Algèbre.pdf


Aperçu du fichier PDF algebre.pdf - page 1/14

Page 12314



Aperçu texte


Corps, Anneaux, Alg`ebres
1


efinitions basiques.


efinition 1.1. Un corps est un ensemble K muni de deux lois internes (+, ·)
K × K → K; (a, b) 7→ a + b,
K × K → K; (a, b) 7→ a · b,
v´erifiant les axiomes suivants.
1. (K, +) est un groupe commutatif.
2. Soit 0 l’´el´ement neutre de (K, +) et soit K ∗ = K \ {0}. (K ∗ , ·) est un groupe commutatif.
3.
a · (b + c) = a · b + a · c, a, b, c ∈ K.

efinition 1.2. Un anneau est un ensemble A muni de deux lois internes (+, ·) tels que
1. (A, +) est un groupe ab´elien
2. la multiplication est associative, c. `a d.
(a · b) · c = a · (b · c), ∀a, b, c ∈ A.
3. La multiplication est distributive par rapport `a l’addition, c. `a d.
a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a, b, c ∈ A

efinition 1.3. On dit que l’anneau (A, +, ·) est commutatif, si a · b = b · a pour tout a, b ∈ A.

efinition 1.4. Nous disons que l’anneau (A, +, ·) est unitaire, s’il existe un ´el´ement I dans A,
tel que
I · a = a · I, a ∈ A.

efinition 1.5. Un espace vectoriel sur un corps K est un groupe commutatif (E, +) muni d’une
loi externe
K × E → E; (λ, x) 7→ λ · x,
telle que pour tout λ, µ ∈ K, x, y ∈ E,
1.
2.
3.
4.

λ · (x + y) = λ · x + λ · y,
(λ + µ) · x = λ · x + µ · x
(λµ) · x = λ · (µ · x).
1K · x = x

Proposition 1.6.
1. Un corps poss`ede au moins deux ´el´ements.
2. Soit 0A le ”z´ero” de l’anneau A. Alors
0A · x = x · 0A = 0A , ∀x ∈ A.
1