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Auteur: Yann

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Variables aléatoires & co.
...................................................................................................
Pour expliquer le fonctionnement de cette ovni, je vais m'appuyer sur un exercice, afin de rendre
cette récap' plus complète.

Enoncé
Soit

une variable aléatoire dont la densité






est définie par :

Déterminer la valeur de k et tracer le graphe de la densité
Déterminer la fonction de répartition de de
Calculer

Soit
; déterminer la fonction de répartition G de Y puis sa densité g.

Question 1
-OK, euh on fait quoi là ?
Par définition, k = 1.
Mais ça serait trop simple, donc on rajoute une tite intégrale qui est toujours établit entre

et

Cela est toujours vrai.
Il est donc important de toujours commencer par cette définition.
- Et c'est fini là nan ?
Pas vraiment...
Il s'agit d'identifier les bornes sur lesquelles on se trouve:
D'après l'énoncé, il est aisé de constater que nous allons de
1.

à

en passant par les valeurs 0 et

Nous allons donc découper (Dexter si tu m'entends) cette intégrale en plusieurs morceaux.

Etape 1

Nous allons de

à 0:

- OK, ok, mais pourquoi

?

Il suffit de regarder la définition de votre fonction pour

.

Etape 2
Nous allons maintenant de 0 à 1:

Etape 3
Terminons enfin par le dernier intervalle allant de 1 jusqu'à

:

Etape 4
On additionne tout, et PAF! ça fait des Chocapic©:

Remarque : Pour l'exam', ne vous amusez pas à afficher "Etape1", "Etape 2" ...etc. mais passez
directement à l'étape 4.

Etape 5
L'Integralizacion ! olé.

Bon maintenant le graphique:

Question 2

Détermination de la fonction de répartition

de

En rapport avec les bornes définis dans l'énoncé, la fonction de répartition "générale" va donc de
à .

Remarque: Ne vous inquiétez pas du , celui ci a été changé pour éviter toutes confusions avec
"Cette fonction ne vous plait pas ? Découpez là !"
Mais pas n'importe comment non plus. Nous allons répartir ce découpage suivant des cas, à savoir:
,
et
.
Le principe est un peu identique à celui de , sauf que là, la fin de la borne s'arrêtera à .

Cas #1 - Si
Graphiquement

La barre fushia, représente un
arbitraire.

comprit entre

et 0 non comprit, celui est placé de façon

.

Ce qui revient à écrire cela:

Cas #2 - Si
Graphiquement

Remarque: Ne pas oubliez que la fonction de répartition est "cumulative", par conséquent les cas
s'ajoutent (attention aux bornes: la première intégrale ne va plus de
à x mais de
à 0).

Cas #3 - Si
Graphiquement

Récapitulation

Question 3
Calcul de
Rappel:

Si

Si

Si

Récapitulatif


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