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Vocabulaire :
· La quantité

¦ ( x0 + h ) - ¦ ( x0 )
s'appelle l'accroissement moyen de ¦ en x0. Graphiquement, elle représente
h

le coefficient directeur de la sécante à la courbe Cf de ¦ entre les points d'abscisses x0 et x0 + h.

¦(x0)



B

¦(x0 + h)

A

x0 + h

x0

· La condition 1) peut donc aussi se traduire par : l'accroissement moyen de ¦ en x0 admet une limite finie.
· L'écriture sous la forme ¦(x0 + h) = ¦(x0) + lh + hj(h) (où lim j(h) = 0) s'appelle le développement limité
h®0

de ¦ à l'ordre 1 en x0.
· La condition 2) peut donc encore se traduire par : ¦ admet un développement limité à l'ordre 1 en x0.

1.2. Définition
Soit ¦ une fonction définie sur un intervalle I. Soit x0 un élément de I.
Lorsque l'une des deux conditions du théorème ci-dessus est vérifiée, on dit que :
¦ est dérivable en x0
Le nombre l s'appelle alors le nombre dérivé de ¦ en x0 et on le note ¦'(x0).
Commentaires :
· la limite de l'accroissement moyen de ¦ en x0 (lorsqu'il existe) peut encore s'écrire sous la forme suivante :
lim

x ® x0

¦ ( x ) - ¦ ( x0 )
x - x0

Ces transformations
d'écritures se font via le
changement de variable :

· Le développement limité de ¦ en x (lorsqu'il existe) peut encore se noter :

x = x0 + h

¦(x) = ¦(x0) + ¦'(x0)(x - x0) + (x - x0)j(x - x0)
(Cette dernière relation s'appelle "formule de Taylor-Young appliquée à ¦ en x0 à l'ordre 1")

· La formule de Taylor-Young, ci-dessus, peut encore s'écrire :
¦(x) - ¦(x0) = ¦'(x0)(x - x0) + (x - x0)e(x - x0) où lim e(x - x0) = 0
x ® x0

Avec la notation des Physiciens : Dx = x - x0, Dy(x0) = ¦(x) - ¦(x0), nous obtenons :
Dy(x0) = ¦'(x0)Dx + Dxe(Dx)
En faisant tendre e vers 0, on obtient l'écriture différentielle des Physiciens :
dy = ¦'(x0)dx ou encore ¦'(x0) =

Dérivabilité

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dy
( x0 )
dx

G. COSTANTINI http://bacamaths.net/