recurence non homogene resolution .pdf


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Chapitre 1

Relations de r´
ecurence
1.1

Solutions de relations r´
ecurentes lin´
eaires nonhomog`
enes `
a coefficients constant

Tout d’abord, un petit rappel (ou pas). Voici la fa¸con de nommer des
relations de r´ecurences :
1.
Pn = 1.11Pn−1
lin´eaire homog`ene `
a coefficient constant de degr´ee 1 ( `a cause du n-1 )
2.
an = an−5
lin´eaire homog`ene `
a coefficient constant de degr´ee 5 ( `a cause du n-5 )
3.
Bn = nBn−1
lin´eaire homog`ene `
a coefficient non-constant (`a cause du n devant le
Bn )
4.
Hn = 2Hn−1 + 1
lin´eaire non-homog`ene `
a coefficient constant. Ce n’est pas homog`ene `a
cause du +1. Sauf que l`
a, on sait juste comment r´esoudre des ´equations
de r´ecurences lin´eaire homog`ene `a coefficient constant de degr´ee k, on
ne sait pas comment les r´esoudres si elles ne sont pas homog`enes. Nous
avons deux options :
1

Fonctions g´en´eratrices (beurk)
M´ethode du cegep que l’on peut appliquer sans r´efl´echir. J’ai demand´e `a
Mariah et elle a dit qu’on peut l’utiliser dans l’examen, il faut seulement dire
que c’´etait pas de la mati`ere qu’on a vu en classe. Perso j’aime beaucoup
mieux la deuxi`eme alors je vous la montre. Je vous la d´efini et ensuite je
vous montres des exemples (car sans exemple on comprend que dalle)
Il y a quatre ´etape :
1) On trouve une solution particuli`ere de R
2) On trouve la solution g´en´erale de R’
(R’ c’est notre ´equation R pour laquelle on enl`eve le + 1 (ou autre)
qui nous fait suer, souvent on change an pour bn afin qu’on voit bien la
diff´erence)
3) On trouve la solution g´en´erale de R qui est la somme de 1) et 2)
4) On impose les conditions initiales de R sur 3)

1.2

Exemples de r´
esolution de relations r´
ecurentes
lin´
eaires non-homog`
enes `
a coefficients constant

Tours de Hano¨ı
R : an = 2an−1 + 1

a1 = 1

R0 : bn = 2an−1
1)
a = 2a + 1



a = −1

2)
bn = 2n A
3)
an = A2n − 1
4) Nous savons que a1 = 1 donc
1 = A21 − 1



A=1

R´eponse : an = 2n − 1.
Deuxi`eme exemple :
Un des exercices suppl´ementaires
R : an = 3an−1 + 2
2

a0 = 1

R0 : bn = 3an−1
1)
a = 3a + 2



a = −1

2)
bn = 3n A
3)
an = 3n A − 1
4) Nous savons que a0 = 1 donc
1 = 30 A − 1



R´eponse : an = 3n 2 − 1.

3

A=2


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