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Titre: Dictionnaire des Mathématiques
Auteur: Encyclopédie Universalis Simon Plouffe

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Dictionnaire
des

Mathémati
algèbre7
analvse
geometrie

PRÉFACE

Le monde scientitïque est de plus en plus imprégné de mathématiques,
ou de
mathématique ~ le singulier, rare dans le langage courant, semblant néanmoins
préférable. C’est pourquoi cette discipline a pris une place de choix dans l’enseignement : tout élève, au cours de ses études, y est nécessairement
confronté.
Mais, a la fois Valorisée et redoutée, elle garde, au-delà des rudiments dispensés
au collège et au lycée, une aura de mystère : seuls quelques initiés ont le privilège de faire des recherches en mathématiques, ou même simplement d’avoir une
claire vision de ce qu’elles sont.
Dès sa première édition (1968-1974) l’Encyclopa?diu Univemlis a voulu offrir au
public une vue d’ensemble des mathématiques contemporaines
et de leur développement historique. L’ambition de ce projet - les exigences propres à la
présentation de cette discipline s’ajoutant à celles qui sont inhérentes à toute entreprise encyclopédique - en rehausse la réussite.
Le présent ouvrage: qui rassemble l’essentiel des questions d’algèbre. analyse> arithmétique et théorie des nombres, géométrie, topologie, algèbre topologique et géométrie algébrique, offre un vaste panorama qui permet de saisir la démarche, les
acquis, les avancées des inventeurs de cette architecture abstraite qu’est la mathématique. Un second volume réunira les interrogations sur les fondements, les
articles spécifiques historiques, ainsi que tout ce qui touche aux probabilités, aux
statistiques et à la plupart des applications.
N Architecture abstraite )), disions-nous. En effet, à partir de quelques notions
premières, telles qu’(( ensemble P, H élément )), N appartenance )), et de quelques
axiomes, les structures mathématiques - dans le cadre desquelles tous calculs et
démonstrations
se font - ne se déploient-elles pas progressivement
les unes à
partir des autres, des plus (( simples H (ensemble ordonné, groupe, espace topologique...) aux plus o subtiles )) (espace disqué, espace localement annelé...) ?
Là, semble-t-il, réside la beauté mathématique, ou PlutÔt la partie la plus abstraite
de cette beauté car, s’il est de belles théories, il est aussi de jolies formules
(eix = - 1) et la formule de Stirling, par exemple), de beaux calculs, de splendides
démonstrations et, bien sûr, de manière plus visible, des courbes dont l’harmonie
n’échappe à personne.
Bien entendu, la
hension, jusqu’où
dans le domaine
trouver vraiment

contemplation de cette beauté exige un minimum
il convient de hisser son esprit : songeons qu’en
sportif de sérieux entraînements sont nécessaires
du plaisir à jouer d’un instrument ou à pratiquer

dc comprémusique OU
si l’on veut
un sport, a
5

PRÉFACE

fortiori si l’on veut accéder aux concerts ou aux compétitions. Mais, au moins a
partir d’un certain niveau, cette activité, sérieuse certes, acquiert une dimension
ludique : les mathématiques, pour qui les aime, ouvrent aussi sur tout un espace
de jeux. De sorte que la résolution d’un joli problème peut se révéler aussi distrayante que, par exemple, une partie d’échecs ou de shogi (un jeu japonais proche
des échecs). Joie de chercher, joie de trouver, joie de la communion enfin avec
une beauté qui, pour abstraite qu’elle soit, n’en suscite pas moins de très réels
plaisirs : qui est capable de faire ainsi des mathématiques est dans une situation
très voisine de celle de l’alpiniste.
Au lecteur, à la lectrice, qu’il ou qu’elle soit ou non mathématicien ou mathématicienne, à tout lecteur tel que le définissait Paul Valéry ~ c’est-à-dire G de
bonne foi )) autant que (( de mauvaise volonté H - de relever le détï...
Mais la mathématique est aussi et d’abord un langage et, de ce point de vue,
intéresse linguistes et lexicographes. Chaque mot ou locution reçoit une détïnition
précise et, à côté de termes spécitïquement mathématiques (morphisme, simplexe...),
d’adjectifs honorant un mathématicien
(euclidien, eulérien, népérien...) ou une
mathématicienne
(noethérien...), tïgurent un assez grand nombre de substantifs
(anneau, clan, corps, distribution, fibre, groupe, lacet, spectre, tribu...) ou d’adjectifs (complet, conforme, séparé, simple...) empruntés à la langue courante mais
avec un sens mathématique précis, où l’aspect métaphorique est d’ailleurs parfois
présent (tïhre, noyau, treillis...). De sorte que, au-delà de son aspect faussement
ésotérique, il y a parfois une certaine poésie, voire une poésie certaine - osons
aller jusque-là ! -, dans le langage mathématique. Avec une pointe d’humour, un
grand bol d’enthousiasme et une réserve inépuisable de persévérance, chevauchons
donc (sur un paraboloïde hyperbolique, évidemment) à travers les univers mathématiques pour y découvrir les corps algébriquement clos, les endomorphismes diagonalisables, les espaces bornologiques, les fonctions holomorphes ou les produits
de convolution.
L’aventure mathématique,
Commencée sans doute depuis qu’Adam et Ève ont
pensé qu’ils étaient deux, n’a certes pas tïni de nous passionner. Le présent volume
de la collection (( Encyclopzdia Universahs H nous rappelle ~ alors que le grand
théorème de Fermat vient enfin, après plus de trois siècles de travaux, d’être
démontré - qu’il reste bien des questions simples non résolues, par exemple celleci : existe-t-il une infïnité de nombres premiers N jumeaux )), c’est-à-dire de nombres
premiers consécutifs dont la différence est deux?
L’Éditeur

INTRODUCTION

Présenter les mathématiques contemporaines dans le contexte d’une encyclopédie
destinée au grand public cultivé pouvait paraître une gageure. Le sujet, dont la
réputation d’inaccessibilité
n’est plus à faire, paraissait devoir être esquivé.
Néanmoins 1’EncyclopEdiu Univemdis n’a pas hésité, dans ce domaine comme
dans tous les autres, à garder le modèle qu’elle s’était donné : l’encyclopédie que
Diderot et d’Alembert ont élaborée pour l’époque des Lumières. Considérant
qu’il était du devoir des scientifiques de partager leur savoir avec l’ensemble du
monde cultivé, Diderot et d’Alembert ont découpé le savoir mathématique qui
leur était contemporain en autant de disciplines et de sous-disciplines, et ont alors
demandé à ses scientifiques de premier ordre de rédiger ces présentations
à
caractère introductif.
C’est le même pari qui a été à l’origine de la première conception du traitement
des mathématiques
dès l’édition de 1968 de 1’Encycfopediu Univetxalis : traiter
des mathématiques dans leur forme contemporaine de manière 1 en rendre accessibles les concepts fondamentaux, les principaux courants, les résultats décisifs à
des lecteurs possédant une formation scientifïque minimale. À cedétï, l’on doit
ce qui constitue la présentation
la plus complète, la plus approfondie
de
l’état actuel des mathématiques
dans une entreprise encyclopédique de langue
française. Une telle tentative n’aurait pu être conçue sans l’intervention décisive
de Jean Dieudonné. C’est à lui que nous devons l’élaboration en quelques mois
d’un découpage initial des mathématiques qui allait constituer la trame de l’entreprise pour la première édition. Il a par ailleurs participé activement, comme
auteur, à de nombreux articles clés avec le style exceptionnel qui le caractérisait
et qui a donné le ton à l’ensemble de l’oeuvre.
Les mathématiques
sont en effet introduites ici de manière historique, dans la
mesure OÙla genèse des concepts contemporains nous a paru constituer le meilleur
accès qui puisse y conduire. La présentation de la partie historique des mathématiques se prolonge par l’exposé de ces théories sous leur forme moderne. Le
XIX~ siècle constitue un moment charnière
dans l’évolution des mathématiques,
et leur présentation
s’articule autour de ce constat. Ainsi, l’algèbre se réduit
d’abord à la théorie des équations, et c’est au XIX~ siècle que vont naître toutes
les nouvelles structures. L’article de synthèse sur l’algèbre renvoie aux différentes
entrées du dictionnaire. L’évolution des conceptions de la géométrie est évoquée
dans la grande fresque du père Russe, Elle débouche, de manière naturelle, d’une
part, sur la géométrie différentielle, d’autre part, sur l’étude des courbes algébriques, point de départ de la géométrie algébrique, qui à son tour rencontre la
théorie des nombres.
7

INTRODUCTION

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COMMENT UTILISER

L’INDEX

Platé en fin de volume, c’est I?ndex qui donne sa valeur proprement encyclopédique
i ce dictionnaire.
C’est par lui que toute recherche ou. plus généralement,
toute
consultation
devraient
commencer.
Nous avons adopté pour sa constitution
un
certain nombre de conventions
qui nous sont propres. Le lecteur les trouvera
défïnies ci-après, exemples A l’appui, sous la forme d’un tableau.

l

BARYCENTRE

63 ~

ENTRÉE
de page

article
indiquée
l

ESPACE DE 596
ALGÈBRE
22
ERGODIQUE (THiORIE)
332
GROUPES
Représent&ion
linéaire
des groupes
559
HARMONIQUE (ANALYSE)
5x7, 592
NORMÉES (ALGÈBRES)
726

HILBERT

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-

CARL FRIEI,R,CH (1777.1855)
~
ALGÈBRE
14. 17
COMPLEXES (NOMBRES)
//6
DIopHANnENNEs
(+PPR~~I~~ATI~NS)
255
DIOPHANTIENNES (EQUATIONSj
263, 267
DIVISIBILI~É
290

SUITES
CALCUL

INFliwrÉSIMAL

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CONVEXITÉ - Fonctions
convexes
/46
DISTRIBUTIONS
276
FONCuONS (REPRESENTATION ET
APPROxIMATION
DES) 364, 373, 385
LIMITE (N~TT~N DE)

même

ENTRÉE
1

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.IOHN-

CALCUL SYMBOLIQUE
b SYMBOLIQUE
CALCUL
ALEMBERT THÉORÈME DE
*
ALGEBRE THÉORÈ,~
FONDAMENTAL

d’entrée peut être suivi de références

simple suivie de références

l
1

à un article long : titre d’article
et numéro de page lwalisant la partie de texte
pertinente au sein de l’article

RÉFÉRENCE

RÉFÉRENCE
RENVOIS

NAPIER

type

1

GAUSS

l

précédée d’une puce et suivie d’un numéro
signifie que cette entrée est le titre d’un
du dictionnaire,
commençant
à la page

:

à un arhck court

d’un

terme

à un

pour des raisons relevant
système de transcription

:

titre de l’article

autre

de l’orthographe

ou du

pour des raisons dc choix alphabétique

D’

pour des rkms

d’ordre sémantique

DE L’

9

AFFINES

même forment un groupe, appelé groupe
affine de A et noté GA(A). Une application affine u de A dans A est bijective si et
seulement si son application linéaire associéefest aussi bijective. Ainsi l’application
qui à L fait correspondre
,f est un morphisme du groupe affine GA(A) dans le
groupe linéaire GL(E).
4. Soit A et B deux espaces affines de
dimensions finies (dim A = q). Pour définir une application affine de A dans B, il
suffit de se donner (q + 1) points affinement indépendants dans A et leurs images
dans B.

A
A

A

ESPACE a REPÈRE

FP

S

oit E et F deux espaces vectoriels sur
un corps commutatif K et A et B des
espaces affines attachés à E et F. On dit
qu’une application u de A dans B est une
application linéaire affine (ou application
affine) si, quelle que soit la famille finie
d’éléments (M;, &), pour 1 < i < k, où k
est quelconque, de A X K, possédant un
barycentre G, u(G) est le barycentre des
éléments (u(M,), A,) de B X K.
On démontre les résultats suivants :
1 Il existe une application
.
linéaire,fet
une seule de E dans F telle que, pour tout
M et tout N dans A et pour M’ = u(M) et
N’ = u(N) :
fG=zKzL
f s’appelle l’application linéaire associée
à ll.
2. La Composée v 0 u de deux applications affines z et v est une application
affine et l’application linéaire associée 1
v 0 L est g 0 f (où f et g désignent les
applications linéaires associées à u et v).
3. Les applications
linéaires
affines
bijectives d’un espace affine A dans lui-

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JACQUES MEYER

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ans la conception
intuitive
de
l’espace usuel, il n’y a pas d’origine
privilégiée ; c’est une fois qu’une origine
est choisie que cet espace devient un
espace vectoriel. La structure
d’espace
affine formalise cette situation à partir de
la notion de translation
associée à un
vecteur
d’extrémités
données,
défini
comme bipoint, Plus précisément, la structure affine se définit comme suit.
Espuce @ne. Soit E un espace vectoriel
sur un corps commutatif K. Un ensemble
A est dit espace attaché à l’espace E s’il est
muni d’une application de A X E dans A,
notée (M, x ) - M + _x,telle que le groupe
additif de E opère simplement transitivement sur A, i.e. telle que à (M, x) E A X E
correspond un point N de A et un seul, tel
que N = M + x ; et à un couple quelconque de points (M, N) de A X A, que l’on
désigne sous le nom de bipoint, correspond dans E un vecteur .x (appelé opéra11

ALGÈBRE
teur de translation de A) et un seul, tel que
N = M + .Y. Ce vecteur .Y se note z
Deux bipoiz
ABz
CD sont dits équipollents si AB = CD.
Soit 0 un point quelconque de A. Le
couple (A, 0) s’appelle espace affine muni
de l’origine 0. L’application de A dans E,
.Y = OM, est une
définie par M bijection qui permet d’identifier l’espace A
muni de l’origine 0 à l’espace vectoriel E.
Réciproquement,
par l’application qui
a tout couple de vecteurs (.Y,y) de E associe
le vecteur x + y, l’ensemble E devient un
espace affine attaché à l’espace vectoriel E.
Le vecteur nul de E s’appelle origine
canonique de l’espace affine E.
Si l’espace E est de dimension finie, on
pose dim (A) = dim (E).
vfké tb linéuire
ujïne.
Un
sousensemble A’ CA est appelé variété linéaire
affine (ou variété linéaire) de l’espace
affine A si, pour toute famille finie de
points de A’, tout barycentre de ces points
appartient à A’. Une condition nécessaire
et suffisante pour qu’une partie non vide A’
de A soit une variété linéaire affine est que,
en prenant un point 0 quelconque dans A’,
l’ensemble des vecteurs G
OÙ M 6Z A’,
soit un sous-espace vectoriel E’ de l’espace
vectoriel E auquel est attaché A. Le
sous-espace E’ ne dépend d’ailleurs pas du
choix de 0 dans A’. D’autre part, on peut
montrer que la variété linéaire A’ est un
espace affine attaché à E’ (qui est appelé
direction de A’). Si E’ est de dimension
finie, on pose : dim (A’) = dim (E’). Étant
donné un sous-ensemble
B de A, on
appelle variété linéaire affine engendrée
par B la plus petite variété linéaire contenant B : on montre que c’est l’intersection
de toutes les variétés contenant B. D’autre
part, la variété linéaire affine engendrée
par (k + 1) points de A notés (ai), pour
1 < i < k + 1, est l’ensemble des
12

barycentres
des u(. Par définition, les
(k + 1) points ui sont dits affinement
indépendant (ou forment une famille affinement libre) si la dimension de la variété
linéaire qu’ils engendrent est égale à k ; si
cette dimension est inférieure à k, ils sont
dits affinement liés.
Rep&e afine. On appelle repère affine
d’un espace affine A attaché à un espace
vectoriel E de dimension /r la donnée d’un
point 0 de A et d’une base 3 de E. Le
point 0 est l’origine du repère et les
coordonnées d’un point M sont les composantes de ?%?Sur la base 3. Ainsi, si :

33= @J,
pour 1 < i < rz, et si :

les Coordonnées de M sont les .Y,.
Géomét~ie ujïne. La géométrie affine
est l’étude des espaces affines et des
variétés linéaires affines ainsi que des
invariants par le groupe affine.
JACQUES MEYER

ALGÈBRE

L

7 algèbre au sens moderne, à savoir
l’étude des structures
algébriques
indépendamment
de leurs réalisations
concrètes, ne s’est dégagée que très progressivement au cours du XIX~ siècle, en
liaison avec le mouvement général d’axiomatisation de l’ensemble des mathématiques et la préoccupation
croissante des
mathématiciens de (( substituer les idées au
calcul )) ; jusqu’alors, le propos essentiel de
l’algèbre avait été la résolution, par des

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ALGÈBRE

interne (,Y, y) - X*y associative [c’est-àdire @*y)+.~ = .X+X)] telle qu’il existe un
élément privilégié e, appelé élément neutre, tel que .5t2 = e*X = .Xet telle que tout
élément ait un inverse (c’est-i-dire pour
tout .X il existe un élément y tel que
,~*y = JXX = e). Un tel groupe est dit
abélien, ou commutatif, si .~*y = y*x.
Les ensembles
usuels de nombres
(entiers relatifs, nombres rationnels, nombres complexes) sont des groupes abéliens
pour l’addition ; les ensembles des nombres rationnels non nuls, ou réels non nuls,
sont des groupes abéliens pour la multiplication.
Un important
exemple
de
groupe non commutatif est celui des transformations de notre espace usuel i trois
dimensions qui conservent la distance de
deux points (ce sont les déplacements).
Elles constituent un groupe non abélien si
on convient que le produit S 17 de deux
transformations
S et 7 est la transformation obtenue en effectuant successivement
la transformation
T puis la transformation S.
les groupes

finis

Le premier exemple de groupe formé
d’éléments de nature assez différente de
celle des nombres est fourni par les travaux
de Gauss sur les formes quadratiques
u.$ + ~.KY+ c_$, OÙu, b, c sont des entiers
relatifs premiers entre eux. Deux telles
formes étant dites équivalentes
si l’on
passe de l’une à l’autre par un changement
de variable ,Y’= ~.y + qy et y’ = IX + ~y,
OÙ~, q, r, s sont des entiers relatifs tels que
ps - qr = 1, Gauss définit sur l’ensemble
des classes de formes, de discriminant
D = @ ~ 4 UC donné, une loi de composition qui en fait un groupe abélien fini.
Dans ses Disquisitiones urithmeticue de
180 1, Gauss rencontre également d’autres
groupes finis tels que le groupe additif des
14

entiers modula un entier m ou le groupe
multiplicatif des racines w-ièmes de l’unité
dans le corps des nombres complexes, mais
la notion de groupe n’apparaît pas formulée avec netteté avant Cauchy. En 1830,
dans ses travaux sur la résolubilité des
équations
algébriques,
Galois
ramène
l’étude d’une telle équation à celle du
groupe (fini) de permutations
de ses racines ; à ce propos, l’auteur introduit les
notions fondamentales de sous-groupe distingué et de suite normale. Les groupes
finis, et plus précisément les groupes de
permutations,
vont être l’objet presque
exclusif de la théorie des groupes pendant
de nombreuses
années ; les résultats les
plus profonds obtenus dans ce domaine au
XIX~siècle sont ceux de Jordan (Trait& des
substitutions et des iquutions ulgkbriques,
Paris, 1870) et de Sylow sur la structure des
groupes finis. Beaucoup plus récemment,
en liaison avec des préoccupations
d’arithmétique et de géométrie algébrique,
la
théorie des groupes finis a connu un
nouvel essor; les découvertes
les plus
spectaculaires de ces dernières années sont
surtout relatives aux caractères
et aux
représentations
linéaires de ces groupes :
travaux
de Brauer,
Chevalley,
FeitThomson, Novikov (cf. GROUPES
FINISet
représentation
linéaire des GROUPES).
Groupes

et géométrie

C’est à Jordan que remonte la première
étude de groupes contenant une infinité
d’éléments, notion qui allait prendre une
importance
considérable
durant la deuxième moitié du XIX~siècle. En liaison avec
le renouveau des études géométriques
et
les préoccupations
axiomatiques de cette
époque, la notion de groupe de transformation va prendre un essor considérable
avec l’étude systématique des invariants
d’un tel groupe, i.e. l’étude des propriétés

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ALGÈBRE

p ld ae nl smaniement
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d en o sm b r e s e n t i e r s n o m b r e s algébriques ; c s eo nd t e c so r p s
r e l a t i fes d tepolynômes
s
: u a n n e a eu us t n Q ( Oo b) t e n u sd l ef aa ç os un i v a n t e: s ( ei1 s 3 t
u nno m b r ecomplexe r a c i n de ’ u n ée q u a ensemble m u nd i d ee ul xo di sc oem p o s i t i of (n . =
~ )0 d d ee g r né a ,coefficients
t i oi nnt e r n e s:
e n t i e r s irréductible
,
s u l r c eo r p Qs d e s
n o m b r e s rationnels,
o
an p p e l l e Q ( O )
a p p e l é e s a d d i t i o ne multiplication
t
r e s p e c - l’ensemble, q ue isu tc no r p sd , en osm b r e s
tivement, t e l l qe s ul ep r ae m i è r e s o ui tnl eo complexes
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u + 0a , + 0 + u , ~ _ , @
’ o
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d g er o u p ea b é h e ne q t u l es eac o n d e s o i tl eu ss io nd t e n osm b r e s rationnels q u e l associative ( L (e x . y =
) z x ( y z :) o) i m
n p o s e conques.
d p e l ul seconditions
s
suivantes d d ei s t r i T o ul s ec os r pd s n oe m b r e s algébriques
b u t i v i t ée n t rl e ed es ul xo :i s
s o nd t esous-corps
s
d c uo r pd s en osm b r e s
complexes ; reprenant u n i ed éd eC ea u c h y
q u définissait
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l e n os m b r e s complexes
p o ux ry ,2 quelconques
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L o r s - J + ? l Kronecker
,
d o n n e ,e 1n 8 8 2l , e s
q u ec o, m m ed a n l s c e a d s e n os m b r e s
p r e m i e r s exemples d c eo r p( sn ot r ni v i a u x )
rationnels p a e xr e m p l e , l’ensemble d e sd é f i n i abstraitement
s
e mno n t r a n t q u e ,
é l é m e n t sd i s t i n c t sd l’élément
e
n e u t rpe o u r a v eL c notations
e s
ci-dessus, l c oe r pQs ( O )
l p r ae m i e r e l o( n io 0t ée ) su tg nr o u p pe o u r e sisomorphe
t
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e
à coefficients r a t i o n c o r p Is . co iconsidérera
n
seulement l c e a sn e lm so d u l ol polynôme
e
Y ( X )V . e rl s a
o l ù multiplication
a
e scommutative,
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n m ê m éep o q u e ,Dedekind e Wt e b e fr o n t
renvoyant a l f a id nc hu a p i t r e3 l c e an so n r e n t r edr a nl st haé o r i de ec os r pl s c ae l c u l
commutatif.
d econgruences
s
m o d u l ou n no m b r ep r e m i e( mr e t t a n t a i n es i é nv i d e n c e l ep sr e L ta
h é o r i e d e c so r p s
m i e rc so r pf si n ids é, jé tàu d i é ps aG ar l o i s )
L e p rse m i e r s exemples d c eo r pns o t nr i e- d ot n n e n t u n p ree m i è r e e s q u i s s e d ’ u n e
e
d ec os r p s .
v i a uox né ttintroduits
é
p al rt haé o r i de e st h é o r i axiomatique
À l f a id nXu I X
s i ~è c l el , eexemples
s
d
e
équations. L e t r sa v a u xd Gea u s as v a i e n t
s
v o ns t m eu l t i famiharisé
l e mathématiciens
s
a v e l c ec o r pd sé f i n iabstraitement
e
maniement
d e n os m b r e s complexes
e
tp l i e Ir . f la uc it t es ur r t o u tl e c os r p ds
A b e l ,p u i G
s a l o i s , d é g a g e n t l ’ i d é e n o m b r e sp-adiques, introduits p a H er n s e l
t
d a nd s nombreuses
e
d’adjonction
: i lconsidèrent
s
l e c os r p s e d to nl’importance
b r a n c h e s d emathématiques
s
e sc o nt s i d é engendrés p al rer a csi n eos l uecoefficients
s
s
(indéterminés)
d ’ u n éeq u a t i o n m a i se , n r a b l ee , l t e c os r p ds s eé r i eformelles,
r
e l i na i s oan v ed c e s
f a i s t c, i ea ust e u r sdéfinissent a v ep cr é c i - introduits p aVéronèse
d géométrie
e
algébrique.
s i ol’appartenance
n
d ’ u nq eu a n t i t éà u t n e préoccupations
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T o uc s eexemples
s
a l l a i e n ct o n d u i r e S t e i c o r p si , nl considèrent
se
p aexplicitement
s
l’ensemble a i n constitué.
s i
I f al au t tte n d r e n i t ez , 1 n9 1 0à ,développer systématiqueDedekind ( q iun t ir o d u i tl m e oc ot r p sp ) o u r m e n l t t ha é o r i ed e c so r p es d t l ee u r s
u n é et u dsystématique
e
d c ee r t a i n sc o r p s extensions s o ul s f oa r m qeu ’ e l l pe o s s è d e
d ’ u t n y p a es s e gzé n é r a l , l e c os r p ds
e actuellement.
1

6

ALGÈBRE

la théorie des idéaux

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ALGÈBRE

les travaux de Kummer, par Dedekind
dans le cas des anneaux d’entiers algébriques (cf. i@u). Dedekind montra que les
N nombres idéaux N peuvent être représentés par les idéaux de l’anneau, donnant
ainsi un exemple de loi de composition
entre ensembles d’éléments. En général,
un idéal n’est pas inversible pour la loi de
composition ainsi définie ; par symétrisation de cette loi, on introduit les idéaux
fractionnaires qui sont importants en théorie des nombres et en géométrie algébrique.
Les anneaux auxquels on peut généraliser la théorie de Kummer ont été étudiés
systématiquement
à l’époque contemporaine, conduisant
à la notion générale
d’anneau de Dedekind. Un outil essentiel
est ici la notion de valuation d’un corps
introduite sous forme générale par Krull
en 193 1 mais déjà Utilisée antérieurement
dans des cas particuliers, par Ostrowski
notamment ; les idéaux premiers
d’un
anneau de Dedekind sont en correspondance biunivoque avec les classes de vahtations équivalentes du corps des fractions
de cet anneau.

algébriques
d’un corps K de nombres
algébriques forment un anneau, que Dedekind appelle un ordre (le mot anneau est
de Hilbert). Dans un théorème célèbre et
profond, Dirichlet décrit complètement
le
groupe multiplicatif des éléments inversibles de l’anneau des entiers d’un corps de
nombres
algébriques
et ce résuhat
a
d’importantes
applications arithmétiques,
notamment
dans l’étude des représentations des nombres entiers par des formes
quadratiques.
Plus généralement, si A est un anneau
contenu dans un corps K, on peut définir
les éléments du corps qui sont entiers sur
A ; un tel anneau A est dit (( intégralement
clos )) s’il est égal à l’ensemble des éléments
de son corps des fractions qui sont entiers
sur lui. Ces anneaux ont pris une grande
en géométrie
algébrique
importance
contemporaine
depuis que Zariski et ses
élèves ont mis en évidence l’intérêt des
variétés algébriques dites normales, qui
possèdent la propriété qu’en chacun de
leurs points l’anneau des fonctions rationnelles définies en ce point est intégralement
clos.

Éléments

Géométrie

algébrique

et algèbre

commutative

entiers

L’étude arithmétique
systématique
des
corps de nombres algébriques n’était possible qu’en introduisant une notion d’éiément entier jouant, pour un tel corps, le
même rôle que les entiers usuels pour le
corps des nombres rationnels. Les progrès
dans ce domaine furent réalisés à peu près
simuhanément
et indépendamment
par
Kronecker
et Dedekind
pendant
la
seconde moitié du xtxe siècle. La notion
d’entier ulgkbrique est due à Dedekind : un
nombre complexe est un entier algébrique
s’il est racine d’un polynôme à coefficients
entiers rationnels dont le coefficient du
terme dominant est égal à 1 ; les entiers
18

Il n’est pas question même d’esquisser ici
l’histoire de la geometrie algÇbrique, qui
était au départ l’étude des courbes algébriques, et qui, sous sa forme actuelle, la
théorie des schémas, due au mathématicien français A. Grothendieck, est devenue
une des branches les plus abstraites et les
plus vivantes des mathématiques
contemporaines ; nous essayerons seulement de
montrer, de manière d’ailleurs bien incomplète, comment les premiers besoins de
cette science ont conduit à l’introduction et
à l’étude axiomatique de nouveaux types
d’anneaux.

ALGÈBRE

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19

ALGÈBRE

son inverse x appartient à A ; ces anneaux
correspondent
à l’ensemble des éléments
de K OÙ une valuation de K prend des
valeurs supérieures à 1.
Reprenons l’exemple de l’anneau ZwJ
ci-dessus pour expliquer dans un cas particulier la méthode générzdle de localisation.
Considérons une équation diophantienne :
P(x,, . . . . X”) = 0,
OÙ P est un polynôme

à coefficients entiers
rationnels. Pour trouver les solutions entières de cette équation, on peut d’abord chercher les solutions qui appartiennent
au
corps des quotients Q de l’anneau Z, puis,
dans une seconde étape, les solutions
rationnelles dont le dénominateur n’est pas
divisible par un nombre premier p, i. e. les
solutions qui appartiennent à l’anneau Ztil,
appelé l’anneau local de Z qui correspond
au nombre premier p Bien entendu, si.
l’équation considérée à une solution dans
Z, cette solution appartiendra
à tous les
anneaux locaux Zwj. Dans le cas d’un
anneau général A, on peut de même résoudre le problème posé dans les anneaux
locaux correspondant aux idéaux premiers
de l’anneau. La résolubilité de l’équation
dans chacun des anneaux locaux (locahsation) est une condition nécessaire d’existence d’une solution dans l’anneau A.
l,‘étude de la suffisance de ces conditions
(en nombre infini dans le cas général)
s’appelle la globalisation ; signalons tout de
suite qu’en général la globalisation n’est pas
possible sous la forme indiquée ci-dessus.

début du XIX~ siècle dans l’enseignement
élémentaire
et négligée des mathématitiens, lorsqu’une axiomatisation convenable montra la puissance des notions nouvelles ainsi mises en évidence. Sous sa
forme actuelle, l’algèbre linéaire est une
remarquable
synthèse conduisant
à un
vocabulaire et à des résultats qui s’appliquent presque universellement
dans tous
les domaines des mathématiques
et de la
physique contemporaine,
tandis que le
processus
de (( linéarisation N apparaît
comme essentiel dans de nombreuses branches des mathématiques
pures et appliquées. La notion fondamentale est ici celle
d’espace vectoriel ; elle généralise les propriétés de l’ensemble des vecteurs de notre
espace à trois dimensions.
Un espuce
vectorie/ E sur un corps K est un ensemble
appelés (( vecteurs F), muni
d’éléments,
d’une loi de groupe abélien notée additivement et d’une loi externe qui à tout
couple (a, x) d’un élément a du corps K et
d’un vecteur ,Y de E fait correspondre
un
vecteur u.,~ de E de telle sorte que l’on ait :
= (ub).x, pour u, b dans K et x dans E;
lx = x, pou tout x de E (1 est l’élément neutre
de K pour la multiplication) ;

u.(b.x)

(u + b

.x = u.x + b)

~IJW a,

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K et x

dans E;
a.(.~ + y) = IZX + b.y, pour L dans K et x, y dans
E.

Les applications d’un tel espace vectoriel E dans un autre qui respectent la
structure d’espace vectoriel, i.e. telles que :

pour a dans K et x, _Vdans E, sont dites
3.

L’algèbre

de l’algèbre
Structures

linéaire
non

et les origines

commutative

linéaires

L’étude des équations et systèmes d’équations du premier degré était reléguée au
20

linéaires.

Une aZgèbre E sur un corps K est un
K-espace vectoriel E muni d’un N produit N qui est une loi E X E -+ E hnéaire
par rapport à chaque facteur (on dit
bilinéaire).
Si cette loi est associative,

x

ALGÈBRE

et admet un élément unité, on a une
structure d’anneau.
Par exemple, les nombres complexes
forment une algèbre sur le corps des
nombres réels.
Espaces de dimension finie
La représentahon
géométrique des nombres complexes introduite
par Argand
l’avait amené implicitement
à définir
l’addition des vecteurs du plan ; plus généraIement, la nécessité d’un calcul de nature
(( géométrique )), ou (( intrinsèque )) (i.6~
indépendant du choix du système d’axes de
Coordonnées), allait conduire Grassmann,
M6bius et Hamilton à dégager durant la
première moitité du XIX~siècle, les règles
du calcul vectoriel et, presque simultanément, à généraliser
les propriétés
de
l’espace <(usuel N à deux ou trois dimensions en introduisant
des espaces de
dimension supérieure. Ces derniers apparaissent tout d’abord comme un langage
géométrique
commode pour interpréter
des résultats algébriques
valables sans
modification pour un nombre quelconque
de variables et susceptibles d’une interprétation géométrique dans le cas de deux ou
trois variables.
Grassmann
définit, de
manière déjà presque axiomatique,
les
espaces h n dimensions,
l’addition des
vecteurs, l’indépendance
d’un système de
vecteurs, étudie la dimension des sousespaces vectoriels, sans recours aux coordonnées, et construit l’algèbre extérieure
d’un espace vectoriel. Dans ce cadre allait
s’insérer tout naturellement
l’étude générale des systèmes d’équations linéaires : la
notion de rang d’un tel système est dégagée
par Frobenius et les résultats généraux
sont obtenus par Kronecker : en liaison
avec ces préoccupations,
Kronecker
et
Weierstrass donneront une définition axiomatique des déterminants,
déjà connus

depuis le XVIII~ siècle et que Grassmann
avait rattachés à son calcul extérieur. Les
concepts généraux d’algèbre linéaire et
multilinéaire relatifs aux espaces vectoriels
de dimension finie sont précisés rapidement et on assiste successivement à l’élaboration du calcul matriciel par Cayley et
à l’introduction
du produit tensoriel par
Kronecker ; cependant tous les travaux des
mathématiciens
de cette époque restent
truffés d’hallucinants calculs OÙ les déterminants jouent un rôle essentiel et le
caractère
intrinsèque
des éléments qui
interviennent est souvent peu visible.
En liaison avec le renouveau
de la
géométrie, la notion de dualité se dégage
peu i peu pour les espaces vectoriels,
mettant en évidence la notion de variables
u cogrédientes N ou (( contragrédientes
)),
c’est-à-dire variant dans un espace vectorie1 ou dans l’espace vectoriel dual. L’étude
des coniques et des quadriques, ainsi que
de nombreuses recherches arithmétiques
avaient mis en vedette les formes quadratiques à 2, 3 puis n variables et les formes
bilinéaires
qui leur sont associées ; la
théorie des invariants, créée par Cayiey,
Hermite et Sylvester, introduit systématiquement des formes multilinéaires à plusieurs séries de variables cogrédientes et
contragrédientes,
ce qui, aux notations
près, revient à définir des tenseurs. En
liaison avec la géométrie différentielle, ces
travaux allaient conduire, au début du
XX~siècle, Ricci et Levi-Civita à construire
le calcul tensoriel et Poincaré et É. Cartan
le calcul différentiel extérieur, issu directement de la multiplication extérieure de
Grassmann.
Axiomatisation
de l’algèbre

linéaire

Dès

1888, Peano avait donné une défini-

tien

axiomatique

des espaces

vectoriels
21

ALGÈBRE

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l v s n Es s el e t H p u xee B
c
n et e ai ou
e d
u
f s é x . n11
.Y11,
oà vt f
- ge n a l i p . é
c dl eln rd
r
p

o l p eo
s em r ls q
i ps o o m ls u l td e n d p ueé ’e i
2

ALGÈBRE

espace normé d’une structure d’espace
normé (complet) ; itérant cette construction, Hahn pourra poser de manière générale le problème des espaces réflexifs, I. e.
qui sont isomorphes à leur bidual topologique. Vers 1932, la théorie des espaces
normés est i peu près achevée avec le livre
de Banach, Théorie des opénztions linéda.
Une notion telle que la convergence
simple d’une suite de fonctions dans un
espace fonctionnel n’est pas associée à une
norme, et il était nécessaire de considérer
sur des espaces vectoriels des notions de
convergence plus générales que celles définies par des normes, situation étudiée pour
la première fois par Fréchet. Mais, sans
hypothèse restrictive, la théorie générale
était trop pauvre ; la notion essentielle qui
allait permettre à la théorie de s’épanouir
est la convexité, étudiée par Banach et ses
élèves, conduisant von Neumann en 1935 2
définir les espaces localement convexes.
Des branches essentielles des mathématiques contemporaines,
la théorie des distributions par exemple, utilisent de manière
constante la théorie de ces espaces.
Groupes

topologiques

La nécessité d’étudier

des groupes (( continus )) plus généraux que les groupes de
Lie conduisit Schreier en 1927 i définir
des groupes dits topologiques, tels que la
multiplication
et le passage à l’inverse
soient des opérations continues. Ceux de
ces groupes qui, comme les groupes de Lie,
sont localement compacts possèdent des
propriétés remarquables dont l’étude constitue une branche nouvelle de l’analyse,
l’analyse
harmonique
généralisée.
En
1933, Hxdr démontra le théorème suivant,
qui est le point de départ de toute la
théorie : il existe sur un tel groupe une
mesure qui est invariante par multiphcation i gauche par les éléments du groupe.
24

À partir de ce résultat, le mathématicien
soviétique
Pontriaguine
construisit
sa
théorie des caractères pour les groupes
commutatifs
localement compacts, dont
un des aspects les plus spectaculaires est
sans doute
le théorème
de duahté.
Essayons d’expliquer ce résultat en quelques mots : un caractère d’un groupe
topologique
G est un homomorphisme
continu de G dans le groupe multiplicatif
des nombres complexes de module 1 ; il est
clair que l’ensemble des caractères forme
un groupe commutatif X et on montre que
si G est commutatif localement compact,
le groupe X peut être muni de manière
naturelle d’une structure de groupe topologique localement compact. Le théorème
de dwdhté s’exprime alors par le fzdit que le
groupe G est isomorphe, algébriquement
et topologiquement,
au groupe des caractères du groupe X.
Issue directement
de la théorie des
espaces de Banach, la belle théorie des
algèbres normées (algèbres de Banach),
développée A partir de 1940 par le mathématicien soviétique Gelfand et ses élèves,
allait éclairer d’un jour nouveau la dualité
de Pontriaguine
et permettre
d’obtenir
d’importants
résuitats sur la représentation linéaire des groupes localement compacts générzmx (et en particulier des gros
pes de Lie).
JEAN-LUCVERLEY

ANNEAUX

A
- B

D B

A
M
& M

L

A
- T

T

A

OL D

8 A

U

A

O

GE

I A
- B

&L
LU

-

GH

EA O
-N H

L

A
O

A

D
L

unité

L

des anneaux

sont celles

G

G

propos

XIX~

-

N

D

(
-N

O

de

O
a

E

de

de
dans
la

o

l

de

théorie

algébrique.

étudier

M

des
Intro-

idéaux,

se

sont

nombreuses

classification

S

M

été

la divisibilité

les

modules,

G Mde

essentiels

ont

È

principalement

anneaux,

En

T

pour

1. Les
suivant,

unitaires

recherches

tels

particuliers

fait.

Rsiècle,

O

Rparticuliers È

cas

et de géométrie

duits à l’origine

L

de l’article

commutatifs



un élément
noté

ET ALGÈBRES.

au

nombres

N

possédant

nombreux

étudiés

dans

O
È

commutatifs

la multiplication,

d’anneaux

à

A

N

c’est-à-dire

O De
O

A

& A

P

ANNEAUX

L

ÈE O
OL DN T N
È
T

G on se bornera
ans tout ce qui suit,

pour

NLB

E

P

considérer

définitions

N

N N

G
unitaires,

A
- N

N

C

O

ÈA

NO

A

GD B
I LA
LG

L

L

COMMUTATIFS

des

m

cas

révélés

B
questions.

H
g

É

B

différents

]
1
i

A
- C

C

N
A

O
O

A
N

M
M

L

A

L

25

B

ANNEAUX

COMMUTATIFS

types d’anneaux s’effectue suivant la structure de leurs idéaux.
L’arithmétique
des
anneaux
dits
principuux est analogue à l’arithmétique
des nombres entiers ou des polynômes ;
plus généralement,
on peut étudier de
manière satisfaisante
l’arithmétique
des
UWWUTJX
de Dedekind : ici, les propriétés
de divisibilité, déroutantes a priori, s’expriment harmonieusement
dans le cadre de
la théorie des idéaux. Une autre généralisation possible des anneaux principaux,
qui englobe d’ailleurs la précédente,
est
liée i des conditions de finitude : tout idéal
d’un anneau principal
est formé des
multiples d’un élément ; plus généralement, on peut considérer les anneaux dans
lesquels tout idéal est formé des combinaisons
hnéaires
(à coefficients
dans
l’anneau) d’un nombre fini d’éléments, et
ces anneaux, appelés noethériens, possèdent une remarquable propriété de stabilité, découverte par Hilbert, à savoir que
l’anneau des polynômes sur un anneau
noethérien est lui-même noethérien. Pour
terminer, mentionnons ici la classe importante des anneaux locaux, qui possèdent
un unique idéal maximal : cela signifie qu’il
existe un idéal propre contenant tous les
autres idéaux propres de l’anneau ; ces
anneaux jouent ml grand rôle dans la
théorie des variétés algébriques, différentiables ou analytiques, car les anneaux de
germes de fonctions
sont de ce type.
L’étude des anneaux locaux est très liée à
des considérations
topologiques ; nous
renvoyons 1 ce propos aux articles algèbre
TOPOLOGIQUE
et théorie
des NOMBRES
Nombres padiques,
Le tableau ci-dessus précise les rapports
entre ces différents anneaux, chaque flèche
exprimant qu’une propriété en entraîne
une autre.
26

1.

Notions

fondamentales

Divisibilité

La présence dans un anneau de diviseurs
de zéro, c’est-à-dire d’éléments I et /I, tous
deux non nuls, dont le produit est nul, rend
illusoire toute théorie satisfaisante de la
divisibilité. Les anneaux commutatifs sans
diviseurs de zéro sont appelés des anneaux
intègres ou anneaux
d’intégrité. Nous
allons, dans ce qui suit, préciser quelques
propriétés
de la divisibilité dans un tel
anneau d’intégrité A. Dans toutes ces
questions de divisibihté, seul intervient le
fait que l’ensemble A* des éléments non
nuls de l’anneau A est muni d’une loi de
composition interne (x, y) - xy (la multiplication) associative, commutative, avec
un élément unité ; un ensemble muni d’une
loi possédant ces propriétés est appelé un
rnonoLde, Nous énoncerons les définitions
générales relatives à la divisibilité dans le
cadre d’un monoïde A* quelconque, ce qui
sera utile dans la troisième partie.
On dit qu’un élément h de A* divise un
élément a de A*, ou encore que a est
divisib/e par b s’il existe un élément c tel que
a = bc. Il est clair que cette notion de
divisibilité généralise la notion usuelle de
divisibilité dans le monoïde Z* des entiers
relatifs non nuls et possède des propriétés
analogues : par exemple, si c divise I et si
L divise a, alors c divise a.
Dans toutes les questions de divisibilité,
un rôle essentiel est joué par les unitfL~, qui
sont les éléments inversibles (ou encore,
avec la terminologie ci-dessus, les éléments
qui divisent l’élément unité 1) ; si A* est lc
monoïde
des éléments non nuls d’un
anneau d’intégrité A, ces éléments sont
aussi appelés les unités de l’anneau : par

ANNEAUX

exemple, dans l’anneau Z des entiers
relatifs, les seules unikks sont les nombres
+ 1 et - 1 et, dans l’anneau des poiynômes i coefficients dans un corps K, ce sont
les polynômes constants non nuls. Dans
tous les cas, on vérifie facilement que les
unités forment un groupe multiplicatif;
pour un anneau A, la structure de ce
groupe est une importante caractéristique
arithmétique de A. Deux éléments CIet !I,
qui diffèrent seulement par un élément
inversible, c’est-i-dire tels que a = ub, u
inversible, possèdent
des propriétés
de
divisibilité très analogues
et sont dits
ussociés. Pour terminer
ces définitions,
indiquons qu’un élément a de A* est dit
premier, ou irréductibk, s’il n’est pas inversible et si pour toute décomposiCon
a = /TC; b, c éléments de A*, l’un des deux
facteurs b ou c est inversible, Un des
problèmes fondamentaux
de la divisibilité
dans A* est l’étude de la décomposiCon
éventuelle de tout élément comme produit
d’éléments premiers.
Corps
d’un

des fractions
anneau

COMMUTATIFS

p’/q’,

distinctes, possédant
des numérateurs et des dénominateurs
distincts, peuvent définir le wêlne nombre rationnel si
pq’ = p’q. De plus, si p/q et p’/q’ sont des
fractions définissant des nombres rationnels t et ~j, les fractions (pq’+p’q)/qq’
et
pp’/qq’ définissent les nombres rationnels
U+V et w. La démonstration
générale est
Calquée sur la construction
ci-dessus ;
donnons-en l’esquisse.
Nous allons d’abord définir la notion de
G fraction )). Pour cela, désignons par A*
l’ensemble des éiéments non nuls de A et
considérons l’ensemble A X A* des couples (.x, _J,),y # 0 ; un tel élément (x, J>)
s’appelle une (( fraction H de numérateur ,Y
et de dénominateur
y. Nous allons maintenant identifier des fractions (,Y, y) et
(.x’, y’) telles que .x_$ = ,~‘y, c’est-k-dire
considérer
sur l’ensemble A X A* la
relation
d’équivalence
ainsi
définie.
L’ensemble
des classes d’équivalence
forme un ensemble que nous désignerons
par K. On vérifie alors facilement que, si
on déjinit la somme et le produit de deux
(Cfractions )) par les formules :

d’intégrité

La construction du corps Q des nombres
rationnels i partir de l’anneau Z des
entiers relatifs se généralise sans difficulté
i un anneau d’intégrité quelconque. Plus
précisément, on a le résultat suivant : ccSi
A est un anneau d’intégrité, il existe un
corps K contenant A comme sous-anneau
et dont tous les éléments sont de la forme
.YY ’ , ,Y, y éléments de A. De plus, un tel
corps K est unique à un isomorphisme
laissant A fixe près. H
Pour faire comprendre
la démonstratien, analysons ce qu’est un nombre rationnel. Un nombre rationnel u est C(défini H
par une fraction p/q, OÙ p et q sont des
entiers relatifs, mais deux fractions p/q et

on obtient sur K, par passage uu quotient,
deux opérations qui en font un corps ; cela
signifie que, si L et z/ sont des éléments de
K représentés par des (( fractions )) (x, J,)
et (,Y’,y’), alors par définition, u+u’ et CM’
sont les éléments
de K représentés
par les (( fractions )) (x, y) + (.Y’,y’) et
(.Y,_J,)(_Y’,y’) et que u + u’ et w’ ainsi
définis dont indépendants
du choix des
(( fractions 1) représentant
t et v.
Le plongement de A dans K s’effectue
maintenant en identifiant tout élément de
A à l’élément de K défini par la (( fraction ))
(0, l), dont le numérateur est égal à u et le
dénominateur
1 1. Remarquons que, si on
27

ANNEAUX

COMMUTATIFS

identifie deux éléments u et !I de A à leur
image dans K, l’élément de K représenté
par la (( fraction H (u, h) est bien le quotient
(dans K) de a par b.
Le corps K que nous venons de construire s’appelle le corps des jactions
de
l’anneau A.
ldéaux

Rappelons qu’un id&1 d’un anneau A est
un sous-groupe additif qui est stable par
multiplication par un élément quelconque
de A, qu’il possède certaines propriétés.
Nous nous contenterons de montrer comment on peut étendre aux idéaux le langage
arithmétique
usuel relatif aux nombres
entiers.
Les idéaux du type le plus simple sont
obtenus ainsi : si a est un élément d’un
anneau A, l’ensemble des multiples de u,
c’est-à-dire l’ensemble des éléments de la
forme XI pour x parcourant A, est un idéal
de A, noté (a), et appelé l’idéal principal
engendré par u. Un tel idéal est propre
c’est-à-dire non réduit à 0 et différent de A
tout entier si, et seulement si, a est non nul
et non inversible. On verra, dans la deuxième partie, que tout idéal de l’anneau Z
des entiers relatifs est de ce type. Remarquons au passage que, dans un anneau
d’intégrité, deux éléments u et h non nuls
engendrent le même idéal principal si et
seulement s’ils sont associés, c’est-à-dire si
h = wz, c inversible dans l’anneau : en
effet, si (u) = (!T), il existe des éléments u
et v tels que h = ua, a = vb, d’où
wu = a ; si a # 0, on a donc w = 1
puisqu’il n’y a pas de diviseurs de zéro
dans l’anneau et ainsi u est inversible. Plus
généralement,
si u,, .... a,z sont des éléments de A, l’ensemble, noté (u,, . . . . u,J des
éléments de la forme x,a, +
+ .ylan
pour ,Y, .... .x,~parcourant A indépendamment l’un et l’autre est un idéal ; la
28

quatrième partie est Consacrée à l’étude
des anneaux dans lesquels tout idéal est de
ce type.
Étant donné deux idéaux a et b, leur
intersection
a n b est encore un idéal.
Généralisons
aux idéaux la notion de
produit : a et b étant deux idéaux, l’ensemble des sommes finies a,b, +
+ u,&,
où les u, et les bj sont des éléments de a et
b respectivement,
est encore un idéal,
appelé produit des idéaux a et b et noté ab.
Le produit ainsi défini est commutatif,
associatif et admet un élément unité qui est
l’anneau
tout entier A = (1) (parfois
appelé, pour cette raison, idéal unité). Si A
est un anneau d’intégrité, le produit de
deux idéaux non nuls (c’est-à-dire différents de [O}) est non nul et par suite
l’ensemble M(A) des idéaux non nuls est
un monoïde pour cette loi de composition ;
le monoïde M(A) jouera un rôle très
important dans la troisième partie. Remarquons que si a = (u) et b = (!I) sont
principaux, alors on a ab = (ub) et par
suite l’application u - (u) est un homomorphisme
du monoïde
A* dans le
monoïde M(A) (l’image d’un produit est le
produit des images, et l’élément unité a
pour image l’élément unité).
Deux éléments ~2 et b de A sont dits
congrus ruodulo un i&ul a, et on note :
L G b

(mod. a)

si la différence a ~ h appartient à a ; dans
le cas où a = (c) est principal, on retrouve
la notion usuelle de congruence modulo c.
Considérons
l’ensemble
quotient,
noté
A/a, de A par cette relation (c’est manifestement une relation d’équivalence).
Si
Ü et b sont les classes de a et h respectivement,
on
vérifie
que
a + h et
ub sont indépendants
des représentants
u et I choisis et que les deux lois de
composition
ainsi définies font de A/a

ANNEAUX

un anneau commutatif
unitaire appelé
uwz~uu quodenf de A par l’idéal a. Dans
le cas OÙ A est l’anneau Z des entiers
relatifs et a l’ensemble (ti) des multiples
d’un entier rz, cet anneau n’est autre que
l’anneau des classes résiduelles d’entiers
modulo n.
Un idéal II # A est dit premier s’il ne
contient le produit & de deux éléments de
A que lorsqu’il contient au moins l’un
d’entre eux ; dans l’anneau Z des entiers,
cette condition caractérise les idéaux principaux @) engendrés par un nombre premier p. On voit facilement qu’un idéal est
premier si, et seulement si, l’anneau quotient est sans diviseurs de zéro ; ainsi, un
exemple important d’idéaux premiers est
constitué
par les idéaux maximaux
n
(idéaux qui ne sont contenus dans aucun
autre idéal propre) caractérisés par le fait
que A/p est un corps. Généralisons maintenant aux idéaux quelconques les propriétés des idéaux principaux de Z engendrés
par les puissances des nombres premiers :
un idéal q est dit primaire si & E q et u 6? q
enttaînent qu’une puissance de h appartient à q, il résuhe des définitions que si q
est primaire, son radical, qui est l’ensemble
des éléments dont une puissance appartient à q, est premier. NOLIS verrons, dans
la quatrième
partie, l’importance
des
idéaux primaires.

Élérnmts entiers
Soit A un anneau d’intégrité
contenu
dans un corps K. On dit qu’un élément de
K est entier sur ,4 s’il est racine d’un
polynôme :
xn +

apx-

+ .., +

an

a coefficients dans A et dont le coefficient
dominant est égal à 1. Il est clair que tout
élément de A est entier sur A puisqu’il est
racine du polynôme .x ~ a ; on peut mon-

COMMUTATIFS

trer que l’ensemble des éléments de K qui
sont entiers sur A forme un anneau (qui
contient donc A) appelé la fermeture
inte’grde de A duns K. Un cas particulièrement important est celui OÙ K est le
corps des fractions de A (cf. mpra) ; si les
seuls éléments du corps des fractions de A
qui sont entiers sur A sont les éléments de
A, on dit que l’anneau A est i&gra/etnent
dos. Ces anneaux jouent un rôle essentiel
dans de nombreuses questions, en théorie
des nombres et en géométrie algébrique
notamment.

2. L’arithmétique élémentaire
et les anneaux principaux
Un anneau principul est un anneau d’intégrité dans lequel tout idéal est principal,
c’est-à-dire formé des multiples d’un même
élément,
appelé g&&ateur
de i’idéal.
L’étude de la divisibthté dans un tel anneau
est analogue à la théorie arithmétique
élémentaire des nombres entiers, qui en
constitue
d’ailleurs un cas particulier.
L’étude de la divisibihté dans l’anneau
K[X] des polynômes à une variable sur un
corps K rentre aussi dans ce cadre.
Exemples
o) Montrons que l’anneuu Z des entier.~
relat$
est principal. La démonstration
repose sur la propriété suivante de divisibihté dans cet anneau : étant donné deux
entiers rationnels a et b, h > 0, il existe un
couple et un seul d’entiers rationnels q et
I tels que :
a = bq + r,

O<r<b;

les nombres q et r s’appellent respectivement le quotient et le reste de la division
de a par b. Soit donc maintenant a un idéal
de Z. Si a = {O}%on a a = (0) ; sinon a
29

ANNEAUX

COMMUTATIFS

contient des éléments strictement positifs
puisque avec tout élément 0 il contient son
opposé - 0 = ( - 1) u. Soit b le plus petit
élément strictement positif de a ; montrons
que tout élément a de a est un multiple de
b. En effet, l’existence de la division dans Z
permet d’écrire u = hq + r, 0 < r < h ;
or le multiple hq de h appartient à a, donc
aussi r = u ~ bq : la définition
de b
entraîne I = 0.
/T) Un
autre
exemple
important
d’anneau principal est l’anneau K[X] des
polynômes a coefficients dans un corps
commutatif K. La démonstration
repose
ici encore sur l’existence dans cet anneau
d’une division (( euclidienne N : si A et B
sont des polynômes, il existe un couple et
un seul de polynômes Q et R tels que
A = BQ + R, le degré de R étant strictement inférieur au degré de B. On montre
alors, par une démonstration analogue à ce
qui précède, qu’un idéal a # (0) de K[X]
est formé des multiples de tout polynôme
B non nul de a dont le degré est le plus petit
possible (cf. PoLYNôMEs).
C)
À propos
de recherches
sur les
formes quadratiques, Gauss a utilisé le fait
que l’anneau des nombres complexes de la
forme 0 + bi, a, 1 E Z (appelés entiers de
Gauss), possède une arithmétique comparable à celle des entiers ordinaires. Ce fait
s’explique, avec la terminologie ci-dessus,
par le fait que cet anneau est principal.
Plus grand

commun

et plus petit commun

diviseur
multiple

Dans ce qui suit, nous nous limiterons,
pour simplifier les notations, au cas de
deux éléments, mais il est clair que tous les
résultats s’étendent sans difficulté au US
d’un nombre fini d’éléments.
Soient x, y deux éléments d’un anneau
principal A et considérons l’idéal (x, y)
30

constitué par les éléments de la forme
u_x+ !~y, u, b t2 A. Puisque A est principal, cet idéal est engendré par un élément
u’, déterminé a cela près qu’on peut le
remplacer par ud, où u est un élément
inversible quelconque
de l’anneau. On
appelle plus grund conmun diviseur (en
abrégé P.G.C.D.) de .Yet y tout élément d
tel que (.x, y) = (4.
Puisque d E (d), on voit en particulier
qu’il existe u, I E A tels que :
(*)

d = Q.X+ by

(ce résuhat
constitue
le théorème de
Bezout). Justifions la terminologie adoptée
en montrant qu’un élément z de A divise
simultanément
,x et y si et seulement s’il
divise d : puisque (4 contient x et y, ces
nombres sont des multiples de d et, par
suite, tout diviseur de d divise x et y ;
réciproquement.
si z divise .Yet y, écrivons
.x = ~2, _Y= $, et portons dans (*) ; on
obtient d = z(a,x’ + hy’), ce qui prouve
que 2 divise d, Dans le cas de l’anneau Z
des entiers rationnels, d est déterminé au
signe près puisque les seuls éléments inversibles sont ici + 1 et - 1 ; on peut donc
prendre d > 0 et on retrouve la notion
élémentaire de P.G.C.D. enseignée dans
les classes primaires.
Deux éléments _Yet _)Jde A sont dits
premiers entre eux s’ils admettent 1 pour
P.G.C.D., c’est-à-dire si leurs seuls diviseurs communs sont les unités de l’anneau.
D’après Je théorème de Bezout indiqué
ci-dessus, ,Yet L sont premiers entre eux si
et seulement s’il existe des éléments u,
1 fF A tels que U-Y+ by = 1 (la condition
suffisante résulte du fait que, si cette
relation est satisfaite, tout diviseur commun a x et y divise 1). Ce résuhat entraîne
facilement le théorèrne de Gauss (ou lente
d’Euclide), qui s’énonce : ccSoit .x et ~1des

A

éléments non nuls d’un anneau principal A
et d un diviseur du produit .~y ; si d et ,Ysont
premiers entre eux, alors d divise y. H En
effet, puisque d e _ sont premiers
t Y entre
eux, il existe U, v E A tels que :
u

+ v

= 1

d’où après multiplication

d

x

par V,

y=yud+wy
puisque d divise XJJet yud, il divise aussi y.
Soit encore x et _r des éléments d’un
anneau principal A. Les multiples de _Y
et de y sont les éléments de (x) et (J)
respectivement
et par suite les multiples
communs à x et J sont les éléments de
l’idéal (x) f7 b). Puisque l’anneau A est
principal, cet idéal est formé des multiples d’un élément défini à un facteur
inversible près : on appelle plus petit
commun multiple (en abrégé P.P.C.M.)
de .X et _r tout élément WI de A tel
que (,Y)f’ (_r) = (w) ; a
cette définiv
tien, tout multiple de x et _r est un multiple
de m.
D

eé f

p

nc a

Pour tout anneau d’intégrité, on a défini
sous le titre 1 les éléments premiers. On
peut montrer que les anneaux principaux
possèdent les deux propriétés fondamentales (F,) et (FI) suivantes.
(Fr) Décompusitiun
en ,fuctews pwmius. Tout élément x non nul et non
inversible est produit d’un nombre fini
d’éléments premiers (pas nécessairement
distincts).
(Fz) (( Unicité B de la décomposition. Si
x =p,pz...pn

r

C

N

O

N

p’i sont associés (c’est-à-dire p’[ = u,p,, u,
inversible), pour 2 = 1,2,..., n.
Remarquons
que, puisque deux éléments de A engendrent
le même idéal
si et seulement s’ils sont associés, les
conditions (Fr) et (FJ expriment que tout
idéal de A non nul et différent de A (de
la forme (_Y) puisque A est principal)
s’écrit, de nzunihe unique à l’ordre près
des facteurs, comme un produits d’idéaux
premiers :

ainsi la situation est plus simple dans le
monoïde M(A) que dans le monoïde A*
puisqu’il n’y a plus cette fois d’ambiguïté
quant au sens à donner à l’expression
unicité de lu décomposition. Dans la pratique, on élimine cette ambiguïté en choisissant une fois pour toutes un ensemble P
d’éléments premiers de A tels que pour
tout élément premier p’ de A il existe un
e
c
élément premier p de P et un seul qui soit
associé à p’. Les propriétés (F,) et (FJ
s’expriment alors ainsi : tout élément .Xde
A s’écrit, de manière unique a l’ordre près
o c
e
m t
m
pe
i
des facteurs, sous la forme :

,x =

U

..

P

.

l

c est une unité
<
de A et OÙIles p, sont des
éléments de P (pas nécessairement
distincts), Ainsi, dans le cas de l’anneau Z des
entiers relatifs, on peut prendre pour P
l’ensemble des nombres premiers positifs,
et tout entier relatif ,Y s’écrit de manière
unique sous la forme :
O

. = &

..

&
P

x

.

=l

n

c

p

=p;p;...p;

sont deux décompositions
d’un élément .Y
comme produit d’éléments premiers, alors
m = n, et, quitte à modifier éventuellement l’ordre des facteurs, les éléments p, et

A

f

n

a

De manière générale, on appelle GWWUU
jbctoriel tout anneau d’intégrité possédant
les propriétés (F,) et (FJ;
remarquons
31

e

ANNEAUX

COMMUTATIFS

d’ailleurs que l’on peut remplacer la condition (FJ par la condition suivante :
(Fj) Si un élément premier de A divise
un produit, il divise au moins un des
facteurs de ce produit.
Les anneaux factoriels constituent une
classe plus vaste que celle des anneaux
principaux ; cette classe possède la remarquable propriété de stabilité suivante : si A
est un anneau factoriel, alors l’anneau A[X]
des polynômes a coefficient dans A est lui
aussi factoriel. On obtient ainsi, par récurrente, que l’anneau K[X,,...,X,J des polynômes a n variables sur un corps K est
factoriel, alors qu’il n’est pas principal pour
I > 2 (en effet, dans l’anneau K[X,Y] des
polynômes a deux variables, l’idéal (X,Y),
formé
des polynômes
de la forme
XP(X,Y) + YQ(X.Y), n’estpasprincipal).
L’anneau K[[X]] des séries formelles à coefficients dans un corps K est factoriel ; mais,
par contre, l’anneau A[[X]] peut ne pas être
factoriel même si A est un anneau factoriel
(contre-exemple dû a Samuel).
Pour terminer,
signalons, en liaison
avec la définition donnée plus haut, que
tout anrwau,jtictotiel est iritigraletnent clos.
En effet, soit .y~~‘, .y, y éléments de A, un
élément du corps des fractions de A ; on
peut supposer que s et y n’ont pas de
facteurs premiers communs. Si ,~_J~’ est
entier sur A, il est racine d’un polynôme à
coefficients dans A dont le coefficient
dominant est égal à 1, soit :

xny-” + a,x”-‘y-“+’

+

+ a” = 0,

3. Les anneaux
de Dedekind
et la théorie multiplicative
des idéaux
L’extension
de l’arithmétique
classique
aux anneaux d’entiers algébriques
s’est
longtemps heurtée au fait que ces anneaux
ne sont pas factoriels. Par exemple, dans
l’anneau Z[m]
des nombres complexes
de la forme a + ih VT, a, h entiers relatifs,
le nombre 4 admet les deux décompositions :
4=2x2=(l+iVT)(l-iV3)

en facteurs premiers non associés deux à
deux et par suite cet anneau n’est pas factoriel. Dedekind, à partir des travaux de
Kummer, mit en évidence que, pour un tel
anneau A, la notion importante était celle
d’idéal premier et non pas d’élément premier, comme pouvait le faire croire l’étude
élémentaire des entiers relatifs. En somme,
tout revient ici à remplacer l’étude du
monoïde A* des éléments non nuls de A par
celle du monoïde M(A) des idéaux non nuls
de A ; on trouve l’unicité de la décomposition en facteurs premiers (( idéaux H. Chaque élément a non inversible de A* étant
identifié à Pidéal principal (a) qu’il engendre peut ainsi s’écrire, de manière unique,
comme un produit d’idéaux premiers.
La définition abstraite des anneaux de
Dedekind que nous formulons ici a été
donnée pour la première fois, en 1927, par
la mathématicienne
allemande
Emmy
Noether.

a, E A ; on en déduit que :
Anneaux de Dedekind
c’est-à-dire que .? est un multiple de J>.
Mais si y n’est pas un élément inversible de
A, on obtient une contradiction puisque,
d’après (F& tout diviseur premier de L
doit alors diviser .y.
32

Par définition, on appelle anneau de Dedekind tout anneau intégralement
clos et
noethérien
(c’est-a-dire dans lequel tout
idéal est engendré par un nombre fini
d’éléments, cf. infia) dans lequel tout idéal
premier non nul est maximal. Cela signifie

ANNEAUX

que le quotient de A par un idéal premier
non nul quelconque est non seulement un
anneau d’intégrité mais même un corps.
L’exemple le plus simple d’un tel anneau
est l’anneau Z [W] des nombres de la
forme a + b XT, u, I entiers relatifs, d
entier tel que d E 2 ou 3 (mod. 4). Plus
généralement, Dedekind a démontré que,
si K est une extension finie du corps Q des
nombres rationnels (K est appelé un corps
de nombres algébriques), alors la fermeture
intégrale A de l’anneau Z dans K est un
anneau de Dedekind (A est appelé l’anneau
des entiers du corps K ; cf. théorie des
N
- Nombres
O
algébriques).
M
En fait, B
l’exemple précédent, qui est très important
en théorie des nombres, est lui-même un cas
particulier du résultat algébrique suivant :
soit A un anneau de Dedekind. de corps des
quotients K, et soit Lune extension finie de
K (cf. C
; alors O
la fermeture intégrale
R
de A dans L est un anneau de Dedekind.
L’intérêt
essentiel
des anneaux
de
Dedekind réside dans la structure particulièrement simple, pour un tel anneau, du
monoïde M(A) des idéaux non nuls. On a
le résultat suivant : un anneau d’intégrité
A est un anneau de Dedekind si, et
seulement si, tout idéal non nul de A s’écrit
de manière unique (à l’ordre près des
facteurs) comme produit d’idéaux premiers non nuls. Soit a un tel idéal non nul ;
écrivant p” si l’idéal premier p figure a fois
dans la décomposition
de a, on peut donc
écrire a de manière unique sous la forme :

les p! étant des idéaux premiers distincts.
Désignant par P L’ensemble des idéaux
premiers non nuls de A, on écrit souvent
cette décomposition
sous la forme :

COMMUTATIFS

en convenant que ~~(a) = 0 quand l’idéal
premier p ne figure pas dans la décomposition de a ; par définition le produit
ci-dessus est alors égal au produit fini
correspondant
aux idéaux
tels que
v&a) > 0. L’intérêt de cette convention
réside dans des formules du type suivant :
si a et b sont deux idéaux, alors on a :

c’est-à-dire,

avec les notations

ci-dessus,

r&ah) = r,,(a) + t+(h).
Remarquons que l’existence et l’unicité
de la décomposition
de tout
idéal de M(A)
R
E
S
comme produit d’idéaux premiers permet
d’appliquer
à M(A) tous les résultats
élémentaires relatifs à la divisibihté des
entiers ; par exemple si a et b sont deux
idéaux non nuls, leurs diviseurs communs,
ou P leurs multiples
communs, ) sont Les
S
diviseurs, ou les multiples, d’éléments
appelés respectivement
Le P.G.C.D.
et le
P.P.C.M. de a et b et qui s’écrivent :

respectivement.
idéaux

fractionnaires

Soit A un anneau d’intégrité ; la structure
du monoïde M(A) des idéaux non nuls
donne des indications sur la structure du
monoïde multiplicatif A*. De la même
manière, pour étudier La structure
du
groupe multiplicatif
K* du corps des
quotients K de A, on est amené a étendre
la notion d’idéal.
Un sous-ensemble a, non réduit à [OI,
de K est appelé un idia f~uctionnuiw
si
c’est un sous-anneau
de K stable par
multiplication
par les éléments de A et
pour Lequel il existe un élément d # 0 de
A tel que & appartienne à A pour tout .Y
33

A

C

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f
d

N

O

N

M

E

M

A

U

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X

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ANNEAUX

anneaux de poiynômes à plusieurs variables. À propos de recherches sur la théorie
des invariants, Hilbert mit en évidence le
fait que tout idéal d’un tel anneau est
engendré par un nombre fini d’éléments et
montra tout le parti que l’on pouvait tirer
de cette propriété ; par là même, il
dégageait l’importance des anneaux avec
conditions
de finitude qui allaient être
étudiés
systématiquement
sous forme
générale par E. Noether. Signalons que les
conditions de finitude en un sens plus large
jouent un rôle absolument essentiel dans
toutes les recherches
(( géométriques ))
contemporaines
en géométrie algébrique
ou analytique (au sens moderne, à savoir
l’étude des espaces analytiques) et dans de
nombreuses questions d’algèbre homologique.
Définitions

équivalentes

Un anneau noethérien est un anneau commutatif unitaire A qui vérifie une des trois
conditions de finitude équivalentes suivantes :
Condition (u), dite de chaîne ascendante : G Toute suite strictement croissante
d’idéaux est finie )), ou encore : a Si :
a,C a2C

Ca” C ...

est une suite infinie d’idéaux
de A
encastrés, il existe un entier n tel que
a” = an _, =
>).
Condition (b) : a Toute famille non vide
d’idéaux a un élément maximal )), ce qui
signifie que si (a)), E ,, 1 non vide fini ou non,
est une famille d’idéaux de A, il existe un
indice i0 pour lequel l’idéal a+ n’est
contenu strictement dans aucun autre idéal
de la famille.
Condition (c) : N Tout idéal est engendré par un nombre fini d’éléments )F,
c’est-à-dire que si a est un idéal de A, il
existe des éléments ,Y,, .... ,Y,,, en nombre

COMMUTATIFS

fini, tels que a soit l’ensemble des éléments
de la forme U,X, +
+ u,,x~ lorsque a,,
.... an parcourent A indépendamment
l’un
de l’autre.
Esquissons la démonstration
de l’équivalence de ces trois conditions car elle est
instructive. Pour montrer que (u) entraîne
(b), on raisonne par l’absurde. Si la famille
(a,), fz l n’admettait pas d’élément maximal,
alors pour tout i E 1 on pourrait trouver
j E 1 tel que l’idéal aj contienne strictement
l’idéal a[ et on pourrait construire ainsi, par
récurrence à partir d’un idéai ai, une suite
infinie strictement croissante d’idéaux.
Montrons que (b) entraîne (c). Soit a un
idéal et considérons la famille des idéaux
de type fini (c’est-à-dire engendré par un
nombre fini d’éléments) contenus dans a ;
cette famille est non vide car elle contient
{OI et par suite elle admet un élément
maximal b engendré par des éléments
,Y,, .....Y~.Pour tout .Xde b, l’idéal engendré
par les éléments ,Y,, .... ,Y,,, x contient b,
appartient à la famille d’idéaux considérée
et par suite est égal à b puisque b est
maximal. Ainsi a = (x,, .... .Y~).
Pour terminer,
montrons
que (c)
entraîne (a). Soit an une suite croissante
d’idéaux encastrés. On vérifie que, dans ce
cas, la réunion des idéaux an est encore un
idéal ; d’après (c). cet idéal est engendré
par un nombre fini d’éléments x,, .... -Y~
et, par définition
d’une réunion,
il
existe des entiers p,, ,,., pm tels que
,Y,E aP, , , ,Y” E ap,,Il est maintenant clair
que, si JJ est le plus grand des entiers p,.
.
p,,, on a ak = a pour k 2 p.
Exemples d’anneaux

noethériens

Par définition, les anneaux de Dedekind, et
en particulier, bien entendu, les anneaux
principaux, sont des anneaux noethériens.
Une source importante
d’exemples
ne
rentrant pas dans les précédents
est la
35

ANNEAUX

COMMUTATIFS

remarquable
propriété
de stabilité suivante, découverte par Hilbert : si A est un
anneau noethérien,
l’anneau A[X] des
polynômes 1 coefficients dans A est lui
aussi noethérien ; par récurrence, ce résultat s’étend i l’anneau A[X,, . . . . X,,] des
polynômes à I variables sur un anneau
noethérien
A. On obtient
ainsi que
l’anneau des polynômes à I variables à
coefficients dans un corps K est noethérien, alors que cet anneau n’est ni principal, ni même de Dedekind, pour TI > 2.
Signalons que le théorème
de Hilbert
s’étend à l’anneau A[X,, .... X,J des séries
formelles à coefficients dans un anneau
noethérien A ; dans le même ordre d’idées,
si K est le corps des nombres réels ou
nombres
complexes,
l’anneau
des
K {X,, . . . . X,!] des séries convergentes est
noethérien (cc ANNEAUX ET ALGÈBRES),
Décomposition

primaire

Remarquons
que, pour un anneau commutatif avec unité, les opérations d’intersection et de produit de deux idéaux jouent
des rôles assez semblables. Dans le cas des
anneaux principaux par exemple, si p et q
sont
deux
éléments
premiers,
alors
@) (q) = @) n (q) et par suite la décomposition d’un idéal en idéaux premiers peut
s’écrire indifféremment
:

cette situation est d’ailleurs la même pour
un anneau de Dedekind quelconque. Dans
le cas d’un anneau noethéricn, le monoïde
multiplicatif M(A) n’est guère utilisable,
mais on peut donner un théorème de
décomposition de tout idéal comme intersection d’idéaux d’un type plus gknéral que
les idéaux premiers, les idéaux primaires
(cf. sz.tpru).
36

Le théorème
de décomposition
de
Lasker-Noether affirme que tout idéal d’un
anneau nœthérien s’écrit sous la forme :

OÙles q! sont des idéaux primaires auxquels
on peut imposer les deux conditions suivantes ; aucun des idéaux q, ne contient
l’intersection des autres et les radicaux pI
des idéaux q, sont des idéaux premiers
distincts (cf. supru, chap. 1). Il n’y a pas
unicité pour une telle décomposition, mais
les idéaux premiers p, définis ci-dessus sont
déterminés de manière unique et appelés
les idhtx
ptwniers 0% l’idéul a. Parmi ces
idéaux premiers, ceux qui sont minimaux,
c’est-à-dire qui ne contiennent aucun des
autres sont dits ~~~~1~~s
et ont une grande
importance en géométrie algébrique. Cette
terminologie est justifiée par le fait que,
dans le cas OÙ a est un idéal de l’anneau
K[X,, .... X,J des polynômes à n variables
sur un corps K. ces idéaux isolés correspondent aux composantes irréductibles de
l’ensemble des points K’l OÙ s’annulent
simultanément
tous les polynômes
de
l’idéal.
JEAN-LUC VERLEY

ANNEAUX

ANNEAUX & ALGÈBRES

(d) existence. pour tout .Y de A, d’un
élément, noté ~ .Y, tel que :
(-x

éfinis par des axiomes qui dégagent les propriék
usuelles des
D
opérations
d’addition
et de muhiplicatien dans les ensembles de nombres ou
les polynômes,
les anneaux cons&uent
le cadre général dans lequel on peut
appliquer les règles du calcul algébrique
élémentaire.
Nous donnerons
dans cet
arkle
les défïnitions générales
et des
exemples. Pour une étude plus détaillée des
anneaux qui interviennent en théorie des
nombres ou en géomékie algébrique, nous
renvoyons
i l’intérieur
de ce texte i
d’autres articles.

*

1

.

Définihons

Anneaux
Un

u~~rwu~ A

est

un

ensemble

muni

de deux lois de composition
internes
@, J) - .Y+ y et (.I-,J,) - A-J, appelées
addition
et multiplication
respectivement, qui possèdent les propriéks suivantes :

(

~

+

4

CassociaGviG de l’addition)

@l

de l’addition)

+
;

x+o=x

;

;

(4

x (MI = @Y&
(associaGviGde la m&iplication) ;

OI

X(Y +z) =J? +.=
(y +zjx =_VX+zx
(double distributivité de la multiplication
par rapport à l’addition) ;

(g) bien que cela ne soit pas toujours ainsi
dans la littérature, nous supposerons l’existente d’un élément unité pour la mukiplication, souvent noté 1, tel que :
l

x

=

Les propriétés (a) à (d) expriment que
A est un groupe commutatif pour l’addition.
Dans de nombreux exemples. la multiplication est de plus commutative, c’esti-dire XY= !,Y : un tel anneau est alors dit
commtdf~ Cependant on ne peut pas se
limiter à ce cas. car des anneaux importanb dans la pratique,
les anneaux de
matrices par exemple, ne possèdent pas
cette propriék ; comme on le verra au
début du chapitre, le calcul algébrique
dans de tels anneaux réclame quelques
précautions.
Pour terminer,
indiquons
qu’un cas particulier Vès important est
constitué par les anneaux dans lesquels
tout élément non nul est inversible, c’estil-dire a un inverse pour la mukiplication ;
un kl anneau s’appelle un corps (cf.
C

(c) existence d’un élément, noté @,tel que,
pour tout élément Y de A on ait :
(élément neutre pour l’addition)

x+(-x)=0
est appel.4 l’opposé de X)

(

:

x
(commu~ahhé

& ALGÈBRES

.

O

Y

R

P

Un sous-ensemble
B non vide d’un
y
=
anneau A est appelé un XXMVIMW~~,s’il
contient l’unité multiplicative et .Y~ 1 et
.\-y pour tout couple d’éléments Y et 1’ de
B : B est alors un anneau
pour les
res&ictions i B de l’addition et de la
mukiplicaCon,

37

y

ANNEAUX

& ALGÈBRES

Algèbres
Nous

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Homomorphismes

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d’onneoux

8

et aigèbres

A

& A N

L

A

réel h sont
d B n
e o n
otion
e par un nombre
l a
e ules fonctions dont les valeurs en chaque point sont
L’exemple suivant montre le caractère un
respectivement la somme et le produit des
peu insolite que peuvent présenter certains
anneaux. L’ensemble
, (E) des parties 2 valeurs en ce point ou le produit par P, de
la valeur de la fonction en ce point. Si on
d’un ensemble donné E est un anneau pour
analyse les propriétés qui ont permis de
les opérations d’(( addition H et de (( mulmunir l’ensemble précédent d’une structiplication H qui a deux sous-ensembles X
ture d’algèbre, on constate que, de manière
et Y de E font correspondre
les sousgénérale, on peut munir d’une structure
ensembles :
d’anneau
ou d’algèbre l’ensemble
des
(
exx
t nn
yy
y
applications d’un ensemble quelconque E
dans un anneau ou une algèbre respectirespectivement,
en désignant par X’ et
vement, les valeurs en un point _vde E des
Y’ les complémentaires
de X et Y dans
fonctions somme, produit et éventuelleE ; l’élément nul est ici l’ensemble vide
ment produit par un scalaire étant données
et l’élément unité est l’ensemble E tout
par :
entier. Remarquons que le (( produit )) de

x

X par lui-même est égal a X car on a
xnx=x.
Revenons
aux notations usuelles en
désignant les éléments d’un anneau par des
lettres minuscules. Généralisant la situation précédente, on considère des anneaux,
appelés u
d B n qui possèdent
e O t la
propriété que le carré de tout élément est
égal à cet élément : x = x = x Il en 2
résulte que, pour tout élément _x, on a
.v + .x = 0 ; en effet, écrivant que le produit de x + ,y par lui-même est égal à
.y + .y, on obtient :

Le procédé précédent
permet, bien
entendu,
de
définir
des
structures
d’anneaux ou d’algèbres sur de nombreux
ensembles
dans
& w dc fonctions
, u contenus
u
l’ensemble, considéré ci-dessus, de t
les. fonctions
définies xdans un ensemble et
,
à valeurs dans un anneau ou une algèbre.
Ainsi, les fonctions continues ou différentiables à valeurs réelles définies dans un
ouvert du plan constituent des algèbres sur
le corps des nombres réels. Il est clair qu’il
est possible de multiplier à volonté les
=
x
x
+
x
exemples de ce type.
d’où la conclusion.
Ces anneaux sont
Lorsqu’on s’intéresse a l’étude locale
importants en logique symbolique (algèbre
des fonctions au voisinage d’un point, on
des propositions)
et dans la théorie des
est conduit a introduire des anneaux et
circuits électroniques
(algèbre des ciralgèbres d’un type différent du précédent.
cuits).
N
prendrons pour
o exemplel’algèbre u des
g
di~jbnctionsmul~Qtues
e
?Ilàt?gitwm0
A
e a n
d tf l n
e o g due plan complexe.
n è a Considérons
c b les
u couples t
(U,f) d’un voisinage ouvert de 0 dans le
Les fonctions réelles d’une variable réelle
plan complexe et d’une fonction,fdéfinie
et
définies dans un intervalle [a, b] de la
droite réelle constituent
une algèbre en
analytique dans U. Nous dirons que deux
convenant que la somme et le produit de
tels couples (U, f) et (V, g) définissent lc
deux fonctions ou le produit d’une foncmême germe a l’origine sifet g coïncident
39

r

x

ANNEAUX

& ALGÈBRES

sur un voisinage ouvert W de 0 contenu
dans U f7 V ; il est clair que cette relation
est une relation d’équivalence ; par définitien, le germe d’une fonction analytique
définie dans un voisinage de 0 est sa classe
d’équivalence pour cette relation. Montrons que cet ensemble des germes peut être
muni d’une structure d’algèbre sur le corps
des nombres réels ou des nombres complexes. Soient A et B deux germes et h un
nombre réel ou complexe. Si (U,f) et (V,g)
définissent les germes A et B respectivement, nous appellerons
germe somme,
germe produit et germe produit par le scalaire A, noté A + B, AB et AA respectivement, les germes à l’origine des couples
et
(U n VJ; g,),
(U n V,.fr + .g,),
(U f’ V, Af,), OÙ,~, et g, désignent les restrictions au voisinage U n V des fonctions
f et g ; on vérifie alors facilement que les
germes A + B, AB et AA sont indépendants des représentants
(U,f)
et (V,g)
choisis et que l’ensemble des germes est
ainsi muni d’une structure d’algèbre. De
manière générale, les anneaux de germes de
fonctions différentiables
ou analytiques
jouent un rôle absolument essentiel dans la
théorie des variétés différentiables ou analytiques.
Anneaux
A

de séries

étant un anneau
commutatif,
on
peut définir de manière purement formelle
et algébrique des séries à coefficients dans
A ; dans le cas OÙ A est le corps des
nombres complexes ou des nombres réels,
nous ferons jouer un rôle particulier à
celles de ces séries, dites convergentes, qui
possèdent un rayon de convergence non
nul.
On appelle série _f~rmelle (à une variable) a coefficients dans un anneau commutatif A une suite infinie d’éléments de

40

A : (q, u,, . . . . an ,...) ; une telle série formelle est souvent notée :

notation qu’il faut considérer pour l’instant comme un pur symbole. Définissons la
somme et le produit de deux telles séries
formelles ; on pose, par définition,

où Ci est la somme finie :
aobp -k a,bp-,

-k

+ akbp-k

+

•k apbw

Il est facile maintenant de vérifier, en
utilisant les règles du calcul algébrique
dans les anneaux (cf. chap. 3) que l’ensemble A [[Xl] de ces séries formelles est muni
d’une structure d’anneau ; si A = K est un
corps, cet anneau est une algèbre quand on
définit la multiplication
scalaire par la
formule :

Par récurrence, on peut définir l’anneau
des séries formelles à I vdriables à coefficients dans A ; par définition, cet anneau,
noté A [[X,, .., XJ, est égal à l’anneau des
séries formelles (à une variable) à coefficients dans l’anneau A [[XI, .... X+,]] des
séries formelles à (n - 1) variables. Toute
série formelle à n variables est définie par
la donnée, pour tout système de n entiers
p,, ....pf7 positifs ou nuls, d’un élément
a ,~, ,,,~” de l’anneau A et s’écrit symboliqucment sous la forme :

ANNEAUX

Limitons-nous maintenant au cas où A
est le corps des nombres réels ou des
nombres complexes. La série (*) est dite
convergente si elle a un rayon de convergence non nul, c’est-a-dire s’il existe un
nombre réel strictement positif R tel que la
famille de nombres positifs :

soit sommable (cela signifie qu’il existe un
nombre M qui majore toute somme finie de
tels nombres). On montre que si deux séries
sont convergentes, alors les séries formelles
somme et produit sont aussi des séries
convergentes ; ainsi les séries convergentes
à coefficients dans le corps des réels ou des
nombres complexes forment des anneaux,
qui sont d’ailleurs aussi des algèbres sur R
notés
ou
c,
R IX,, .... X,J
et
C {X,, . . . . X,?} respectivement. L’étude de
ces anneaux constitue la partie locale de la
théorie des fonctions analytiques de plusieurs variables ; ainsi, montrons,
pour
?z= 1 par exemple, que l’anneau C {X}
des séries convergentes à coefficients complexes est isomorphe a l’anneau des germes
de fonctions analytiques à l’origine introduit ci-dessus. En effet, toute fonction analytique dans un voisinage de l’origine est
développable en série entière convergente
et deux telles fonctions définissem le même
germe si, et seulement si, elles sont somme
d’une même série entière dans un voisinage
de l’origine ; par ailleurs, la valeur, pour z
complexe assez voisin de 0, de la somme des
séries (( somme D et (( produit D est égale
respectivement
à la somme et au produit
des sommes des séries considérées
(cf.
FONCTIONS

Algèbres

ANALYTIQUES).

de dimension finie

Soit A une algèbre sur un corps K dont
l’espace
vectoriel
sous-jacent
soit de
dimension finie n et choisissons une base

& ALGÈBRES

e,, .... efl de cet espace. On appelle tubk de
multiplicutionde A la donnée des produits :

n

(les & éléments u,,~ de K ainsi définis sont
appelés les constantes de structure de l’algèbre A) ; connaissant la table, on peut cakuler le produit de deux éléments quelconques
par bilinéarité. On représente souvent la
table par un schéma à double entrée. Par
exemple, la table de multiplication du corps
des nombres complexes considéré comme
une algèbre de dimension 2 sur le corps des
nombres réels est la suivante :
1
1
ti

i

1 i
i -1

Réciproquement,
soit E un espace vectoriel muni d’une base e,, . . . . e,,. Si on se
donne, pour tout couple i, j d’entiers
compris entre 1 et FZ, des éléments de
l’espace E, notés e,, e,, on peut prolonger
cette loi par bilinéarité à l’espace E tout
entier. L’espace E est alors une algèbre
associative admettant cette loi pour mulsi, on a
tiplication
si, et seulement
remarquons
que
(ci e,) eA = e, (c, ek) i
l’algèbre ainsi construite est commutative
si, et seulement si, e, e, = ei e,. Ce qui
précède montre l’utilité des tables pour
définir des algèbres. Nous allons donner
un exemple célèbre de cette situation.
Soit K un corps commutatif; désignons
par e, i, j, k la base canonique de l’espace
vectoriel
K4 et choisissons
deux élements p et q de K. On appelle ulgsbre de
quuterniom sur K l’algèbre obtenue en
considérant sur K4 la table de multiplication notée H :
$ = e, ei = ie = i, ej = je = j, ek = ke = k,
i2 = pe, ~2 = qe, kz = -pqe,
u c -

ji c k, jk = -

kj x -

qi,
ki z -ik

z

-pj.

41

ANNEAUX

& ALGÈBRES

Un cas particulier
très important
s’obtient en prenant pour K le corps
des nombres
réek et en choisissant
p = CJ= ~ 1 : on obtient ainsi les quuternions proprement
dits, introduits
par
Hamilton. Pour ces quaternions, on peut
développer
une
théorie
analogue
5
complexes
: si
celle des
nombres
Y = UC>+ bi + cj + dk est un tel quaternion, on appelle conjugué de .Yle quaternion .? = UC~ bi - c:j ~ dk : les règles de
calcul montrent alors que :

et par suite tout quaternion
inverse :

x-l = (a*+

non nul ,Ya un

bz + c* + d*)-‘Z,

tel que _Y.\~~
’ = .Y-‘.Y= e. On traduit cette
propriété en disant que les quaternions
forment un corps mn ~mmututff;
cet
exemple des quaternions
constitue une
situation très privilégiée, car on peut montrer que c’est le seul corps non commutatif
de dimension finie sur le corps des nombres réels.
Pour terminer,
remarquons
que les
matrices de la forme :

L+
C-c+id

ib

c + id
a-ib

3.

Propriétés

des
Calcul

anneaux
algébrique

et algèbres
dans les anneaux

Les

règles du calcul algébrique
usuel
s’appliquent
dans les anneaux moyennant quelques précautions
dans le cas
exemple.
si
non
commutatif:
par
.Y,, .... .Y,~~,
J',,.... y,,sont des éiéments d’un
anneau A. le produit
est égal 1 la somme des WI produits .y,~‘,.
Mentionnons une importante notation qui
montre
qu’on
peut
faire (( opérer ))
l’anneau Z des entiers relatifs sur un
anneau A quelconque. Si Y est un entier
relatif et x un élément de A, on désigne par
n.~ la somme d’une suite de I tcrmcs égaux
à s si I > 0, l’élément 0 si 12= 0 et
l’opposé de la somme de ~7’= ~ n termes
égaux i ~ s si I < 0 ; il est clair que cette
notation possèdc les propriktks habituelles :
I (m)

1

réels
Où u, h, c, d sont des nombres
quelconques forment une algèbre et que
l’application qui, au quaternion flc + &
+ d + dk. fait correspondre
la matrice
ci-dessus est un isomorphisme
car les
opérations usuelles sur les matrices correspondent ici aux opérations correspondantes sur les quaternions ; ainsi l’algèbre
des quaternions est isomorphe i une algèbre de matrices. La recherche d’algèbres
de matrices isomorphes
i une algèbre
donnée est le problème fondamental de la
représentation
hnéaire des algèbres ; la
42

situation précédente constitue historiquement le premier exemple d’une telle représentation.

n (x +Y)

= (mn) x, (n + m) .x = ?Cc + mx,
= t2.x + ny, (n.x) (my) = (WI) @Y),

pour m, 17 dans Z et s, _I’dans A.
L’exemple des amieaux de Boole montre qu’il peut exister dans certains anneaux
des entiers I > 0 tek que f?l = 0 ; on
appelle uwmtkristique d’un tel anneau lc
plus petit entier n > 0 pour lequel tzl = 0
et on dit qu’un anneau est de caractéristique nulle si ~21f 0 pour tout II > 0.
Ainsi tout amieau de Boole est de caractéristique 2, alors que l.anneau des entiers
relatifs est de caractéristique
nulle : de
manière générale, tout anneau de caractkristique nulle contient une infinité d’élé-

ANNEAUX

& ALGÈBRES

une égalité du type u_x= u_r. Ainsi, dans
un anneau de Boole unitaire, on a toujours
.~‘-~y = s (.y- 1) = 0 et, par suite, le
produit de deux éléments non nuls peut
être nul; de même, dans l’anneau (de
caractéristique
nulle) des fonctions
a
valeurs réelles définies sur l’ensemble réunion de deux ensembles X et Y sans point
commun, le produit de deux fonctions
l’une nulle sur X et non nulle sur Y et
l’autre nulle sur Y et non nulle sur X est
nul (cf. chap. 2). De manière générale, on
dit qu’un élément .x # 0 d’un anneau A est
Remarquons
que, si .x et y sont deux
un diviseur de &a (à gauche) s’il existe un
éléments quelconques d’un anneau A, on
élément ,r # 0 tel que xy = 0. Un cas
a:
particulier de cette situation est constitué
par les éléments non nuls dont une puissi .y et _)’cwnniutent : . = y alors on x sance
x est nulle y(ainsi, , dans l’anneau des
entiers modulo 4, cf. icfra, le carré de la
retrouve la formule classique :
classe du nombre 2 est la classe nulle) ; un
tel élément non nul dont une puissance est
nulle est appelé un élément nilpatent. Les
Cette situation se généralise aux idmtitb
anneaux commutatifs
sans diviseurs de
rwnurquubles, qui sont valables si les élézéro sont dits int>gres (on dit aussi qu’un
ments qui y figurent commutent.
Par
tel anneau est un anneau d’intégrité) ; on
exemple, on a :
peut alors (( simplifier 1) par un élément a
xn-y”
= (x-y)
(x+’
+ xn-zy +
non nul puisque ux = uy est équivalent à
+ xy”+* +y”+l),
u (_x-y) = 0, qui entraîne s ~ y = 0.
ments (si n et fn sont deux entiers relatifs
distincts les éléments nl et ~1 sont distincts car (n - ~7) 1 # 0) et par suite tout
anneau ne contenant qu’un nombre fini
d’éléments est de caractéristique non nulle.
Pour terminer avec les notations, indiquons qu’on désigne par ,xJ’,n entier > 0,
le produit d’une suite de n termes égaux a
_x; il est clair que deux telles puissances de
.x vérifient :

(x +y)n

= xa + +-‘y

+

+ cfp-pyp

+

+ y”

(formule du binôme) si .x et J commutent.
Puisque pour I premier tous les coefficients CA, Ci,
C:i-’ sont des entiers
divisibles par n, il résuhe de la formule du
binôme que si .y et J) sont deux éléments qui
commutent dans un anneau de caractéristique n premier, on a (_y+ y)!?= ,?’ + y” ;
d’autre part, sous les mêmes hypothèses,
on a (.y~)“= ,V_r”. Ainsi dans un anneau
commutatif de caractéristique
I premier
l’application
.y- _y’! est un homomorphisme d’anneau.
Dans un anneau quelconque, il n’est pas
toujours possible de Hsimplifier par a ~1

Idéaux

Soient A et B deux anneaux (ou deux
algèbres)
et f
un homomorphisme
d’anneau (ou d’algèbre) de A dans B.
L’ensemble N des éféments de A dont
l’image par f est l’élément nul de B est
appelé le ~UJW def; c’est un sous-groupe
additif (ou une sous-algèbre) de A qui
possède la propriété supplémentaire
suivante : a Pour tout élément x de A et tout
élément 2 de N, les éléments ,vy et ~‘.y
appartiennent
encore a N. 1) De manière
plus générafe, on appelle id&& à guuchc
d’un anneau (ou d’une algèbre) A tout
sous-groupe additif (ou sous-algèbre) u tel
43

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4

4

ANNEAUX

(U,,fl s’annule pour 2 = 0 (if en est alors
de même de tous les représentants d’un tel
germe) forment manifestement
un idéal.
Cet idéal contient tout idéal propre : en
effet si g est une fonction analytique dans
un voisinage de l’origine qui ne s’annule
pas pour z = 0, il existe un voisinage U de
0 dans lequel g(z) # 0 et, par suite, dans
lequel Il (2) = l/g(z) est analytique ; ainsi
le germe A, défini par g, a un inverse B
dans l’anneau (c’est le germe défini par 11);
tout germe C est alors un multiple de A car
C = (CB)A et le seul idéal contenant A est
donc l’anneau des germes tout entier. On
démontre également que tout anneau de
séries possède un unique idéaf maximal.
Les anneaux de ce type, qui peuvent aussi
être caractérisés par le fait que l’ensemble
des éléments non inversibles est un idéal.
sont appelés des anneaux locaux.
Anneau

quotient

Les idéaux bilatères

d’un anneau (ou d’une
algèbre) A jouent un rôle fondamental
dans l’étude des relations d’équivalence
sur A compatibles
avec sa structure
d’anneau (ou d’algèbre). De manière précise, toute relation d’équivalence
telle
qu’on puisse munir l’ensemble quotient
d’une structure d’anneau (ou d’algèbre)
pour laquelle l’application canonique (qui
a un élément fait correspondre
sa classe)
soit un homomorphisme
s’obtient de la
façon suivante : il existe un idéal bilatère W
tel que deux éléments .y et _r soient équivalents si et seulement si leur différence
.v -_)I appartient a l’idéal TL. Si X et Y sont
deux classes, on définit leur somme, leur
produit, et éventuellement leur produit par
un scalaire A, en choisissant des représentants ,y et y de X et Y ; on vérifie alors (ct
ici intervient le fait que % est un idéal) que
les classes X + Y, XY et AX des éléments
.v + y, .y~, et, éventuekment
k sont indé-

8c ALGÈBRES

pendantes des représentants s et J choisis
et que l’ensemble quotient est un anneau
(ou une algèbre) noté A/u
pour les
opérations
ainsi définies. A s’appelle
l’anneau quotient de A pur llde’al TL. Il est
clair que si A est commutatif,
alors
l’anneau quotient par un idéal est encore
commutatif, Avec ces notions, un idéal %
d’un anneau commutatif est maximal si et
seulement si l’anneau quotient A/% est un
corps.
Anneau

des entiers

modula

n

relatifs

Nous

allons maintenant indiquer un exemple fondamental
d’anneau quotient qui
montrera que le calcul des congruences
dans l’anneau Z des entiers relatifs rentre
dans la théorie des anneaux.
Soit TIun entier positif et considérons la
relation d’équivalence définie par l’idéal
(n) = TZZdes multiples de n ; deux entiers
,v et Jj sont équivalents pour cette relation
d’équivalence
si, et seulement
si, leur
différence est un multiple de n, c’est-adire avec la terminologie
classique en
arithmétique, si .y et y sont congrus ~~~o~iulo
TI (cette relation est notée .v e y, mod. n) ;
la classe d’un entier x s’appelle la classe
résiduelle de Y modula n. D’après les
propriétés du quotient d’un anneau commutatif unitaire par un idéal, l’ensemble
Z/?rZ des classes résiduelles modula IZ est
un anneau commutatif
unitaire ; il en
résuke en particulier qu’on peut appliquer
aux congruences
les règles usuelles du
calcul algébrique.
Dans l’anneau Z/nZ, les classes des
nombres 0, 1, .... H - 1 sont distinctes car
la différence de deux tels nombres est
inférieurc a /z cn valeur absolue et par suite
ne peut être un multiple de n ; réciproquement, tout nombre entier est égal a un de
ces nombres à un multiple de n près. Cela
45

ANNEAUX & ALGÈBRES
premier avec p et par suite il existe des
entiers relatifs u et v tels que up + vq = 1
(théorème de Bezout) ; passant aux classes
d’équivalence, on a ti@+ $4 = kj = j et
par suite 4 est inversible, d’inverse G; ainsi
tout élément non nul de Z/(p) est inversible
et cet anneau est un corps souvent noté F,,
(Cf. C
O
R
P

montre que Z/nZ est un anneau fini
contenant exactement I éléments qui sont
les classes 0, 1, .... n ~ 1 des nombres
0, 1, .... I ~ 1. Le tableau ci-joint donne

J

I

l

=

V E

46

E A

3
Bibliographie

N, B
,
O
de rnuf/wGmfi~ue.~,
!
U
% livre
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Alg2w, chap, I à I Association Collaborateurs
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Springer-Verlag, New York, 1987 / C. M
Le Di/i ulgébriyue t I Vuibert? 1976.
. I

les tables d’addition et de multiplication
dans les anneaux Z/2Z, Z/3Z et Z/4Z. On
y remarque que Z/2Z est un anneau de
Boole, car (b)z = t!l et (i)2 = 1 ; réciproquement, on peut montrer que tout anneau
de Boole sans diviseur de zéro est isomorphe à l’anneau Z/2Z. Dans l’anneau Z/4Z,
l’élément 2 est nilpotent car son carré est
nul. L’anneau Z/3Z est un corps, car tout
élément non nul a un inverse dans
l’anneau. Montrons plus généralement que
l’anneau Z/pZ est un corps si, et seulement
si, p est un nombre premier. En effet, si p
est un nombre entier positif non premier,
p est le produit de deux nombres entiers q,
et q2 positifs et strictement inférieurs à p ;
on a donc d = p = q,q? et Z/pZ n’est pas
un corps car il contient des diviseurs de
zéro. Réciproquement,
si p est premier,
tout nombre q > 0 plus petit que p est

S

A
- A

A
N E APPLICATION

A
- P

A
F

P

P

B
OD

A

~

F
F

P
APPLICATIONS
R

-

w

DP
F O

REPRÉSENTATION8 APPROXIMATION DES

A

A
D
- D

P
I

P
O
I

S

Y

M

P

T cAtcuts
O T I

R
P

?+

O

P

des fonctions

L’étude de la manière dont des quantités
tendent vers l’infini ou tendent vers zéro
a constitué,
i la naissance
du calcul
infinitésimal,
au X
siècle,
V
la I théorie I
des ((infiniment
grands H et de leurs
inverses,
les
((
infiniment
petits )), et a
1 est difficile de définir avec précision ce
fait
l’objet
de
polémiques
Passionnées,
que l’on appelle méthodes U.YJWZJI~~~~souvent
paramathématiques.
En effet,
qua en analyse mathématique. Ainsi, lors
l’absence d’une conception précise de la
de l’étude d’une suite ou d’une fonction
notion de limite (problème
qui ne fut
dont la nature est Compliquée, certaines
pas abordé sous forme rigoureuse) renquestions ne nécessitent que des renseidait mystérieuse la nature de ces quangnements
d’ordre
qualitatif
tek que
tités qui, tout en étant comparables entre
Y(X) + 0 ou .f(_~) -.+ + w pour ,Y+ + c0.
elles, n’étaient pas comparables aux nomD’autres exigent un contrôle quantitatif
bres
ou aux fonctions.
De plus, cela
très précis, défini par des inégalités explireprésentait
l’intrusion
de
l’infini dans
cites. Les comportements
asymptotiques
les calculs et, bien que cet infini fût
relèvent
d’une préoccupation
intermépotentiel et non actuel (en ce sens que
diaire : dans de nombreux problèmes, on
l’infini n’était pas considéré en lui-même
remplace la quantité étudiée par une autre
comme un être mathématique
soumis k
plus simple sans que, (( c la limite )), le
des règles opératoires précises), cela susrésultat soit modifié. Par exemple, la relacitait des problèmes philosophiques
aux
tion
mathématiciens,
éChaudés par les nombreux
((paradoxes
de l’infini H qui
n’étaient pas encore clairement analysés.
La recherche des H vraies valeurs H des
suffit i établir la convergence SIl’infini de
formes indéterminées, rencontrées dans le
l’intégrale de J Les exemples qui suivent
calcul des dérivées par exemple, allait
montreront
la nature de ces préoccupatiens.
cependant montrer l’importance
de ces
Du point de vue strictement technique,
notions et les justifier, tout au moins
les méthodes asymptotiques sont extrêmeempiriquement,
aux yeux des mathématiment Variées et, en dehors de quelques
tiens. Ces questions ont été systématiquerésultats relativement
généraux, chaque
ment
élucidées
par Paul
Du Boiscas particulier exerce l’ingéniosité de celui
Reymond, qui, dans une série d’articles de
qui l’étudie. Nous nous limiterons, dans les
1870-1871, a posé les fondements
du
chapitres 2 et 3, h l’exposé de quelquescalcul des infiniment
grands (Znjïnittirunes de ces méthodes.
culcul) en mettant en évidence l’impor-

1

U

1. Comparaison de la croissance

APPROXIMATIONS

A

Q

CS

AY

KM

~

A

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X

t
l
p

Y

A

ASYMPTOTIQUES

défini pour x assez grand, tend vers 0.
Remarquons
que le symbole de Landau
doit être considéré seulement comme une
écriture commode mais ne représente pas
une fonction déterminée croissant moins
vite que g et ne doit donc pas être manipulé
comme les nombres ou les fonctions ; ainsi
écrire que o(g) + o(g) = o(g) exprime
que la somme de deux fonctions négligeables devant g est négligeable devant g, mais
cela n’aurait aucun sens d’en conclure que
o(g) = 0 ! Pour une formulation mathématique satisfaisante, on pourrait convenir
que o(g) désigne l’enser~~ble des fonctions
négligeables devant g, qui est un espace
vectoriel ; la notationy=
o(g) est alors un
abus de langage pour ,fg o(g).
La notation précédente permet de traduire maintenant facilement les résultats
sur la G croissance Comparée )) des fonctions puissance, logarithme et exponentielle ; ainsi, pour a < b,

pour a quelconque

c/,wJts

dominée par g pour .Ytendant vers l’infini.
et on écrit :
f(x)

,X (notation de Landau)

= O(~(X)), .x -

;

bien entendu, sifest négligeable devant g,
elle est aussi dominée par g. Si g est la
fonction constante 1. l’égalitéf(,Y) = 0( 1)
exprime simplement quej”est bornée pour
Y assez grand ; par exemple :
sine +;

1

= O(l),

x -=.

Le symbole 0 permet de préciser certains ordres de croissance ; ainsi écrire
que :

est plus précis que :

Les Anglo-saxons
dc Hardy :

utilisent les notations

et 1 > 0, on a
pour j’est

c’est-à-dire les fonctions puissance croissent plus vite que les fonctions logarithme.
Enfin, pour u quelconque, c > 0 et d > 0,
x” = o(ecXd)
au voisinage de l’infini, c’est-à-dire les
fonctions exponentielles croissent plus vite
que les fonctions puissance.
Indiquons, pour terminer, une dernière
notation fort utile. Dans de nombreux cas.
on a besoin d’une relation de comparaison
plus faible que la précédente, qui puisse
s’appliquer à des fonctions dont la croissance n’est pas très régulière. S’il existe une
constante M telle que if(.~) 1< M I~(X) 1
pour .Y assez grand, on dit que ,f est

négligeable

pour ,f est dominée
Fonctions
et échelles

devant g, ou :

par g

de comparaison
de comparaison

Les fonctions les plus simples auxquelles
on est tenté de comparer (au sens du
chapitre 1) une fonction donnée, pour .Y
tendant vers l’infini, sont les fonctions :
x 0 (a réel), (In x )b (b réel # 0),
ecx’ (c # 0 et d > 0)

et les produits d’un nombre fini de telles
fonctions. Remarquons au passage que, à
l’exception de la fonction 1 (obtenue pour
u = O), chacune de ces fonctions tend vers
0 ou vers l’infini lorsque ,Y tend vers
49

ASYMPTOTIQUES

atcuts

l’infini ; de plus, d’après les propriétés de
croissance Comparée de ces fonctions, sij”
et g sont de ce type, on a une et une seule
des trois relations :
f(x) = ~k(~N* f(x) = k?(x),

x-ce.



cette propriété signifie que deux fonctions
distinctes f et g du type considéré ont des
croissances que l’on peut comparer et ne
font pas (Cdouble emploi )), en ce sens qu’il
n’existe pas de constante
c telle que
J(X) - cg(Y), X + CO. De manière généraie, une famille E de fonctions définies et
positives pour x assez grand peut être
Utilisée de manière profitable pour étudier
la croissance d’une fonction quelconque si,
quelles que soient,fet g dans E, on a une
et une seule des relations (1) ; on dit alors
que la famille E constitue une éclwlle de
comparaison pour x tendant vers l’infini.
Bien entendu, toute partie d’une échehe de
comparaison
en est aussi une ; dans la
pratique,
on se limite à des &wlles
logarithmico-exponentielles
Constituées de
fonctions du type considéré ci-dessus ou de
Composées (au sens de la composition des
fonctions) de telles fonctions, par exemple :
L*x = lnlm,

e*(x) =

exp(expx).

On utilise souvent des échelles de comparaison dénombrables ; l’exemple le plus
simple est :
(2)

,.., xn,xn-‘,...,

.x,l,x-l,...,

x-a ,.,,,
x-

a,

qui est décroissante, en ce sens que chaque
terme est négligeable, pour .Ytendant vers
l’infini, devant tous les termes précédents.
Indiquons, pour terminer, que le choix
d’une échelle de comparaison
dépend
essentiellement
du type de fonction que
l’on veut étudier et il serait illusoire d’espé50

rer trouver une échelle dénombrable
telle
que toute fonction s’(( intercale )) exactement dans l’échelle ; en effet, on peut
montrer que, pour toute échelle dénombrable, il existe une fonction qui croît plus
vite que toute fonction de l’échelle (Du
Bois-Reymond) et une fonction qui croît
moins vite que toute fonction de l’échelle
(Hadamard).
Tout ce qui précède sur les relations de
comparaison
au voisinage de l’infini se
définit de même pour les fonctions définies
dans un voisinage (à droite par exemple)
d’un point u : ainsi l’échelle de comparaison qui correspond à (2) est dans ce cas :
(3)

....(.X---CzPfl,....(X-CI-I,
X-ll, . . . . (X-UP, ...

2. Développements

1,

asymptotiques

Dans ce chapitre, on supposera choisie une
échelie de comparaison
E (au voisinage
d’un point a ou au voisinage de l’infini).
Partie principale
L’idée la plus simple pour étudier le
comportement
d’une fonction donnée ,j’
(au voisinage de u ou de l’infini) est de
chercher si, à une constante près, elle est
équivalente f une fonction de l’échelle E
choisie. S’il existe une telle fonction g de
E et une constante c # 0 telles que f - cg,
c et g sont déterminées de manière unique
et on dit que cg est la purtie principale de
,f (par rapport à l’échelle E) ; remarquons
que cela équivaut 1 dire que :

ou encore

que j”(.x)/g(,x) tend vers une
limite finie c # 0. Dans le cas où l’échelle
choisie est (2) ou (3), on retrouve la notion
usuelle de partie principale ; ainsi, 1/sur.~ a

ASYMPTOTIQUES

pour partie principale
l/x pour x0,
ey - eu a pour partie principale eU(x - 0)
pour x + u,
2xz+

1

x-l

a pour partie principale 2x pour _Y+ X.
Remarquons
que la partie principale
n’existe pas nécessairement ; en effet,
toutes
les
fonctions
d’une
échelle
logarithmico-exponentielle
sont positives
pour x assez grand et par suite une
fonction (( oscillante )) (comme x sinx, qui
s’annule dans tout voisinage de l’infini)
n’est comparable
à aucune fonction de
ce type, pour x+ c0, If se peut aussi
que L’échelle choisie ne soit pas assez
N riche N et quey croisse plus vite ou moins
vite que toute fonction de f’échehe, ou
encore
tombe
dans un G trou N de
l’échelle : ainsi la fonction x ln x n’a pas de
partie principale par rapport à l’échelle (2)
car elle croît plus vite que x et moins vite
que x2.
Développements

asymptotiques

telle que la différence ,f- g soit néghgeable? les g, formant une suite c décroissante N de fonctions de E, en ce sens que,
pour chaque i, la fonction gi+ , est néghgeable devant g!.
L’exemple le plus simple de cette situation est la théorie classique des développement.~ limités au voisinage d’un point a : ce
n’est autre que la recherche du développement asymptotique d’une fonction par
rapport à l’échelle (3). Le résultat classique
le plus important
est ici la jhrzuie
de
TaJYor, qui affirme que toute fonction k
fois continûment dérivable au voisinage de
a admet le développement
limité d’ordre
k:
=_T-(u) +_w)(x-~)
+ ..
+ JF(x-uy
(
W
+ o((x-u)k),

f(x)

De manière générafe, on appelle &eloppement asynptotique (au sens de Henri
Poincaré) d’ordre k d’une fonction f par
rapport à une &chelle de comparaison E une
somme finie (nécessairement
déterminée
de manière unique si elle existe) :

)

x-u.

On obtient ainsi, pour les fonctions usuelles de l’analyse, des développements
limités d’ordre arbitrairement
grand ; par
exemple, au voisinage de 0 :
(1 + x)S

=

1 + sx +
+ s(s-

au sens de Poincaré

Si ,f a une partie principale
erg, par
rapport à une échelle E, on peut chercher
à préciser un peu plus Lecomportement
de
f en étudiant la différence,fL,g, ; si cette
fonction a une partie principale c2gz, on a
alors :

c~tcuts

1)

(s-k

+

Oxk

+

o(xk).

+

o(xk)

k!
ex = 1 +x

+

+

,xk
E

On trouvera de nombreux autres exemples
dans l’article SÉRIES & PRODUITS INFINIS.
Les résultats précédents
permettent
déjà d’étudier un grand nombre de formes
indéterminées.

3

Cas

des

intégrales
,

Il s’agit d’étudier le comportement
totiquc des restes des intégrafes
gentes :

asympconvcr-

51

ASYMPTOTIQUES

ou d’évaluer

cacuts

des intégrales
X-

divergentes

:

XJ-(r)&.
s ,J

Erf(x)

Cette étude s’effectue en deux étapes.
On se ramène au cas 0ùJ”appartient
a une
échelle classique de comparaison, grâce au
théorème d’intégration
des relations de
comparaison :
Théo~if~ze.Si f et g sont positives et
équivalentes au voisinage de + ca, alors :
- dans le cas convergent :

s

scc

mf(t) dt -

.r

1

dans le cas divergent

g(t) dt,

:

Les énoncés sont analogues pour les
re1ations.f = o (g) et f = 0 (g). En revanche, on ne peut pas toujours d&ivcr les
relations de comparaison ; par exemple :

mais :

n’est pas équivalent a 1.
Pour f appartenant
à une échelle classique, si on ne dispose pas d’une primitive
explicite, on effectue des intégrations par
parties successives. Par exemple, le comportement
asymptotique
du logarithme
intégral :
ii(x)

=

s

2x&,

étudié par Euler et Gauss, est donné par :
xdt
_=s 2 1nr

~1 !x

htx + (lnxy

+ “’

+ (k- l)!x
(+Y
52

De même, la fonction d’erreur, introduite par Gauss en calcul des probabilités,

+ c

= 2

v52 /

xe-f2dt

tend vers 1 si .Y+ + m et son développement asymptotique se déduit de la relation :

s

+me-P,&= e-x2 &&
C

X

+ c- IY l$.;ya;

+ ..
l) + 0 (x&J).

Il est important de ne pas confondre les
développements
asymptotiques
avec les
séries ; dans de nombreux cas, on n’est
capable de déterminer explicitement qu’un
petit nombre de termes et d’obtenir cependant ainsi de très précieux renseignements
sur les fonctions considérées.
De toute
façon, un développement asymptotique est
essentiellement une somme$nie et, même
si on peut obtenir un nombre arbitrairement grand de termes, cela n’entraîne
nullement que la série correspondante
converge, comme le montre l’exemple
suivant, étudié par Laplace. Considérons
la fonction :

(à une constante près, c’est la fonction
(( exponentielle-intégrale
))) ; par intégration successive par parties, on obtient
facilement, pour tout k.
e-‘f(f)

= i + $ +

+ w

+ 0 c i),

f-.-CO.
on constate facilement que, pour tout t, la
série de terme général (k- 1) !/tk est
divergente.
Dans l’exemple du logarithme intégral
li (x) donné ci-dessus, on remarquera
même que [OU.Yles termes du développement tendent vers + w avec ,Y!



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