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Cinématique de Lagrange et d'Euler .pdf



Nom original: Cinématique de Lagrange et d'Euler.pdf
Titre: Microsoft PowerPoint - Cinématique de Lagrange et d'Euler
Auteur: Liber Tec

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Centre Universitaire d’Ain Témouchent
Institut des sciences et Technologie
Parcours: Génie Mécanique (L3)

Matière: Mécanique des Milieux continus (MMC)

CHAPITRE 1: CINÉMATIQUE DE LAGRANGE ET D’EULER

Chargée du cours: TAHAR BERRABAH

CHAPITRE 1: CINÉMATIQUE DE LAGRANGE ET D’EULER
1.1 NTRODUCTION
™ La mécanique des milieux continus traite de ll'étude
étude des équilibres,
équilibres des mouvements
et des déformations de systèmes mécaniques.
™ Si la mécanique rationnelle ss'intéresse
intéresse aux systèmes constitués par des points
matériels ou des solides rigides, la mécanique des milieux continus étudie les milieux
solides, fluides ou gazeux déformables qui occupent un domaine continu de l'espace.
™ Comme la mécanique rationnelle, la mécanique des milieux continus est un modèle
d'étude qui se base sur les lois fondamentales de la physique dans le cadre de la
mécanique classique: conservation de la masse, de la quantité de mouvement, premier
et second principe de la thermodynamique.
™Le mouvement est donc décrit dans l'espace physique par rapport à un référentiel
choisi; et on postule l'existence d'un référentiel absolu ou Galiléen.

2

CHAPITRE 1: CINÉMATIQUE DE LAGRANGE ET D’EULER
1.1 INTRODUCTION
™ Par rapport à la mécanique rationnelle,
rationnelle la mécanique des milieux continus introduit
une hypothèse supplémentaire: continuité du milieux étudié et des transformations qu'il
subit.
™ Déformation: le milieu étudié étant continu et déformable, il s'agit de pouvoir décrire
les déformations qu'il subit (tenseur des déformations.)
™ Contrainte: au sein du milieu étudié subsiste des efforts intérieurs de cohésion
((tenseur des contraintes).
)
™ Lois de comportement: les relations liant les contraintes aux déformations, qui
caractérisent le matériau étudié, représentent les lois de comportement.

CHAPITRE 1: CINÉMATIQUE DE LAGRANGE ET D’EULER
1.2 SYSTÈME
È
MATERIEL
™ L’espace géométrique est identifié à R3 considéré selon le cas comme un espace
vectoriel.
vectoriel
™ Le système matériel (S) étudié (ou le milieu matériel) est supposé être constitué de
points matériels.
matériels
1.3 CINEMATIQUE
La cinématique
L
i é ti
ét di les
étudie
l mouvements
t des
d particules
ti l sans tenir
t i compte
t des
d forces
f
quii
leurs donne naissance; On considère donc seulement les relations entre les positions
des particules et le temps.

CHAPITRE 1: CINÉMATIQUE DE LAGRANGE ET D’EULER
1.3 CONFIGURATION
L’espace physique
L’
h i
estt rapporté
té à un repère
è orthonormé
th
é direct
di t
. L’ensemble
L’
bl
des particules ou points matériels constituant le milieu continu étudié, occupe à chaque
instant ‘t’, un ensemble de positions dans l’espace: c’est la configuration du système à
ll’instant
instant t,
t noté
(d’intérieur
(d
intérieur
) et de frontière
.On
On introduit aussi la notion de
configuration de référence: c’est la configuration particulière du système à un instant ‘t0’
fixé. Souvent on prendra
, et on parlera alors de configuration initiale.
Toute particule
de
est repérée par son vecteur position
dans la configuration
de référence. Toute particule
de
est repérée par son vecteur position
dans
la configuration actuelle (à ll’instant
instant ‘t’)
t ).

Figure 1: Configurations de référence et actuelle

CHAPITRE 1: CINÉMATIQUE DE LAGRANGE ET D’EULER
1 3 CONFIGURATION
1.3
La position de chaque particule
sera donc déterminée si on connaît sa position dans
la configuration de référence et une fonction telle que:

Figure 1: Configurations de référence et actuelle

définit le mouvement p
par rapport
pp à
scalaires, telles que:

. On devra donc déterminer trois fonctions

CHAPITRE 1: CINÉMATIQUE DE LAGRANGE ET D’EULER
1 3 CONFIGURATION
1.3

Figure 1: Configurations de référence et actuelle

Dire q
que le milieu est continu,, c’est dire q
que
est une fonction continue et biunivoque
q
de
.On supposera que est différentiable. Le déplacement par rapport à la
configuration , à l’instant ‘t’, de la particule
est le vecteur:

CHAPITRE 1: CINÉMATIQUE DE LAGRANGE ET D’EULER
1 4 VARIABLES DE LAGRANGE ET VARIABLES D’EULER
1.4
D EULER
™ Une grandeur attachée à une particule (masse volumique, vitesse,...) peut être
définie:
La Méthode de Lagrange:
™ La méthode de Lagrange consiste à individualiser une particule déterminée du
milieux et la suivre dans son mouvement, ainsi on représente les coordonnées d’une
particule en fonction de la position initiale et le temps
L Méth
La
Méthode
d d’Euler:
d’E l
™ La méthode d’Euler considère un point fixe de l’espace et à étudier ce qui se passe en ce
ppoint en fonction du temps.
p
™ On détermine en fonction de temps, la vitesse des particules qui viennent successivement
passées en ce point. On représente les composantes de la vitesse en fonction des coordonnées
de la particule et du temps.
™ Le vecteur vitesse d’une
d une particule

est défini par:

™ Le vecteur accélération d’une particule

est défini par:

CHAPITRE 1: CINÉMATIQUE DE LAGRANGE ET D’EULER
1.5 Notion de Trajectoire
On appelle trajectoire d’une particule, la courbe géométrique lieu des positions
occupées par cette particule au cours du temps.
est une représentation
paramétrée en temps de la trajectoire. Par définition de la vitesse:

les trajectoires peuvent être obtenues par la résolution des trois équations

CHAPITRE 1: CINÉMATIQUE DE LAGRANGE ET D’EULER
1.6 Notion de Lignes de courant
A un instant donné, on appelle lignes de courant du mouvement, les lignes qui sont en
tout point tangentes au vecteur vitesse de la particule située en ce point
point. Soit pour ‘t’t
fixé, deux équations:

Remarque: Pour un mouvement stationnaire (ou permanent)
courant et les trajectoires sont confondues.

Les lignes de

CHAPITRE 1: CINÉMATIQUE DE LAGRANGE ET D’EULER
1.7 Milieu continu
L’hypothèse
yp
de continuité concerne la continuité du milieu et des transformations q
qu’il
subit.
1.7.1 Continuité des Transformations
Le système matériel est supposé occuper à chaque instant t un domaine spatial D(t)
La fonction Transformation est supposée continue par rapport à tous ses arguments (X
et t).
O supposera aussii qu'elle
On
' ll admet
d
d dérivées
des
dé i é partielles
i ll premières

( sii nécessaire
(et
é
i
des dérivées secondes) continues par rapport à ses arguments (sauf éventuellement le
long de certaines surfaces de discontinuité).

CHAPITRE 1: CINÉMATIQUE DE LAGRANGE ET D’EULER
1.7 Milieu continu
1.7.2 Continuité du Milieu
Toutes
T
t
l
les
propriétés
iété physiques
h i
d milieu
du
ili
sontt supposées,
é
à chaque
h
i t t
instant,
continues par rapport aux coordonnées spatiales. Par exemple, la masse volumique
ρ(x) des différents points matériels occupant à l'instant t les points de coordonnées x
est supposée continue par rapport à x.
x

CHAPITRE 1: CINÉMATIQUE DE LAGRANGE ET D’EULER
1.7 Milieu continu
1.7.3 Conséquences préliminaires
™ Deux points matériels infiniment voisins à un instant donné, sont infiniment voisins à
tout autre instant.
™ Des points matériels qui à un instant donné forment un ensemble connexe, volume,
surface ou ligne, forment encore un ensemble connexe (de même ordre) à tout instant.
Ces points définissent respectivement un volume matériel,
matériel une surface matérielle ou
une ligne matérielle.
™ Les points matériels qui à un instant donné se trouvent à l'intérieur d'une surface
fermée restent à tout instant à l'intérieur de la surface transformée.
™ Les éléments matériels qui à un instant donné forment la frontière d'un milieu continu,
en forment encore la frontière à tout instant.
instant
™ Le principe de conservation de la masse (PCM) stipule que la masse contenue à
l'intérieur d'une surface matérielle fermée reste constante au cours du temps.

CHAPITRE 1: CINÉMATIQUE DE LAGRANGE ET D’EULER
1.7 Milieu continu
1.7.4 Limitations
™ La mécanique des milieux continus étudie le mouvement de la matière à une échelle
macroscopique. La matière est donc supposée continue et occupant, à chaque instant,
un domaine spatial
p
continu. Ceci suppose
pp
donc q
qu'à l'échelle à laquelle
q
se p
place l'étude,
les discontinuités microscopiques de la matière n'ont pas une grande influence sur le
phénomène étudié. En particulier, l'élément de volume considéré infinitésimal à l'échelle
mécanique des milieux continus doit contenir suffisamment de particules matérielles
(molécules, cristaux, ...) pour qu'en moyenne le caractère discontinue n'ai pas
d'influence. Ceci constitue une première limitation fondamentale de cette théorie.
™ L'hypothèse de continuité stricte ne permet pas de traiter des phénomènes du type
cavitation en mécanique des fluides, ou fissuration en mécanique des solides ou d'une
manière générale les phénomènes qui engendrent des discontinuités particulières.
particulières Ces
phénomènes peuvent être traités en relâchant un peu l'hypothèse de continuité en
admettant éventuellement une discontinuité en un certain nombre fini de singularités
(points,, lignes,
(p
g
, surfaces).
)


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