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3. Fonction dérivée
3.1. Définition
Lorsqu'une fonction ¦ admet un nombre dérivé en tout point x0 d'un intervalle I, on dit que ¦ est dérivable sur I.
On définit alors la fonction dérivée, notée ¦', qui à tout point x0 de I associe le nombre dérivé ¦'(x0).
Nous savons déjà dériver un certain nombre de fonctions. Se reporter au tableau des dérivées pour en avoir un
dy = ¦'(x)dx

aperçu. Les physiciens notent :

On montre (voir quelques démonstrations au paragraphe 5) que la somme et le produit de fonctions dérivables
(sur un intervalle I) est dérivable (sur I). De même pour le quotient ¦/g de deux fonctions dérivables où g ne
s'annule pas sur I. On montrera également que les fonctions du type x a x n (n Î ) sont dérivables sur .
Ainsi, les fonctions polynômes sont dérivables sur  et les fonctions rationnelles le sont sur tout intervalle
contenu dans leur ensemble de définition.

Donnons à présent un théorème fondamental :
3.2. Théorème
Toute fonction ¦ dérivable sur un intervalle I est continue sur I.
Démonstration :
Soit x0 Î I. Puisque ¦ est dérivable en x0, elle admet un développement limité à l'ordre 1 en x0 :
¦(x0 + h) = ¦(x0) + ¦'(x0)h + hj(h) où lim j(h) = 0
h®0

Posons x = x0 + h, il vient alors :
¦(x) = ¦(x0) + (x - x0)¦'(x0) + (x - x0)j(x - x0) où lim j(x - x0) = 0
x ® x0

Par passage à la limite lorsque x tend vers x0, on obtient :
lim ¦(x) = lim (¦(x0) + (x - x0)¦'(x0) + (x - x0)j(x - x0))

x ® x0

x ® x0

Or lim (x - x0)¦'(x0) = 0 car ¦'(x0) est un nombre fini et lim (x - x0)j(x - x0) = 0
x ® x0

D'où

x ® x0

lim ¦(x) = ¦(x0)

x ® x0

La fonction ¦ est donc continue en x0.
Ce raisonnement étant valable pour tout x0 de I, on en déduit que ¦ est continue sur I.
Remarques :
· La réciproque du théorème 3.2. est fausse. En effet, il existe des fonctions continues en un point x0 et non
dérivables en x0. C'est le cas, par exemple, de la fonction "valeur absolue" (voir ci-dessus)
· Une fonction ¦ peut être dérivable (et donc continue) sans que sa dérivée ¦ ' soit continue :
Considérons la fonction ¦ définie sur  par :
¦(x) = x 2 sin

1
si x ¹ 0 et ¦(0) = 0
x

Montrons que ¦ est continue en 0 :
Nous avons, pour tout réel x ¹ 0 :
Dérivabilité

sin

1
1
x

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