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´
ANALYSE NON LINEAIRE
Rapha¨el Danchin
16 juillet 2008

2

Table des mati`
eres
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5

Pr´esentation du syst`eme de Navier-Stokes
Le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz . . . . .
Un crit`ere d’explosion . . . . . . . . . . .
Le th´eor`eme de Peano . . . . . . . . . . .
Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5
6
8
9
11

1 Analyse fonctionnelle
1.1 Compacit´e dans les espaces de Banach . . . . . .
1.1.1 Op´erateurs compacts . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Le th´eor`eme d’Ascoli . . . . . . . . . . . .
1.2 Les espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 La convergence faible dans les espaces de Hilbert
1.4 Les op´erateurs autoadjoints compacts . . . . . .
1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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13
13
15
17
21
23
26

2 Transform´
ee de Fourier et espaces de Sobolev
2.1 D´efinition des espaces de Sobolev sur Rd . . . .
2.2 Les espaces de Sobolev H01 (Ω) et H −1 (Ω) . . .
2.3 Inclusions de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Compacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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31
34
37
39
40

3 Le probl`
eme de Stokes
3.1 Le probl`eme de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Le probl`eme de Stokes stationnaire . . . . . . . . . .
3.2.1 Propri´et´es de base . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Propri´et´es spectrales de l’op´erateur de Stokes
3.3 Le probl`eme de Stokes d´ependant du temps . . . . .
3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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45
45
46
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50
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59
59
60
60
61
63
64
67

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4 Existence globale de solutions faibles
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 D´emonstration du th´eor`eme de Leray . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Construction des solutions approch´ees . . . . . . . . . .
4.2.2 Estimations sur les solutions approch´ees et compacit´e .
4.2.3 Passage `
a la limite dans la suite de syst`emes approch´es
4.3 Le cas de la dimension deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3

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5 Solutions fortes des ´
equations de Navier-Stokes en
5.1 Un r´esultat de stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Le th´eor`eme de Fujita-Kato . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Espaces interm´ediaires . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Un r´esultat d’existence globale . . . . . . . .
5.2.3 Quelques remarques sur ces solutions stables
5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

dimension
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trois
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69
72
72
74
78
79

6 Th´
eorie de Littlewood-Paley
6.1 D´ecoupage dyadique . . . .
6.2 Espaces de Sobolev . . . . .
6.3 Espaces de H¨
older . . . . .
6.4 Calcul paradiff´erentiel . . .
6.5 Exercices . . . . . . . . . .

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81
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4

Introduction
La plupart des syst`emes physiques se mod´elisent par des ´equations aux d´eriv´ees partielles non lin´eaires. L’objectif de ce cours est d’introduire des techniques d’analyse permettant
d’´etudier et de r´esoudre de telles ´equations.
Afin de mettre en application ces techniques sur un syst`eme issu de la physique, nous
avons choisi d’´etudier de mani`ere d´etaill´ee les ´equations de Navier-Stokes incompressibles.
Ces ´equations s’´ecrivent

(N Sν )


 ∂t v + v · ∇v − ν∆v = −∇p dans R+ × Ω
div v = 0

v|∂Ω = 0

o`
u Ω est un ouvert de R2 ou de R3 (ou plus g´en´eralement de Rd ) simplement connexe et
d
d
d
X
X
X
fix´e une fois pour toutes. Ici, ∆ =
∂x2j , v · ∇ =
v j ∂xj et div v =
∂xj v j . On doit
j=1

j=1

j=1

(v 1 , . . . , v d )

interpr´eter v =
comme le champ des vitesses et p comme la pression. Le param`etre
r´eel strictement positif ν est la viscosit´e du fluide.
Le syst`eme (N Sν ) est une ´equation d’´evolution, c’est-`a-dire qu’une variable (`a savoir t le
temps) y joue un rˆ
ole particulier. Pour esp´erer pouvoir r´esoudre ce syst`eme, il faut de plus se
donner un champ de vitesses initial v0 et l’on se limitera `a la recherche des solutions v de
(N Sν ) telles que v|t=0 = v0 .
Comme premier mod`ele de telles ´equations, nous allons revoir bri`evement la th´eorie des
´equations diff´erentielles ordinaires.
Les deux chapitres suivants pr´esentent des outils fondamentaux pour la r´esolution d’EDP
(lin´eaires et non lin´eaires) : compacit´e, notions de convergence, transform´ee de Fourier, ainsi
que des espaces fonctionnels classiques tels que les espaces de Lebesgue ou de Sobolev.
Les trois chapitres suivants sont d´evolus `a l’´etude sp´ecifique des ´equations de Navier-Stokes.
Les techniques employ´ees pour ce syst`eme sont bien entendu transposables `a de nombreux
autres mod`eles de la physique.
Le dernier chapitre enfin concerne un outil fondamental de l’analyse non lin´eaire : la th´eorie
de Littlewood-Paley et le calcul paradiff´erentiel.

0.1

Pr´
esentation du syst`
eme de Navier-Stokes

Ce paragraphe est une br`eve pr´esentation des ´equations de Navier-Stokes. Pour plus de
d´etails, le lecteur est renvoy´e aux cours de m´ecanique des milieux continus et de m´ecanique
des fluides (voir par exemple [14] ou l’introduction de [16]).
5

Les ´equations de Navier-Stokes incompressibles d´ecrivent l’´evolution temporelle d’un fluide
incompressible dans un domaine fixe Ω de Rd . Ce fluide peut ˆetre de l’eau, ou de l’air (si
la vitesse de l’´ecoulement reste petite devant la vitesse du son). Diverses variantes de ces
´equations se retrouvent en m´et´eorologie, oc´eanographie, magn´etohydrodynamique ...
D´ecrivons maintenant ces ´equations. La densit´e du fluide est suppos´ee ˆetre une constante
ind´ependante du temps et de l’espace. La vitesse de l’´ecoulement est donn´ee par le champ de
vecteurs v(t, x) qui d´epend du temps et de l’espace, et qui prend ses valeurs dans R2 ou R3
suivant que l’on ´etudie un ´ecoulement bidimensionnel ou tridimensionnel.
Comme la densit´e du fluide est constante, la divergence du champ de vitesse est nulle, ce
qui conduit `a
div v = 0.
D’autre part une particule de fluide subit :
– une force de frottement due `
a la viscosit´e du fluide, mod´elis´ee dans notre cas par
ν∆v
o`
u ν est la viscosit´e du fluide consid´er´e,
– une force de pression, qui s’´ecrit
−∇p
o`
u p(t, x) est la pression qui r`egne dans le fluide.
L’acc´el´eration de la particule de fluide consid´er´ee est alors
Dv
= ν∆v − ∇p
Dt
o`
u Dv/Dt est la d´eriv´ee particulaire, ce qui donne
∂t v + v · ∇v − ν∆v = −∇p.
` noter qu’il n’existe pas d’expression simple et utilisable de ∂t p. La pression est en quelque
A
sorte d´efinie implicitement par la contrainte div v = 0 et “s’adapte” pour que l’on ait en
permanence div v = 0. En particulier la pression est une inconnue du syst`eme au mˆeme titre
que v .
Ces ´equations doivent ˆetre compl´et´ees par
– une donn´ee initiale : valeur de v `
a t = 0,
– une donn´ee au bord : valeur de v sur le bord de Ω. Ici on supposera que le fluide adh`ere
`a la paroi. Par cons´equent v = 0 sur le bord de Ω.
Malgr´e la simplicit´e apparente de ces ´equations, leur ´etude math´ematique est loin d’ˆetre totalement achev´ee. Si en dimension 2 on dispose d’une bonne th´eorie d’existence et d’unicit´e de
solutions r´eguli`eres, le cas de la dimension 3 reste essentiellement ouvert, et de nombreuses
choses restent `
a comprendre !

0.2

Le th´
eor`
eme de Cauchy-Lipschitz

En guise d’´echauffement, nous pr´esentons un premier r´esultat relatif aux ´equations diff´erentielles ordinaires : le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz. Comme nous allons le voir, sa preuve
repose sur le th´eor`eme de point fixe de Picard.
6

Th´
eor`
eme 0.2.1 (Cauchy-Lipschitz). Soient ω un ouvert d’un espace de Banach E et I
un intervalle de R. On consid`ere une fonction F mesurable de I × ω dans E telle que
∀x ∈ ω , kF (t, x)k ∈ L1loc (I)
et telle que
∀(x, y) ∈ ω 2 , kF (t, x) − F (t, y)k ≤ L(t)kx − yk

avec

L ∈ L1loc (I).

Alors, pour tout point (t0 , x0 ) de I × ω , il existe un intervalle ouvert J contenant t0 et une
unique fonction x ∈ Cb (J; ω) telle que
Z t
F (t0 , x(t0 )) dt0 .
(EDO)
x(t) = x0 +
t0

Preuve : Soient β0 un r´eel strictement positif tel que B(x0 , β0 ) ⊂ ω et J un intervalle
ouvert contenant t0 tel que
Z
Z
β0
1
kF (t, x0 )k dt <
L(t) dt < ·
et
2
2
J
J
On consid`ere une fonction x ∈ C(J; B(x0 , β0 )). Alors

 J → E Z
t
F (t0 , x(t0 )) dt0
 t 7→ x0 +
t0

est une fonction de C(J; B(x0 , β0 )). En effet, on a, pour tout t dans J ,
Z
kx(t) − x0 k ≤
kF (t, x(t))k dt
ZJ
Z

kF (t, x(t)) − F (t, x0 )k dt + kF (t, x0 )k dt
JZ
J
Z
≤ β0 L(t) dt + kF (t, x0 )k dt
J

J

≤ β0 .
Il en r´esulte que l’on peut d´efinir la suite (xn )n∈N d’´el´ements de C(J; B(x0 , β0 )) par
Z t
x0 (t) ≡ x0 et xn+1 (t) = x0 +
F (t0 , xn (t0 )) dt0 .
(1)
t0

D´emontrons que la suite (xn )n∈N est une suite de Cauchy de C(J; B(x0 , β0 )). Pour cela,
on ´ecrit que si
d´ef

ρn =

sup
t0 ∈J, p∈N

kxn+p (t0 ) − xn (t0 )k,

alors on a
Z
ρn+1 ≤ sup

kF (t, xn+p (t)) − F (t, xn (t))k dt

p∈N

J

Z
≤ sup L(t)kxn+p (t) − xn (t)k dt
p∈N J
Z
≤ ρn L(t) dt
J



1
ρn .
2
7

Ainsi donc la suite (ρn )n∈N tend vers 0. La suite (xn )n∈N est donc de Cauchy dans
l’espace complet C(J; B(x0 , β0 )). Soit x la limite. Par passage `a la limite dans (1), on
trouve que x est solution de (EDO).
Reste `a prouver l’unicit´e. Consid´erons donc deux fonctions x et y continues sur J et
solutions de (EDO). On a pour tout (t, t1 ) ∈ J 2 ,
Z

t

y(t) − x(t) =


F (τ, x(τ )) − F (τ, y(τ )) dτ.

(2)

t1

R
Si J v´erifie J L(t) < 1, une adaptation imm´ediate de la preuve de la convergence de la
suite (xn )n∈N permet d’obtenir y ≡ x. Mais on peut en fait fort bien se passer de cette
condition sur J.


En effet, soit K = t ∈ J | x(t) = y(t) . L’ensemble K est ferm´e et non vide (car
contient t0 ). Soit t1 ∈ K et ε > 0 tel que
Z
]t1 − ε, t1 + ε[⊂ J

t1 +ε

et
t1 −ε

1
L(t) dt ≤ .
2

De (2), on tire
sup ky(t) − x(t)k ≤
|t−t1 |<ε

1
2

sup ky(t) − x(t)k
|t−t1 |<ε

Donc ]t1 − ε, t1 + ε[⊂ K. L’ensemble K est donc ouvert. Par connexit´e de J, on peut
alors conclure que K = J.
Pour des compl´ements, notamment sur la notion de flot, nous renvoyons `a [5].

0.3

Un crit`
ere d’explosion

Le th´eor`eme pr´ec´edent d’existence et d’unicit´e pour les ´equations diff´erentielles ordinaires
est un th´eor`eme local. Nous allons voir une condition n´ecessaire pour que la solution cesse
d’ˆetre d´efinie. Ces th´eor`emes seront d’une grande importance lorsque nous ´etudierons le comportement des solutions du syst`eme de Navier-Stokes en dimension trois.
Proposition 0.3.1. Soit F une fonction de R × E dans E satisfaisant les hypoth`eses du
th´eor`eme 0.2.1 au voisinage de tout point de R × E . On suppose en outre qu’il existe une
fonction localement born´ee M de R+ dans R+ et une fonction localement int´egrable β de R+
dans R+ telles que
kF (t, u)k ≤ β(t)M (kuk).
Alors, si l’intervalle maximal de d´efinition de x est ]T? , T ? [, on a :
T? > −∞ =⇒ lim sup kx(t)k = ∞

et

>

T ? < +∞ =⇒ lim sup kx(t)k = ∞.
<

t→T ?

t→T?

Preuve : Il suffit d’observer que, si kx(t)k est born´e sur [T0 , T [, alors on peut prolonger
la solution sur un intervalle [T0 , T1 ] avec T1 > T . En effet, comme la fonction x est
suppos´ee born´ee sur l’intervalle [T0 , T [, on d´eduit de l’hypoth`ese sur F que, pour tout t
de l’intervalle [T0 , T [, on a
kF (t, x(t))k ≤ Cβ(t).
8

La fonction β ´etant int´egrable sur l’intervalle [T0 , T ], on en d´eduit que, pour tout ε
strictement positif, il existe un r´eel η tel que, pour tout (t, t0 ) ∈]T − η, T [2 , on ait
kx(t) − x(t0 )k < ε.
L’espace E ´etant complet, il existe un x? dans E tel que
lim x(t) = x? .
<

t→T

En appliquant le th´eor`eme 0.2.1, on construit une solution de (EDO) sur un intervalle [T, T1 ] de longueur non nulle, et la fonction continue d´efinie par prolongement est
solution de l’´equation (EDO) sur l’intervalle [T0 , T1 ].
Corollaire 0.3.1. Sous les hypoth`eses de la proposition 0.3.1, si l’on a de plus
kF (t, u)k ≤ M kuk2 ,
alors si l’intervalle maximal de d´efinition est ]T? , T ? [ et T0 ∈]T? , T ? [, on a
Z T0
Z T?
?
T? > −∞ =⇒
kx(t)k dt = +∞ et T < +∞ =⇒
kx(t)k dt = +∞.
T?

T0

Preuve : La solution v´erifie pour tout t ∈ [T0 , T ? [,
Z t
kx(t)k ≤ kx0 k + M
kx(t0 )k2 dt0 .
T0

Le lemme de Gronwall (voir exercice 0.1 page 11) implique que

Z t
kx(t)k ≤ kx0 k exp M
kx(t0 )k dt0 .
T0

et la proposition 0.3.1 permet donc de conclure au r´esultat voulu.

0.4

Le th´
eor`
eme de Peano

Contrairement au th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz, le th´eor`eme que nous allons ´enoncer
est un r´esultat d’existence pour (EDO) sans unicit´e. Sa preuve repose sur un argument de
compacit´e.
Th´
eor`
eme 0.4.1 (Peano). Soit I un intervalle ouvert de R. On consid`ere une fonction f
de I × Rd dans Rd telle que :
– pour tout compact K de Rd , la fonction t 7→ kf (t)kL∞ (K) est localement int´egrable ;
– pour tout t de I , la fonction x 7→ f (t, x) est continue sur Rd .
Alors, pour tout point (t0 , x0 ) de I × Rd , il existe un intervalle ouvert J ⊂ I contenant t0 et
une fonction continue x de J `
a valeurs dans Rd telle que
Z t
(EDO)
x(t) = x0 +
f (t0 , x(t0 )) dt0 .
t0

Preuve : La structure de la d´emonstration est au moins aussi int´eressante que le r´esultat.
Elle servira de mod`ele `
a la d´emonstration du th´eor`eme d’existence de solutions faibles
pour l’´equation de Navier-Stokes. On proc`ede en trois ´etapes :
9

– on r´egularise la fonction f et l’on applique le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz `a la
suite de fonctions r´egularis´ees et la Proposition 0.3.1 qui assure que les solutions du
probl`eme r´egularis´e ont un intervalle commun de d´efinition,
– puis on d´emontre que la suite de solutions ainsi construite est d’adh´erence compacte
dans un espace du type C(J, Rd ),
– enfin, on passe `
a la limite.
Proc´edons `
a la r´egularisation. Soit χ une fonction positive appartenant `a l’espace D(Rd )
des fonctions C ∞ `
a support compact, support´ee dans B(0, 1) et d’int´egrale 1. Soit
d´ef

χn (x) = nd χ(nx) et fn (t) = χn ? f (t). On a
kfn (t)kL∞ (K) ≤ kf (t)kL∞ (K+B(0,n−1 )) .
De plus, on a
k∂j fn (t)kL∞ (K) ≤ C(n + 1)kf (t)kL∞ (K+B(0,n−1 )) .
On peut donc appliquer le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz `a la fonction fn . Soit Jn
l’intervalle de d´efinition maximal de xn . Soit J un intervalle ouvert contenant t0 et tel
que
Z
J

kf (t)kL∞ (B(x0 ,2) dt ≤ 1.

n
o
d´ef
Soit τn = sup t ∈ [t0 , ∞[∩J ∩ Jn / ∀t0 ∈ [t0 , t], xn (t0 ) ∈ B(x0 , 1) . Pour tout t ≤ τn ,
on a
Z
kxn (t) − x0 k ≤
kfn (t)kL∞ (B(x0 ,1)) dt
J
Z

kf (t)kL∞ (B(x0 ,2)) dt
J

≤ 1.
Ainsi donc τn ≥ sup J ∩ Jn . En proc´edant de mˆeme pour les t ≤ t0 , on trouve, en
utilisant la Proposition 0.3.1 que, pour tout n on a J ⊂ Jn . Ceci ach`eve la preuve de la
premi`ere partie de la d´emonstration.
Nous avons que
d´ef

∀t ∈ J , X(t) = {xn (t), n ∈ N} ⊂ B(x0 , 1).
Donc, parce ce que nous sommes en dimension finie, X(t) est d’adh´erence compacte. De
plus, nous avons
Z t0


0
00
00
kxn (t) − xn (t )k ≤
kfn (t )kL∞ (B(x0 ,1)) dt
t

Z



t

t0



kf (t00 )kL∞ (B(x0 ,2)) dt00 .

Donc, pour tout strictement positif, il existe un α strictement positif tel que
∀n ∈ N, ∀(t, t0 ) ∈ J 2 , |t − t0 | < α =⇒ kxn (t) − xn (t0 )k < .
Les hypoth`eses du th´eor`eme d’Ascoli 1.1.2 qui est ´enonc´e et d´emontr´e page 15 assurent
que l’ensemble de fonctions xn est d’adh´erence compacte dans C(J; Rd ). On peut donc en
extraire une sous-suite qui converge (au sens de la norme uniforme) vers une fonction x
de C(J; Rd ). On omet de noter l’extraction.
10

Il nous reste maintenant `
a passer `a la limite. Pour tout t de J , on a
kfn (t, xn (t)) − f (t, x(t))k ≤ kfn (t) − f (t)kL∞ (B(x0 ,1)) + kf (t, xn (t)) − f (t, x(t))k.
Donc pour tout t de J , on a
lim fn (t, xn (t)) = f (t, x(t)).

n→∞

De plus, kfn (t, xn (t)k ≤ kf (t)kL∞ (B(x0 ,2)) . Le th´eor`eme de convergence domin´ee assure
que, pour tout t, on a
Z t
Z t
0
0
0
f (t0 , x(t0 )) dt0 .
fn (t , xn (t )) dt =
lim
n→∞ t
0

t0

Le th´eor`eme est d´emontr´e.

0.5

Exercice

Exercice 0.1 (Lemme de Gronwall). Soit I un intervalle de R, x0 ∈ R+ et f, x, a trois
fonctions mesurables de I dans R+ . On suppose qu’il existe t0 ∈ I tel que pour tout t ∈ I,
on ait
Z t
Z t




x(t) ≤ x0 + f (τ ) dτ + a(τ )x(τ ) dτ .
t0

t0

Montrer que l’on a
∀t ∈ I, x(t) ≤ x0 e

|

Rt
t0

a(τ ) dτ |

Z t R



t
|
a(τ
)

|
+ e s
f (s) ds .
t0

11

12

Chapitre 1

Analyse fonctionnelle
Pour les d´efinitions et notions de base, nous renvoyons le lecteur aux cours [4], [5] et [9]. Le
lecteur d´esireux d’approfondir ses connaissances en analyse fonctionnelle pourra par exemple
consulter [6], [17] ou [18].

1.1

Compacit´
e dans les espaces de Banach

Avant toute chose, rappelons que la compacit´e dans les espaces vectoriels norm´es qui ne
sont pas de dimension finie, c’est-`
a-dire pour nous les espaces de fonctions est beaucoup plus
d´elicate `a obtenir que dans les espaces de dimension finie. Plus pr´ecis´ement, on a le th´eor`eme
suivant.
Th´
eor`
eme (de Riesz). Soit E un espace vectoriel norm´e ; la dimension de E est finie si et
seulement si la boule unit´e ferm´ee de E est compacte.

1.1.1

Op´
erateurs compacts

On appellera op´
erateur born´
e toute application lin´eaire continue entre deux espaces
vectoriels norm´es. En dimension infinie, la notion d’op´
erateur compact que nous d´efinissons
ci-dessous est fondamentale.

efinition 1.1.1. Soient E et F deux espaces de Banach. Un ´el´ement u de l’ensemble
L(E; F ) des applications lin´eaires continues de E dans F est dit compact si l’image par u de
la boule unit´e de E est d’adh´erence compacte dans F.
Il est bien sˆ
ur ´equivalent de demander `a u(A) d’ˆetre d’adh´erence compacte pour toute
partie born´ee A de E.
Un premier exemple d’op´erateurs compacts est donn´e par les op´
erateurs de rang fini,
c’est-`a-dire les applications lin´eaires continues dont l’image est un espace vectoriel de dimension finie. Nous verrons qu’il en existe beaucoup d’autres.
On peut caract´eriser les op´erateurs compacts `a l’aide de suites :
Th´
eor`
eme 1.1.1. Soient E et F deux espaces de Banach. Un ´el´ement u de L(E, F ) est compact si et seulement si pour toute suite born´ee (xn )n∈N d’´el´ements de E , la suite (u(xn ))n∈N
poss`ede une valeur d’adh´erence.
13

Preuve :

Supposons que u soit compact et consid´erons une quelconque suite born´ee
d´ef

(xn )n∈N . Si M = supn kxn kE , la suite (u(xn ))n∈N est incluse dans u(BE (0, M )) dont
l’adh´erence est compacte. On peut donc extraire de la suite (u(xn ))n∈N une sous-suite
convergente.
R´eciproquement, soient A une partie born´ee de E et (yn )n∈N une suite d’´el´ements de
l’adh´erence de u(A). Il existe une suite (zn )n∈N d’´el´ements de u(A) telle que
d(yn , zn ) ≤

1
·
n

Par hypoth`ese, la suite (zn )n∈N admet une valeur d’adh´erence, donc la suite (yn )n∈N
aussi.
Th´
eor`
eme 1.1.2. Soient E , F et G trois espaces de Banach.
– L’ensemble des ´el´ements de L(E; F ) qui sont compacts est un sous-espace vectoriel
ferm´e de L(E; F ).
– Soient u ∈ L(E; F ) et v ∈ L(F ; G) ; alors l’op´erateur u ◦ v est compact d`es que u ou v
l’est.
Preuve : Soient u et v deux op´erateurs compacts de E dans F et λ un scalaire. Consid´erons
une suite born´ee (xn )n∈N de E . Comme u est compact, il existe une fonction d’extraction φ telle que (u(xφ(n) ))n∈N converge. Comme v est compact, il existe une fonction
d’extraction ψ telle que (v(xφ◦ψ(n) ))n∈N converge. La suite ((λu + v)(xφ◦ψ(n) ))n∈N est
convergente et donc l’op´erateur λu + v est compact.
D´emontrons maintenant que ce sous-espace vectoriel est ferm´e. Soit u un ´el´ement de
l’adh´erence des op´erateurs compacts. D’apr`es l’exercice 1.3, il suffit de d´emontrer que,
pour tout r´eel strictement positif ε, on peut recouvrir u(BE (0, 1)) par un nombre fini
de boules de rayon ε. Soit ε un r´eel strictement positif, il existe un op´erateur compact v
tel que
ε
ku − vkL(E;F ) < .
3
Comme v est compact, il existe une famille finie (xj )1≤j≤N d’´el´ements de B(0, 1) telle
que
N

[
ε
v(BE (0, 1)) ⊂
BF v(xj ), .
3
j=1

Ainsi donc, pour tout x de B(0, 1), il existe un indice j tel que
ku(x) − u(xj )kF

≤ ku(x) − v(x)kF + kv(x) − v(xj )kF + kv(xj ) − u(xj )kF
ε ε ε

+ + = ε.
3 3 3

En cons´equence, u est bien un op´erateur compact.
D´emontrons maintenant la deuxi`eme partie du th´eor`eme. Supposons u compact et
consid´erons une suite (xn )n∈N de E . Comme v est continue, la suite (v(xn ))n∈N est
born´ee et, comme u est suppos´ee compacte, on peut trouver une fonction d’extraction φ
telle que ((u ◦ v)(xφ(n) ))n∈N converge. Donc u ◦ v est compact.
Supposons maintenant v compact et consid´erons une suite (xn )n∈N de E . On peut
trouver une fonction d’extraction φ telle que (v(xφ(n) ))n∈N converge. Comme u est
continue, la suite ((u ◦ v)(xφ(n) ))n∈N converge. Donc u ◦ v est compact.
14

1.1.2

Le th´
eor`
eme d’Ascoli

Dans toute cette partie, (X, d) et (Y, δ) d´esignent deux espaces m´etriques. Nous souhaitons
donner quelques propri´et´es topologiques fondamentales de l’ensemble C(X; Y ) des fonctions
continues de X dans Y. Rappelons tout d’abord le r´esultat suivant (dont la d´emonstration
est laiss´ee au lecteur).
Th´
eor`
eme 1.1.3. Supposons (X, d) compact. Alors
def

D(f, g) = sup δ(f (x), g(x))
x∈X

est une distance sur C(X; Y ).
Si de plus (Y, δ) est complet alors C(X; Y ) muni de la distance D est un espace m´etrique
complet.
Le th´eor`eme d’Ascoli que nous ´enon¸cons ci-dessous est un th´eor`eme de compacit´e dans
l’ensemble C(X; Y ). Nous verrons qu’il joue un rˆole essentiel dans la r´esolution du probl`eme
de Cauchy pour le syst`eme de Navier-Stokes.
Th´
eor`
eme (d’Ascoli). Soit (X, d) un espace m´etrique compact et (Y, δ) un espace m´etrique
complet. Soit A une partie de C(X; Y ) ayant les deux propri´et´es suivantes :
(i) la partie A est ´equicontinue i.e.
∀x ∈ X , ∀ε > 0 , ∃α > 0 / d(x, x0 ) < α ⇒ ∀f ∈ A , δ(f (x), f (x0 )) < ε ;
(ii) pour tout x ∈ X , l’ensemble {f (x) , f ∈ A} est d’adh´erence compacte.
Alors A est d’adh´erence compacte.
Observons tout d’abord que la premi`ere propri´et´e combin´ee `a la compacit´e de X entraˆıne
que
∀ε > 0 , ∃α > 0 / ∀x ∈ X , ∀f ∈ A , d(x, x0 ) < α ⇒ δ(f (x), f (x0 )) < ε .

(1.1)

La d´emonstration de cette assertion `
a partir de l’hypoth`ese i) est analogue `a celle du fait
qu’une fonction continue sur un compact est uniform´ement continue.
´
Enon¸
cons maintenant un lemme montrant que les parties A qui sont uniform´ement ´equicontinues (c’est-`
a-dire qui v´erifient l’assertion (1.1) ci-dessus) ont une propri´et´e tr`es sp´eciale
vis-`a-vis de la convergence.
Lemme. Soient A une partie uniform´ement ´equicontinue de C(X; Y ) et (fn )n∈N une suite
de fonctions de A. On a l’´equivalence suivante :
(fn )n∈N converge simplement vers f ⇐⇒ (fn )n∈N converge uniform´ement vers f.
Preuve : Il suffit de justifier l’implication directe. Soit ε un r´eel strictement positif arbitraire. Par hypoth`ese, il existe un r´eel α strictement positif tel que pour tout n ∈ N, on
ait
ε
d(x, x0 ) < α =⇒ δ(fn (x), fn (x0 )) < ·
4
Par passage `
a la limite, on constate que la fonction f est uniform´ement continue de X
dans Y . On recouvre le compact X par une famille finie de boules (B(xj , α))1≤j≤Nε .
Ainsi donc, on a en choisissant xj tel que d(x, xj ) < α,
δ(fn (x), f (x)) ≤ δ(fn (x), fn (xj )) + δ(fn (xj ), f (xj )) + δ(f (xj ), f (x))
ε

+ max δ(fn (xk ), f (xk )).
2 1≤k≤Nε
15

Par hypoth`ese, il existe n0 tel que
∀n ≥ n0 ,

ε
max δ(fn (xk ), f (xk )) < ·
1≤k≤Nε
2

D’o`
u le lemme.
Preuve du th´
eor`
eme d’Ascoli : Soit (fn )n∈N une suite d’´el´ements de A. Nous allons
en extraire une sous-suite convergente. D’apr`es l’exercice 1.1, il existe une suite (xp )p∈N
dense dans X . Par hypoth`ese, l’ensemble
{f (x0 ) , f ∈ A}
est d’adh´erence compacte. Donc il existe une fonction ϕ0 strictement croissante de N
dans N et un ´el´ement g(x0 ) de Y tels que
lim fϕ0 (n) (x0 ) = g(x0 ).

n→∞

De mˆeme, il existe un point g(x1 ) de Y et une fonction ϕ1 strictement croissante de N
dans N telle que
lim fϕ0 ◦ϕ1 (n) (x1 ) = g(x1 ).
n→∞

On d´efinit ainsi par r´ecurrence une suite (ϕp )p∈N de fonctions strictement croissantes
de N dans N telle que
∀p ∈ N , ∀k ≤ p , lim fϕ0 ◦···◦ϕp (n) (xk ) = g(xk ).
n→∞

On d´efinit alors la fonction ψ de N dans N par
ψ(n) = ϕ0 ◦ · · · ◦ ϕn (n).
C’est une fonction strictement croissante de N dans N. En effet, observons tout d’abord
que toute fonction µ strictement croissante de N dans N v´erifie µ(n) ≥ n. Donc, si
n < m, on a
ψ(n) = ϕ0 ◦ · · · ◦ ϕn (n) < ϕ0 ◦ · · · ◦ ϕn ◦ ϕn+1 ◦ · · · ◦ ϕm (m) = ψ(m).
Par construction, la suite extraite (fψ(n) )n∈N v´erifie
∀p ∈ N , lim fψ(n) (xp ) = g(xp ).

(1.2)

n→∞

d´ef

D´emontrons que la fonction g est uniform´ement continue sur Z = {xn / n ∈ N}. Soit ε
un r´eel strictement positif. On consid`ere un r´eel α v´erifiant l’assertion (1.1). Pour tout
couple d’entiers (p, q) tel que d(xp , xq ) < α, on a




δ g(xp ), g(xq ) ≤ δ g(xp ), fψ(n) (xp ) + δ fψ(n) (xp ), fψ(n) (xq ) + δ fψ(n) (xq ), g(xq ) ,


≤ ε + δ g(xp ), fψ(n) (xp ) + δ fψ(n) (xq ), g(xq ) .
L’in´egalit´e ci-dessus ´etant vraie pour tout n, on obtient, en passant `a la limite n → ∞,

d(xp , xq ) < α ⇒ δ g(xp ), g(xq ) ≤ ε.
16

La fonction g ´etant uniform´ement continue sur une partie dense de X et l’espace Y
´etant complet, d’apr`es l’exercice 1.6, on peut prolonger g en une fonction uniform´ement
continue sur X tout entier. Cette fonction est d´efinie par
g(x) = lim g(yp ) , (yp )p∈N ∈ Z N / lim yp = x.
p→∞

p→∞

(1.3)

Pour conclure la preuve du th´eor`eme d’Ascoli, il suffit de d´emontrer que
∀x ∈ X , lim fψ(n) (x) = g(x).
n→∞

La r´eunion de A et de {g} est naturellement une partie uniform´ement ´equicontinue.
Soit ε un r´eel strictement positif arbitraire et x un ´el´ement de X . Il existe un r´eel
strictement positif α tel que

ε
∀n ∈ N , d(x, x0 ) < α ⇒ sup δ fψ(n) (x), fψ(n) (x0 ) + δ(g(x), g(x0 )) < ·
2
n∈N
Il existe un entier p tel que
d(x, xp ) < α.
Il en r´esulte que




δ fψ(n) (x), g(x) ≤ δ fψ(n) (x), fψ(n) (xp ) + δ fψ(n) (xp ), g(xp ) + δ g(xp ), g(x) ,

ε
≤ + δ fψ(n) (xp ), g(xp ) .
2
La relation (1.2) permet de conclure `a la convergence simple de la suite (fψ(n) )n∈N vers g.
On obtient alors la convergence uniforme `a l’aide du lemme de la page 15.

1.2

Les espaces Lp

Ces espaces sont importants d`es que l’on aborde des probl`emes non lin´eaires. Ils joueront
un rˆole d´ecisif en particulier dans les d´emonstrations du chapitre 4 relatif aux ´equations de
Navier-Stokes. Le cas particulier des espaces L1 et L2 a ´et´e ´etudi´e dans [4].

efinition 1.2.1. Soient µ une mesure bor´elienne sur un ouvert Ω de Rd et p ∈ [1, ∞].
Si p < ∞, l’espace Lp (dµ) d´esigne les classes d’´equivalence (modulo la relation d’´egalit´e µ
presque partout) de fonctions bor´eliennes f sur Ω telles que |f |p soit sommable. On pose
d´ef

Z

kf kLp =

1
p
|f (x)| dµ(x) .
p



Si p = ∞, on d´efinit l’espace L∞ (dµ) comme ´etant l’ensemble des classes d’´equivalence
(modulo la relation d’´egalit´e µ presque partout) de fonctions bor´eliennes f sur Ω telles que
l’ensemble des r´eels positifs λ tels que µ {x ∈ Ω / |f (x)| > λ} > 0 soit major´e. On pose
n
o

d´ef
kf kL∞ = sup λ > 0 / µ {x ∈ Ω / |f (x)| > λ} > 0 .
Le th´eor`eme suivant est clairement fondamental.
Th´
eor`
eme 1.2.1. L’espace Lp (dµ) muni de la norme k · kLp est un espace de Banach.
17

La d´emonstration de ce th´eor`eme est non imm´ediate. Lorsque p = 1, p = 2 ou p = ∞,
elle figure dans [4]. On se restreindra ici au cas o`
u p ∈]1, ∞[. Le fait que Lp soit un espace
vectoriel r´esulte simplement du fait que
|f (x) + g(x)|p ≤ 2p (|f (x)|p + |g(x)|p ).
Tout le reste repose sur l’in´egalit´e suivante.
p
l’exposant
p−1
0
conjugu´
e de p (avec la r`egle que 1/0 = ∞). Soient f dans Lp et g dans Lp , alors f g ∈ L1 et
d´ef

Lemme (In´
egalit´
e de H¨
older). Soit p ∈ [1, +∞]. On note p0 =

kf gkL1 ≤ kf kLp kgkLp0 .
Preuve : L’in´egalit´e est ´evidente si p vaut 1 ou ∞. Dans les autres cas, la d´emonstration
repose sur la concavit´e de la fonction logarithme qui dit que si (a, b) est un couple de
r´eels strictement positifs et θ un r´eel de l’intervalle [0, 1], alors
θ log a + (1 − θ) log b ≤ log(θa + (1 − θ)b).
En appliquant l’exponentielle `
a cette in´egalit´e, on obtient
aθ b1−θ ≤ θa + (1 − θ)b.

(1.4)

Quitte `
a multiplier f et g par une constante, on peut supposer que kf kLp = kgkLp0 = 1.
On d´eduit de l’in´egalit´e ci-dessus que
1

0

1

|f (x)| |g(x)| = (|f (x)|p ) p (|g(x)|p ) p0

1
1
0

|f (x)|p + 1 −
|g(x)|p .
p
p
L’int´egration de cette in´egalit´e par rapport `a la mesure dµ conclut la d´emonstration.
´
Revenons `
a la d´emonstration du th´eor`eme. Ecrivons
que
|f (x) + g(x)|p = |f (x) + g(x)| |f (x) + g(x)|p−1
≤ |f (x)| |f (x) + g(x)|p−1 + |g(x)| |f (x) + g(x)|p−1 .
0

Comme f + g appartient `
a Lp , |f + g|p−1 appartient `a Lp . D’apr`es l’in´egalit´e de H¨older, on a
Z
Z
1− 1
p
p
|f (x) + g(x)|p dµ(x)
|f (x) + g(x)| dµ(x) ≤ (kf kLp + kgkLp )
.




Il en r´esulte que k · kLp est une norme. La d´emonstration du fait que (Lp , k · kLp ) est complet
est tr`es analogue `
a celle des th´eor`emes 3.2.4 page 81 et 3.3.2 page 87 de [4].
´
Enon¸
cons un corollaire tr`es utile de l’in´egalit´e de H¨older.
1 1
Corollaire 1.2.1. Soit (p, q) ∈ [1, +∞]2 tel que + ≤ 1. Pour tout couple (f, g) de Lp ×Lq ,
p q
on a
1
1 1
f g ∈ Lr et kf gkLr ≤ kf kLp kgkLq avec
= + ·
r
p q
p

q

Preuve : Il suffit d’appliquer l’in´egalit´e de H¨older aux fonctions |f | r et |g| r .
18

Remarque 1.2.1. En pratique, on utilise tr`es souvent l’in´egalit´e d’ interpolation suivante qui
se d´eduit facilement de l’in´egalit´e de H¨
older :
kf kLr ≤ kf kθLp kf k1−θ
Lq

θ 1−θ
1
= +
r
p
q

avec

valable pour toute fonction f dans Lp ∩ Lq et 1 ≤ p ≤ r ≤ q ≤ +∞.
Le lemme suivant montre que l’in´egalit´e de H¨older est essentiellement optimale.
Lemme 1.2.1. Soit (X, µ) un espace mesur´e, f une fonction mesurable et p un ´el´ement de
[1, +∞]. Alors f appartient `
a Lp si et seulement si
Z
|f (x)g(x)|dµ(x) < ∞.
sup
0 ≤1
Lp

kgk

X

Si de plus la fonction f appartient `
a Lp , alors

Z


kf kLp = sup f (x)g(x)dµ(x) .
0 ≤1
Lp

kgk

X

Preuve : Dans toute la d´emonstration, nous supposons la fonction f non nulle (sinon le

d´ef
r´esultat est ´evident). Pour λ ≥ 0, on note Eλ = {|f | ≥ λ} .

Commen¸cons par consid´erer le cas o`
u p = +∞. Fixons un λ > 0 tel que µ Eλ > 0.
Soit g0 une fonction de L1 , positive, support´ee dans Eλ , et d’int´egrale 1. On pose
g(x) =

f (x)
g0
|f (x)|

si f (x) 6= 0,

et

g(x) = 0

sinon.

On a alors
Z

Z
|f (x)|g0 (x) dµ(x)

f (x)g(x) dµ(x) =
X

X
Z

≥ λ

g0 dµ(x)
X

≥ λ.
D’o`
u le lemme dans ce cas.
Supposons maintenant que p soit r´eel et consid´erons alors une suite croissante d’ensembles de mesure finie (Xn )n∈N dont la r´eunion est X. Posons
fn = 1Xn ∩{|f |≤n} f,

gn (x) =

f n (x)|fn (x)|p−1
p
0

si fn (x) 6= 0

et gn (x) = 0

sinon.

|fn (x)| kfn kLp p
Il est clair que la fonction fn appartient `a L1 ∩ L∞ donc `a Lp pour tout p et que l’on a
Z
p
1
(p−1) p−1
p0
kgn kLp0 =
|fn (x)|
dµ(x) = 1.
p
kfn kLp X
La d´efinition des fonctions fn et gn assure que
Z
Z
f (x)1Xn ∩(|f |≤n) gn (x)dµ(x) =
fn (x)gn (x)dµ(x),
X
XZ

− p0
p
=
|fn (x)| dµ(x) kfn kLpp ,
X

= kfn kLp .
19

On a donc
Z

!p

Z

p

|fn (x)| dµ(x) ≤

|f (x)g(x)|dµ(x)

sup
0 ≤1
Lp

kgk

X

.

X

Si le terme de droite est fini, le th´eor`eme de convergence monotone appliqu´e `a la suite
croissante (|fn |p )n∈N implique imm´ediatement que
Z
p
p
f ∈ L et kf kL ≤ sup
|f (x)g(x)| dµ(x).
kgk

0 ≤1
Lp

X

Mais, si f appartient `
a l’espace Lp , alors en posant g(x) =

0

kgkpLp0 =

1
kf kpLp

Z
|f (x)|

p
(p−1) p−1

et kf kLp

dµ(x) = 1

f (x)|f (x)|p−1
p
p0
Lp

, on a

|f (x)| kf k
Z
f (x)g(x) dµ(x).
=
X

X

D’o`
u le lemme.
L’in´egalit´e suivante sur la convolution est ´egalement une cons´equence de l’in´egalit´e de H¨older.
Lemme (In´
egalit´
e de Young). Soit µ une mesure positive sur Rd et (p, q, r) ∈ [1, ∞]3 tels
que
1 1
1
+ =1+ ·
p q
r

(1.5)

On a alors, pour tout couple (f, g) ∈ Lp × Lq ,
f ? g ∈ Lr

et

kf ? gkLr ≤ kf kLp kgkLq .

Preuve : Pour d´emontrer cela, observons tout d’abord que si r = ∞, c’est exactement
l’in´egalit´e de H¨
older. De plus, on peut aussi supposer que kf kLp = kgkLq = 1. Si r < ∞,
´ecrivons que, pour f et g positives, on a, pour tout θ dans ]0, 1[,
Z
(f ? g)(x) =
f θ (x − y)g 1−θ (y)f 1−θ (x − y)g θ (y) dµ(y).
Rd

L’in´egalit´e de H¨
older implique que, pour tout r´eel s ≥ 1, et tout θ ∈]0, 1[, on a
Z

r

θs

(f ? g) (x) ≤

f (x − y)g

(1−θ)s

r Z
s

(y) dµ(y)

f

Rd

(1−θ)s0

(x − y)g

θs0

r0
s
(y) dµ(y)
.

Rd

On choisit θ et s tels que θs = p et θs0 = q . En utilisant (1.5), on trouve que
θ=

r ,
p(r + 1)
s=
r+1
r

et

s0 =

q(r + 1)
·
r

(1.6)

On en d´eduit que
r

Z

(f ? g) (x) ≤

r Z
s
f (x − y)g (y) dµ(y)
p
r

p

Rd

Rd

Posons
α=

qr
p

et
20

β=

pr
·
q

r0
s
f (x − y)g (y) dµ(y)
.
q
r

q

Remarquons que, comme r ≥ max{p, q}, les r´eels α et β sont sup´erieurs ou ´egaux
`a 1. En appliquant l’in´egalit´e de H¨older, avec α (resp. β ) et la mesure f (x − y)p dµ(y)
(resp. g(y)q dµ(y),) on trouve que
(f ? g)r (x) ≤

Z

f p (x − y)g q (y) dµ(y)

r



1
+ s01β




.

Rd

Par d´efinition de θ , s, α et β , nous avons




rp
1
rq
1
= r
+
+
r
sα s0 β
p(r + 1)qr q(r + 1)pr


r
1 1
=
+
r+1 q p
= 1.
D’o`
u il vient
(f ? g)r (x) ≤ (f p ? g q )(x).
Le th´eor`eme vient par int´egration.

1.3

La convergence faible dans les espaces de Hilbert

Pour les d´efinitions et propri´et´es de base des espaces de Hilbert, nous renvoyons au chapitre 4 de [4]. Pr´ecisons que tous les espaces de Hilbert que nous consid`ererons seront s´eparables
donc ils admettront en particulier une base hilbertienne d´enombrable que l’on notera tr`es souvent (ej )j∈N .
Dans les espaces de Hilbert de dimension infinie comme l’espace L2 des fonctions de carr´e
` titre d’exemple,
sommable, les ensembles born´es sont tr`es loin d’ˆetre d’adh´erence compacte. A
consid´erons la boule unit´e d’un espace de Hilbert de dimension infinie H. Soit (ej )j∈N une
base hilbertienne de H. Pour tout ´el´ement x de H , on a d’apr`es la formule de Parseval que
la suite (x|ej )j∈N est de carr´e sommable. Donc son terme g´en´eral tend vers 0. Donc si la
suite (ej )j∈N admet une valeur d’adh´erence, ce ne peut ˆetre que 0. Or kej k = 1 pour tout j .
Donc 0 ne saurait ˆetre valeur d’adh´erence d’une telle suite. Cette constatation motive la
d´efinition suivante.

efinition. Soient (xn )n∈N une suite d’´el´ements d’un espace de Hilbert H et x un ´el´ement
de H . On dit que la suite (xn )n∈N converge faiblement vers x et l’on note limf xn = x ou
n→∞
bien xn * x si
∀h ∈ H , lim (h|xn ) = (h|x).
n→∞

Dans le th´eor`eme suivant, on donne quelques cons´equences de la propri´et´e de convergence
faible.
Th´
eor`
eme 1.3.1. Soient (xn )n∈N une suite d’´el´ements d’un espace de Hilbert H et x un
´el´ement de H . On a alors :
limf xn = x =⇒ (xn )n∈N est born´ee et kxk ≤ lim inf kxn k ;

(1.7)

lim kxn − xk = 0 =⇒ limf xn = x ;

(1.8)

limf xn = x et lim kxn k = kxk =⇒ lim kxn − xk = 0.

(1.9)

n→∞

n→∞
n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

21

Preuve : La preuve du premier point du th´eor`eme d´ecoule d’un r´esultat c´el`ebre d’analyse
fonctionnelle : le th´
eor`
eme de Banach-Steinhaus et sera repris dans l’exercice 1.14.
Le deuxi`eme point r´esulte simplement du fait que
|(h|xn ) − (h|x)| ≤ khk kxn − xk.
Pour le dernier point, il suffit d’´ecrire que
kxn − xk2 = kxn k2 − 2 <e(x|xn ) + kxk2 .
Comme la suite (xn )n∈N tend faiblement vers x, on a
−2 lim <e(x|xn ) = −2kxk2 .
n→∞

Le dernier point est ainsi d´emontr´e.
Proposition 1.3.1. Soient (xn )n∈N et (yn )n∈N deux suites d’´el´ements de H telles que
lim xn = x

n→∞

et

limf yn = y.

n→∞

Alors, on a lim (xn |yn ) = (x|y).
n→∞

Preuve : La d´emonstration est tr`es simple. Il suffit d’´ecrire que
|(xn |yn ) − (x|y)| ≤ |(xn − x|yn )| + |(x|yn − y)|
≤ kxn − xk kyn k + |(x|yn − y)|.
Le th´eor`eme 1.3.1 affirme que la suite (yn )n∈N est born´ee. Donc, on a
|(xn |yn ) − (x|y)| ≤ Ckxn − xk + |(x|yn − y)|.
D’o`
u la proposition.
Le th´eor`eme suivant est fondamental.
Th´
eor`
eme (de compacit´
e faible). De toute suite born´ee d’un espace de Hilbert s´eparable,
on peut extraire une sous-suite faiblement convergente.
Preuve : Fixons une base hilbertienne (ej )j∈N de H. Nous allons utiliser le proc´ed´e classique
d’extraction diagonal, dit de Cantor. La suite (xn |e0 )n∈N est une suite born´ee de K. Il
existe donc un ´el´ement λ0 de K et une extraction ϕ0 de N dans N tels que l’on ait
lim (xϕ0 (n) |e0 ) = λ0 .

n→∞

Supposons construites une famille finie (ϕj )0≤j≤m de fonctions strictement croissantes
de N dans N et une famille finie (λj )1≤j≤m de scalaires telles que, pour tout j ≤ m, on
ait
lim (xϕ0 ◦···◦ϕj (n) |ej ) = λj .
n→∞

La suite (xϕ0 ◦···◦ϕm (n) |em+1 )n∈N est une suite born´ee de K. Il existe donc une fonction
strictement croissante ϕm+1 de N dans N et un ´el´ement λm+1 de K tels que
∀j ≤ m + 1 , lim (xϕ0 ◦···◦ϕm+1 (n) |ej ) = λj .
n→∞

22

Posons ψ(n) = ϕ0 ◦· · ·◦ϕn (n). Nous avons d´ej`a ´etabli dans la d´emonstration du th´eor`eme
d’Ascoli que ψ ´etait une fonction strictement croissante de N dans N.
Soit V le sous-espace vectoriel engendr´e par les (ej )j∈N , c’est-`a-dire l’ensemble des
combinaisons lin´eaires (finies) de ej . D’apr`es le th´eor`eme 4.4.4 page 107 de [4], V est
dense dans H . Consid´erons l’application lin´eaire L d´efinie par
(
V → K
L :
y 7→ lim (xψ(n) |y).
n→∞

Notons que la d´efinition de L ne pose pas de probl`eme puisque tout ´el´ement de V est
combinaison lin´eaire finie des ej et que la suite (xψ(n) | ej ) converge pour chaque j ∈ N.
De plus, L est continue car, pour tout y de V , nous avons
|hL, yi| ≤ (sup kxn k)kyk.
n∈N

Nous allons prolonger la forme lin´eaire L a` l’espace H tout entier. Soit y un ´el´ement
de H . Le sous-espace V ´etant dense dans H , consid´erons une suite (yp )p∈N d’´el´ements
de V tendant vers y . Comme l’on a
|hL, yp+q i − hL, yp i| ≤ Ckyp+q − yp k,
la suite (hL, yp i)p∈N est une suite de Cauchy de K. Soit Ly sa limite. Remarquons que
si (yp0 )p∈N est une autre suite d’´el´ements de V tendant vers y alors on a
|hL, yp0 i − hL, yp i| ≤ Ckyp0 − yp k.
La limite Ly ne d´epend donc pas de la suite (yp )p∈N choisie. C’est un exercice facile
laiss´e au lecteur que de v´erifier que l’application

H → K
e
L :
y 7→ Ly
est lin´eaire continue. D’apr`es le th´eor`eme de Riesz, il existe donc un ´el´ement x de H tel
que
e yi = (x|y).
∀y ∈ H, hL,
Ainsi nous avons en particulier que
∀y ∈ V, lim (xψ(n) |y) = (x|y).
n→∞

L’´enonc´e de l’exercice 1.18 permet alors de conclure la d´emonstration.

1.4

Les op´
erateurs autoadjoints compacts

Rappelons tout d’abord la d´efinition de l’op´erateur adjoint (voir [9] pour plus de d´etails).
Th´
eor`
eme 1.4.1. Soit T un op´erateur born´e entre deux espaces de Hilbert H1 et H2 . Il
existe un et un seul op´erateur born´e T ∗ de H2 dans H1 v´erifiant
∀(f, g) ∈ H1 × H2 , (T (f ) | g)H2 = (f | T ∗ (g))H1 .
L’op´erateur T ∗ est appel´e op´
erateur adjoint de T, et v´erifie kT kL(H1 ;H2 ) = kT ∗ kL(H2 ;H1 ) .
23

On dit qu’un op´erateur T d’un espace de Hilbert H dans lui-mˆeme est auto-adjoint si
T ∗ = T, i.e.
∀(x, y) ∈ H 2 , (T (x) | y) = (x | T (y)).
Nous souhaitons g´en´eraliser aux espaces de Hilbert de dimension infinie le th´eor`eme bien
connu de diagonalisation des endomorphismes sym´etriques. Cela ne peut se faire sans prendre
au pr´ealable la pr´ecaution de pr´eciser ce qu’est le spectre d’un op´erateur born´e.

efinition 1.4.1. Soit E un espace-vectoriel norm´e sur K = R ou C, et A un op´erateur
born´e de E dans E.
– Le spectre σ(A) de A est l’ensemble des λ ∈ K tels que A − λ Id ne soit pas inversible.
– Le spectre ponctuel σp (A) de A est l’ensemble des valeurs propres de A.
Le spectre ponctuel est bien sˆ
ur toujours inclus dans le spectre. En dimension infinie (o`
u
le th´eor`eme du rang perd son sens) l’inclusion peut ˆetre stricte.
Apr`es cette petite digression, nous pouvons maintenant ´enoncer le th´eor`eme de r´eduction
des op´erateurs compacts auto-adjoints.
Th´
eor`
eme 1.4.2. Soit A un op´erateur compact autoadjoint sur un espace de Hilbert H
s´eparable de dimension infinie. On a les propri´et´es suivantes.
(i) Le spectre de A est la r´eunion de {0} et d’une suite (λj )j∈N de valeurs propres r´eelles
tendant vers 0 (´eventuellement nulle `a partir d’un certain rang).
(ii) L’espace vectoriel ker(A − λj Id) est de dimension finie si λj est non nul.
(iii) On a kAkL(H) = max |λj |.
j∈N

(iv) Il existe une base hilbertienne de H constitu´ee de vecteurs propres de A.
Preuve : D´emontrons tout d’abord le deuxi`eme point du th´eor`eme. Posons Ej = ker(A −
λj Id). Soit (xn )n∈N une suite born´ee de Ej . L’op´erateur A ´etant compact, on peut
en extraire une sous-suite (xϕ(n) )n∈N telle que la suite (Axϕ(n) )n∈N converge. Mais
Axϕ(n) = λj xϕ(n) et λj est non nulle. La boule unit´e de Ej est donc compacte et le
th´eor`eme de Riesz permet de conclure que la dimension de Ej est finie.
D´emontrons le premier point. Soit
d´ef

M0 = sup |(Ax|x)|.
kxk=1

Si M0 = 0, on a alors (Ax|x) = 0 pour tout ´el´ement x de H . Or, l’op´erateur A ´etant
autoadjoint, on a
<e(Ax|y) =


1
(A(x + y)|x + y) − (Ax|x) − (Ay|y) .
2

Donc, si M0 = 0, on a <e(Ax|y) = 0 pour tout couple (x, y) d’´el´ements de H . Mais
comme <e(Ax|iy) = =m(Ax|y), on a en fait (Ax|y) = 0 pour tout couple (x, y)
d’´el´ements de H ce qui implique que A = 0.
Comme A est autoadjoint, (Ax|x) est r´eel, donc quitte `a changer A en −A, on peut
supposer que
M0 = sup (Ax|x).
kxk=1

24

Supposons dor´enavant que M0 > 0. Par d´efinition, il existe une suite (xn )n∈N d’´el´ements
de la sph`ere unit´e telle que
lim (Axn |xn ) = M0 .
n→∞

L’op´erateur A ´etant compact, on peut, quitte a` extraire une sous-suite, dire qu’il existe
un y dans H tel que
lim Axn = y.
n→∞

` nouveau apr`es extraction, on peut supposer, d’apr`es le th´eor`eme de compacit´e faible,
A
qu’il existe un ´el´ement x de H tel que
limf xn = x.

n→∞

D´emontrons que Ax = y . L’op´erateur A ´etant autoadjoint, on a, pour tout z appartenant `a H ,
lim (xn |Az) = (x|Az) = (Ax|z).
n→∞

De plus, il est clair que
lim (Axn |z) = (y|z).

n→∞

Il en r´esulte que, pour tout z dans H , on a (y|z) = (Ax|z), ce qui implique que y = Ax.
Mais, d’apr`es la proposition 1.3.1, on a
lim (Axn |xn ) = (Ax|x).

n→∞

Le maximum M0 est donc atteint en un point x qui bien sˆ
ur est diff´erent de 0 puisque
M0 est strictement positif. De plus, si l’on avait kxk < 1, alors on aurait



x x
M0
A
=
> M0 ,
kxk kxk
kxk2
ce qui contredit la maximalit´e de M0 car M0 est strictement positif. Donc x appartient
`a la sph`ere unit´e 1 . Un argument d’homog´en´eit´e permet d’affirmer que
d´ef

∀z ∈ H, F (z) = M0 kzk2 − (Az|z) ≥ 0.
Comme nous venons de voir que F (x) = 0, le point x est donc un minimum de la
fonction F . Donc la diff´erentielle de F s’annule au point x. Mais
∀h ∈ H , DF (x)h = 2M0 <e(x|h) − 2 <e(Ax|h),
ce qui entraˆıne2 que Ax = M0 x. Nous avons vu que x ´etait non nul. Donc M0 est valeur
propre de A.
Nous allons maintenant travailler dans l’espace


d´ef
H1 = ker(A − M0 Id) ⊕ ker(A + M0 Id) .
Comme H1 est le suppl´ementaire orthogonal d’un sous-espace vectoriel ferm´e (car de
dimension finie), c’est un espace de Hilbert. D´emontrons qu’il est stable par A. Pour ce
faire, il suffit d’´etablir que
∀C ∈ L(H) , C ? (ker(C − λ Id)⊥ ) ⊂ ker(C − λ Id)⊥ .
1
2

ce qui implique en particulier que la convergence de (xn )n∈N vers x est forte.
Utiliser `
a nouveau le fait que <e(y|iz) = =m(y|z).

25

(1.10)

Soit donc x un ´el´ement de ker(C−λ Id)⊥ . On a, pour tout y appartenant `a ker(C−λ Id),
que (x|y) = 0. Ceci entraˆıne que (x|λy) = 0. Comme y appartient au noyau de C −λ Id,
on a (x|λy) = (x|Cy) = 0. Ainsi donc, pour tout y de ker(C − λ Id), on a (C ? x|y) = 0.
D’o`
u la relation (1.10).
´
Etudions maintenant l’op´erateur A restreint `a l’espace de Hilbert H1 . D’apr`es la relation (1.10), A|H1 ∈ L(H1 ). Posons
d´ef

M1 = sup (Ax|x).
x∈H1
kxk=1

D’apr`es l’´etude pr´ec´edente, si M1 6= 0, le maximum est atteint en un point x1 de norme 1
qui est un vecteur propre de A pour la valeur propre ±M1 . Comme x1 ∈ H1 , on doit
avoir M1 < M0 . En it´erant le proc´ed´e, on construit ainsi une suite de valeurs propres
r´eelles de valeur absolue d´ecroissante. Supposons cette suite infinie et d´esignons-la par
(λj )j∈N . Soit (ej )j∈N une suite orthonormale de vecteurs propres associ´es `a la valeur
propre λj . D’apr`es l’´egalit´e de Parseval, la suite (ej )j∈N tend faiblement vers 0. Quitte
`a extraire, on peut supposer que la suite (Aej )j∈N tend fortement vers 0. Mais comme
Aej = λj ej , on en d´eduit que
lim |λj | kej k = 0.
j→∞

Les vecteurs ej ´etant de norme 1, la suite (λj )j∈N tend vers 0.
Pour terminer, observons que le sous-espace vectoriel
X

ker A ⊕
ker(A − λj Id)
j∈N

est dense dans H (sinon, on pourrait reprendre le raisonnement pr´ec´edent avec le
suppl´ementaire de l’adh´erence de ce sous-espace vectoriel).
Enfin, notons que le noyau ker A de A est un espace hilbertien s´eparable car est un
sous-espace ferm´e de H. En adjoignant une base hilbertienne de ker A `a la suite (ej )j∈N
on obtient donc une base hilbertienne de H constitu´ee de vecteurs propres de A.
Remarque. Le lecteur attentif aura constat´e que nous n’avons pas d´emontr´e que 0 est dans
le spectre. C’est en fait une cons´equence facile du th´eor`eme de l’application ouverte. Il est
´egalement possible de montrer que les ´el´ements non nuls du spectre d’un op´erateur compact
auto-adjoint sont tous des valeurs propres. Pour plus de d´etails, voir par exemple [6] ou [9].

1.5

Exercices

Exercice 1.1. Montrer que tout espace m´etrique compact est s´eparable.
Exercice 1.2. D´emontrer le th´eor`eme 1.1.3.
Exercice 1.3. Soit (X, d) un espace m´etrique complet. Montrer qu’une partie A de X est
d’adh´erence compacte si et seulement si
∀ε > 0, ∃N ∈ N∗ , ∃(xj )1≤j≤N ∈ AN / A ⊂

N
[
j=1

26

B(xj , ε).

Exercice 1.4. En utilisant les exercices 1.2 et 1.3, donner une autre d´emonstration du
th´eor`eme d’Ascoli.
Exercice 1.5. Montrer que la limite d’une suite d’op´erateurs de rang fini, est compacte.
Exercice 1.6. (i) Soient (X, d) et (Y, δ) deux espaces m´etriques, A une partie dense de
X , et f une application uniform´ement continue de (A, d) dans (Y, δ). Montrer que si Y
est complet, alors il existe une unique application uniform´ement continue fe de (X, d)
dans (Y, δ) telle que fe|A = f .
(ii) Soient E et F deux espaces norm´es, V un sous-espace vectoriel dense de E et L une
application lin´eaire continue de V dans F . On suppose que F est complet. Montrer
e de E dans F telle que L
e |V = L.
qu’il existe une unique application lin´eaire continue L
Exercice 1.7. D´emontrez la r´eciproque du th´eor`eme d’Ascoli, `a savoir que si une partie A
de C(X, Y ) est compacte, alors elle v´erifie les conditions i) et ii) de l’´enonc´e du th´eor`eme
d’Ascoli.
Exercice 1.8. Soient (X, d) et (Y, δ) deux espaces m´etriques compacts. D´emontrez que l’ensemble des fonctions k -lipschitziennes de (X, d) dans (Y, δ) est compact dans C(X, Y ).
Exercice 1.9. Soit (X, d) un espace m´etrique compact. On consid`ere sur l’espace C α (X, K)
(avec K = R ou C) des fonctions h¨
olderiennes d’indice α ∈]0, 1] de X dans K, la norme
kf kα = sup |f (x)| +

sup

x∈X

(x,y)∈X 2
x6=y

|f (x) − f (y)|
·
d(x, y)α

(i) D´emontrez que cette norme munit C α (X, K) d’une structure d’espace de Banach.
(ii) D´emontrez que, pour tout α, l’inclusion de C α (X, K) dans l’espace de Banach des
fonctions continues de X dans K est compacte.
Exercice 1.10. Soit p ∈ [1, +∞[ et µ une mesure bor´elienne.
(i) D´emontrez que pour toute fonction bor´elienne f , on a
Z ∞
λp−1 µ(|f | > λ) dλ.
kf kpLp = p
0

(ii) D´emontrez plus g´en´eralement que si Φ : R+ −→ R+ est une fonction C 1 croissante alors
Z

Z
Φ(f (x)) dµ(x) =



+∞

Φ0 (λ) µ(|f | > λ) dλ.

0

Exercice 1.11 (Lemme de Schur). Soit K un r´eel positif et k : Rd × Rd → R une fonction
localement int´egrable telle que pour presque tout x ∈ Rd et y ∈ Rd , on ait
Z
Z
0
0
|k(x, y )| dy ≤ K et
|k(x0 , y)| dx0 ≤ K.
Rd

Rd

Pour toute fonction f int´egrable sur Rd , on pose T f (x) =
(i) Montrer que l’application T est lin´eaire continue de
27

R

Rd k(x, y)f (y) dy.
1
L (Rd ) dans L1 (Rd ).

(ii) Soit p ∈ [1, +∞]. Montrer que T se prolonge de fa¸con unique en une application lin´eaire
continue de Lp (Rd ) dans Lp (Rd ) (encore not´ee T ) et que l’on a
∀f ∈ Lp (Rd ), kT f kLp ≤ Kkf kLp .
On pourra s’inspirer de la preuve des in´egalit´es de Young.
Exercice 1.12. Soit H un espace de Hilbert s´eparable de dimension infinie. Trouvez deux
suites (xn )n∈N et (yn )n∈N d’´el´ements de H telles que
limf xn = x , limf yn = y

n→∞

et

n→∞

lim (xn |yn ) 6= (x|y).

n→∞

Exercice 1.13. D´emontrez qu’en dimension finie convergence forte et convergence faible
co¨ıncident.
Exercice 1.14 (Th´
eor`
emes de Baire et de Banach-Steinhaus).
(i) D´emontrez le th´
eor`
eme de Baire : soit (X, d) un espace
T m´etrique complet. Alors pour
toute suite (Ωn )n∈N d’ouverts denses de X, l’ensemble n∈N Ωn est dense dans X.
(ii) S
En d´eduire que pour toute suite (Fn )n∈N de ferm´es de X d’int´erieur vide, l’ensemble
erieur vide.
n∈N Fn est aussi d’int´
(iii) D´emontrez le th´eor`eme de Banach-Steinhaus : soit E un espace de Banach, F un
espace vectoriel norm´e et (Ti )i∈I une famille d’op´erateurs de E dans F. On suppose de
plus que pour tout x ∈ E, l’ensemble {Ti (x) / i ∈ I} est born´e.
En consid´erant les ensembles An = {x ∈ E / supi∈I kTi (x)kF ≤ n}, montrez que
sup kTi kL(E;F ) < ∞.
i∈I

(iv) En d´eduire que, dans un espace de Hilbert H , si une suite (xn )n∈N tend faiblement
vers x, alors elle est born´ee et
kxk ≤ lim inf kxn k.
n→∞

Exercice 1.15 (Th´
eor`
eme de l’application ouverte). Dans tout cet exercice, on suppose
que E et F sont deux espaces de Banach.
(i) On consid`ere une application lin´eaire T continue et surjective de E dans F.
` l’aide du th´eor`eme de Baire, montrer que T (BE (0, 1)) n’est pas d’int´erieur vide,
(a) A
puis qu’il existe c > 0 tel que BF (0, 4c) ⊂ T (BE (0, 1)).
(b) Soit y ∈ BF (0, c). Construire une suite (xn )n∈N telle que
∀n ∈ N∗ , kxn kE < 2−(n+1)

et

ky − T (x1 + · · · + xn )kF < 2−n c

puis conclure que BF (0, c) ⊂ T (BE (0, 1)).
(c) Montrer que T est une application ouverte (i.e l’image de tout ouvert de E par T
est un ouvert de F ).
(d) En d´eduire que si T est bijective alors T −1 est continue.
(ii) Application : soit T un op´erateur compact bijectif de E dans F. Montrer que E et F
sont de dimension finie.
28

Exercice 1.16 (Th´
eor`
eme du graphe ferm´
e). Soit E et F deux espaces de Banach.
Montrer que l’application lin´eaire T : E −→ F est continue si et seulement si son graphe

d´ef
G(T ) = (x, T (x)), x ∈ E
est ferm´e dans E × F.

On pourra utiliser l’application lin´eaire P :

G(T ) −→ E
(x, y) 7−→ x.

Exercice 1.17. Soit H et H0 deux espaces de Hilbert, et T : H → H0 un op´erateur compact.
Montrer que
xn * x entraˆıne T (xn ) → T (x).
Exercice 1.18. Soient (xn )n∈N une suite born´ee de H , x un ´el´ement de H et V un sousespace vectoriel dense de H . D´emontrer que limf xn = x si et seulement si
n→∞

∀y ∈ V , lim (xn |y) = (x|y).
n→∞

Exercice 1.19. Soit H un espace de Hilbert quelconque. Montrer que toute suite born´ee de
H admet une sous-suite faiblement convergente.
Exercice 1.20. Soit H un espace de Hilbert s´eparable et A une partie convexe ferm´ee non
vide de H. Soit φ : A → R une fonction convexe continue tendant vers l’infini `a l’infini.
Montrer que φ est minor´ee et atteint son minimum absolu.
Exercice 1.21. Soit H un espace de Hilbert et (xn )n∈N une suite d’´el´ements de H telle que
X
kxn k2 < ∞.
n∈N

On suppose que si |n − m| ≥ 2, alors (xn |xm ) = 0. D´emontrer qu’alors la suite (SN )N ∈N
N
1
√ X
2
d´ef X
d´efinie par SN =
xn converge dans H et que sa limite S satisfait kSk ≤ 2
kxn k2 .
n=0

n∈N

Exercice 1.22. Soit H un espace de Hilbert et (xn )n∈N telle que
X
kxn k2 < ∞.
n∈N

On suppose qu’il existe K ≥ 0 tel que (avec la convention 0/0 = 0)
∀n ∈ N,

X |(xn |xm )|
≤ K.
kxn k kxm k

m∈N

Montrer que la suite SN :=

PN

n=0 xn

converge dans H et que sa limite S satisfait

kSk ≤

1
√ X
2
K
kxn k2 .
n∈N

On pourra raisonner par analogie avec l’exercice 1.11 dans le cas p = 2.

29

30

Chapitre 2

Transform´
ee de Fourier et espaces
de Sobolev
Dans ce cours, nous d´efinirons la transform´ee de Fourier u
b de toute fonction u de L1 (Rd )
par la formule :
Z
e−i(x|ξ) u(x) dx.

u
b(ξ) =

Rappelons que la d´efinition de transform´ee de Fourier peut s’´etendre `a toute distribution
temp´er´ee (c’est-`
a-dire appartenant `
a l’espace S 0 ). Pour la d´efinition et les propri´et´es de base
0
de la transform´ee de Fourier sur S , nous renvoyons le lecteur `a [5]. Les espaces de Sobolev
sont ´egalement pr´esent´es dans [1].

2.1


efinition des espaces de Sobolev sur Rd


efinition. Soit s un r´eel, on dit qu’une distribution temp´er´ee u appartient `a l’espace de
Sobolev d’indice s, not´e H s (Rd ) (ou simplement H s en l’absence d’ambigu¨ıt´e) si
u
b ∈ L2loc (Rd )

et

u
b(ξ) ∈ L2 (Rd ; (1 + |ξ|2 )s dξ).

On note alors
sZ
kukH s =

(1 + |ξ|2 )s |b
u(ξ)|2 dξ.

Rd

Proposition 2.1.1. Pour tout s r´eel, l’espace H s , muni de la norme k · kH s , est un espace
de Hilbert.
Preuve : Le fait que la norme k · kH s provienne du produit scalaire
Z
d´ef
v (ξ) dξ
(u|v)H s =
(1 + |ξ|2 )s u
b(ξ)b
Rd

est ´evident. D´emontrons que c’est un espace complet. Soit (un )n∈N une suite de Cauchy
de H s . Par d´efinition de la norme, la suite (b
un )n∈N est une suite de Cauchy de l’espace
L2 (Rd ; (1 + |ξ|2 )s dξ). Donc, il existe une fonction u
e appartenant `a l’espace L2 (Rd ; (1 +
|ξ|2 )s dξ) telle que
lim kb
un − u
ekL2 (Rd ;(1+|ξ|2 )s dξ) = 0.
(2.1)
n→∞

31

En particulier, la suite (b
un )n∈N tend vers u
e dans l’espace S 0 des distributions temp´er´ees.
−1
Soit u = F u
e . Comme la transform´ee de Fourier est un isomorphisme de S 0 dans luimˆeme, la suite (un )n∈N tend vers u dans l’espace S 0 , mais aussi dans H s d’apr`es (2.1).
Remarque. Dit s`echement, ce qui pr´ec`ede n’est rien d’autre que le fait que la transform´ee de
Fourier est un isomorphisme isom´etrique de H s dans L2 (Rd ; (1 + |ξ|2 )s dξ).
Proposition 2.1.2. Soit m un entier positif. On note H m (Rd ) l’espace vectoriel des fonctions u de L2 dont toutes les d´eriv´ees d’ordre inf´erieur ou ´egal `a m sont des distributions
appartenant `
a L2 . De plus, la norme
sX
d´ef
e
kukH m =
k∂ α uk2L2
|α|≤m

munit l’espace H m d’une structure d’espace de Hilbert et cette norme est ´equivalente `a la
norme k · kH s .
Preuve : Le fait que
e
kuk2H m = e(u|u)H m

Z
d´ef X
e
avec (u|v)H m =

∂ α u(x)∂ α v(x) dx

d
|α|≤m R

assure que la norme e
k · kH m provient d’un produit scalaire. De plus, il existe une
constante C telle que
X
X
∀ξ ∈ Rd , C −1
|ξ|2|α| ≤ (1 + |ξ|2 )m ≤ C
|ξ|2|α| .
(2.2)
|α|≤m

|α|≤m

Comme la transform´ee de Fourier est, `a une constante pr`es, une isom´etrie de L2 sur L2 ,
alors on a
∂ α u ∈ L2 ⇐⇒ ξ α u
b ∈ L2 .
Donc, on en d´eduit que
u ∈ H m ⇐⇒ ∀α / |α| ≤ m , ∂ α u ∈ L2 .
Enfin, l’in´egalit´e (2.2) assure l’´equivalence des normes grˆace au fait que la transformation
de Fourier est une isom´etrie `
a une constante pr`es. D’o`
u la proposition.
Th´
eor`
eme 2.1.1. Soit s un r´eel quelconque.
(i) L’espace D(Rd ) est dense dans H s (Rd ).
(ii) La multiplication par une fonction de S est une fonction continue de H s dans lui-mˆeme.
Preuve : Pour d´emontrer le premier point de ce th´eor`eme, consid´erons une distribution u
de H s telle que, pour toute fonction test ϕ, on ait (ϕ|u)H s = 0. On a donc,
Z
d
ϕ(ξ)(1
b
+ |ξ|2 )s u
∀ϕ ∈ D(R ),
b(ξ) dξ = 0.
Rd

Vu que S est continˆ
ument inclus dans H s (cf exercice 2.1), que D est dense dans S ,
et que la transform´ee de Fourier est un isomorphisme de S dans lui-mˆeme, on a, pour
toute fonction f de S ,
Z
Rd

f (ξ)(1 + |ξ|2 )s u
b(ξ) dξ = 0.
32

Comme la multiplication par (1 + |ξ|2 )−s envoie continˆ
ument S dans S (exercice :
v´erifiez-le), ceci entraˆıne que
∀ϕ ∈ S , hb
u, ϕi = 0
donc u
b = 0, puis u = 0.
D´emontrons maintenant le second point du th´eor`eme. Cette d´emonstration est pr´esent´ee
ici `a titre culturel. D’apr`es le th´eor`eme VI. 3.28 page 103 de [5] et la formule d’inversion
de Fourier, on sait que
ϕu
c = (2π)−d ϕ
b?u
b.
Il s’agit de majorer la norme L2 de la fonction d´efinie par
Z
2 2s
U (ξ) = (1 + |ξ |)
|ϕ(ξ
b − η)| × |b
u(η)| dη.
Rd

Posons I1 (ξ) = {η / 2|ξ − η| ≤ |η|} et I2 (ξ) = {η / 2|ξ − η| ≥ |η|}. Il est clair que l’on a
U (ξ) = U1 (ξ) + U2 (ξ)
Z
2 2s
Uj (ξ) = (1 + |ξ| )
Ij (ξ)

avec
|ϕ(ξ
b − η)| × |b
u(η)| dη.

Tout d’abord, observons que si η ∈ I1 (ξ) alors on a
1
3
|η| ≤ |ξ| ≤ |η|.
2
2
On en d´eduit que, pour tout r´eel s, il existe une constante C telle que, pour tout couple
(ξ, η) tel que η appartienne `
a I1 (ξ), on ait
(1 + |ξ|2 )s ≤ C(1 + |η|2 )s .
D’o`
u il vient que
Z
U1 (ξ) ≤ C
Rd

s

|ϕ(ξ
b − η)|(1 + |η|2 ) 2 |b
u(η)| dη.

Comme ϕ
b appartient `
a S , en particulier ϕ
b appartient `a L1 . Donc, d’apr`es les in´egalit´es
de Young,
kU1 kL2 ≤ Ckϕk
b L1 kukH s .
Reste `a traiter U2 . Pour η ∈ I2 (ξ), on a |η| ≤ 2|ξ − η|. Donc on peut ´ecrire
Z
|s|
|s|
s
2 2
|ϕ(ξ
b − η)|(1 + |η|2 ) 2 (1 + |η|2 ) 2 |b
u(η)| dη
U2 (ξ) ≤ (1 + |ξ| )
I2 (ξ)
Z
s
≤ C
|ϕ(ξ
b − η)|(1 + |ξ − η|2 )|s| (1 + |η|2 ) 2 |b
u(η)| dη.
Rd

On sait que ϕ
b appartient `
a S . Il existe donc une constante C telle que
|ϕ(ζ)|
b
≤ C(1 + |ζ|2 )−

d+1
−|s|
2

.

D’o`
u l’on obtient que
Z
U (ξ) ≤ C

(1 + |ξ − η|2 )−

d+1
2

s

(1 + |η|2 ) 2 |b
u(η)|dη.

Rd

D’o`
u kU2 kL2 ≤ CkukH s ; la d´emonstration du th´eor`eme est ainsi achev´ee.
33

2.2

Les espaces de Sobolev H01 (Ω) et H −1 (Ω)

Dans toute cette partie, Ω d´esigne un ouvert de Rd .

efinition 2.2.1. L’espace H01 (Ω) est l’adh´erence de D(Ω) au sens de la norme H 1 (Rd ).
L’espace H −1 (Ω) est l’ensemble des distributions u sur Ω telles que
d´ef

kukH −1 (Ω) =

sup

|hu, ϕi| < ∞.

ϕ∈D(Ω)
kϕkH 1 (Ω) ≤1
0

Remarque 2.2.1. De par sa d´efinition, l’ensemble H01 (Ω) peut ˆetre identifi´e `
a un sous-espace
1
d
vectoriel ferm´e de l’espace de Hilbert H (R ). On dispose donc de la d´ecomposition
H 1 (Rd ) = H01 (Ω) ⊕ (H01 (Ω))⊥ .
Proposition 2.2.1. L’espace H01 (Ω) muni du produit scalaire
Z
X Z
∂j u ∂j v dx
u v dx +
(u, v) 7−→
1≤j≤d Ω



est un espace de Hilbert.
Preuve : Il suffit d’utiliser qu’un sous-espace vectoriel ferm´e d’un Hilbert est aussi un
Hilbert.
Le th´eor`eme suivant est tr`es important.
Th´
eor`
eme (In´
egalit´
e de Poincar´
e). Supposons que Ω soit inclus dans une bande de largeur R. Alors
X
1
d
2
1
2
∀ϕ ∈ H0 (Ω) , kϕkL2 (Ω) ≤ R
k∂j ϕkL2 (Ω) .
j=1

Preuve : Quitte `
a effectuer une translation puis une rotation (ce qui ne perturbe pas
l’in´egalit´e `
a d´emontrer), on peut supposer que Ω ⊂]0, R[×Rd−1 . On a alors, pour toute
fonction test ϕ support´ee dans Ω,
Z x1
∂ϕ
ϕ(x1 , · · · , xd ) =
(y1 , x2 , · · · , xd ) dy1 .
∂y
1
0
L’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz implique que
2
Z R
∂ϕ

2


|ϕ(x1 , · · · , xd )| ≤ R
∂y1 (y1 , x2 , · · · , xd ) dy1 .
0
Comme Supp ϕ ⊂]0, R[×Rd−1 , on trouve apr`es int´egration en x1 ,
2
Z
Z R

∂ϕ
2
2


|ϕ(x1 , · · · , xd )| dx1 ≤ R
∂y1 (y1 , x2 , · · · , xd ) dy1 .
R
0
Puis, en int´egrant par rapport aux d − 1
Z
Z
2
2
|ϕ(x1 , · · · , xd )| dx ≤ R
Rd

variables restantes,

2
∂ϕ



∂y1 (y1 , x2 , · · · , xd ) dy1 dx2 · · · dxd


≤ R2 k∂1 ϕk2L2 (Ω) .
Comme D(Ω) est dense dans H01 (Ω), le th´eor`eme est d´emontr´e.
34

L’in´egalit´e de Poincar´e implique de mani`ere ´evidente le corollaire suivant.
Corollaire 2.2.1. Si l’ouvert Ω est inclus dans une bande alors l’application
X Z
∂j u ∂j v dx
(u, v) 7−→
1≤j≤d Ω

est un produit scalaire sur H01 (Ω) ´equivalent `a celui d´efini pr´ec´edemment.
L’espace H −1 (Ω) s’identifie au dual de H01 (Ω) via la forme bilin´eaire h · , · iH −1 (Ω)×H01 (Ω)
d´efinie dans le th´eor`eme suivant.
Th´
eor`
eme 2.2.1. L’application bilin´eaire
−1
H (Ω) × D(Ω) −→ C
(u, ϕ)
7−→ hu, ϕi
se prolonge en une forme bilin´eaire continue sur H −1 (Ω) × H01 (Ω) not´ee h · , · iH −1 (Ω)×H01 (Ω) .
De plus, l’application
 −1
1
0

 H (Ω) −→ (H0 (Ω))
1
H0 (Ω) → C

u
7−→

ϕ
7→ h u , ϕ iH −1 (Ω)×H01 (Ω)
est un isomorphisme isom´etrique.
Preuve : Comme D(Ω) est dense dans H01 (Ω), l’exercice 1.6 assure que, pour tout u ∈
H −1 (Ω), la forme lin´eaire continue

D(Ω) → C
ϕ
7→ h u , ϕ i
peut se prolonger sur H01 (Ω).
Soit L une forme lin´eaire continue sur H01 (Ω). Sa restriction `a D(Ω) est une distribution u sur Ω telle que
∀ϕ ∈ D(Ω) , hu, ϕi = L(ϕ).
D’o`
u le th´eor`eme par d´efinition de la norme sur (H01 (Ω))0 .
Le th´eor`eme ci-dessous d´ecrit quelques propri´et´es de l’espace H −1 (Ω).
Th´
eor`
eme 2.2.2.
– L’espace H −1 (Ω) est l’ensemble des restrictions `a Ω des ´el´ements
de H −1 (Rd ),
– La norme k ·kH −1 (Ω) d´efinie ci-dessus est une norme hilbertienne, c’est-`a-dire qu’il existe
une forme sesquilin´eaire (· | ·)H −1 (Ω) telle que l’on ait, pour tout u ∈ H −1 (Ω),
kuk2H −1 (Ω) = (u | u)H −1 (Ω) .
– L’espace D(Ω) est dense dans l’espace H −1 (Ω).
La d´emonstration de ce th´eor`eme repose sur la construction des op´erateurs pr (de prolongement) et r (de restriction) d´efinis comme suit :
35

– pr est l’op´erateur adjoint de la projection orthogonale p sur H01 (Ω) (dont la d´efinition
est justifi´ee par la remarque 2.2.1) au sens du crochet de dualit´e1 h u , ϕ iH −1 (Ω)×H01 (Ω) ,
– l’application r est la restriction (au sens des distributions) sur Ω.
Nous allons d´emontrer le petit lemme suivant.
Lemme. L’application pr est isom´etrique de H −1 (Ω) dans H −1 (Rd ) et l’application r est
lin´eaire continue de H −1 (Rd ) dans H −1 (Ω). De plus, on a
r ◦ pr = IdH −1 (Ω) .
Preuve : D’apr`es l’exercice 2.6, on sait que
kpr(u)kH −1 (Rd ) =

sup
kϕkH 1 (Rd ) ≤1



hpr(u), ϕiH −1 (Rd )×H 1 (Rd ) .

La projection orthogonale p sur le sous-espace vectoriel ferm´e H01 (Ω) ayant pour image
H01 (Ω), on peut ´ecrire, vu la d´efinition de pr ,
kpr(u)kH −1 (Rd ) =
=


hu, p(ϕ)i

sup

kϕkH 1 (Rd ) ≤1

sup
kψkH 1 (Ω) ≤1

H −1 (Ω)×H01 (Ω)




|hu, ψiH −1 (Ω)×H01 (Ω) |

0

= kukH −1 (Ω) .

(2.3)

De plus, l’espace D(Ω) ´etant par d´efinition dense dans H01 (Ω), on a, pour toute distribution v de H −1 (Rd ),
kr(v)kH −1 (Ω) =

sup

|hr(v), ϕi|

kϕkH 1 (Ω) ≤1
0

ϕ∈D(Ω)

=

sup

|hv, ϕi|

kϕkH 1 (Ω) ≤1
0

ϕ∈D(Ω)



sup

|hv, ϕi|

kϕkH 1 (Ω) ≤1
0

ϕ∈D(Rd )

≤ kvkH −1 (Rd ) .
L’application r est donc continue de H −1 (Rd ) dans H −1 (Ω). De plus, il est clair que
l’on a, pour toute fonction ϕ ∈ H01 (Ω) et u ∈ H −1 (Ω),
hr ◦ pr(u), ϕiH −1 (Ω)×H01 (Ω) = hpr(u), ϕiH −1 (Rd )×H 1 (Rd )
= hu, p(ϕ)iH −1 (Ω)×H01 (Ω)
= hu, ϕiH −1 (Ω)×H01 (Ω) .
D’o`
u le lemme.
c’est-`
a-dire que pr est l’unique application lin´eaire continue de H −1 (Ω) dans H −1 (Rd ) d´efinie pour tout
−1
u ∈ H (Ω) et ϕ ∈ H 1 (Rd ) par hpr(u), ϕiH −1 (Rd )×H 1 (Rd ) = hu, p(ϕ)iH −1 (Ω)×H 1 (Ω) .
1

0

36

Revenons `a la d´emonstration du th´eor`eme. Le premier point est clairement assur´e par le
lemme. Quant au deuxi`eme point, vu l’´egalit´e (2.3), il suffit de poser
d´ef

(u|v)H −1 (Ω) = (pr(u)|pr(v))H −1 (Rd )
pour le d´emontrer.
D´emontrons maintenant que D(Ω) est dense dans H −1 (Ω). Pour ce faire, consid´erons une
distribution u dans H −1 (Ω). Le th´eor`eme 2.1.1 dit en particulier que D(Rd ) est dense dans
H −1 (Rd ). Il existe donc une suite (ψn )n∈N d’´el´ements de D(Rd ) telle que
dans H −1 (Rd ).

lim ψn = pr(u)

n→∞

D’apr`es le lemme pr´ec´edent, ceci implique que
lim r(ψn ) = u dans H −1 (Ω).

n→∞

Mais, la restriction d’une fonction L2 ´etant une fonction L2 , et D(Ω) ´etant dense dans L2 (Ω),
il existe une suite de fonctions (ϕn )n∈N de D(Ω) telle que, pour tout entier n, on ait
kr(ψn ) − ϕn kL2 (Ω) ≤ 2−n ·
Comme la norme L2 (Ω) est plus grande que la norme H −1 (Ω), il est clair que l’on a
lim ϕn = u dans H −1 (Ω).

n→∞

2.3

Inclusions de Sobolev

Le but de cette section est d’´etudier les propri´et´es d’inclusion des espaces H s dans les
espaces Lp . Nous allons d´emontrer le th´eor`eme suivant.
Th´
eor`
eme 2.3.1. Si s est strictement sup´erieur `a d/2, alors l’espace H s (Rd ) est continˆ
ument
inclus dans l’espace des fonctions continues nulles `a l’infini. Si s est un r´eel positif strictement
2d
inf´erieur `a d/2, alors l’espace H s (Rd ) est continˆ
ument inclus dans L d−2s (Rd ).
Preuve : Le premier point du th´eor`eme est tr`es facile `a d´emontrer. On utilise le fait que
pour toute fonction u de D,
kukL∞ ≤ (2π)−d kb
ukL1

(2.4)

|b
u(ξ)| ≤ (1 + |ξ|2 )−s/2 (1 + |ξ|2 )s/2 |b
u(ξ)|.

(2.5)

Ensuite, on ´ecrit que

Le fait que s soit strictement sup´erieur `a d/2 implique que la fonction
ξ 7→ (1 + |ξ|2 )−s/2
appartient `
a L2 . Donc, d’apr`es l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, on a
Z
kb
ukL1 ≤

2 −s

(1 + |ξ| )

1

2



kukH s .

On conclut alors ais´ement en invoquant la densit´e de D dans H s .
37

La d´emonstration du second point est plus d´elicate. L’indice p = 2d/(d − 2s) peut
ˆetre devin´e grˆ
ace `
a un argument d’homog´en´eit´e. En effet, soit v une fonction sur Rd ,
d´esignons par vλ la fonction vλ (x) = v(λx). On a
kvλ kLp = λ

− dp

kvkLp .

De plus, on a
Z

2s

2

|ξ| |vbλ (ξ)| dξ = λ

−2d

Z

|ξ|2s |b
v (λ−1 ξ)|2 dξ

= λ−d+2s kvk2H˙ s ,
en posant
d´ef

Z

kvkH˙ s =

|ξ|2s |b
v (ξ)|2 dξ.

Rd

Les deux quantit´es k · kLp et k · kH˙ s ont donc la mˆeme homog´en´eit´e, c’est-`a-dire qu’elles
se comportent de la mˆeme mani`ere par changement d’unit´e de longueur. Il est donc de
bon goˆ
ut de les comparer. On peut supposer aussi que kf kH˙ s = 1. Apr`es ces remarques
pr´eliminaires, on utilise le r´esultat de l’exercice 1.10 : pour tout p de l’intervalle ]1, +∞[
et toute fonction mesurable f , on a
Z ∞
p
λp−1 m(|f | > λ) dλ.
kf kLp = p
0

Nous allons d´ecomposer f de mani`ere `a faire apparaˆıtre des normes de type L2 . Pour
ce faire, d´ecoupons f en “basses” et “hautes” fr´equences en posant
f = f1,A + f2,A

f1,A = F −1 (1B(0,A) fb)

avec

et f2,A = F −1 (1 cB(0,A) fb).

(2.6)

Comme le support de la transform´ee de Fourier de f1,A est compact, la fonction f1,A
est born´ee et plus pr´ecis´ement,
≤ (2π)−d kfd
1,A kL1
Z
≤ (2π)−d
|ξ|−s |ξ|s |fb(ξ)| dξ

kf1,A kL∞

B(0,A)

≤ (2π)

−d

Z

−2s

|ξ|

1

2



B(0,A)

≤ Cs A

d
−s
2

kf kH˙ s .

Or, d’apr`es l’in´egalit´e triangulaire, on a, pour tout r´eel strictement positif A,
{|f | > λ} ⊂ {|f1,A | > λ/2} ∪ (|f2,A | > λ/2).
D’apr`es l’in´egalit´e (2.7) ci-dessus, on a
d´ef



A = Aλ =

λ
4Cs

p
d



λ
=⇒ m
|f1,A | >
= 0.
2

On en d´eduit donc que
kf kpLp

Z
=p



λ
0

p−1



λ
m |f2,Aλ | >
dλ.
2

38

(2.7)

Il est bien connu (c’est l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev) que


Z
λ
=
dx
m
|f2,Aλ | >
2
({|f2,Aλ |> λ2 })
Z
4|f2,Aλ (x)|2

dx
λ2
({|f2,Aλ |> λ2 })
kf2,Aλ k2L2
≤ 4
·
λ2
Il en r´esulte donc que l’on a
kf kpLp

Z



λp−3 kf2,Aλ k2L2 dλ.

≤ 4p
0

(2.8)

Mais, on sait que la transform´ee de Fourier est (`a une constante pr`es) une isom´etrie
de L2 ; on a donc
Z
2
−d
|fb(ξ)|2 dξ.
kf2,Aλ kL2 = (2π)
(|ξ|≥Aλ )

D’apr`es l’in´egalit´e (2.8), il vient
Z
p
−d
kf kLp ≤ 4p(2π)

R+ ×Rd

λp−3 1{(λ,ξ) /

b 2
|ξ|≥Aλ } (λ, ξ)|f (ξ)| dξ dλ.

Or, par d´efinition de Aλ , on a
d

d´ef

|ξ| ≥ Aλ ⇐⇒ λ ≤ Cξ = 4Cs |ξ| p .
D’apr`es le th´eor`eme de Fubini, on a pour p > 2,

Z Z Cξ
λp−3 dλ |fb(ξ)|2 dξ
kf kpLp ≤ 4p(2π)−d
Rd

≤ 4
Comme 2s =

p(2π)d
p−2

(4Cs )

0

p−2

Z
|ξ|

d(p−2)
p

Rd

|fb(ξ)|2 dξ.

d(p − 2)
, ceci ach`eve la preuve du th´eor`eme.
p

Par interpolation (voir exercice 2.5), on peut en d´eduire les in´egalit´es suivantes, qui sont un
cas particulier d’in´egalit´e dite de Gagliardo-Nirenberg.
Corollaire 2.3.1. Si d ≥ 2 et si p ∈ [2, ∞[ est tel que 1/p ≥ 1/2 − 1/d, il existe alors une
constante C tel que, pour toute fonction u ∈ H 1 (Rd ),
kukLp ≤ Ckuk1−σ
k∇ukσL2
L2

2.4

avec

σ=

d(p − 2)
·
2p

(2.9)

Compacit´
e

Nous allons dans cette section d´emontrer le th´eor`eme suivant.
Th´
eor`
eme 2.4.1. Soit Ω un ouvert born´e de Rd . L’inclusion de H01 (Ω) dans L2 (Ω) est
compacte.
39

Preuve : La d´emonstration repose sur la transform´ee de Fourier des fonctions p´eriodiques.
d´ef

Sans perte de g´en´eralit´e, on peut supposer que Ω ⊂ Q = ]0, 2π[d . D´efinissons pour u ∈
H01 (Ω) la fonction 2πZd p´eriodique u
e par
X
u(x − 2πj).
∀x ∈ Rd , u
e(x) =
j∈Zd

D´efinissons les coefficients de Fourier pour k ∈ Zd par
Z
dx
d´ef
e−i(k|x) u(x)
u
ek =
·
(2π)d
Q
Par int´egration par parties, on obtient, grˆace `a l’in´egalit´e de Bessel,
X
(2π)d
|k|2 |e
uk |2 ≤ k∇uk2L2 (Q) .
k∈Z

D´efinissons la suite (TN )N ∈N d’applications lin´eaires
 1
2 (Q)
 H0 (Ω) −→ LX
TN :
u 7−→
u
ek ei(k|x)

|k|≤N

o`
u L2 (Q) est identifi´e aux fonctions localement L2 sur Rd qui sont 2πZd p´eriodiques.
De mani`ere ´evidente, l’image de TN est de dimension finie. De plus, on a
ku − (TN u)|Ω k2L2 (Ω) ≤ ke
u − TN uk2L2 (Q)
X
2



u
ek ei(k|x) 2
|k|>N



L (Q)

1
k∇uk2L2 (Ω) .
(2π)d N 2

Il en r´esulte que
k Id −TN |Ω kL(H01 (Ω);L2 (Ω)) ≤

1
·
(2π)d/2 N

L’injection de H01 (Ω) dans L2 (Ω) est donc limite d’une suite d’op´erateurs de rang fini. Le
r´esultat de l’exercice 1.5 permet alors de conclure `a la compacit´e de l’inclusion de H01 (Ω)
dans L2 (Ω).

2.5

Exercices

Exercice 2.1. D´emontrez que l’espace S est continˆ
ument inclus dans l’espace H s , et ce pour
tout r´eel s.
d

Exercice 2.2. D´emontrer que la masse de Dirac δ0 appartient `a l’espace H − 2 −ε pour tout
d
r´eel strictement positif ε, mais que δ0 n’appartient pas `a l’espace H − 2 .
Exercice 2.3. D´emontrez que, pour toute distribution `a support compact u, il existe un
r´eel s tel que u appartienne `
a l’espace de Sobolev H s .
40

Exercice 2.4. D´emontrer que la constante 1 n’appartient `a H s pour aucun r´eel s.
Exercice 2.5. Soit (s, t) un couple de r´eels tels que s < t. Montrer que pour tout u ∈ H t et
θ ∈ [0, 1], on a
kukH θs+(1−θ)t ≤ kukθH s kuk1−θ
Ht .
Exercice 2.6. Soit s ∈ R et p ∈]1, 2].
(i) Pour f ∈ H −s , d´emontrer que la forme lin´eaire Lf d´efinie sur S par Lf (ϕ) = hf, ϕiS 0 ×S
se prolonge sur H s en une forme lin´eaire continue hf, · iH −s ×H s , puis montrer que
kf kH −s = (2π)d sup

hf, ϕiS 0 ×S = (2π)d sup

ϕ∈H s
kϕkH s ≤1

ϕ∈S
kϕkH s ≤1

hf, ϕiH −s ×H s .

(ii) En d´eduire l’existence d’un isomorphisme isom´etrique de H −s dans (H s )0 .
(iii) En d´eduire que Lp (Rd ) s’injecte continˆ
ument dans H −s (Rd ) avec s = d/p − d/2. Est-ce
encore vrai si p = 1 ?
Exercice 2.7. Soit Ω un ouvert born´e de Rd . Montrer que l’inclusion de H01 (Ω) dans Lp (Ω)
est compacte
– pour tout p ∈ [1, 2d/(d − 2s)[ si d ≥ 2,
– pour tout p ∈ [1, +∞] si d = 1 et Ω est un intervalle.
d

Exercice 2.8. Soit r un r´eel de l’intervalle ]0, 1[. D´emontrer que l’espace H 2 +r est inclus
dans l’espace de H¨
older C r (voir la d´efinition 6.3.1 page 86).
` l’aide de l’´egalit´e de Fourier-Plancherel,
Exercice 2.9. Soit s un r´eel de l’intervalle ]0, 1[. A
d´emontrez que H s est l’espace des fonctions u de L2 telles que
Z
|u(x + y) − u(x)|2
dx dy < ∞
|y|d+2s
Rd ×Rd
et qu’il existe une constante C telle que, pour toute fonction u de H s , on ait
Z
|u(x + y) − u(x)|2
C −1 kuk2H s ≤ kuk2L2 +
dx dy ≤ Ckuk2H s .
d+2s
|y|
d
d
R ×R
Exercice 2.10. Soit FL1 = {u ∈ S 0 / u
b ∈ L1 }. D´emontrez que, pour tout r´eel positif s, le
produit est une application bilin´eaire continue de FL1 ∩ H s × FL1 ∩ H s . Qu’en d´eduire
lorsque s est strictement sup´erieur `
a d/2 ?
Exercice 2.11. Dans tout l’exercice u et v d´esignent deux ´el´ements de S(Rd ).
(i) Exprimer kuvk2

d

H s+t− 2

en fonction de u
b et vb.

Dans la suite de l’exercice, on pose
Z
J1 =

2s+2t−d

<ξ>
Z

J2 =

< ξ >2s+2t−d

Z
2



dξ,
u
b


η)b
v
(η)



2|ξ−η|≤|η|
Z
2



u
b(ξ − η)b
v (η) dη dξ
|η|
2

avec < ξ >:=

p
1 + |ξ|2 .
41

≤|ξ−η|≤|η|

(ii) On suppose que s < d2 .
(a) Montrer qu’il existe une constante C (ne d´ependant que de s et d) telle que
Z


d
d
u
∀ξ ∈ R ,
b(ξ − η) dη ≤ CkukH s < ξ > 2 −s ,
Z2|ξ−η|≤|η|


d
d
u
∀η ∈ R ,
b(ξ − η) dξ ≤ CkukH s < η > 2 −s .
2|ξ−η|≤|η|

(b) En d´eduire l’existence d’une constante C 0 (ne d´ependant que de s et de d) telle
que
J1 ≤ C 0 kuk2H s kvk2H t .
(iii) Dans cette question, on suppose que (s, t) ∈ R2 v´erifie s + t > 0. Montrer qu’il existe
une constante C 00 (ne d´ependant que de d et de s + t) telle que
J2 ≤ C 00 kuk2H s kvk2H t .
(iv) On suppose que s < d2 , t < d2 et s + t > 0.
Montrer que l’op´erateur de multiplication (u, v) 7→ uv se prolonge en un op´erateur
d
bilin´eaire continu de H s × H t dans H s+t− 2 .
Exercice 2.12. Soit s un r´eel strictement sup´erieur `a 1/2. D´emontrez que l’application
restriction γ d´efinie par

D(Rd ) −→ D(Rd−1 )
γ:
ϕ
7−→ γ(ϕ) : (x2 , · · · , xd ) 7→ ϕ(0, x2 , · · · , xd )
1

se prolonge en une application continue de H s (Rd ) dans H s− 2 (Rd−1 ).
´
Indication : Ecrire
que
Z
−1
FRd−1 ϕ(0, ξ2 , · · · , ξd ) = (2π)
ϕ(ξ
b 1 , ξ2 , · · · , ξd ) dξ1 .
R

Exercice 2.13 (Interpolation r´
eelle). Dans tout cet exercice, (X, µ) et (Y, ν) d´esignent
deux espaces mesur´es et T une application d´efinie sur Lp0 (X, µ) + Lp1 (X, µ) (1 ≤ p0 < p1 ≤
+∞) et `a valeurs dans l’ensemble des fonctions mesurables sur (Y, ν). On suppose que T est
sous-lin´eaire, c’est-`
a-dire que pour tout λ ∈ R et (f, g) ∈ X 2 ,








T (λf ) = |λ| T (f ) et T (f + g) ≤ T (f ) + T (g) .

d´ef
Pour toute fonction g mesurable sur (Y, ν) et λ ≥ 0, on note dg (λ) = ν {|f | > λ} . Pour
q ∈ [1, ∞[, on note Lq,∞ (Y, ν) l’espace (appel´e Lq faible) des fonctions g mesurables sur Y
telles que
1

d´ef

kgkLq,∞ = sup λ(dλ (g)) q < ∞.
λ>0

Par convention, Lq,∞ (Y, ν) = L∞ (Y, ν) si q = +∞.
On suppose que T envoie Lp0 (X, µ) dans Lp0 ,∞ (Y, ν) (resp. Lp1 (X, µ) dans Lp1 ,∞ (Y, ν))
et qu’il existe A0 ≥ 0 et A1 ≥ 0 tels que
∀f ∈ Lp0 (X, µ), kT (f )kLp0 ,∞ ≤ A0 kf kLp0

et

∀f ∈ Lp1 (X, µ), kT (f )kLp1 ,∞ ≤ A1 kf kLp1 .

On veut montrer que T envoie Lp (X, µ) dans Lp (Y, ν) pour tout p ∈]p0 , p1 [.
42

(i) V´erifier que Lp (Y, ν) ⊂ Lp,∞ (Y, ν) avec injection continue.
(ii) Dans toute cette question, on suppose que p1 est fini et que p0 < p < p1 .
Soit f une fonction de Lp (X, µ) et δ > 0. Pour tout α > 0, on note fα la fonction
d´ef

d´efinie par fα (x) = f (x) si |f (x)| ≤ δα et fα (x) = 0 sinon. Soit f α = f − fα .
(a) V´erifier que f α ∈ Lp0 (X, µ), fα ∈ Lp1 (X, µ) et que
kf α kpL0p0 ≤ (δα)p0 −p kf kpLp

kfα kpL1p1 ≤ (δα)p1 −p kf kpLp .

et

(b) Montrer que
dT (f ) (α) ≤ dT (fα ) (α/2) + dT (f α ) (α/2).
(c) En d´eduire que T envoie Lp (X, µ) dans Lp (Y, ν) et que


(2A0 )p p0 −p (2A1 )p1 p1 −p
p
δ
+
δ
kf kpLp .
kT (f )kLp ≤ p
p − p0
p1 − p

(d) Conclure que kT (f )kLp


p
+
≤ 2 p−p
0

p
p1 −p

1

p

p−1 −p−1
1
−1
p−1
0 −p1

A0

−1
p−1
0 −p
−1
p−1
−p
0
1

A1

kf kLp .

(iii) On suppose maintenant que p1 = +∞. Montrer que T envoie Lp (X, µ) dans Lp (Y, ν)
pour tout p ∈]p0 , +∞[ et que l’in´egalit´e de la question pr´ec´edente reste valable.
(iv) Premi`ere application : retrouver (presque) sans calcul toutes les in´egalit´es de convolution
`a une constante multiplicative pr`es.
(v) Deuxi`eme application : `
a toute fonction bor´elienne f sur Rd muni de la mesure de
Lebesgue λ, on associe sa fonction maximale M d´efinie sur Rd par
Z
1
d´ef
|f (y)| dy.
M f (x) = sup
r>0 λ(B(x, r) B(x,r)
On admet que M f est mesurable et qu’il existe une constante C ≥ 0 telle que
∀f ∈ L1 (Rd ), kM f kL1,∞ ≤ Ckf kL1 .
(a) Montrer que pour tout p ∈]1, +∞], la fonction M envoie Lp (Rd ) dans lui-mˆeme
et qu’il existe une constante Cp telle que
∀f ∈ Lp (Rd ), kM f kLp ≤ Cp kf kLp .
(b) Que peut-on dire pour p = 1 ?

43

44

Chapitre 3

Le probl`
eme de Stokes
Dans tout ce chapitre, Ω d´esigne un domaine born´e de Rd . Avant d’aborder le probl`eme
de Stokes, nous allons r´esoudre un probl`eme plus simple, le probl`eme de Dirichlet.

3.1

Le probl`
eme de Dirichlet

Il s’agit de r´esoudre le probl`eme suivant : ´etant donn´ee une distribution f de H −1 (Ω),
trouver u dans H01 (Ω) telle que −∆u = f (au sens des distributions). Le th´eor`eme de Dirichlet
est le suivant :
´
Th´
eor`
eme 3.1.1. Etant
donn´e f dans H −1 (Ω), il existe une unique solution u dans H01 (Ω)
de −∆u = f au sens des distributions dans Ω. De plus, l’application B qui `a f associe u est
une isom´etrie surjective de H −1 (Ω) sur H01 (Ω).
Preuve : Le point clef de la d´emonstration est le th´eor`eme de repr´esentation de Riesz.
D’apr`es ce th´eor`eme, la forme lin´eaire continue sur H01 (Ω) associ´ee `a f peut se repr´esenter comme le produit scalaire par une fonction de H01 (Ω). Plus pr´ecis´ement, il existe
une unique fonction u de H01 (Ω) telle que
∀h ∈ H01 (Ω) , (u | h)H01 = hf, hiH −1 ×H01 .
Par d´efinition du produit scalaire sur H01 (Ω), on a pour tout h ∈ D(Ω),
(u | h)H01 =

d
X
(∂j u | ∂j h)L2 = h−∆u, hiH −1 ×H01 .
j=1

D’o`
u, par densit´e de D(Ω) dans H01 (Ω),
∀h ∈ H01 (Ω) , h−∆u, hiH −1 ×H01 = hf, hiH −1 ×H01 .
Le th´eor`eme est ainsi d´emontr´e.
Nous allons maintenant ´enoncer un r´esultat classique sur la structure spectrale du Laplacien
dans un domaine born´e.
Th´
eor`
eme 3.1.2. Il existe une suite croissante (λk )k∈N de r´eels strictement positifs tendant
vers l’infini et une base hilbertienne de L2 (Ω) not´e (ek )k∈N telle que la suite (λ−1
k ek )k∈N soit
une base hilbertienne de H01 (Ω), la suite (λk ek )k∈N soit une base hilbertienne de H −1 (Ω) et
telle que
−∆ek = λ2k ek .
45

Nous d´emontrerons ce th´eor`eme dans le cadre plus d´elicat du probl`eme de Stokes. Pour
plus de d´etails sur le probl`eme de Dirichlet, le lecteur pourra consulter [1].

3.2

Le probl`
eme de Stokes stationnaire

Il s’agit de l’analogue du th´eor`eme de Dirichlet sur les ensembles des champs de vecteurs
de divergence nulle. D´efinissons les espaces avec lesquels nous allons travailler.

efinition. Soit Ω un domaine born´e de Rd . On d´esigne par V(Ω) l’espace des champs de
vecteurs sur Ω dont les composantes appartiennent `a H01 (Ω). On munit V(Ω) du produit
scalaire
d
d´ef X
(f | g)V =
(fj | gj )H01 .
j=1

On d´esigne par Vσ (Ω) l’espace des champs de vecteurs de V(Ω) `a divergence nulle.
On d´esigne par H(Ω) l’adh´erence de Vσ (Ω) dans (L2 (Ω))d pour la topologie associ´ee au
produit scalaire
d
d´ef X
(f | g)H =
(fj | gj )L2 .
j=1

On d´esigne par V 0 (Ω) l’espace des champs de vecteurs dont les composantes sont H −1 (Ω).
Si E est un sous-espace de V(Ω), le polaire de E not´e E ◦ est l’espace des champs de
vecteurs f dans V 0 (Ω) tels que, pour tout v ∈ E ,
d´ef

hf, viV 0 ×V =

d
X
hfj , vj iH −1 ×H01 = 0.
j=1

Si F est un sous espace de V 0 (Ω), le polaire F ? est l’espace des champs de vecteurs v ∈ V(Ω)
tels que pour tout f ∈ F , on ait hf, viV 0 ×V = 0.
Afin d’all´eger l’´ecriture, nous omettrons de mentionner l’ouvert born´e Ω dans les notations.

3.2.1

Propri´
et´
es de base

´
Enon¸
cons l’analogue du th´eor`eme de Dirichlet dans ce cadre.
Th´
eor`
eme 3.2.1. Soit f un champ de vecteurs dont les composantes sont dans H −1 . Il
existe une unique solution u dans Vσ de
−∆u − f ∈ Vσ◦
ce qui signifie que, pour tout champ de vecteurs v de Vσ , on a
−h∆u, viV 0 ×V = hf, viV 0 ×V .

(3.1)

Preuve : On associe `
a f la forme lin´eaire sur Vσ qui `a tout v ∈ Vσ associe hf, vi. Par le
th´eor`eme de Riesz il existe un unique u ∈ Vσ tel que
∀v ∈ Vσ ,

(u | v)V = hf, viV 0 ×V .
46

Or, en raisonnant comme pour le probl`eme de Dirichlet, on peut ´ecrire
(u | v)V =

d
X

(∂j u | ∂j v)L2 = −h∆u, viV 0 ×V ,

j=1

d’o`
u le r´esultat.
Remarques
– Le fait qu’un champ de vecteurs g de H −1 appartienne au polaire de Vσ implique en
particulier que pour toute fonction ϕ de D , on a
hg i , −∂j ϕi + hg j , ∂i ϕi = 0.
Cela entraˆıne que ∂j g i − ∂i g j = 0, c’est-`a-dire que g est de rotationnel nul.
– On peut trouver des domaines tr`es simples pour lesquels il existe des champs de vecteurs
de H −1 qui sont de rotationnel nul mais qui ne sont pas des gradients.
d´ef

En effet : pla¸cons-nous sur le domaine du plan Ω = {x ∈ R2 / 0 < R1 < |x| < R2 } et
consid´erons le champ de vecteurs f d´efini par (−∂2 log |x|, ∂1 log |x|). Nous avons alors le
lemme suivant.
Proposition. Le champ de vecteurs f est de divergence et de rotationnel nuls, mais n’est
pas un gradient.
Preuve : Le fait que f soit de divergence nulle est imm´ediat et qu’il soit de rotationnel nul
r´esulte du fait que la fonction x 7→ log |x| est harmonique sur Ω.
Supposons par l’absurde que f soit un gradient. Comme f est C ∞ , il existe une fonction
p de classe C ∞ telle que f = −∇p. Un calcul explicite montre que les trajectoires du
flot de f sont p´eriodiques. Consid´erons γ une trajectoire quelconque. On a alors


d

(p ◦ γ)(t) =
∇p(γ(t))

dt
dt
R2
2
= −|∇p(γ(t))| .
La fonction p◦γ est donc d´ecroissante. Par p´eriodicit´e, on en d´eduit qu’elle est constante
et l’on a donc ∇p(γ(t)) = 0 pour tout t ∈ R. Cette propri´et´e ´etant vrai pour toute
trajectoire, on conclut que f = 0, ce qui est visiblement contraire aux hypoth`eses.
Comme le montre la proposition suivante, la condition d’appartenance `a Vσ◦ est plus forte que
la condition de rotationnel nul.
Th´
eor`
eme 3.2.2. On suppose que le bord du domaine est une hypersurface de classe C 1 .
Soit f un ´el´ement de Vσ◦ . Alors il existe p dans L2 tel que f = −∇p.
Remarque Cette d´emonstration est pr´esent´ee ici `
a titre culturel et ne fait pas partie du
programme strict du cours.
D´esignons par ∇L2 l’ensemble des champs de vecteurs f `a coefficients H −1 tels qu’il existe
une fonction p de L2 v´erifiant f = ∇p. Soit v un champ de vecteurs dans H01 appartenant
`a (∇L2 )? , c’est-`
a-dire un champ de vecteurs de H01 tel que
∀f ∈ ∇L2 , hv, f i = 0.
47

On a donc pour toute fonction p de D(Ω),
0 = hv, ∇pi
= −hdiv v, pi
Z
= − div v(x) p(x) dx.


Ainsi donc div v = 0 et donc (∇L2 )? ⊂ Vσ . Il en r´esulte donc que
(Vσ )◦ ⊂ ((∇L2 )∗ )◦ = ∇L2

H −1

.

(3.2)

Ceci signifie que si f appartient `
a Vσ◦ , alors il existe une suite (pn )n∈N de fonctions de L2
telle que la suite (∇pn )n∈N converge vers f dans H −1 . D´emontrer le th´eor`eme 3.2.2 ci-dessus
revient donc `
a d´emontrer que l’image de
2
L → H −1
∇:
p 7→ ∇p
est ferm´ee. C’est ici, et uniquement ici, que va intervenir la r´egularit´e du bord. Supposons
d´emontr´e le lemme suivant.
Lemme 3.2.1. Une distribution p de H −1 appartient `a L2 si et seulement si ses d´eriv´ees
partielles premi`eres appartiennent aussi `a H −1 . De plus, il existe une constante C telle que
kpk2L2 ≤ C(kpk2H −1 + k∇pk2H −1 ).

(3.3)

On en tire alors le corollaire suivant :
Corollaire 3.2.1. Supposons l’in´egalit´e (3.3) vraie sur Ω. Alors il existe une constante C
telle que, pour toute fonction p appartenant `a
Z
n
o
d´ef
L20 = p ∈ L2 /
p(x) dx = 0 ,


on ait
kpkL2 ≤ Ck∇pkH −1 .
Preuve : L’in´egalit´e implique ´evidemment que ∇L2 est ferm´e et donc le th´eor`eme 3.2.2.
Pour d´emontrer ce corollaire, proc´edons par l’absurde en consid´erant une suite (pn )n∈N
de fonctions de L20 de norme 1 telle que la suite (∇pn )n∈N tende fortement vers 0
dans H −1 . L’inclusion de L2 dans H −1 ´etant compacte (exercice : d´emontrez-le), il
existe une fonction p de L2 et une fonction d’extraction φ telles que la suite (pφ(n) )n∈N
converge fortement vers p dans H −1 . En particulier, la suite (∇pφ(n) )n∈N converge
vers ∇p au sens des distributions. Donc ∇p = 0 et donc p = 0 car la fonction p
est suppos´ee de moyenne nulle sur Ω. Le passage `a la limite dans l’in´egalit´e (3.3) est
contradictoire avec le fait que la suite (pn )n∈N est suppos´ee de norme 1 dans L2 .
D´emontrons maintenant que le lemme 3.2.1 est vrai si le domaine Ω est de classe C 1 , c’est`a-dire si le bord du domaine est une hypersurface de classe C 1 . Sous cette hypoth`ese, il existe
une famille finie (Uk )1≤k≤N d’ouverts de Rd qui recouvre le bord de ∂Ω et telle que, pour
tout k , il existe un C 1 -diff´eomorphisme χk de Uk sur Vk tel que
χk (Uk ∩ Ω) = Vk ∩ Rd+

avec

d´ef

Rd+ = {x = (x1 , · · · , xd ) = (x0 , xd ) / xd ≥ 0}.
48

Il existe de plus un ouvert U0 dont l’adh´erence est incluse dans Ω et tel que la famille
(Uk )0≤k≤N recouvre Ω. On consid`ere alors une partition de l’unit´e (ϕk )0≤k≤N de classe C ∞
subordonn´ee `
a la famille (Uk )0≤k≤N . Soit p une distribution de H −1 ; on ´ecrit
p=

N
X

pk

avec

d´ef

pk = ϕk p.

k=0

Il est clair que kpk kH −1 ≤ CkpkH −1 . De plus, si ∇p appartient `a H −1 , alors, comme on
a ∇pk = p∇ϕk + ϕk ∇p, il en r´esulte que

k∇pk kH −1 ≤ C kpkH −1 + k∇pkH −1 .
Il suffit maintenant de d´emontrer l’in´egalit´e (3.3) pour chaque pk . Comme la distribution p0
est `a support compact inclus dans Ω, la propri´et´e est ´evidente pour p0 car p0 et ses d´eriv´ees
premi`eres appartiennent `
a H −1 (Rd ) et l’on peut donc utiliser la transform´ee de Fourier.
Lorsque k ≥ 1, nous allons utiliser les redressements du bord. Il est clair que, comme χk est
1
d
un diff´eomorphisme de classe C 1 , l’application v 7→ v ◦ χ−1
k est continue de H0 (Vk ∩ R+ ) dans
H01 (Uk ∩ Ω). Par dualit´e et changement de variable, on en d´eduit la continuit´e de l’application
−1
H (Uk ∩ Ω) −→ H −1 (Vk ∩ Rd+ )
?
χk :
−1
f 7−→ v 7→ hf, Jχk ◦ χ−1
k × v ◦ χk i.
On est alors ramen´e `
a d´emontrer la propri´et´e sur Rd+ . Pour cela, on d´efinit les applications Q
et R par
 1 d
 H (R ) −→ H01 (Rd+ )
0 si xd < 0,
Q :
u 7−→ (Qu)(x) =

u(x) + 3u(x0 , −xd ) − 4u(x0 , −2xd ) si xd ≥ 0
et
R :

 1 d
 H (R ) −→ H01 (Rd+ )


u 7−→ (Ru)(x) =



0 si xd < 0
u(x) − 3u(x0 , −xd ) + 2u(x0 , −2xd )

si

xd ≥ 0.

Le fait que les op´erateurs Q et R envoient continˆ
ument H 1 (Rd ) dans H01 (Rd+ ) et L2 (Rd )
dans L2 (Rd+ ) est un exercice facile. De plus, on a


◦Q=Q◦
∂xj
∂xj

si

j 6= d et



◦R=Q◦
·
∂xd
∂xd

(3.4)

On consid`ere les applications transpos´ees sur H −1 , c’est-`a-dire que l’on pose
(
H −1 (Rd+ ) −→ H −1 (Rd )
t
Q :
d´ef
f 7−→ t Qf / ht Qf, vi = hf, Qvi
et de mˆeme pour R. On a bien sˆ
ur les formules suivantes d’apr`es la composition des applications transpos´ees et les relations (3.4) :


◦ tQ = tQ ◦
∂xj
∂xj

si

j 6= d et
49



◦ tQ = tR ◦
·
∂xd
∂xd

(3.5)

d´ef

En appliquant ces relations `
a la distribution pek = χ?k pk de H −1 (Rd+ ), on trouve que
t

Q pek ∈ H −1 (Rd )

∂ t
( Q pek ) ∈ H −1 (Rd ).
∂xj

et

En lisant cette propri´et´e en terme de transformation de Fourier, on a imm´ediatement que t Qe
pk
2
d
est une fonction de L (R ) et l’on a
kt Q pek k2L2 (Rd ) ≤ C(kt Q pek k2H −1 (Rd ) + k∇t Q pek k2H −1 (Rd ) ).
Comme Q est l’identit´e sur les fonctions `a support dans Rd+ , la restriction de t Q pek `a Rd+
est pek . On a donc
ke
pk k2L2 (Rd ) ≤ C(ke
pk k2H −1 (Rd ) + k∇e
pk k2H −1 (Rd ) ).
+

Donc les pk sont dans

L2

+

+

et l’on a
kpk k2L2 ≤ C(kpk2H −1 + k∇pk2H −1 (Ω ).

Le th´eor`eme 3.2.2 est d´emontr´e.
Remarque 3.2.1. Pour un ouvert Ω quelconque on peut en fait d´emontrer l’existence d’une
a Vσ◦ , alors f = −∇p.
fonction p de L2loc telle que, si f appartient `

3.2.2

Propri´
et´
es spectrales de l’op´
erateur de Stokes

Le probl`eme de Stokes peut se voir comme un probl`eme pos´e dans l’espace des formes
lin´eaires continues sur Vσ , que nous noterons Vσ0 et que nous allons d´ecrire ci-dessous, apr`es
avoir ´etudi´e les propri´et´es spectrales de l’op´erateur de Stokes. Ce paragraphe est fondamental
pour l’´etude des ´equations de Navier-Stokes car il va nous fournir le cadre fonctionnel ad´equat
ainsi qu’un mode d’approximation des solutions.
Comme pour le probl`eme de Dirichlet, nous allons utiliser la th´eorie spectrale des op´erateurs audoadjoints compacts pour obtenir le th´eor`eme suivant.
Th´
eor`
eme 3.2.3. Soit Ω un domaine born´e de Rd . Il existe une base hilbertienne (ek )k∈N
de H et une suite croissante (λ2k )k∈N tendant vers l’infini telles que
−∆ek + ∇πk = λ2k ek ,
o`
u πk est dans L2loc (Ω) pour tout k . De plus, (λ−1
k ek )k∈N est une base hilbertienne de Vσ
muni du produit scalaire H01 .
Pour d´emontrer ce th´eor`eme, introduisons l’op´erateur B suivant :

H −→ Vσ
B :
f 7−→ u / − ∆u − f ∈ Vσ◦ .
Cet op´erateur satisfait `
a la propri´et´e suivante.
Proposition 3.2.1. L’op´erateur B appartient `a L(H), est autoadjoint positif, injectif et
d’image dense dans H .
50


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