¤
{0} = ny
0

£
[R] = {n} {t}

−ny
nx
0


0
0
0

(1.70)

Figure 23 – Composantes du tenseur des contraintes dans le rep`ere {M ; ~n, ~t, ~k}
On en d´eduit :
[σ]{M ;~n,~t,~k}
avec :


σnn
=  σnt
0

σnn = n2x σxx + n2y σyy + 2 nx ny σxy

,

σnt
σtt
0


0
0
0

σtt = n2y σxx + n2x σyy − 2 nx ny σxy

σnt = nx ny (σyy − σxx ) + (n2x − n2y ) σxy
Remarque : on a les relations :
σnn = ~n · T~ (M, ~n) = {n}T [σ(M )] {n}
σnt = ~t · T~ (M, ~n) = {t}T [σ(M )] {n} = {n}T [σ(M )] {t}
σtt = ~t · T~ (M, ~t) = {t}T [σ(M )] {t}

(1.71)

´
Elasticit´
e

2

15


eformations

Sous l’action des forces appliqu´ees, les points d’un solide se d´eplacent. Il en r´esulte, pour des fibres
infinit´esimales de mati`ere, des variations de longueur et des variations d’angle appel´ees d´
eformations (figure 24).

Figure 24 – D´eformations dans un solide

2.1

Configuration, vecteur d´
eplacement

Le volume occup´e par le solide `a l’instant t est not´e Ct et appel´e configuration courante. La configuration initiale C0 est la configuration de r´ef´erence.
Le point M0 de la configuration initiale devient le point M de la configuration courante (figure 25) :
−−−→
OM0 = ~x0 = x0 ~ı + y0 ~ + z0 ~k

,

−−→
OM = ~x = x~ı + y ~ + z ~k

(2.1)

Figure 25 – Transformation d’un point et d’un vecteur
On appelle vecteur d´
eplacement du point M0 le vecteur :
−−−→ −−→ −−−→
~u(M0 ; t) = M0 M = OM − OM0 = u~ı + v ~ + w ~k

(2.2)

o`
u u, v et w sont des fonctions continues et d´erivables de x0 , y0 et z0 , d’o`
u:
~x(M0 ; t) = ~x0 + ~u(M0 ; t)

(2.3)

Les coordonn´ees du point M s’´ecrivent sous forme matricielle :

   

x(x0 , y0 , z0 ; t) x0   u(x0 , y0 , z0 ; t) 
y(x0 , y0 , z0 ; t) = y0 + v(x0 , y0 , z0 ; t)

   

w(x0 , y0 , z0 ; t)
z0
z(x0 , y0 , z0 ; t)

(2.4)

´
Elasticit´
e

16
x0 , y0 et z0 sont les coordonn´
ees de Lagrange 4 et la description est dite lagrangienne.

L’´equation (2.4) d´efinit la transformation qui fait passer le solide de la configuration initiale C0 `a
la configuration Ct .

2.2

Transformation des vecteurs : tenseur gradient de la transformation

Le vecteur infiniment petit d~x0 en M0 devient d~x en M dans la configuration Ct (figures 25 et 26) :
d~x = d~x0 + d~u

(2.5)

{dx} = {dx0 } + {du} = ( [ I ] + [L] ) {dx0 } = [F ] {dx0 }

(2.6)

soit sous forme matricielle :

o`
u:


∂u
1+

∂x0

 ∂v
[F ] = 
 ∂x0

 ∂w
∂x0

∂u
∂y0
∂v
1+
∂y0
∂w
∂y0

∂u 
∂z0 

∂v 

∂z0 

∂w 
1+
∂z0

,

 ∂u
 ∂x0

 ∂v
[L] = 
 ∂x0

 ∂w
∂x0

∂u
∂y0
∂v
∂y0
∂w
∂y0

∂u 
∂z0 

∂v 

∂z0 

∂w 

(2.7)

∂z0

[F ] est le tenseur gradient de la transformation (ou tenseur gradient de la d´
eformation).

Figure 26 – Transformation du vecteur d~x0
Nous admettrons que la transformation est biunivoque :
0 < det[F ] < ∞ ,

{dx0 } = [F ]−1 {dx}

(2.8)

Deux points voisins dans la configuration C0 sont voisins dans la configuration Ct .
La figure (27) montre, dans le cas d’un probl`eme plan, la signification physique des composantes du
tenseur gradient de la transformation.

Figure 27 – Probl`eme plan : transformation d’un vecteur
4. Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).

´
Elasticit´
e

17

[L] peut ˆetre d´ecompos´e en sa partie sym´etrique [ε] et sa partie antisym´etrique [Ω] :
[L] = [Ω] + [ε]
avec :
[Ω] =

¢

[L] − [L]T
2

et
[ε] =

¢

[L] + [L]T
2

,

(2.9)

[Ω] = −[Ω]T

(2.10)

[ε] = [ε]T

(2.11)

,

d’o`
u:
[F ] = [ I ] + [ε] + [Ω]

2.3

(2.12)

Tenseur des dilatations

Consid´erons en M0 deux vecteurs infiniment petits d~x0 et d~x00 (figure 28). Ces vecteurs deviennent d~x
et d~x0 dans la configuration Ct :
{dx} = [F ] {dx0 } ,

{dx0 } = [F ] {dx00 }

(2.13)

Figure 28 – Transformation des vecteurs d~x0 et d~x00
Le produit scalaire des deux vecteurs d~x et d~x0 s’´ecrit :
d~x · d~x0 = {dx}T {dx0 } = {dx0 }T [F ]T [F ] {dx00 } = {dx0 }T [C] {dx00 }

(2.14)

[C] = [F ]T [F ] = ([ I ] + [L]T ) ([ I ] + [L]) = [ I ] + [L]T + [L] + [L]T [L]

(2.15)

o`
u
est le tenseur des dilatations.
Si d~x00 = d~x0 , il vient :
ds2 = d~x · d~x = {dx0 }T [C] {dx0 } > 0 ∀ d~x0 <> ~0

(2.16)

o`
u ds est la longueur du vecteur d~x : la matrice [C] est d´efinie positive.

2.4

Tenseur des d´
eformations de Green-Lagrange

Soit ds0 la longueur du vecteur d~x0 et ds celle du vecteur d~x ; la diff´erence ds2 − ds20 s’´ecrit :
ds2 − ds20 = d~x · d~x − d~x0 · d~x0
= {dx}T {dx} − {dx0 }T {dx0 } = {dx0 }T ( [C] − [ I ] ) {dx0 }

(2.17)

T

= 2 {dx0 } [E] {dx0 }
o`
u:
[E] =

1
1
([C] − [ I ]) = ( [L]T + [L] ) +
2
|2
{z
}
termes lin´
eaires

1
[L]T [L]
2
| {z }
termes non lin´
eaires

(2.18)

´
Elasticit´
e

18
est le tenseur des d´
eformations de Green-Lagrange 5 .
Remarque : si [E] = [ 0 ], on a :
ds2 = ds20

∀ d~x0

(2.19)

Le voisinage du point M0 subit un mouvement de corps rigide (translation et/ou
rotation) entre les configurations C0 et Ct . La condition [E] = [ 0 ] implique pour le tenseur
des dilatations :
[C] = [F ]T [F ] = [ I ] d’o`
u [F ]T = [F ]−1

(2.20)

Dans le rep`ere {O;~ı, ~, ~k}, les composantes du tenseur des d´eformations de Green-Lagrange sont :


Exx Exy Exz
Eyy Eyz 
[E] = 
(2.21)
sym.
Ezz
avec ( notation de Voigt ) :
µ


¶ 
µ
µ


∂u 2
∂v 2
∂w 2 
∂u






+
+








∂x
∂x
∂x
∂x



0
0
0
0



E
xx





µ

µ

µ





2
2
2





∂v





∂u
∂v
∂w










+
+





E
∂y





yy
0
∂y
∂y
∂y





0
0
0









µ
¶2 µ
¶2 µ
¶2 





∂w





∂u
∂v
∂w





E





zz

 1


+
+
∂z0
∂z
∂z
∂z
µ

0
0
0
= 1 ∂u
+
∂v  2  ∂u ∂u
Exy = Eyx 


∂v ∂v
∂w ∂w 






+






+
+






2
∂y
∂x





0
0
 µ
 




∂x0 ∂y0 ∂x0 ∂y0 ∂x0 ∂y0 












E
=
E
xz
zx 




∂w 
1 ∂u






∂u
∂v
∂v
∂w
∂w
∂u






+






+
+






2
∂z
∂x






0
0






∂x
∂z
∂x
∂z
∂x
∂z
E
=
E
0
0
0
0
0
0
zy 
µ





 yz








1
∂v
∂w




∂u
∂v
∂v
∂w
∂w
∂u




+




+
+
 2 ∂z0 ∂y0 


 ∂y0 ∂z0 ∂y0 ∂z0 ∂y0 ∂z0 
|
{z
}
|
{z
}
























termes lin´
eaires

(2.22)

termes non lin´
eaires

Remarques :
– Le tenseur des dilatations s’´ecrit en fonction du tenseur des d´eformations :
[C] = [ I ] + 2 [E]

(2.23)

– Les composantes du tenseur des d´eformations sont sans dimension.

2.5
2.5.1

Transformation des longueurs et des angles
Dilatation

Consid´erons en M0 le vecteur infiniment petit d~x0 de longueur ds0 port´e par le vecteur unitaire ~n0 :
d~x0 = ds0 ~n0
Ce vecteur devient d~x de longueur ds dans la configuration Ct (figure 29).
5. George Green (1793-1841).

(2.24)

´
Elasticit´
e

19

Figure 29 – Dilatation en M0 dans la direction ~n0
On appelle dilatation en M0 dans la direction ~n0 la quantit´e :
q
q
ds
λ(M0 , ~n0 ) =
= {n0 }T [C] {n0 } = 1 + 2 {n0 }T [E] {n0 }
ds0

(2.25)

Remarque : si ~n0 = ~ı, il vient :
λ(M0 ,~ı ) =
2.5.2

p

Cxx =

p
1 + 2 Exx

(2.26)


eformation de Green-Lagrange

On appelle d´eformation de Green-Lagrange en M0 dans la direction ~n0 la quantit´e :
ds2 − ds20
= {n0 }T [E] {n0 }
2 ds20

εGL (M0 , ~n0 ) =

(2.27)

Remarque : si ~n0 = ~ı, il vient :
εGL (M0 ,~ı ) = Exx
2.5.3

(2.28)

Allongement unitaire (d´
eformation de l’ing´
enieur)

On appelle allongement unitaire en M0 dans la direction ~n0 la quantit´e :
q
ds − ds0
ε(M0 , ~n0 ) =
= λ(M0 , ~n0 ) − 1 = 1 + 2 {n0 }T [E] {n0 } − 1
ds0

(2.29)

Remarque : si ~n0 = ~ı , on obtient :
ε(M0 ,~ı ) =
2.5.4

p

Cxx − 1 =

p

1 + 2 Exx − 1

(2.30)

Transformation des angles : glissement de deux directions orthogonales

Consid´erons en M0 deux vecteurs infiniment petits d~x0 et d~x00 port´es par les deux directions orthogonales ~n0 et ~n00 (figure 30) :
d~x0 = ds0 ~n0

,

d~x00 = ds00 ~n00

,

~n0 · ~n00 = 0

(2.31)

Ces vecteurs deviennent d~x et d~x0 de longueur ds et ds0 dans la configuration Ct . Soit ϕ l’angle que
font entre eux les vecteurs d~x et d~x0 .

Figure 30 – Glissement en M0 dans les directions orthogonales ~n0 et ~n00

´
Elasticit´
e

20
On appelle glissement en M0 dans les directions orthogonales ~n0 et ~n00 la quantit´e :
γ(M0 , ~n0 , ~n00 ) =

π
−ϕ
2

Le produit scalaire des deux vecteurs d~x et d~x0 s’´ecrit (´equation 2.14) :
³π
´
d~x . d~x0 = ds0 ds00 {n0 }T [C]{n00 } = ds ds0 cos ϕ = ds ds0 cos
− γ = ds ds0 sin γ
2

(2.32)

(2.33)

d’o`
u l’expression du glissement en M0 des deux directions orthogonales ~n0 et ~n00 :
γ(M0 , ~n0 , ~n00 ) = arcsin

{n0 }T [C] {n00 }
2 {n0 }T [E] {n00 }
=
arcsin
λ(M0 , ~n0 ) λ(M0 , ~n00 )
λ(M0 , ~n0 ) λ(M0 , ~n00 )

(2.34)

Remarque : si ~n0 = ~ı et ~n00 = ~, il vient :
Cxy
2 Exy
γ(M0 ,~ı, ~ ) = arcsin p
= arcsin p
Cxx Cyy
(1 + 2 Exx ) (1 + 2 Eyy )
2.5.5

(2.35)

Transformation des volumes et des surfaces

Le parall´el´epip`ede de volume infiniment petit dV0 construit en M0 sur les vecteurs ~a0 , ~b0 et ~c0 (le
tri`edre {~a0 , ~b0 , ~c0 } est direct) devient le parall´el´epip`ede de volume dV construit en M sur les vecteurs ~a,
~b et ~c (figure 31).

Figure 31 – Transformation d’un volume infinit´esimal
On a les relations :

dV0 = (~a0 ∧ ~b0 ) · ~c0 = det [{a0 } {b0 } {c0 }]

dV = (~a ∧ ~b) · ~c = det [{a} {b} {c}]
= det ([F ] [{a0 } {b0 } {c0 }]) = det[F ] det [{a0 } {b0 } {c0 }]

(2.36)
(2.37)

d’o`
u:
dV = det[F ] dV0

(2.38)

On appelle dilatation volumique en M0 , la quantit´e :
λV (M0 ) =

dV
= det[F ]
dV0

(2.39)

On appelle d´
eformation volumique en M0 , la quantit´e :
εV (M0 ) =

dV − dV0
= det[F ] − 1
dV0

(2.40)

La surface dA0 construite sur les vecteurs ~a0 et ~b0 devient la surface dA construite sur les vecteurs ~a
et ~b (figure 32). Des relations :
~a0 ∧ ~b0 = ~n0 dA0

,

~a ∧ ~b = ~n dA

(2.41)

´
Elasticit´
e

21

o`
u les vecteurs ~n0 et ~n sont unitaires, on d´eduit :
dV0 = ~c0 · ~n0 dA0 = {c0 }T {n0 } dA0

,

dV = ~c · ~n dA = {c}T {n} dA

(2.42)

d’o`
u:
dV = {c0 }T [F ]T {n} dA = det[F ] dV0 = det[F ] {c0 }T {n0 } dA0

(2.43)

Cette relation est v´erifi´ee pour tout vecteur ~c0 , d’o`
u:
[F ]T {n} dA = det[F ] {n0 } dA0

(2.44)

Figure 32 – Transformation d’une surface infinit´esimale
On en d´eduit :
{n} dA = det[F ] [F ]−T {n0 } dA0

2.6

,

¡
¢T ¡
¢−1
[F ]−T = [F ]−1
= [F ]T

(2.45)

Rep`
ere principal, dilatations et d´
eformations principales

La matrice [C] est sym´etrique, `a coefficients r´eels et d´efinie positive (´equation 2.16). Ses valeurs
propres (ou valeurs principales) sont positives. Il existe en M0 un rep`ere orthonorm´e (ou rep`ere
principal) {M0 ; ~n01 , ~n02 , ~n03 } tel que :
[C]{n0i } = λ2i {n0i } i = 1, 2, 3

(2.46)

o`
u λi est la dilatation principale en M0 dans la direction principale ~n0i .
De l’expression du glissement de deux directions orthogonales (´equation 2.34), on d´eduit que le glissement de deux directions principales est nul (figure 35).
De la relation :
det[C] = λ21 λ22 λ23 = det([F ]T [F ]) = (det[F ])2

(2.47)

on d´eduit l’expression de la dilatation volumique (´equation 2.39) en fonction des dilatations principales :
λV (M0 ) = det[F ] = λ1 λ2 λ3
(2.48)
Le tenseur des d´eformations [E] a les mˆemes directions principales que [C]. En effet, des ´equations (2.23) et (2.46) on d´eduit :

d’o`
u:

([ I ] + 2 [E]) {n0i } = λ2i {n0i }

(2.49)

1
[E]{n0i } = Ei {n0i } avec Ei = (λ2i − 1)
2

(2.50)

´
Elasticit´
e

22
Soit {dx0 } un vecteur infiniment petit port´e par la direction principale {n0i } :
[C]{dx0 } = [F ]T [F ]{dx0 } = λ2i {dx0 }

(2.51)

[F ]T {dx} = λ2i {dx0 }

(2.52)

On en d´eduit :
o`
u {dx} = [F ]{dx0 }, puis en multipliant les deux membres de cette ´equation par [F ] :
[F ] [F ]T {dx} = λ2i [F ] {dx0 } = λ2i {dx}

(2.53)

[F ] [F ]T {ni } = λ2i {ni }

(2.54)

et :
o`
u {ni } est le vecteur unitaire port´e par le vecteur {dx} :
{ni } =

1
[F ] {n0i } i = 1, 2, 3
λi

(2.55)

Le rep`ere {M0 ; ~n01 , ~n02 , ~n03 } est le rep`ere principal de la transformation en M0 . Le rep`ere {M ; ~n1 , ~n2 , ~n3 }
est le rep`ere principal de la transformation en M .
Transformation d’une sph`
ere : l’extr´emit´e du vecteur d~x0 en M0 d´ecrit la sph`ere infiniment petite
de rayon dr0 :
{dx0 }T {dx0 } = dr02
(2.56)
d~x0 devient d~x en M . L’extr´emit´e du vecteur d~x d´ecrit la surface d’´equation :
{dx}T [F ]−T [F ]−1 {dx} = {dx}T ([F ][F ]T )−1 {dx} = dr02

(2.57)

Si on prend comme rep`ere en M , le rep`ere principal du tenseur [F ] [F ]T (´equation 2.54), cette ´equation
s’´ecrit :
µ
¶2 µ
¶2 µ
¶2
dx
dy
dz
+
+
=1
(2.58)
λ1 dr0
λ2 dr0
λ3 dr0

Figure 33 – Transformation d’un cercle : ellipse des dilatations (probl`eme plan)
La sph`ere de rayon dr0 en M0 devient en M l’ellipso¨ıde dont les axes sont les transform´es des directions
principales de [C] et les demi-axes sont λ1 dr0 , λ2 dr0 et λ3 dr0 (figure 33).

2.7


ecomposition polaire

Le d´eterminant de [F ] ´etant diff´erent de 0, [F ] peut ˆetre d´ecompos´e de fa¸con unique sous les deux
formes :
[F ] = [R][U ] = [V ][R]
(2.59)
o`
u:
– [R] est une matrice orthonormale :
[R]T [R] = [R][R]T = [ I ] ,

det[R] = 1

et repr´esente un mouvement de corps rigide (rotation).

(2.60)

´
Elasticit´
e

23

– [U ] et [V ] sont deux matrices sym´etriques d´efinies positives et repr´esentent un mouvement de

eformation pure.
Remarque : les matrices [U ] et [V ] sont li´ees par les relations :
[V ] = [R][U ][R]T

[U ] = [R]T [V ][R]

,

(2.61)

De la relation [C] = [F ]T [F ] on d´eduit :
[C] = [U ]2

(2.62)

La matrice des dilatations [C] et la matrice [U ] ont les mˆemes directions principales {n0i }. Les valeurs
principales de [U ] sont les dilatations principales λi :
[U ] {n0i } = λi {n0i } i = 1, 2, 3

(2.63)

On en d´eduit l’expression de [U ] (d´ecomposition spectrale) :
[U ] =

3
X

λi {n0i }{n0i }T

,

i=1

3
X
{n0i }{n0i }T = [ I ]

(2.64)

i=1

La matrice de rotation s’´ecrit :
[R] = [F ] [U ]−1

(2.65)

De mˆeme, de l’´equation (2.54) et de la relation :
[F ][F ]T = [V ]2

(2.66)

[V ] {ni } = λi {ni } i = 1, 2, 3

(2.67)

on d´eduit :
et
[V ] =

3
X
i=1

λi {ni }{ni }T

,

3
X
{ni }{ni }T = [ I ]

(2.68)

i=1

Les vecteurs unitaires {n0i } et {ni } sont li´es par la relation :
{ni } = [R] {n0i } i = 1, 2, 3

(2.69)

La figure (34) montre la transformation par [F ], [U ], [V ] et [R] d’un cercle infiniment petit de
centre M0 , de rayon dr0 et situ´e dans le plan {M0 ; ~n01 , ~n02 }.

Figure 34 – D´ecomposition polaire : transformation d’un cercle (probl`eme plan)
La figure (35) montre la transformation par [F ], [U ], [V ] et [R] d’un rectangle infiniment petit construit
sur les directions principales ~n01 et ~n02 de la d´eformation en M0 .

´
Elasticit´
e

24

Figure 35 – D´ecomposition polaire : transformation de deux vecteurs orthogonaux port´es par les directions principales (probl`eme plan)
Remarque : si les cˆot´es du rectangle ne sont pas deux directions principales du tenseur [C] en M0 , les
arˆetes du rectangle subissent une rotation lors de la transformation [U ] ou [V ] (figure 36).

Figure 36 – D´ecomposition polaire : transformation de deux vecteurs orthogonaux (probl`eme plan)

2.8

Petits d´
eplacements et petites d´
eformations : ´
elasticit´
e lin´
eaire

On admettra les hypoth`eses suivantes :
– Les d´eplacements sont petits par rapport aux dimensions du solide.
– Les d´eriv´ees des d´eplacements par rapport `a x0 , y0 , z0 sont petites devant l’unit´e :
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ ∂u ¯
¯ ¿ 1 , ¯ ∂u ¯ ¿ 1 . . .
¯
¯ ∂y0 ¯
¯ ∂x0 ¯
Si f une fonction de x0 , y0 , z0 , on en d´eduit :
∂f ∂x
∂f ∂y
∂f ∂z
∂f
∂f
=
+
+
=
∂x0
∂x ∂x0
∂y ∂x0
∂z ∂x0
∂x
De mˆeme :

∂f
∂f
'
∂y0
∂y

µ

∂u
∂f ∂v
∂f ∂w
∂f
1+
+
+
'
∂x0
∂y ∂x0
∂z ∂x0
∂x
,

∂f
∂f
'
∂z0
∂z

(2.70)

(2.71)

(2.72)

Rappels : si x et y sont petits devant l’unit´e (| x |¿ 1 , | y |¿ 1), on a les relations :


1+x'1+

x
2

,

1
'1−x
1+x

,

(1 + x)(1 + y) ' 1 + x + y

,

sin x ' x

(2.73)

´
Elasticit´
e
2.8.1

25

Tenseur des d´
eformations lin´
earis´
e

Le tenseur des d´eformations (´equation 2.18) se r´eduit `a

εxx εxy
1
T

εyy
[E] ' ( [L] + [L] ) = [ε] =
2
sym.
o`
u:

:
 ε
xx
εxz


εyz = 
εzz
sym.


∂u
∂v
∂w


, εyy =
, εzz =
 εxx =
∂x
∂y
∂z
∂u
∂v
∂u ∂w


 2 εxy = γxy =
+
, 2 εxz = γxz =
+
∂y
∂x
∂z
∂x

,

1
2

γxy

εyy

2 εyz = γyz =

1
2
1
2

γxz




γyz 

(2.74)

εzz

∂w ∂v
+
∂y
∂z

(2.75)

Le tenseur [ε] est appel´e tenseur des d´
eformations lin´
earis´
e.
Le tenseur des dilatations (´equation 2.23) se r´eduit `a :
[C] ' [ I ] + 2 [ε]
2.8.2

(2.76)

Transformation des longueurs et des angles

L’allongement unitaire et la dilatation en M et dans la direction ~n (´equations 2.29 et 2.25)
s’´ecrivent :
ε(M, ~n) ' {n}T [ε] {n}
= εxx n2x + εyy n2y + εzz n2z + γxy nx ny + γxz nx nz + γyz ny nz
λ(M, ~n) ' 1 + {n}T [ε] {n}

(2.77)
(2.78)

Si ~n est l’un des axes ~ı, ~ ou ~k, on obtient :
ε(M,~ı ) ' εxx
λ(M,~ı ) ' 1 + εxx

,
,

ε(M, ~ ) ' εyy

ε(M, ~k) ' εzz

,

λ(M, ~ ) ' 1 + εyy

λ(M, ~k) ' 1 + εzz

,

(2.79)
(2.80)

Remarque :
εGL (M, ~n) ' ε(M, ~n)

(2.81)

Le glissement en M dans les directions orthogonales ~n et ~n0 (´equation 2.34) s’´ecrit :
γ(M, ~n, ~n0 ) ' 2 {n0 }T [ε] {n}

(2.82)

Si ~n et ~n0 sont l’un des axes ~ı, ~ ou ~k, on obtient :
γ(M,~ı, ~ ) ' γxy

,

γ(M,~ı, ~k) ' γxz

,

γ(M, ~, ~k) ' γyz

(2.83)

La figure (37) montre la signification physique des composantes du tenseur des d´eformations dans le
cas d’un probl`eme plan.

Figure 37 – D´eformation plane : transformation d’un rectangle construit sur les axes ~ı et ~

´
Elasticit´
e

26
Le volume infiniment petit dV0 en M0 devient dV en M :
dV = det([F ]) dV0 ' (1 + tr [ε]) dV0 = (1 + εxx + εyy + εzz ) dV0

(2.84)

La d´
eformation volumique (´equation 2.40) en M se r´eduit `a :
εV (M ) =
2.8.3

dV − dV0
∂u ∂v ∂w
' tr [ε] = εxx + εyy + εzz =
+
+
= div ~u
dV0
∂x ∂y
∂z

(2.85)

Directions et valeurs principales

En M , dans le rep`ere principal {M ; ~n1 , ~n2 , ~n3 }, le tenseur des d´eformations se r´eduit `a :


ε1 0 0
[ε]{M ;~n1 ,~n2 ,~n3 } =  0 ε2 0 
0 0 ε3

(2.86)

o`
u ε1 , ε2 et ε3 sont les d´eformations principales.
Remarque : les dilatations principales sont :
λ1 = 1 + ε1
2.8.4

,

λ 2 = 1 + ε2

,

λ3 = 1 + ε3

(2.87)


ecomposition polaire

Les tenseurs [R], [U ] et [V ] (§ 2.7) sont voisins de l’unit´e. Posons :
[R] = [ I ] + [r]

[U ] = [ I ] + [u] ,

[V ] = [ I ] + [v]

(2.88)

La condition [R]T [R] = [ I ] s’´ecrit :
([ I ] + [r])T ([ I ] + [r]) ' [ I ] + [r] + [r]T = [ I ]

(2.89)

[r] = −[r]T

(2.90)

d’o`
u
La matrice [r] est antisym´etrique.
La condition :
[C] = [F ]T [F ] = [U ]2

soit

([ I ] + [ε] + [Ω])T ([ I ] + [ε] + [Ω]) = ([ I ] + [u])2

(2.91)

s’´ecrit au premier ordre pr`es :
[ I ] + 2 [ε] ' [ I ] + 2 [u] d’o`
u [u] ' [ε]

(2.92)

De mˆeme, la relation [F ][F ]T = [V ]2 implique :
[v] ' [ε]

(2.93)

[F ] = [ I ] + [Ω] + [ε] = [R][U ] = ([ I ] + [r]) ([ I ] + [u])

(2.94)

La relation :
s’´ecrit au premier ordre pr`es :
[F ] = [ I ] + [Ω] + [ε] ' [ I ] + [r] + [u]

(2.95)

´
Elasticit´
e

27

d’o`
u:
[r] ' [Ω]

(2.96)

La matrice de rotation [R] et les matrices de d´eformation pure [U ] et [V ] se r´eduisent `a :
[R] ' [ I ] + [Ω] ,
Les composantes de [Ω] sont :

[U ] ' [V ] ' [ I ] + [ε]

(2.97)




0
−ωz ωy
0
−ωx 
[Ω] =  ωz
−ωy ωx
0

(2.98)

o`
u les composantes du vecteur ω
~ sont :
2 ωx =

∂w ∂v

∂y
∂z

,

2 ωy =

∂u ∂w

∂z
∂x

,

2 ωz =

∂v
∂u

∂x ∂y

(2.99)

La contribution de [Ω] `a la transformation du vecteur d~x0 en M0 s’´ecrit :
1 −→
{dx} = [Ω]{dx0 } soit d~x = ω
~ ∧ d~x0 = rot ~u ∧ d~x0
2

(2.100)

et repr´esente une rotation infiniment petite du vecteur d~x0 autour de l’axe ω
~ en M .
2.8.5

Cercle de Mohr des d´
eformations

En M , prenons comme rep`ere, le rep`ere principal {M ; ~n1 , ~n2 , ~n3 }. Consid´erons la famille de facettes
passant par la direction principale ~n3 . Soit ~n (cos θ, sin θ, 0), une facette appartenant `a cette famille
et ~t (− sin θ, cos θ, 0) le vecteur unitaire, situ´e dans le plan {M ; ~n1 , ~n2 } et faisant avec ~n un angle
´egal `a π/2. A chaque facette ~n, nous pouvons associer les deux quantit´es εn et γnt d´efinies par les
´equations (2.77) et (2.82) :
½
εn = ε(M, ~n) = {n}T [ε(M )] {n} = ε1 cos2 θ + ε2 sin2 θ
(2.101)
γnt = γ(M, ~n, ~t ) = 2 {t}T [ε(M )] {n} = −2 ε1 cos θ sin θ + 2 ε2 cos θ sin θ
soit

(

εn = d + r cos(−2 θ)
1
γnt = r sin(−2 θ)
2

avec d =

1
(ε1 + ε2 ) ,
2

r=

1
(ε1 − ε2 )
2

(2.102)

` chaque facette ~n, nous pouvons associer un point (εn , γnt /2) dans un rep`ere orthonorm´e. Lorsque θ
A
varie, ce point d´ecrit le cercle de centre (d, 0) et de rayon r (figure 38).

Figure 38 – Cercle de Mohr des d´eformations

´
Elasticit´
e

28

3

Loi de comportement ou loi constitutive

L’´etat de contrainte et l’´etat de d´eformation en un point seront repr´esent´es par un vecteur `a six
composantes ( notation de Voigt 6 ) :
 
 
σ
εxx 
xx














σyy 
εyy 






 
 

σzz
εzz
{σ} =
, {ε} =
(3.1)
σxy 
γxy 
















σ 
γ 


 xz 

 xz 

σyz
γyz
Pour un mat´eriau isotrope (en un point donn´e du solide, le mat´eriau a les mˆemes propri´et´es dans toutes
les directions), les d´eformations et les contraintes sont li´ees par la relation (loi de comportement) :

1


εxx = (σxx − ν (σyy + σzz )) + α ∆T


E




1


 εyy = (σyy − ν (σxx + σzz )) + α ∆T
E
(3.2)

1


εzz = (σzz − ν (σxx + σyy )) + α ∆T



E




 γxy = σxy , γxz = σxz , γyz = σyz
G
G
G
o`
u
– E, ν et α sont respectivement le module de Young 7 , le coefficient de Poisson 8 et le coefficient de dilatation du mat´eriau.
– G=

E
est le module d’´elasticit´e transversal.
2 (1 + ν)

– ∆ T est la variation de temp´erature.
Remarque : ν est compris entre 0 et 1/2.
Avec ces notations la loi de comportement s’´ecrit :
{σ} = [D] {ε} + {σth }
o`
u la matrice [D] des coefficients ´elastiques est ´egale `a :

λ + 2µ
λ
λ
 λ
λ
+

λ

 λ
λ
λ + 2µ
[D] = 
 0
0
0

 0
0
0
0
0
0
o`
u:
λ=


(1 + ν)(1 − 2ν)

6. Woldemar Voigt (1850-1919).
7. Thomas Young (1773-1829).
8. Sim´eon-Denis Poisson (1781-1840).

,

µ=

(3.3a)


0
0

0

0

0
µ

(3.3b)

E
=G
2 (1 + ν)

(3.3c)

0
0
0
µ
0
0

0
0
0
0
µ
0

´
Elasticit´
e

29

sont les coefficients de Lam´
e 9 . Inversement, on a :
E=

µ (3 λ + 2 µ)
2 (λ + µ)

,

ν=

λ
2 (λ + µ)

(3.4)

{σth } repr´esente les contraintes d’origine thermique et est ´egal `a :
 
1







1






E α ∆T
1
{σth } = −
0
1 − 2ν 







0

 

0

(3.5)

Caract´
eristiques de quelques mat´
eriaux [24] :
E : module de Young
ν : coefficient de Poisson
σE : limite ´elastique
α : coefficient de dilatation
ρ : masse volumique
Mat´eriau
Acier inox
Aluminium
Cuivre
Plexiglas

(0 ≤ ν ≤ 1/2)

E
MPa
203 000
67 500
100 000
2 900

ν
0.29
0.34
0.34
0.4

σE
MPa
200
30
40
80

α
10−6 K−1
15
24
16.5
85

ρ
kg/m3
7850
2700
8930
1800

Remarques :
– Les relations (3.2) et (3.3a) s’´ecrivent `a l’aide du tenseur des contraintes et du tenseur des
d´eformations :
1+ν
ν
[ε] =
[σ] − (tr [σ]) [ I ] + α ∆T [ I ]
(3.6a)
E
E
[σ] = λ (tr [ε]) [ I ] + 2 µ [ε] −

Eα ∆T
[I]
1 − 2ν

(3.6b)

– La d´eformation volumique (´equation 2.40) s’´ecrit en fonction des contraintes :
εV (M ) =

(1 − 2 ν)
(1 − 2 ν)
(σxx + σyy + σzz ) + 3 α ∆T =
tr [σ] + 3 α ∆T
E
E

(3.7)

– La densit´
e d’´
energie de d´
eformation est ´egale `a :
¢
¢
dEdef 1 ¡ T
1 ¡ T
=
{ε} − {εth }T {σ} =
{ε} − {εth }T [D] ({ε} − {εth })
dV
2
2
1
1
= {ε}T [D] {ε} − {ε}T [D] {εth } + {εth }T [D] {εth }
2
2
L’´energie de d´eformation s’exprime en joule (J) : 1 J = 1 N.m = 1 kg.m2 .s−2 .
9. Gabriel Lam´e (1795-1870).

(3.8)

´
Elasticit´
e

30

4

Crit`
eres de limite ´
elastique

4.1

Probl`
eme

Soient σ1 , σ2 et σ3 les trois contraintes principales en un point M d’un solide. Nous supposerons que
la limite ´elastique en traction simple est ´egale `a la limite ´elastique en compression simple. Soit σE
cette limite ´elastique .
Comment v´erifier, dans un ´etat de contrainte complexe, que la limite ´elastique n’est pas d´epass´ee ?
On admet que la limite ´elastique est atteinte lorsqu’une certaine fonction f des contraintes principales
est ´egale `a limite ´elastique du mat´eriau en traction simple :
f (σ1 , σ2 , σ3 ) = σE

(4.1)

Le domaine ´elastique en un point du solide est donc d´efini par la relation :
f (σ1 , σ2 , σ3 ) ≤ σE

(4.2)

Nous examinons dans ce chapitre plusieurs crit`eres de limite ´elastique.
Rappels :
– ´
etat de traction simple (§ 1.7.1) : σ1 = σ

,

– ´
etat de cisaillement pur (§ 1.7.2) : σ1 = τ

4.2
4.2.1

σ2 = σ3 = 0.
,

σ2 = −τ

,

σ3 = 0.

Crit`
ere de Rankine ou de la contrainte normale maximale
´
Enonc´
e

Le domaine ´elastique est d´efini par la relation :
σR = f (σ1 , σ2 , σ3 ) = max(|σ1 |, |σ2 |, |σ3 |) ≤ σE

(4.3)

La quantit´e σR est appel´ee contrainte ´
equivalente de Rankine 10 ou de la contrainte normale
maximale.
4.2.2

Validit´
e

Le crit`ere s’´ecrit :
|σ| ≤ σE

(4.4)

|τ | ≤ σE

(4.5)

pour un ´etat de traction simple et

pour un ´etat de cisaillement pur, ce qui impose τE = σE o`
u τE est la limite ´elastique au cisaillement
pur.
10. William Rankine (1820-1872).

´
Elasticit´
e
4.2.3

31

´
Etat
plan de contraintes (σ3 = 0)

La contrainte ´equivalente de Rankine se r´eduit `a :
σR = max( |σ1 | , |σ2 | )

(4.6)

Le domaine ´elastique est repr´esent´e sur la figure (39).

Figure 39 – Crit`ere de Rankine : domaine ´elastique

4.3
4.3.1

Crit`
ere de Tresca ou du cisaillement maximal
´
Enonc´
e

Le domaine ´elastique est d´efini par la relation :
σT = f (σ1 , σ2 , σ3 ) = 2 τmax = max ( σ1 , σ2 , σ3 ) − min ( σ1 , σ2 , σ3 ) ≤ σE

(4.7)

La quantit´e σT est appel´ee contrainte ´
equivalente de Tresca 11 .
4.3.2

Validit´
e

Le crit`ere s’´ecrit :
|σ| ≤ σE

(4.8)

|2 τ | ≤ σE

(4.9)

pour un ´etat de traction simple et
pour un ´etat de cisaillement pur, ce qui impose τE = σE /2.
4.3.3

´
Etat
plan de contraintes (σ3 = 0)

La contrainte ´equivalente de Tresca se r´eduit `a :
σT = max( |σ1 − σ2 | , |σ1 | , |σ2 | )
Le domaine ´elastique est repr´esent´e sur la figure (40).

Figure 40 – Crit`ere de Tresca : domaine ´elastique
11. Henri Tresca (1814-1885).

(4.10)

´
Elasticit´
e

32

4.4

Crit`
ere de Von Mises

4.4.1

´
Enonc´
e

Le domaine ´elastique est d´efini par la relation :
r
1
σVM = f (σ1 , σ2 , σ3 ) =
((σ1 − σ2 )2 + (σ1 − σ3 )2 + (σ3 − σ2 )2 ) ≤ σE
2

(4.11)

La quantit´e σVM est appel´ee contrainte ´
equivalente de Von Mises 12 .
4.4.2

Validit´
e

Le crit`ere s’´ecrit :
|σ| ≤ σE

(4.12)

pour un ´etat de traction simple et


3 |τ | ≤ σE

pour un ´etat de cisaillement pur, ce qui impose τE = 1/ 3 σE = 0.58 σE .
4.4.3

(4.13)

´
Etat
plan de contraintes (σ3 = 0)

La contrainte ´equivalente de Von Mises se r´eduit `a :
q
σVM = σ12 + σ22 − σ1 σ2

(4.14)

Le domaine ´elastique est repr´esent´e sur la figure (41).

Figure 41 – Crit`ere de Von Mises : domaine ´elastique

5
5.1

Probl`
emes particuliers d’´
elasticit´
e
Contraintes planes


efinition : un solide est en ´etat de contraintes planes par rapport au plan {O; x, y}, s’il existe un
rep`ere {O; x, y, z}, tel qu’en tout point M du solide, le tenseur des contraintes soit de la forme :


σxx σxy 0
(5.1)
[σ(M )] = σxy σyy 0
0
0 0
12. Richard Von Mises (1883-1953).

´
Elasticit´
e

33

o`
u σxx , σyy et σxy sont ind´ependants de z.
L’axe z est donc, pour tous les points du solide, direction principale et la contrainte principale associ´ee
est nulle.
La loi de comportement se r´eduit `a :
 
σxx 
E
σyy =
  1 − ν2
σxy



1 ν
ν 1

0 0

 
 
0
εxx  E α ∆T 1
0 
1

 ε
1 − ν  yy 
1−ν  
γxy
0
2

(5.2a)

avec

−ν
(σxx + σyy ) + α ∆T
E
d’o`
u la forme du tenseur des d´eformations :


εxx 21 γxy 0
0
[ε(M )] =  12 γxy εyy
0
0
εzz
εzz =

(5.2b)

(5.3)

Les d´eformations et les contraintes ne d´ependent que des d´eplacements u(x, y) et v(x, y) parall`eles
aux axes x et y.
Les ´equations d’´equilibre (1.26) se r´eduisent `a :

∂σxx ∂σxy
∂2u


+
+ fx = ρ 2

∂x
∂y
∂t
2


 ∂σxy + ∂σyy + fy = ρ ∂ v
∂x
∂y
∂t2

(5.4)

Figure 42 – Plaque sollicit´ee dans son plan
Domaine d’application : l’approximation contraintes planes convient aux plaques minces sollicit´ees
dans leur plan (figure 42). Le plan {O; x, y} est alors le plan moyen de la plaque.

5.2


eformations planes


efinition : un solide est en ´etat de d´eformations planes par rapport au plan {O; x, y} s’il existe un
rep`ere {O; x, y, z} tel qu’en tout point M du solide, le champ de d´eplacement soit de la forme :

 u = u(x, y)
v = v(x, y)
(5.5)

w=0

´
Elasticit´
e

34
On en d´eduit le tenseur des d´eformations :



γxy 0
εyy 0
0
0

1
2

εxx
[ε(M )] =  12 γxy
0
avec
εxx =

∂u
∂x

,

εyy =

∂v
∂y

,

γxy =

∂u ∂v
+
∂y ∂x

(5.6a)

(5.6b)

En tout point du solide, la direction z est donc direction principale. Les d´eformations et les contraintes
sont ind´ependantes de z.
La loi de comportement se r´eduit `a :
  
 
 
λ + 2µ
λ
0 εxx 
1
σxx 
E α ∆T  
σyy =  λ
λ + 2 µ 0  εyy −
1
 
 
1 − 2ν  
γxy
σxy
0
0
µ
0

(5.7a)

avec
σzz = ν(σxx + σyy ) − E α ∆T

(5.7b)

d’o`
u la forme du tenseur des contraintes :


σxx σxy 0
[σ(M )] = σxy σyy 0 
0
0 σzz

(5.8)

Domaine d’application : l’´etat de d´eformations planes se pr´esente lorsqu’on a affaire `a un cylindre
d’axe Oz tr`es long satisfaisant aux conditions suivantes :
– les bases du cylindre sont fixes.
– les forces appliqu´ees au solide sont normales `a l’axe Oz et ind´ependantes de z.

5.3

Probl`
eme axisym´
etrique

Le solide consid´er´e est de r´evolution. Il en va de mˆeme du chargement et des conditions aux limites.
Soit z l’axe de r´evolution. Un point du solide est rep´er´e par ses coordonn´ees cylindriques (r, θ, z). La
solution est axisym´etrique. Chaque point du solide se d´eplace dans son plan m´eridien (r, z). De plus
le champ de d´eplacement est ind´ependant de la coordonn´ee θ.

Le champ de d´eplacements se r´eduit `a :

 u = u(r, z)
v=0

w = w(r, z)

(d´eplacement radial)
(d´eplacement orthoradial)
(d´eplacement axial)

(5.9)

´
Elasticit´
e

35

On en d´eduit les d´eformations :

u
u
w

 εrr = r , εθθ = r , εzz = z
∂u ∂w


γrz =
+
, γrθ = 0 , γzθ = 0
∂z
∂r

(5.10)

La direction θ est direction principale.
La loi de comportement se r´eduit `a :
  
σrr 
λ + 2µ
λ
λ


 
 
σθθ
λ
λ + 2µ
λ
=
 λ
σ
λ
λ
+



zz

 

σrz
0
0
0

 
0 
εrr 

 
 E α ∆T

0  εθθ

0 
εzz 
1 − 2ν


 
µ
γrz

 
1


 

1
1


 

0

(5.11)

d’o`
u la forme du tenseur des contraintes :



σrr 0 σrz
[σ(M )] =  0 σθθ 0 
σrz 0 σzz
Les ´equations d’´equilibre (1.26) s’´ecrivent :

∂σrr
∂σrz
σrr − σθθ
∂2u


+
+
+ fr = ρ 2

∂r
∂z
r
∂t
2


 ∂σrz + ∂σzz + σrz + fz = ρ ∂ w
∂r
∂z
r
∂t2

5.4
5.4.1

(5.12)

(5.13)

Flexion des plaques

efinitions

Une plaque est un corps solide limit´e par deux faces planes parall`eles et par une surface cylindrique
perpendiculaire `a celles-ci (figure 43).

Figure 43 – Plaque
L’´epaisseur h de la plaque est la distance entre les deux faces.
Le plan ´equidistant des deux faces est le plan m´ediant ou surface moyenne.
Soit {O; x, y, z} un rep`ere orthonorm´e tel que le plan {O; x, y} soit le plan moyen.

´
Elasticit´
e

36
Le plan situ´e `a z = h/2 est la peau sup´erieure de la plaque.
Le plan situ´e `a z = −h/2 est la peau inf´erieure de la plaque.

Une fibre normale est l’ensemble des points du solide situ´es sur une normale au plan m´ediant. Elle
est caract´eris´ee par la donn´ee de ses coordonn´ees (x, y).
Une plaque est dite mince si son ´epaisseur est petite par rapport aux autres dimensions.
On adoptera les hypoth`eses suivantes :
– La plaque est sollicit´ee par des forces de composantes (0, 0, fz ) et des couples de composantes
(mx , my , 0).
– La contrainte normale σzz est n´egligeable par rapport aux autres composantes du tenseur des
contraintes.
– Les ph´enom`enes de membrane et de flexion sont d´ecoupl´es.
Compte-tenu des conditions de chargement :
– Les ph´enom`enes de membrane sont nuls.
– σzx (x, y, ±h/2) = σzy (x, y, ±h/2) = 0.
5.4.2

Champ de d´
eplacements : mod`
ele de Reissner/Mindlin

Le mod`ele de Reissner 13 /Mindlin 14 est bas´e sur l’hypoth`
ese cin´
ematique suivante : au cours de
la mise en charge, les fibres normales restent droites d’o`
u l’expression du champ de d´eplacements
(figure 44) :

 u(x, y, z; t) = z θy (x, y; t) = z βx (x, y; t)
v(x, y, z; t) = −z θx (x, y; t) = z βy (x, y; t)
(5.14)

w(x, y, z; t) = w(x, y; t)
o`
u:
w est le d´eplacement transverse de la surface moyenne.
θx = −βy est la rotation de la fibre normale suivant x.
θy = βx est la rotation de la fibre normale suivant y.

Figure 44 – Flexion des plaques : champ de d´eplacements
Remarque : les d´eplacements u et v sont lin´eaires en z.
13. Eric Reissner (1913-1996).
14. Raymond David Mindlin (1906-1987).

´
Elasticit´
e
5.4.3

37


eformations et contraintes

Le champ de d´eplacements dans le solide est donc d´efini par la connaissance de w, βx et βy en tout
point (x, y) du plan moyen.
De l’expression du champ de d´eplacements, on d´eduit les d´eformations :

∂βy
∂βx


 εxx = z ∂x , εyy = z ∂y , εzz = 0
µ


∂βx ∂βy
∂w
∂w

 γxy = z
+
, γxz = βx +
, γyz = βy +
∂y
∂x
∂x
∂y

(5.15)

La loi de comportement s’´ecrit :
{σf } = [Dm ] {εf } = z [Dm ] {χ}
o`
u:
 
σxx 
{σf } = σyy
 
σxy

,

 
εxx 
{εf } = εyy = z {χ} ,
 
γxy


1 ν
E ν 1
[Dm ] =

1 − ν2
0 0

(5.16a)










∂βx




∂x



∂βy
{χ} =


∂y






∂β
∂β


y
x




+
∂y
∂x


0
0 

1−ν
2

(5.16b)

(5.16c)

pour la flexion et
{σc } = G kc [ I ] {εc }
o`
u:

½ ¾
σxz
{σc } =
σyz

,

½ ¾
γxz
{εc } =
γyz

·

1 0
[I] =
0 1

,

(5.16d)
¸
,

G=

E
2 (1 + ν)

(5.16e)

pour le cisaillement transverse.
{χ} est le vecteur des courbures.
{εc } et {σc } sont constants le long d’une fibre normale : le mod`ele de Reissner-Mindlin ne respecte
pas la condition σzx (x, y, ±h/2) = σzy (x, y, ±h/2) = 0. kc est un facteur de correction calcul´e par
identification statique ou dynamique entre une grandeur ´evalu´ee avec le mod`ele de Reissner-Mindlin et
cette mˆeme grandeur ´evalu´ee avec un mod`ele plus riche du point de vue de la th´eorie de l’´elasticit´e.
On adopte souvent :
5
kc =
(5.17)
6
propos´e par Reissner [33] par identification statique ou :
kc =

π2
12

(5.18)

propos´e par Mindlin [32] par identification dynamique.
´
Evaluation
du coefficient de cisaillement kc par identification statique : pour satisfaire la
condition σxz (x, y, ±h/2) = 0 , la contrainte σxz doit ˆetre au moins quadratique en z (ce qui implique,
∂u ∂w
+
, une d´ependance en z quadratique pour w et/ou
compte-tenu de la relation cin´ematique γxz =
∂z ∂x

´
Elasticit´
e

38
cubique pour u).
Si on admet la solution :


µ
4 z2
σxz (x, y, z) = σxz (x, y, 0) 1 − 2
h

d’o`
u

Z

h/2

qxz =

σxz (x, y, z) dz =
−h/2

2
σxz (x, y, 0) h
3

il vient pour l’´energie de d´eformation par unit´e de surface moyenne due `a la contrainte σxz :
Z h/2
2
1 8 2
1 6 qxz
1
2
(x, y, z) dz =
E1 =
σxz
σxz (x, y, 0) h =
2 G −h/2
2 G 15
2G 5h
La mˆeme quantit´e ´evalu´ee avec le mod`ele simplifi´e (5.16) est :
Z h/2 2
2
1
qxz
1 qxz
E2 =
dz
=
2 G kc −h/2 h2
2 G kc h
En ´ecrivant E1 = E2 , il vient :
kc =

5.4.4

5
6

(5.19)

(5.20)

(5.21)

(5.22)

(5.23)

Forces et moments r´
esultants

Consid´erons un ´el´ement de plaque infiniment petit, limit´e par un cylindre perpendiculaire au plan
moyen, de section droite rectangulaire et dont les faces sont parall`eles `a x ou y (figure 45).

Figure 45 – Efforts r´esultants
Les forces et moments r´esultants (efforts par unit´e de longueur) sont d´efinis par :
½ ¾ Z h/2 ½ ¾
σxz
q
{q} = xz =
dz
qyz
−h/2 σyz
 


mxx  Z h/2 σxx 
z σyy dz
{m} = myy =
 


−h/2
σxy
mxy

(5.24)

(5.25)

{q} et {m} s’expriment respectivement en N/m et N.m/m=N.
En portant dans ces expressions les relations de comportement (5.16), il vient :


1 ν
0
Z h/2
3
Eh
ν 1
0 
{m} = [Df ] {χ} avec [Df ] =
[Dm ] z 2 dz =

2) 
1

ν
12
(1

ν
−h/2
0 0
2
·
¸
Z h/2
E kc h
1 0
{q} = [Dc ] {εc } avec [Dc ] =
G kc [ I ] dz =
2 (1 + ν) 0 1
−h/2

(5.26a)

(5.26b)

´
Elasticit´
e

39

Remarque : on a les relations :
 


σxx  12 z mxx 
σyy = 3
myy
 

h 
σxy
mxy
5.4.5

,

½ ¾
½ ¾
1 qxz
σxz
=
σyz
h qyz

(5.27)

´
Energie
de d´
eformation et ´
energie cin´
etique

L’´energie de d´eformation est ´egale `a :
Z
1
({εf }T {σf } + {εc }T {σc }) dV
Edef =
2 V
Z
1
=
({χ}T {m} + {εc }T {q}) dA
2 A
Z
1
({χ}T [Df ] {χ} + {εc }T [Dc ] {εc }) dA avec dA = dx dy
=
2 A

(5.28)

L’´energie cin´etique est ´egale `a :
Ecin

5.4.6

Z
1
=
ρ (u˙ 2 + v˙ 2 + w˙ 2 ) dV
2 V
Z
1
=
ρ (z 2 β˙ x2 + z 2 β˙ y2 + w˙ 2 ) dV
2 V
Z
Z
1
1
ρ h3 ˙ 2
2
=
(βx + β˙ y2 ) dA
ρ h w˙ dA +
2 A
2 A 12

(5.29)

´
Equations
d’´
equilibre

Les ´equations d’´equilibre (1.26) se r´eduisent `a :
∂σxz
∂σxx ∂σxy
+
+
= ρu
¨
∂x
∂y
∂z
∂σyz
∂σyx ∂σyy
+
+
= ρ v¨
∂x
∂y
∂z
∂σzx ∂σzy
∂σzz
+
+
+ fz = ρ w
¨
∂x
∂y
∂z
Int´egrons suivant l’´epaisseur l’´equation (5.30c) :
Z h/2
∂qyz
∂qxz
+
+ pz = ρ h w
¨ avec pz =
fz dz + σzz (x, y, h/2) − σzz (x, y, −h/2)
∂x
∂y
−h/2
Multiplions par z l’´equation (5.30a) , puis int´egrons suivant l’´epaisseur :
Z h/2
Z h/2
∂mxx ∂mxy
∂σxz
1
+
+
z
dz =
z 2 ρ β¨x dz = ρ h3 β¨x
∂x
∂y
∂z
12
−h/2
−h/2
Int´egrons par parties l’int´egrale du premier membre :
Z h/2
Z h/2
Z h/2
∂(z σxz )
∂σxz
h/2
dz =
dz −
σxz dz = [z σxz ]−h/2 − qxz
z
∂z
∂z
−h/2
−h/2
−h/2

(5.30a)
(5.30b)
(5.30c)

(5.31)

(5.32)

(5.33)

En utilisant la condition σxz (x, y, ±h/2) = 0 , il vient :
∂mxx ∂mxy
1
+
− qxz =
ρ h3 β¨x
∂x
∂y
12

(5.34)

´
Elasticit´
e

40
Les ´equations d’´equilibre exprim´ees `a l’aide des efforts r´esutants s’´ecrivent :

∂qyz
∂qxz


+
+ pz = ρ h w
¨

 ∂x
∂y



 ∂mxx ∂mxy
1
+
− qxz =
ρ h3 β¨x
∂x
∂y
12




∂mxy
∂myy
1

3 ¨


 ∂x + ∂y − qyz = 12 ρ h βy
5.4.7

(5.35)

Mod`
ele de Kirchhoff

Si la plaque est mince (h est petit par rapport aux dimensions de la plaque), on adopte l’hypoth`ese de
Kirchhoff 15 : au cours de la mise en charge, les fibres normales restent perpendiculaires `a la d´eform´ee
de la surface moyenne d’o`
u les relations cin´ematiques :
βx = θy = −

∂w
∂x

,

βy = −θx = −

∂w
∂y

Le champ de d´eplacements se r´eduit `a :

∂w(x, y; t)


u(x, y, z; t) = −z



∂x
∂w(x, y; t)
v(x, y, z; t) = −z


∂y


 w(x, y, z; t) = w(x, y; t)
d’o`
u les d´eformations :

γxz = γyz = 0 ,

 2

∂ w 




2 


∂x




 2

∂ w
{χ} = −

∂y 2 





2w 





2

∂x ∂y

(5.36)

(5.37)

(5.38)

et les contraintes :
σxz = σyz = 0

(5.39)

Le cisaillement transversal est n´eglig´e.

5.5

Torsion d’une poutre cylindrique : th´
eorie de Saint-Venant

Saint-Venant 16 a r´esolu le probl`eme de la torsion des poutres cylindriques en adoptant le champ de
d´eplacements (figure 46) :
u(x, y, z) = ω(y, z)

dθx
dx

avec

dθx
= Cte
dx

v(x, y, z) = −z θx
w(x, y, z) = y θx
o`
u:
– θx est la rotation suppos´ee petite de la section autour de l’axe ~x.
15. Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887).
16. Adh´emar Barr´e de Saint-Venant (1797-1886).

(5.40)

´
Elasticit´
e

41

– ω(y, z) est la fonction de gauchissement.
Le champ de d´eplacements est la combinaison d’une rotation de la section droite autour du point C
appel´e centre de torsion (ou centre de cisaillement) et du gauchissement de la section.

Figure 46 – Torsion d’une poutre cylindrique : champ de d´eplacements
On en d´eduit les d´eformations :
γxy =

∂u ∂v
+
=
∂y
∂x

µ

∂ω
−z
∂y



dθx
dx

,

γxz =

∂u ∂w
+
=
∂z
∂x

µ

∂ω
+y
∂z



dθx
dx

(5.41)

puis les contraintes :
µ
σxy = G

∂ω
−z
∂y



µ

dθx
dx

,

σxz = G

∂ω
+y
∂z



dθx
dx

avec G =

E
2 (1 + ν)

Les composantes du tenseur des contraintes se r´eduisent donc `a :


0 σxy σxz
0 
[σ] = σxy 0
σxz 0
0

(5.42)

(5.43)

La surface du cylindre est libre de toute contrainte. Si M est un point du contour et ~n de composantes (0, ny , nz ) la normale ext´erieure, on a :
[σ(M )]{n} = {0}

(5.44)

σxy ny + σxz nz = 0 ∀M ∈ Γ

(5.45)

soit
Le moment de torsion est ´egal `a :
Z
Mt =
A

o`
u:

(y σxz − z σxy ) dA = G J


Z µ
∂ω
∂ω
J=
y
−z
dA + Ip
∂z
∂y
A

dθx
dx

(5.46)

Z
avec Ip =

A

(y 2 + z 2 ) dA = Iy + Iz

(5.47)

est la constante de torsion de Saint-Venant.
Les contraintes sont ´egales `a :
σxy

Mt
=
J

µ

∂ω
−z
∂y


,

σxz

Mt
=
J

µ

∂ω
+y
∂z


(5.48)

´
Elasticit´
e

42

Remarque : si la section est circulaire, la fonction de gauchissement est nulle et la constante de torsion
se r´eduit `a :
J = Ip
(5.49)
La fonction de gauchissement ω(y, z) est solution de l’´equation :
∂2ω ∂2ω
+
= 0 en tout point int´erieur
∂y 2
∂z 2

(5.50)

avec la condition :
σxy ny + σxz nz =

5.6

∂ω
∂ω
ny +
nz − z ny + y nz = 0 en tout point du contour
∂y
∂z

(5.51)

Contraintes dans une poutre

Consid´erons une section droite de centre de gravit´e G. Soient y et z les axes centraux principaux de
la section. L’axe x est l’axe neutre de la poutre.
£
Soit N

¤
Ty Tz Mt Mfy Mfz les efforts int´erieurs qui s’exercent sur la section.

Figure 47 – Contraintes dans une section droite
Au point M (y, z), le tenseur des contraintes a pour expression :


σxx σxy σxz
0 
[σ(M )] = σxy 0
σxz 0
0

(5.52)

La contrainte normale σxx est ´egale `a :
σxx =

Mfy
Mfz
N
+z
−y
A
Iy
Iz

(5.53)

o`
u A est l’aire de la section droite et Iy et Iz (Iyz = 0) ses moments quadratiques.
Les contraintes tangentielles σxy et σxz sont dues au moment de torsion Mt et aux efforts tranchants Ty
et Tz .
Les contraintes principales sont les solutions de l’´equation :


σxx − σn σxy σxz
−σn
0 =0
det  σxy
σxz
0
−σn

(5.54)

´
Elasticit´
e
soit :

43
·
¸
·
¸
·
¸
−σn
0
σxy σxz
σxy σxz
(σxx − σn ) det
− σxy det
+ σxz det
=0
0
−σn
0 −σn
−σn 0

(5.55)

d’o`
u le polynˆome caract´eristique :
2
2
P (σn ) = σn3 − σxx σn2 − (σxy
+ σxz
) σn = 0

(5.56)

On en d´eduit :
– les contraintes principales :
σ3 = 0 ,

σ1
σ2

¾
=

σxx 1 p 2
±
σxx + 4 τ 2
2
2

2
2
avec τ 2 = σxy
+ σxz

(5.57)

Remarque : on a la relation :
σ2 ≤ σ3 = 0 ≤ σ1

(5.58)

Figure 48 – Cercles de Mohr des contraintes
– la contrainte ´equivalente de Rankine :
σR =

´
p
1 ³
2 + 4 τ2
|σxx | + σxx
2

(5.59)

– la contrainte ´equivalente de Von Mises :
σVM =

p

2 + 3 τ2
σxx

(5.60)

– la contrainte ´equivalente de Tresca :
σT =

6
6.1

p

2 + 4 τ2
σxx

(5.61)


epouillement des rosettes d’extensom´
etrie
Principe

Une rosette d’extensom´etrie est un ensemble de trois jauges de d´eformation coll´ees en un point M
d’un solide et faisant entre elles un angle ´egal `a ϕ (figure 49). Dans la pratique, l’angle ϕ est ´egal `a 45
ou 120 degr´es. Soient ~a, ~b et ~c les vecteurs unitaires port´es par les jauges.

´
Elasticit´
e

44

Figure 49 – Rosette d’extensom´etrie
Soient ~k le vecteur unitaire normal en M `
a la surface, dirig´e vers l’ext´erieur du solide et {M ;~ı, ~, ~k}
le rep`ere orthonorm´e tel que ~ı = ~a.
La direction ~k est direction principale et, en l’absence de pression ext´erieure, la contrainte principale
correspondante est nulle : en M l’´etat de contrainte est plan. Le tenseur des contraintes et le tenseur
des d´eformations ont pour expression dans le rep`ere {M ;~ı, ~, ~k} :




σxx σxy 0
εxx 21 γxy 0
0
[σ(M )] = σxy σyy 0 , [ε(M )] =  12 γxy εyy
(6.1)
0
0 0
0
0
εzz
avec les relations de comportement (en l’absence de gradient thermique) :
σxx =

E
(εxx + ν εyy ) ,
1 − ν2

σyy =

E
(εyy + ν εxx ) ,
1 − ν2

σxy =

E
γxy
2 (1 + ν)

ν
ν
(σxx + σyy ) = −
(εxx + εyy )
E
1−ν
o`
u E et ν sont les caract´eristiques ´elastiques du mat´eriau.
εzz = −

(6.2a)
(6.2b)

La mesure de l’allongement unitaire dans les trois directions ~a, ~b et ~c :
εa = ε(M, ~a) ,

εb = ε(M, ~b ) ,

εc = ε(M, ~c )

(6.3)

donne trois ´equations qui, ajout´ees aux quatre relations (6.2), permet la d´etermination de l’´etat de
d´eformation (4 inconnues) et de l’´etat de contrainte (3 inconnues) en M .
Les composantes des vecteurs ~a, ~b et ~c sont :


 
cos ϕ
1
, {b} = sin ϕ
{a} = 0


 
0
0

,



cos 2 ϕ
{c} = sin 2 ϕ


0

(6.4)

L’allongement unitaire en M dans les trois directions ~a, ~b et ~c est ´egal `a (´equation 2.77) :

d’o`
u:

On en d´eduit :

ε(M, ~n = ~a, ~b, ~c ) = {n}T [ε(M )] {n} = n2x εxx + n2y εyy + nx ny γxy

(6.5)


 εa = εxx
ε = εxx cos2 (ϕ) + εyy sin2 (ϕ) + γxy cos(ϕ) sin(ϕ)
 b
εc = εxx cos2 (2 ϕ) + εyy sin2 (2 ϕ) + γxy cos(2 ϕ) sin(2 ϕ)

(6.6)

´
Elasticit´
e

45

– les composantes εxx , εyy et γxy du tenseur des d´eformations :

εxx = εa




−εa + 2 εb + εc + 2 cos2 (ϕ) εa − 4 cos2 (ϕ) εb

εyy =
2 sin2 (ϕ)

2

ε − εc − 4 cos (ϕ) εa + 4 cos2 (ϕ) εb


 γxy = a
2 cos(ϕ) sin(ϕ)

(6.7)

– les composantes du tenseur des contraintes et la d´eformation εzz (´equation 6.2)
– les contraintes principales :
σ1
σ2

¾
=

σxx + σyy
1q
2
±
(σxx − σyy )2 + 4 σxy
2
2

,

σ3 = σzz = 0

(6.8)

– les d´eformations principales :
ε1 =

1
(σ1 − ν σ2 ) ,
E

ε2 =

1
(σ2 − ν σ1 ) ,
E

ε3 = εzz = −

ν
(σ1 + σ2 )
E

(6.9)

– la position angulaire θ1 de la direction principale ~n1 par rapport `a l’axe ~ı = ~a :
tan θ1 =

6.2

σ1 − σxx
ε1 − εxx
=2
σxy
γxy

(6.10)

Rosette `
a 45 degr´
es

Figure 50 – Rosette `
a 45 degr´es
L’´equation (6.6) se r´eduit `a :


εa = εxx



1
1
1
εb = εxx + εyy + γxy

2
2
2


εc = εyy

(6.11)

d’o`
u
εxx = εa

,

εyy = εc

et
εzz = −

,

γxy = 2 εb − εa − εc

ν
(εa + εc )
1−ν

(6.12)

(6.13)

´
Elasticit´
e

46

6.3

Rosette `
a 120 degr´
es

Figure 51 – Rosette `
a 120 degr´es
L’´equation (6.6) se r´eduit `a :


εa = εxx





1
εb = εxx +
4




 ε = 1ε +
xx
c
4

d’o`
u
εxx = εa

,

εyy =

1
(2 εb + 2 εc − εa ) ,
3

et
εzz = −

6.4


3
3
εyy −
γxy
4
√4
3
3
εyy +
γxy
4
4
2
γxy = √ (εc − εb )
3

2 ν
(εa + εb + εc )
3 1−ν

(6.14)

(6.15)

(6.16)

Remarque : utilisation du cercle de Mohr des d´
eformations

Les facettes ~a, ~b et ~c appartiennent `a la famille de facettes passant par la direction principale ~n3 = ~k.
En utilisant la repr´esentation de Mohr des d´eformations (§ 2.8.5), on a :

 εa = d + r cos(2 θ1 )
ε = d + r cos(2 (θ1 − ϕ))
 b
εc = d + r cos(2 (θ1 − 2 ϕ))
o`
u:
d = (ε1 + ε2 )/2 ,

r=

1
(ε1 − ε2 )
2

(6.17)

(6.18)

Ces trois ´equations permettent le calcul de d, r et θ1 , puis ε1 = d + r et ε2 = d − r :
Rosette `
a 45 degr´
es : les ´equations (6.17) s’´ecrivent :

 εa = d + r cos(2 θ1 )
ε = d + r cos(2 (θ1 − π/4)) = d + r sin(2 θ1 )
 b
εc = d + r cos(2 (θ1 − π/2)) = d − r cos(2 θ1 )

(6.19)

d’o`
u:
d = (εa + εc )/2 ,

r cos(2 θ1 ) = εa − d

,

r sin(2 θ1 ) = εb − d

(6.20)


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