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efinition 1.14. Nous ´ecrivons K[X] pour l’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans K.
Soit P = (aj )j ∈ K[X]. Nous appelons le nombre aj le j-i`eme coefficient de P et nous le notons
parfois par le symbole
aj = P (j), j ∈ N.
Ainsi deux polynˆomes P, Q sont ´egaux, si et seulement si tous leurs coefficients co¨ıncident.

efinition 1.15. Nous d´efinissons la somme de deux polynˆomes P = (aj ) et Q = (bj ) par
P + Q = (a0 + b0 , a1 + b1 · · · , aj + bj , · · · ).
Nous d´efinissons le produit (cj )j = R = P · Q de P par Q de la fa¸con suivante,
X

cj =

ak bl =

k+l=j

j
X

ak bj−k , j ∈ N.

k=0

En particulier
c0 = a0 b0 , c1 = a0 b1 + a1 b0 .
Remarque 1.16. Nous remarquons que le polynˆome
1 = (1, 0, 0 · · · , 0, · · · )
est un ´el´ement unit´e pour le produit des polynˆomes :
1 · P = P.
En effet,
1 · P (j) =

j
X
k=0

1(k)P (j − k) = 1(0) P (j) + 1(1) P (j − 1) + · · ·
|{z}
|{z}
1

0

= P (j), j ∈ N.
Proposition 1.17. Le produit des polynˆ
omes est associatif.
D´emonstration. En effet, si P, Q, R sont des polynˆomes `a coefficients dans K, alors pour j ∈ N
X
P · (Q · R)(j) =
P (k)(Q · R)(l)
k+l=j

X

=

k+l=j

P (k)Q(m)R(n)

k+m+n=j

=

X
l+n=j

=

X

Q(m)R(n))

m+n=l

X

=

X

P (k)(

Ã

X

!
P (k)Q(m) R(n)

k+m=l

(P · Q)(l)R(n) = (P · Q) · R(j).

l+n=j

Ainsi
P · (Q · R) = (P · Q) · R.
¥

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