Exercices trigonométrie .pdf



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Exercices de trigonométrie
1−2cosx+cos2x
x
1) Démontrer : 1+2cosx+cos2x = −tan² ( 2 )

1−2cosx+cos2x
cos0−cosx+cos2x−cosx
=
1+2cosx+cos2x
cos0+cosx+cos2x+cosx
=

x
−x
3x
x
−2sin( )sin (
)−2sin( )sin ( )
2
2
2
2
x
3x
x
2cos² ( )+2cos( ) cos( )
2
2
2

x
3x
x
−2sin( )[sin( )−sin ( )]
2
2
2
=
x
3x
x
2cos( )[cos( )+cos( )]
2
2
2
x
= −tan ( )
2

x
2cos( x )sin( )
2
x
2cos( x) cos( )
2

x
= −tan² ( )
2

1
2) Démontrer : sin( 2x)sin (5x )cos(3x)= 4 (1−cos4x+cos6x−cos10x)

sin(2x)sin(5x)cos(3x)= cos3x

cos7x−cos3x
−2

=

−cos²3x+cos3xcos7x
−2

=

1+cos6x cos10x+cos4x
+
4
−4

=

1
(1−cos4x+cos6x−cos10x)
4

sin (a+b)sin (a−b)

3) Démontrer : tan² ( a)−tan² (b)= cos² (a) cos² (b )
tan²a−tan²b =

sin²a sin²b

cos²a cos²b

=

sin²a cos²b−sin²b cos²a
cos²a cos²b

=

( sina cosb+cosa sinb)( sina cosb−cosa sinb)
cos²a cos²b

=

sin(a+b) sin(a−b)
cos²a cos²b

3x
x
4) Démontrer : sinx+ sin2x+ sin3x=4cosx sin ( 2 ) cos( 2 )

4cosx sin(

3x
x
)cos( ) = 2cosx ( sin2x+ sinx)
2
2
=

sin3x+ sinx+ sin2x(+sin 0)

5) Résoudre dans R : 4 cos²x−2( √ 3−1) cosx− √ 3=0
Posons X = cosx
4 X²−2 ( √ 3−1) X −√ 3=0

Δ=4(3+1−2 √ 3)+16 √ 3=16+8 √ 3=( 2+2 √ 3) ²
X 1=

2( √ 3−1)+2+2 √ 3 √ 3
=
8
2

X 2=

2( √ 3−1)−(2+2 √ 3) −1
=
8
2

3
±π
cosx= √ ⇔ x=
[ 2π ]
2
6
cosx=

−1
±2 π
⇔ x=
[2 π ]
2
3

6) Résoudre dans R : tan²x+(1− √ 3)tanx−√ 3=0
Posons X = tanx

X²+(1− √ 3) X − √ 3=0 racine évidente : X = -1
( X +1)( X −√ 3)=0 deuxième racine : X =
tanx=−1⇔ x=

−π
[π ]
4

π
tanx=√ 3 ⇔ x= [π]
3

√3

7) Résoudre dans R : sinx+cosx+ sin2x=1
sinx+cosx+2 sinx cosx=1
Posons S = sinx + cosx et P = sinxcosx
et sin²x+cos²x=1
S+2 P=1
et S²−2 P=1

2 P=1−S
et S²+S −2=0
2 P=1−S
Or S = sinx + cosx donc,
et S=1 ou S =−2

−√ 2⩽S ⩽ √ 2 soit S = 1

S =1
et P=0
cosx sinx=0 et cosx+sinx=1 ⇔ cosx=0 et sinx=1 ou sinx=0 et cosx=1

π
x= [ 2π ] ou x=0[ 2 π]
2

soit :

8) Résoudre dans ] - π ; π] : cos2x+11 sinx+5=0
(1−sin²x)−sin²x+11 sinx+5=0
Posons X = sinx
−2 X²+11 X +6=0
Δ=121+48=13²

X 1=

−11+13 −1
=
−4
2

X 2=

−11−13
=6
−4

sinx = 6 impossible
sinx=

−1
−5 π
⇔ x= −π ou x=
2
6
6

9) Résoudre dans R : √ 3 cosx+ sinx=1

√ 3 cosx+ 1 sinx= 1
√ 3+1
√ 3+1
√ 3+1
cos

π
π
π
cosx+sin sinx=cos
6
6
3

π
π
cos( x− )=cos
6
3

π
x− = π [2 π ]
6 3
π
x= [ 2 π ]
2

π
x− = −π [ 2π ]
6
3

ou
ou

x=

−π
[2 π ]
6

10) Résoudre dans R : ( √ 3+1) sin² x−2 √ 3 sinx cosx+( √ 3−1) cos²x=0

√ 3( cos²x+sin²x )−cos2x− √ 3 sin2x=0
Posons X = 2x
cos

π
π
π
cosX +sin sinX =cos
3
3
6

π
π
cos( X − )=cos
3
6
π
X = [ 2π ] ou
2
soit

π
x= [ π]
4

π
X = [2π]
6

ou

x=

π
[π ]
12

11) Résoudre dans R : 2sin²x+sin²2x=2
sin²x+2sin²x (1−sin²x)−1=0 Posons sin²x = X
−2 X²+3 X −1=0 racine évidente : X = 1

1
−2( X −1)( X − )
2

deuxième racine : X = 1/2

π
sin²x=1 ⇔ x= [ π]
2

ou

1
π π
sin²x= ⇔ sin²x−cos²x=0 ⇔cos2x=0⇔ x= [ ]
2
4 2

π

12) Calculer B=tan² 12 +tan² 12

π

sin²
12
12
B=
+
π

cos²
cos²
12
12
sin²

π

1−cos
6
6
B=
+
π

1+cos
1+cos
6
6
1−cos

3
3
1− √
1+ √
2
2
B=
+
3
3

1+
1− √
2
2

3
3
(1− √ ) ²+(1+ √ ) ²
2
2
B=
3
3
(1− √ )(1+ √ )
2
2
3
2
B=
3
1−
4
2+

B=14

13) Calculer E=cos6 x+sin 6 x +3sin²xcos²x
E=(cos²x)3 +( sin²x)3 +3sin²xcos²x (cos²x+ sin²x)
E=(cos²x+sin²x)3 =1

14) Résoudre dans R : 2 sin²x=1+sin3x
sin²x=cos²x+ sin3x

sin( 2 x −π / 2)= sin3x
2 x−π / 2=3 x [2 π ]
x=

−π
[2 π ]
2

ou

ou 2 x−π / 2=π−3 x [ 2π ]
x=

3π 2π
[
]
10 5

(le premier cas est inclus dans le second)

sinx− siny=

15) Résoudre dans R² :

et cos2x−cos2y=

1
sinx= +siny
2
et 1−2 sin²x+2 sin²y−1=

1
2

siny=−1 / 2
et sinx=0
y =−π /6 [2 π ]ou y =−5 π /6[2 π ]

et

x=0[π ]

1
2
1
2



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