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· Lorsque l'accroissement moyen n'admet pas de limite en x0, il se peut qu'il en admette une à droite (ou à
gauche) de x0. On dit alors que ¦ est dérivable à droite (ou à gauche) en x0. (voir exemple de la fonction
"valeur absolue" en 0 un peu plus bas)

Exemples d'utilisation de la définition :
1) On considère la fonction ¦ définie sur + par ¦(x) =

x . Étudier sa dérivabilité en 0.

Pour cela, on évalue la limite de l'accroissement moyen de ¦ en x0 = 0 :
¦ ( x0 + h ) - ¦ ( x0 )
=
h
D'où :

lim
h®0

1
0+h - 0
h
=
=
h
h
h

1
¦ ( x0 + h ) - ¦ ( x0 )
= lim
= +¥
h®0
h
h

La limite n'est pas finie. La fonction "racine carrée" n'est donc pas dérivable en 0.
Cependant, la courbe admet, au point d'abscisse 0, une demi-tangente verticale.
2) On considère la fonction ¦ définie sur  par ¦(x) = |x|. Étudier sa dérivabilité en 0.
0+h - 0
h
=
h
h

Nous avons pour tout h ¹ 0 :

Or, la quantité

h
n'a pas de limite en 0. En effet :
h
h
h
h
h
= lim = 1 et lim
= lim - = -1
h® 0 h
h® 0
h h® 0 h
h

lim

h® 0
h>0

h>0

h<0

h<0

(Les limites à gauche et à droite sont différentes...)

L'accroissement moyen de la fonction ¦ n'a pas de limite en 0. Par conséquent la fonction valeur
absolue n'est pas dérivable en 0.
Cependant, elle est dérivable "à droite" de 0 et "à gauche" de 0.
La courbe admet donc deux demi-tangentes distinctes de coefficients directeurs respectifs 1 et -1

2. Différentes interprétations du nombre dérivé
2.1. Interprétation graphique du nombre dérivé : il représente le coefficient directeur de la tangente à C¦
au point de C¦ d'abscisse x0 (dans l'hypothèse où ce coefficient directeur et cette tangente existent !)

B

¦(x0 + h)

¦(x0)



Le coefficient directeur de la sécante (AB) est :
¦ ( x0 + h ) - ¦ ( x0 )
h

A

Lorsque h tend vers 0 :
· le point B tend vers le point A

x0

x0 + h

· la droite (AB) tend alors vers la tangente à C¦ en A
· l'accroissement moyen de ¦ en x0 tend vers ¦'(x0).

À la limite, le point B est en A, la droite (AB) est alors tangente à C¦ en A et son coefficient directeur est ¦'(x0).

Dérivabilité

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