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Nom original: Séance4.pdf
Titre: Séance4
Auteur: Belaid

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Chapitre IV

Prétraitement: Amélioration d‘images
Nous allons décrire ici des méthodes de traitement d’images qui vont consister à
transformer ces images de façon à réaliser un prétraitement pour faciliter l’application
d’un algorithme de traitement ultérieur. Le résultat est une nouvelle image.

I/ Opérations sur les images,
On distingue trois catégories d’opérations: les opérations ponctuelles, les opérations sur le
voisinage et les opérations globales.
I-1/ Opérations ponctuelles,
Les opérations ponctuelles permettent d’agir sur les pixels de façon ponctuelle
indépendamment du voisinage. Elle modifie la valeur d’un pixel en question P(x,y) de la
façon suivante: Si F est une fonction ponctuelle alors ∀ P(x,y)∈I F(P(x,y))=P’(x,y)
Exemples:
1) ∀ P(x,y)∈I , F(P(x,y))= 1 si P(x,y)>127 sinon F(P(x,y))=0 Cette opération
ponctuelle est appelée opération de binarisation.
2) Inversion du contraste, étalement et recadrage de la dynamique des niveaux de gris…
3) Utilisation des tables de transcodage appelées LUT (Look Up Table)

1.2) Opérations sur le voisinage,
Avec les opérations sur le voisinage, la nouvelle valeur d’un pixel est obtenue à partir des
valeurs de ces voisins; ce traitement local est généralement traduit par une combinaison
linéaire des valeurs des voisins. Le voisinage est définie par un masque M contenant les
coefficients de la combinaison. Cette combinaison ce fait de la façon suivante:

∀ P(x,y)∈I

+k +k

F(P(x, y))=∑∑M(i, j).P(x−i, y− j) =I’ (la dimension de M est (2k+1)x(2k+1)
i=−k j =−k

et en général k=1)

Cette expression représente le produit de convolution I(x,y)*M discrète.
Exemple:
111
M =1101
8111

F ( P (i, j )) =

20 23 19 27 15 28 13 20
16 23 22 21 14 17 24 19
I=
24 17 18 60 23 22 16 19
11 13 23 22 11 13 19 20

22 + 21 + 14 + 18 + 23 + 23 + 22 + 11
= 19
8

I′ =

X X X X X X X X
X X X X X X X X
X X X 19 X X X X
X X X X X X X X

1

1.3) Opérations globale,
Tous les pixels de l’image initiale interviennent pour déterminer la valeur de chaque pixel
résultat. Chaque pixel de l’image transformée est une combinaison linéaire de tous les pixels
de l’image initiale. Parmi les opérations il y a: la transformée de Fourier, Transformée en
cosinus, transformée de Haar, transformée en ondelettes,…).
G(x,y,σ) avec σ=0.1 TF(G(x,y,σ))=Ĝ(fx,fy,σ)
TF

TF-1
Î(fx,fy).Ĝ(fx,fy,σ)
TF(I(x,y))=Î(fx,fy)

I(x,y)

I(x,y)*G(x,y,σ) avec σ=0.04

TF
I(x,y)*G(x,y,σ) avec σ=0.1
La complexité de l'implantation par multiplication dans le domaine fréquentiel est celle
de 2 calculs de TF (1 direct + 1 inverse), plus 1 multiplication. Pour une image de taille
NxN, le coût de la multiplication est en O(N2), et en utilisant la transformée de Fourier
rapide (FFT), le coût de la TF est en O(N.log2(N)).

II/ Outils et définitions,
Histogramme d’une image: distribution statistique des valeurs des pixels P(i,j)
indépendamment de leurs positions dans l’image: ∀ x∈[1,n], histo(x)=Card(P(i,j)=x).
Pour une image couleur, il y a un histogramme par composante.
L'histogramme peut être normalisé pour donner une estimation de la densité de
probabilité des pixels :

dp ( P (i , j )) = histo ( P (i , j )) / ∑ histo ( x ) et
x

∑ dp(i) = 1
i

Un histogramme peut avoir un pic (unimodale), deux pics (bimodale) ou plusieurs
pics (multimodale).
L'histogramme peut permettre d'isoler des objets.
Valeur à choisir pour
le seuil de binarisation

N b r p ix els

o b jet

fon d
seu il

Histogramme bi-modale
NG

Inconvénient : Perte de l'information de localisation.
Avantage du traitement statistique : Traitement global.

2

Moyenne/Variance: Tous les paramètres statistiques sur les niveaux de gris peuvent
être calculés à partir de l’histogramme.

µ=

Moyenne:

1 255
∑ histo(i)
256 i=0

σ2 =

Variance:

1 255
∑ histo(i) × (i − µ)2
256 i =0

Luminance: est la quantité d’énergie reçue par unité de surface. Si cette énergie est
faible, on obtient une image foncée (niveaux de gris proches de zéro) et si elle est trop
élevée ,on obtient une image trop claire (les niveaux de gris sont proches de 255).
La luminance L est définie par:

L=

1
NM

N

M

∑∑ P(i, j )
i =1 j =1

Contraste: est une mesure relative des différences de niveaux dans l’image. Il est
définie par:

C=

4000

1
(P(i, j)−L)2
NM ∑∑
i=1 j =1
N M

3000

3000

3000

2500

2500

2500

2000

2000

2000

1500

1500

1500

1000

1000

1000

500

500

500

0

0

3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0

50

100

150

200

250

Image trop foncée
(sous-éclairage)

0

50

100

150

200

image trop claire
(sur-éclairage)

250

0

0

50

100

150

200

250

image peu contrastée

0

50

100

150

200

image améliorée

250

Contours: Un contour est une transition entre deux régions différentes (suivant un critère
de similarité donné , par exemple un niveau de gris identique…). Fondamentalement, le
contour est une transition haute fréquence mais réellement son contenu spectral est très
large. D’où l’origine du problème de la détection de contours. NG

NG

x

x

3

Textures: Une texture est une répétition spatiale d’un même motif dans différentes
directions de l’espace. Elle représente une information visuelle qu’on peut la décrire
qualitativement à l’aide des adjectifs (grossière, fine, tachetée, marbré…). Elle est utilisée
pour traduire un aspect homogène de la surface et donner lieu à la notion d’une région.

Bruit: Le bruit est généralement dû aux conditions de l’expérimentation aux appareils
de mesures où à la phase d'acquisition. Il se manifeste par la présence d’informations
résiduelles venant perturber les données propres à la forme. On distingue deux types de
bruit:
- bruit haute fréquence ==> solution filtrage
NG

(élimination relativement facile)

NG

- bruit à faible fréquence ==> solution lissage
(élimination moins évidente mais on peut

x

x

faire atténuer son effet perturbant)

Distorsion: La distorsion dans une image (exp. distorsion de recouvrement ou aliasing)
est évaluée par la mesure de l’erreur quadratique moyenne (MSE: Mean Squar Error).
Soit I une image originale de taille NxM et I’ son image traitée. Le MSE est définie par

MSE=

1 N M
(P(i, j) − P’(i, j))2
∑∑
NM i=1 j =1

Critère de qualité: Le critère de qualité d’une image est représenté par le rapport signal
sur bruit (SNR: Signal to noise ratio). Si I est l’image originale de taille NxM et I’ son
image traitée alors le SNR est définie par:
N

M

∑∑ (P(i, j ))
SNR =

2

i =1 j =1

N

M

∑∑ (P(i, j ) − P’ (i, j ))

2

i =1 j =1

4

III. Amélioration et restauration d'images
La qualité d'une image n'est pas forcément la même pour un ordinateur ou pour un opérateur
humain. C'est la raison pour laquelle les techniques ne sont pas les mêmes telles que:
La restauration a pour but d'inverser l'effet du phénomène dégradant.
L'amélioration a pour but de satisfaire l’œil de l'observateur humain.
III.1 Restauration d'images,
C'est la restitution de l'image aussi proche que possible qu'avant dégradation.
Détermination du modèle mathématique du processus de la dégradation (Fonction
de Transfert H(u,v)), et application du modèle inverse ( 1/H(u,v) ) sur l'image.
Détermination de 2 manières: à priori et à postériori :
à priori : modèle H(u,v) construit à partir d'images tests (identification):
I(x,y)

Restauration

Temps

TF2D-1

TF2D
Î(u,v)

I′(x,y)

1/H(u,v)

Î′(u,v)

Fréquence

H(u,v) peut être nul dans un domaine et le filtre inverse 1/H(u,v) est indéterminé
ou instable.
On préfère déterminer la Réponse Impulsionnelle (RI) du filtre qui minimise l'erreur
(critère de moindres carrés) entre l'image restaurée et l'image non dégradée (filtrage
optimal). De plus, les paramètres du filtre évoluent dynamiquement pour adapter la
restauration (filtrage adaptatif).

c'est la méthode à postériori.

à postériori (filtre adaptatif) : restauration à l'aide de mesures réalisées sur l'image
à restaurer, selon un processus adaptatif.
Ces méthodes sont lourdes et peu utilisées à cause de leur coût élevé en temps
de calcul, et de la nécessité de la connaissance du processus de dégradation.
Exemple:
Restauration d'une image dégradée à cause du «bougé» du photographe lors de
la prise de vue. La dégradation se traduit par un flou et une traînée sur l'image,
la rendant «illisible». La modélisation (direction, vitesse) du bougé autorise la
restauration de l'image en appliquant la transformation inverse.

5

III.2 Amélioration d'images (image enhancement),
C'est un prétraitements visant à atténuer les bruits dans l'image sans nécessiter la
connaissance du modèle de la dégradation. Il y a des différentes approches :
Par manipulation d'histogramme de l'image (méthode statistique).
Par filtrage, dont le but est de minimiser l’influence du bruit dans l’image.
IV. Amélioration par manipulation d’histogramme,
IV.1 Rehaussement du contraste par étirement (stretching),
Pour augmenter le contraste dans une image en NG, il faut procéder par un étirement de
l’histogramme en utilisant la formule suivante (recadrage dynamique ):
P(i, j) − Pmin
P' (i, j) = 255 *
Pmax − Pmin
255 NG P'(x,y)
P′max

P'max

P′min

NG P(x,y)
P'min
Pmax 255
0 Pmin
Réhaussement du contrast

Pmin

Pmax

Remarques:
Pmax et Pmin (le plus grand et le plus petit ton de gris) peuvent être calculé en éliminant
les basses et les hautes valeurs de l’histogramme. Il s’agit d’un étirement hors zones.
L'algorithme de recadrage de dynamique (sans perte de points aux bords) est le
Début
suivant:
Delta←255/(Pmax-Pmin);
Pour i = 0 à N-1 Faire
Pour j = 0 à M-1 Faire
P′(i,j)←(P(i,j)-Pmin)*Delta;
Fp
Fp
Fin
IV.2 Éclaircir et foncer une image (glissement),
Pour éclaircir ou foncer une image, il suffit de faire glisser l’histogramme à droite ou à
gauche (compensation).
NG P'(x,y)
NG P'(x,y)
255

255
P'max

P'max

P'min
P'min

P’(x,y)=P(x,y)+ compensation

Compensation
positive

0

Compensation
négative

NG P(x,y)

Pmin Pmax
255
Eclairsir une image

0

NG P(x,y)

Pmin Pmax255
Foncer une image

6

IV.3 Homogénéisation des donnée,
On peut améliorer la qualité de données par augmentation du contraste dans l’image ce
qui permet de rendre plus clair les frontières entre les objets et homogénéiser les couleurs
à l’intérieur de chacun des objets.
Il y a trois fonctions de transfert qui permettent de rehausser les intensités des régions
respectivement sombres, claires et centrales. Les fonctions de transfert sont ponctuelles.
NG P'(x,y)

P'=P

255

NG P(x,y)
0
claire 255
Sombre
Contraste augmenter dans la zones sombres

NG P'(x,y)
255

NG P'(x,y)

P'=P

NG P(x,y)
0
claire 255
sombre
Contraste augmenter dans la zones claire

NG P'(x,y)

NG P(x,y)
0
sombre centrale claire255
Contraste augmenter dans la zones centrale

NG P'(x,y)

255

P'=P

255

NG P'(x,y)

255

255

Remarque:
Autres manipulation.
127

NG P(x,y)
0

255

Amélioration visuelle
Densité=log (intensité)

0

255

isodensité

NG P(x,y)

255
0

127

NG P(x,y)

Suppression du
bit de fort poids

V. Amélioration par filtrage,
V.1 Amélioration dans le domaine spatial: lissage (smoothing),
Le lissage utilise la moyenne non pondérée des voisins qui peut être mis sous la forme d’un
masque (noyau fini ou réponse impulsionnelle du filtre) déplacé sur toute l’image (produit
de convolution) tel que celui-ci:
1 1 1

1
M 1 = 1 1 1
9

1 1 1
Remarques:
Le facteur 1/9 sert à normaliser le filtre de manière à ne pas influer sur l’intensité globale
de l’image.
M1 a pour effet d’adoucir (flou) l’image en réduisant les fluctuations des niveaux de gris.
Le flou peut être éliminé en sous-échantillonnant l'image, réduisant la largeur des
transitions et les rendant plus nettes.
D’autre filtres ont été réalisés en utilisant des coefficients de pondération différents:
1 2 1
1 1 1 
Par exemple: M2 donne plus de poids au pixel central


1
1
M
=
M
=
1
2
1
 2 4 2
M3 privilégie les directions x et y.

 3
2
16 
10 


1 2 1
1 1 1 

7

V.2 Amélioration dans le domaine fréquentiel,
Connaissant une fonction filtre dans le domaine fréquentiel, on peut procéder par un
filtrage dans le domaine fréquentiel. Obtenir le filtre correspondant dans le domaine
spatial revient à calculer la transformé de Fourier inverse de cette fonction filtre.
image d'entrée
I(x,y)

Transformée
de Fourier

Î(fx,fy)

Î(fx,fy).M(fx,fy)

Transforméede
Fourier inverse

image
filtrée

fonction filtre
M(fx,fy)

Espace fréquentiel

Filtre passe-bas idéal
Composante continue
DC (au centre)
Basses fréquences: niveau
de gris des surfaces
Hautes fréquences: détails,
arrêtes et bruits

Filtre passe-haut

Remarque: Il est possible de créer des filtres dédiés à l’atténuation de fréquences
spécifiques (filtres passe-bas, passe-haut, coupe bande et butterworth).

VI. Transformations d'histogrammes,
VI.1 Algorithme de calcul d'Histogramme d'une image,
// image de taille N*M et de dynamique D
Début
Mise à zéro des 2D éléments du vecteur histo;
Pour i = 0 à N-1 Faire
Pour j = 0 à M-1 Faire
histo(I(i,j))←histo(I(i,j))+1; histon ← histon+1; ou n=I(i,j)
Fp
Fp
Fin
VI.2 Table de conversion : LUT (Look Up Table),
LUT est une fonction qui transforme un niveau de gris P(x,y) en un niveau de gris
P'(x,y), sans modification spatiale de l'image.
Elle permet de gagner en temps calcul.
Les calculs sont effectués une fois pour toutes et mémorisés dans la LUT, on applique
alors le transcodage (simple lecture du vecteur LUT).

8

VI.3 Algorithme utilisant une LUT,
Début
Calculer initialement et une fois pour toutes la LUT
Pour i = 0 à N-1 Faire
Pour j = 0 à M-1 Faire
I(i,j)←LUT(I(i,j));
% l'image de départ I est modifiée
ou
I'(i,j)←LUT(I(i,j));
% l'image de départ I n'est pas modifiée
Fp
Fp
Fin
Exemple: LUT d'inversion vidéo :
C
255 NG IP‘(i,j)

Algorithme d'inversion vidéo sans LUT
Pour i = 0 à N-1 Faire
Pour j = 0 à M-1 Faire
I'(i,j)←255-I(i,j);
Fp
Fp

P(i,j)
NG Im
255

0

VI.4 Binarisation d'image (≡ Seuillage d'image),
But : Réduction importante de la quantité d'information (l'image résultat est codée sur 2
niveaux bi-niveaux: dynamique réduite ).
NG P'(x,y)
1
L'image reste compréhensible dans la plupart des cas.

Algorithme de Binarisation à 1 seuil :
Début
Pour i = 0 à N-1 Faire
Pour j = 0 à M-1 Faire
Si I(i,j) > seuil

255
0

alors
sinon

seuil

NG P(x,y)

I′(i,j)←1;
I′(i,j)←0;

Fs
Fp
Fp
Fin
Le seuil peut être choisi de façon statistique par utilisation de
l'histogramme (exemple caractère bimodal de l'histogramme,...)

9

Algorithme de Binarisation à 2 seuils :
Début
1
Pour i = 0 à N-1 Faire
Pour j = 0 à M-1 Faire
Si I(i,j) > seuil1 et I(i,j) < seuil2 alors I′(i,j)←1;
sinon I′(i,j)←0;
Fs
Fp
Fp
Fin

NG P'(x,y)

0

Seuil 1

255
Seuil 2 NG P(x,y)

Résultat du seuillage (1 seuil) :

Image initiale

Image seuillée (seuil=127)

VI.5 Rehaussement par égalisation d'Histogramme (transformation non-linéaire),
Une modification d'histogramme très répandue pour augmenter le contraste de manière
automatique est la linéarisation d'histogramme.
Principe Transformer l'image de manière à obtenir un histogramme plat (distribution
uniforme des intensités) maximiser l'entropie de l'image (l'information).
La fonction de distribution idéale après transformation est : dp(P'(i,j))=1/Pmax,
Supposons que la transformation T soit strictement croissante. Alors :
dp(P'(i,j))= dp(P(i,j))δP(i,j)/δP'(i,j) avec P'(i,j)=T(P(i,j)).
d‘où : δP'(i,j)=Pmax dp(P(i,j)) δP(i,j), soit:
Dans le cas discret, la transformation s'écrit:

P (i , j )

P′(i, j ) = Pmax ∫ dp ( P(i, j ))∂P(i, j )
0
P (i, j )

P max

k =0

k =0

T ( P (i, j )) = Pmax ∑ histo ( k ) / ∑ histo ( k )

Si une image est de taille NxM et codée sur nI niveau max, alors les nouvelles valeurs des
pixels après égalisation seront égales à:
P (i , j )

P' (i, j ) =

∑ p *n
k =0

k

NM

I

avec pk: le nombre de pixels ayant le niveau
nk (pk=histo(nk)) et pk/NxM est la densité de
probabilité d’avoir le niveau de gris nk.

10

Exemple:
nk:P(i,j)

Pk

Cumul Σ pk

Cumul normalisé( /NxM)

Valeurs *nI étalonnées

n’k:P’(i,j)

P’k

0
1
2
3
4
5
6
7

10
8
9
2
14
1
5
2

10
18
27
29
43
44
49
51

0.19608
0.35294
0.52941
0.56863
0.84314
0.86275
0.96078
1.00000

1.37255
2.47059
3.70588
3.98039
5.90196
6.03922
6.72549
7.00000

1
2
4
4
6
6
7
7

0
10
8
0
11
0
15
7

histo
10

14
5
2

1

2

3

1
4

5

11

15

8

7

2
NG

0

histo 10

Egalisation

9

8

6

NG

Histogramme

7

0

1

2

3

4

5

6

7

A noter,
dans le cas discret, et du fait que l'histogramme soit une approximation d'une fonction
de densité de probabilité, l'histogramme résultant est très rarement parfaitement plat.
Pour une image majoritairement claire la linéarisation va augmenter la dynamique de la
partie sombre de l'histogramme au détriment de la partie claire.
On peut répéter l’égalisation plusieurs fois sur l’image.
Permet de faire des comparaisons d'images sur une même base.
L'opération peut s'effectuer par régions : linéarisation adaptative.

Implémentation algorithmique,
L'égalisation procède ainsi, à partir de l'histogramme initial de niveau max nI :
On part du niveau de gris 0 et on calcule le cumul de la population dans l'histogramme
original (0, 1, 2 ...) jusqu'à ce que cette somme soit la plus proche de la valeur
moyenne idéale NxM/nF où nF=nI/2 (niveau max final).
Tous les niveaux de gris de l' histogramme initial qui ont contribué à cette somme sont
alors recadrés sur un niveau de gris final unique situé au centre de ce qui constitue la
1ère bande de l'histogramme final. L'image initiale est modifiée en conséquence.
On itère ce processus pour les bandes suivantes.
Exemple :
Histogramme initial
NxM/nF
NxM/nI

nI niveaux

NxM/nF

(nF=nI/2) Les niveaux sont pris de 2 en 2
pour garder la même dynamique que
l'image initiale. Bandes de largeur: nI/nF
nF niveaux

Histogramme égalisé (quasi-idéal)

11

Algorithme d'égalisation d'histogramme :
Début

IM : image à égaliser
Histo : histogramme de l'image
NF←nI/2
Transfo : table d'égalisation entre image originale et finale
Moyenne←N*M/nF
iDébut : pointe le début de la zone d'intégration sur Histo
Bande←nI/nF
iFin : pointe la fin de cette zone
CentreBande←Bande/2
Bande: largeur de bande finale :nI/nF
iDébut←0; iFin←0
CentreBande : pointe sur le centre de la bande courante,
Tant que iFin < nI Faire
initialisé à Bande/2
Cumul←0
Tant que Cumul n'est pas proche de Moyenne et iFin < nI Faire
Cumul←Cumul + Histo [iFin]
Incrémenter iFin
Ftq
Pour i = iDébut à iFin -1 Faire
Transfo[i]←CentreBande
Fp
iDébut←iFin
CentreBande←CentreBande + Bande
Ftq
Pour tout point [x,y] de l'image IM Faire
IM [x,y]←Transfo [ IM [x,y] ]
Fp

Fin

12



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