Fichier PDF

Partage, hébergement, conversion et archivage facile de documents au format PDF

Partager un fichier Mes fichiers Boite à outils PDF Recherche Aide Contact



Exercices polynômes .pdf



Nom original: Exercices polynômes.pdf

Ce document au format PDF 1.4 a été généré par Writer / OpenOffice.org 3.3, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 02/12/2011 à 22:08, depuis l'adresse IP 83.202.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 1669 fois.
Taille du document: 135 Ko (6 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)









Aperçu du document


Exercices : Polynômes
Exercice 1 : Effectuer la division euclidienne de P(X) par Q(X) .
Déterminer Q(1+ √ 2) et en déduire P (1+ √ 2)

P (X) = 2 X 5−4 X 4−2 X 3+3 X 2−5 X −4
X 2 −2 X −1

Q (X) =

Division euclidienne : P (X) / Q (X) = 2 X 3+3 reste : X – 1
Q (1 +

√ 2 ) = (1 + √ 2 )² – 2 (1 + √ 2 ) – 1 = 0

P (X) = Q (X) * (2 X 3 +3) + X – 1
Donc P (1 +

√ 2 ) = (1 + √ 2 ) – 1 = √ 2

Exercice 2 : Effectuer la division euclidienne de P (X) par B (X)
P (X) = ( X −2)2n +( X −1)n −2 ( n⩾2 )
B (X) = (X – 1)²
P (X) = q * B (X) + R (X)
1 est racine double de B (X), donc :
P (1) = R (1) = (1−2)2n +(1−1)n−2=−1
P' (1) = R' (1) = 2 n(1−2)2 n−1+n(1−1)n−1 =−2 n
de plus, deg ( R)<deg ( B) donc :
R (X) = aX + b

(a ,b)∈ℝ ²

R' (X) = a
R' (1) = −2 n → a = −2 n
R (1) = −2 n∗1+b = −1 → b = 2 n−1
Finalement :
R (X) = −2 n X +2 n−1

Exercice 3 : Déterminer m de façon que le polynôme P ( X )= X 3−5 X +m
ait deux de ses racines a et b telles que a + b = 2 ab
Résoudre alors P ( X) = 0
m
)= X 3 −5 X +m
ab
et a+b=2 ab

( X −a )( X −b)( X +

m
)= X 3−5 X +m
ab
et a+b=2 ab

( X²− X (a+b)+ab)( X +

X 3+ X² (

m
m
−a−b)+ X (ab−( a+b) )+m= X 3 −5 X +m
ab
ab
et a+b=2 ab
Par identification :
m
−2ab=0
ab
et ab−2m=−5
ab=−5+2m
m
et
+10−4 m=0
−5+2m
ab=−5+2m
et m=(4 m−10)(−5+2m)

ab=−5+2m
et 8m² −41m+50=0
25
racine évidente : m=2et 8( m−2)(m− ) ¿=8m² −41m+50
8
soit m=2 ou m=

25
8

Si m=2:
P( X )=0 ⇔ X 3−5X+2=0
racine évidente : X 1=2
P( X )=( X −2)( X²+2 X −1)
P ( X )=0 ⇔ X =2 ou
X² +2 X −1=0
Δ=4+4=(2 √ 2) ²
X 2=−1+ √ 2
X 3 =−1− √ 2
En résumé , S= {2 ;−1+ √ 2 ;−1−√ 2 }

Si m=

25
:
8

P( X )=0 ⇔ X 3−5X+
ab=−5+
et a+b=−10+

25
2

25
=0
8

25
4

(cf partie précédente)

5
a= −b
2
5
et 2b²−5b+ =0
2
Δ=25−20=5
5+ √ 5
b1 =
4
5− √ 5
b2 =
4
5+ √ 5
5−√ 5
5
)( X −
)( X + )
4
4
2
En résumé :
5+ √5 5− √ 5
5
S=
;
;−
4
4
2

P ( X )=( X −

{

}

n

Exercice 4 : Démontrer :
n

P ( X )=



k=0

()


k =0

(kn)3 (1− X )
k

n

3n−2k

X k =(1− X 3)n

()

n 3 k (1− X )3n−2k X k =
n (3 X )k (1− X )k (1− X )3(n−k )

k
k =0 k
On reconnait un binôme de Newton :
P( X )= (−3 X²+3 X +1−3 X +3 X² − X 3 )n
P ( X )= (1− X 3 )n

Exercice 5 : Déterminer les valuers du réel ‫ ג‬pour lesquelles le
polynôme P ( X )= X 3− X² +λ admet une racine double. Résoudre
alors P(X) = 0
Soit Y une racine de P

P ' ( X )=3 X²−2 X
On a :
Y 3 −Y² +λ=0
et 3 Y² −2Y =0
λ=Y² −Y 3
et Y (3 Y −2)=0
Y =0 et λ =0
2
4
ou Y =
et λ=
3
27
Pour λ=0, P ( X )= X² ( X −1) ⇒ racines :0 et 1
4
2
1
2
1
Pour λ= , P ( X )=( X − ) ²( X + ) ⇔ racines : et−
27
3
3
3
3

Exercice 6 : Démontrer que j est racine de P ( X )= X 4+3 X 3 +4 X² +3 X +1
Puis décomposer P (X) sur R(X)
P ( j)= j+3+4 j² +3 j+1=4(1+ j+ j² )=0
P (X) se factorise donc par (X – j) (X – j²) = X² + X + 1
P ( X )=( X² + X +1)( X²+2 X +1)=( X²+ X +1)( X +1) ²

Exercice 7 : Déterminer une racine multiple évidente de
P ( X )= X 4+3 X 3 +4 X² +3 X +1 puis décomposer P (X) sur R(X)
Racine évidente X = -1
P ' (−1)=−4+9−8+3=0
Donc -1 est une racine double
P ' ' (−1)=12−18+8≠0
P ( X ) se factorise par ( X +1) ²
P ( X )=( X +1) ² ( X²+ X +1)

Exercice 8 Etudier l'existence et le signe des racines réelles de
l'équation (E) suivant, de paramètre réel m.

(E) est du second degré à condition que (3m – 2) soit différent de 0
soit m différent de 2/3
sinon, si m = 2/3 :
10
4
−2) x+3( +1)=0
3
3
63
( E)⇔ x=
8

( E)⇔−2(

Considérons les cas où m est différent de 2/3 :
(E) admet des racines réelles si et seulement si son discriminant est positif :
4(5m−2) ²−12(2 m+1)(3 m−2)=0
⇔28 m²−68m+40=0
⇔ 7 m²−17 m+10=0racine évidente : m=1
10
7 m²−17 m+10= 7(m−1)( m− )
7

Δ=0 ⇔

m

1

−∞

7m² – 17 m + 10

+

10/7

+∞

-

+

soient x 1 et x 2 les deux racines
6m+3
x 1 x 2=
3m−2
m

-1/2

−∞

2/3

1

10/7

+∞

6m +3

-

+

+

+

3m -2

-

-

+

+

x1 x 2

+

-

+

+

x1 + x 2=

m

10 m−4
3m−2
2/ 5

−∞

2/3

1

10/7

+∞

10 m - 4

-

+

+

+

3m -2

-

-

+

+

+

-

+

+

x1 + x 2

On recoupe les deux tableaux :

m

−∞

-1 / 2

2/ 5

2/3

1

10/7

+∞

x1 x 2

+

-

-

+

+

x1 + x 2

+

+

-

+

+

2 positives

1+1-

1+1-

2 positives

2 positives

racines

Racines doubles
Voilà j'espère qu'il n'y a pas de fautes (surtout dans les tableaux –')
Bonnes révisions à tous et bonne chance pour demain !


Documents similaires


Fichier PDF exercices polynomes
Fichier PDF modele de devoir de controle n 3 2eme science
Fichier PDF exercices etude d un polynome maths terminale 1167
Fichier PDF mlpw5uq
Fichier PDF exercices divisions et multiplications maths sixieme 117
Fichier PDF exarithm


Sur le même sujet..