deriv03.pdf


Aperçu du fichier PDF deriv03.pdf - page 1/17

Page 12317



Aperçu texte


DÉRIVABILITÉ d'une fonction
Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre sont définies sur  ou une partie de  et sont à valeurs dans .
Les intervalles considérés sont non vides et non réduits à un point.

1. Dérivabilité en un point
1.1 Théorème
Soit ¦ une fonction définie sur un intervalle I. Soit x0 un élément de I.
Les deux assertions suivantes sont équivalentes :
1) Il existe un réel l tel que l'accroissement moyen ait pour limite l :
lim
h®0

¦ ( x0 + h ) - ¦ ( x0 )
=l
h

Note : h tend
vers 0 de façon
que x0 + h Î I

2) Il existe un réel l et une fonction j tels que pour tout h tel que x0 + h Î I :
¦(x0 + h) = ¦(x0) + lh + hj(h) où lim j(h) = 0
h®0

Démonstration
Supposons la condition 1). Il existe l Î  tel que :
lim
h®0

Posons, pour h ¹ 0 :

j(h) =

¦ ( x0 + h ) - ¦ ( x0 )
=l
h
¦ ( x0 + h ) - ¦ ( x0 )
-l
h
lim j(h) = 0

Par hypothèse, on a ainsi :

h®0

hj(h) = ¦(x0 + h) - ¦(x0) - lh

De plus :
D'où la condition 2) :

¦(x0 + h) = ¦(x0) + lh + hj(h) où lim j(h) = 0
h®0

Réciproquement, supposons la condition 2) :
¦(x0 + h) = ¦(x0) + lh + hj(h) où lim j(h) = 0
h®0

Pour h ¹ 0, on a :
Et comme lim j(h) = 0, il vient :
h®0

¦ ( x0 + h ) - ¦ ( x0 )
= l + j(h)
h
lim
h®0

¦ ( x0 + h ) - ¦ ( x0 )
=l
h

D'où la condition 1).

Dérivabilité

Page 1

G. COSTANTINI http://bacamaths.net/