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x 2 sin

Donc :

1
 x2
x

D'après le théorème de comparaison des limites (en 0), on en déduit :
lim |¦(x)| = 0 (puisque lim x 2 = 0)

x ®0

x ®0

lim ¦(x) = 0 = ¦(0)

Donc :

y

x ®0



Donc ¦ est continue en 0.
Montrons que ¦ est dérivable en 0 :
¦( x ) - ¦(0)
1
= x sin
x-0
x

Pour tout réel x ¹ 0, nous avons :
Or :

lim x sin

x ®0

(Même type de preuve que ci-dessus. On écrit : x sin
Donc :

lim

x ®0

x

1
=0
x

1
 |x|)
x

¦( x ) - ¦(0)
=0
x-0

Ce qui signifie que ¦ est dérivable en 0 avec ¦'(0) = 0.
Cependant ¦' n'est pas continue en 0. En effet, pour tout x ¹ 0, on a :
¦'(x) = 2x sin
Nous savons que lim 2x sin
x ®0

1
1
1
1
æ 1ö
+ x 2 ´ ç - 2 ÷ cos = 2x sin - cos
è
ø
x
x
x
x
x

1
1
= 0, mais la quantité cos
n'a pas de limite en 0. (Voir leçon sur la continuité)
x
x

Donc ¦' n'a pas de limite en 0, ce qui signifie qu'elle n'est pas continue en 0.
Moralité : pour étudier la dérivabilité d'une fonction en un point x0, il ne faut surtout pas étudier la limite de ¦'
en x0 (ce serait étudier la continuité de la dérivée en x0) mais étudier la limite de l'accroissement moyen.
Cependant, si ¦' admet une limite (finie) en x0 alors ¦ est dérivable en x0 de nombre dérivé ¦'(x0).

Remarque : si ¦ est dérivable en x0, alors l'application "coefficient directeur" j définie par j(x) =

¦ ( x ) - ¦ ( x0 )
x - x0

si x ¹ x0 et j(x0) = ¦'(x0) est continue en x0 puisque lim j(x) = ¦'(x0).
x ® x0

Exercice :
Démontrer que si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors la fonction produit uv est
dérivable sur I et (uv)' = u'v + uv' (résultat admis en classe de Première).
Pour tout x0 de I, comme les fonctions u et v sont dérivables en x0, elles admettent une développement limité à
l'ordre 1 en x0 :
u(x0 + h) = u(x0) + u'(x0)h + hj(h) où lim j(h) = 0 et v(x0 + h) = v(x0) + v'(x0)h + hy(h) où lim y(h) = 0
h®0

h®0

En multipliant ces deux développements, il vient :
u(x0 + h) v(x0 + h) = (u(x0) + u'(x0)h + hj(h))(v(x0) + v'(x0)h + hy(h))
u(x0 + h) v(x0 + h) = u(x0) v(x0) + (u'(x0) v(x0) + u(x0) v'(x0))h + hF(h)

Dérivabilité

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