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2.2. Interprétation numérique du nombre dérivé :
On a vu que lorsque ¦ est dérivable en x0, on a :
¦(x) = ¦(x0) + ¦'(x0)(x - x0) + (x - x0)j(x - x0) où lim j(h) = 0
h®0

Ainsi lorsque x est voisin de x0, on a l'approximation :
¦(x)  ¦(x0) + ¦'(x0)(x - x0)
L'application x a ¦(x0) + ¦'(x0)(x - x0) s'appelle approximation affine de ¦ en x0.
(Si, si, regardez bien, c'est une application affine ! Car elle est du type x a ax + b avec a = ¦'(x0) et b = ¦(x0) - ¦'(x0)x0...)

2.3. Détermination d'une équation de la tangente T à C¦ au point A d'abscisse x0 :

T


M

y

La méthode est classique : soit M(x ; y) un point
quelconque de cette tangente T distinct de A. Le

¦(x0)

A

coefficient directeur de T est :
¦' (x0) =

y - ¦ ( x0 )
x - x0

x0

x

y = ¦(x0) + ¦ ' (x0)(x - x0)

D'où une équation de T :

On constate que la tangente T n'est autre que la représentation graphique de l'approximation affine de ¦ (en x0).

¦(x) = - x 2 + 3

Exemples : On donne :

Équation de la tangente T au point d'abscisse x0 = 2 ?
On calcule ¦'(2) :

¦(2 + h) - ¦(2) -(2 + h) 2 + 3 - (-22 + 3) -4h - h2
=
=
=-4-h
h
h
h

Bien sûr, si l'on sait que
¦'(x) = -2x, on obtient
immédiatement ¦'(2) = -4.

¦'(2) = lim (-4 - h) = - 4
h®0

L'équation de T est donc :

y = ¦(2) + ¦'(2)(x - 2) = -1 - 4(x - 2) = -4x + 7

Autre méthode (pour ceux qui ont oublié la formule) : une équation de T est de la forme y = ¦'(2)x + b.
La condition ¦(2) = -1 livre alors b = 7.

2.2. Interprétation cinématique du nombre dérivé :
Supposons ici que ¦ représente la loi horaire d'un mobile en déplacement. La vitesse moyenne du mobile entre
les instants t0 et t0 + h est alors :
¦(t0 + h) - ¦ (t0 )
h
La vitesse instantanée du mobile au moment t0 est donc donnée par :
lim
h®0

¦(t0 + h) - ¦ (t0 )
= ¦'(t0)
h

Si ¦ est une loi horaire d'un mobile en mouvement, le nombre dérivé en t0 représente la vitesse
instantanée du mobile à l'instant t0.

Dérivabilité

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