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Proposition 1.20. Pour chaque n ∈ N, X n est alors le polynˆ
ome
X n = (δn,j )j = (0, 0, · · · , 0, 1, 0 · · · )
o`
u 1 apparaˆıt `
a la position n.
D´emonstration. Par r´ecurrence sur n, on a
X n+1 (j) = X n · X(j) =

j
X

δ1,k δn,j−k

k=0

= 0 + δn,j−1 .
Ainsi

½
X n+1 (j) =

0
1

, si j 6= n + 1
, si j = n + 1.

Donc X n+1 = (δn+1,j )j .
¥
Remarque 1.21. Soit P = (aj )j ∈ K[X] de degr´e d. Alors
P = (a0 , a1 , · · · , aj , · · · , ad , 0, · · · )
= a0 (δ0,j )j + a1 (δ1,j )j + · · · + ad (δd,j )j
= a0 + a1 X + · · · + ad X d
=

d
X

aj X j ,

j=0

si nous posons encore

X 0 = 1 = (δ0,j )j .

Tout polynˆome s’´ecrit donc de fa¸con unique comme
P =


X

aj X j ,

j

o`
u aj = 0 pour j > deg P .
Proposition 1.22. (Division euclidienne dans K[X]) Soit K un corps et P, Q des polynˆ
omes sur
K, Q 6= 0. Il existe des polynˆ
omes A, R d´etermin´es de fa¸con unique, tels que
P = AQ + R, deg R < deg Q.
D´emonstration. Unicit´e : S’il existe un autre couple (A0 , R0 ) v´erifiant
P = A0 Q + R0 , deg R0 < deg Q,
alors

(A − A0 )Q = R − R0 .

Or si A − A0 6= 0, alors deg (R − R0 ) = deg (A − A0 )Q ≥ deg Q et donc
deg Q ≤ deg (R − R0 ) ≤ max(deg R, deg R0 ) < deg Q,
ce qui est absurde. Existence : Si P = 0, on a A = 0 = R. Si deg P < deg Q, on a

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