Ch 05 Derivation .pdf



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Auteur: ÿþHervé

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La dérivation.
Dans tout le reste du chapitre, f est une fonction définie sur un intervalle I, de courbe

(

r r

)

représentative C dans un repère orthogonal O ; i , j .
Définition .
Dire que f est dérivable en x0 ÎI signifie que lim __________________ existe et appartient à IR.
h ®0

On pose alors f’(x0)=_________________. Ou, de manière équivalente f’(x0)= lim _____________.
x ® x0
Lorsque f est dérivable en tout nombre de I, on dit que f est dérivable sur I.
df
(notation
dx
différentielle). Cette dernière notation a l’avantage de préciser quelle est la variable.
Si f est une fonction dérivable sur I on note sa dérivée f’. On écrit aussi f’ =

Remarques.
§

Si f est dérivable en a, la tangente Tà C au point A(a, f(a)) a pour coefficient
directeur f’(a) et admet pour équation y=f’(a)(x-a)+f(a).

§

§

Localement, on peut remplacer la fonction f par la fonction affine représentée
par la tangente T :c’est- à-dire remplacer f(a+h) par f’(a)h+f(a) pour h proche de
0 : f’(a)h+f(a) est l’approximation affine de f(a+h) pour h proche de 0.

Exercice 27 p 76 (dérivabilité et existence tangentes, remarques 1 et 2)
29 p 76 (valeur absolue, existence de fonctions continues et non dérivables en un
nombre).
Dérivée et dérivabilité des fonctions usuelles : voir tableau page 64 (rajouter l’exp)+ opérations
(même page)
Exemple : dérivabilité de la fonction tangente sur ]-p/2 ;p/2[

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1. Dérivabilité et continuité.
On a vu à l’exercice précédent que ce n’est pas parce qu’une fonction est continue qu’elle est
dérivable. La réciproque est-elle vraie ?
Propriété .
Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
Démonstration :
f(a+h)-f(a)
௙(௔ା௛)ି௙(௔)
. Posons ݃(ℎ) =
. On a lim g(h)-f’(a)=0.

h
h ®0
h ®0

f’(a)= lim

Ou encore, pour tout h, g(h)-f’(a)=ε(h) où ε est une fonction de h dont on ne sait rien, mais
qui tend vers 0 quand h tend vers 0.
Ainsi, pour tout h assez petit:
f(a+h)=f(a)+hf’(a)+h ε(h) et lim f(a+h)= f(a) donc f est continue en a !
h ®0

Remarque :
Si f est dérivable sur un intervalle I, alors elle est continue sur I.
Exercice d’application : étudier les variations de la fonction définie sur IR par f(x)=ex-2. En
déduire que l’équation ex = 2 admet une solution unique.

2. Dérivation de fonction composée.
Le théorème suivant permet de calculer la dérivée d’une fonction x
calculer les dérivées de g et de u.

½

g(u(x)) lorsqu’on sait

¾¾®

Théorème .
Si g est une fonction dérivable sur un intervalle J et u une fonction dérivable sur un
intervalle I telle que pour tout x ÎI, u(x) ÎJ,
Alors la fonction f définie par f(x)=g(u(x)) est dérivable sur I et pour tout x de I :
f’(x)=g’(u(x))´ u’(x).
Démonstration :
Pour tout h assez petit,
݂ ሺ‫ ݔ‬+ ℎ ሻ − ݂(‫݃ )ݔ‬൫‫ݑ‬ሺ‫ ݔ‬+ ℎ ሻ൯ − ݃(‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬ሻ) ‫ ݑ‬ሺ‫ ݔ‬+ ℎ ሻ − ‫)ݔ(ݑ‬
=
×

‫ ݑ‬ሺ‫ ݔ‬+ ℎ ሻ − ‫)ݔ(ݑ‬

On calcule la limite du premier facteur lorsque h tend vers 0 en faisant le changement de
variable H=u(x+h)-u(x).

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De par la continuité de u ( u est dérivable), on a : lim H=0 et
h ®0

lim

௚൫௨ሺ௫ା௛ሻ൯ି௚(௨ሺ௫ሻ)

௚ሺ௨ሺ௫ሻାுሻି௚(௨ሺ௫ሻ)

௨ሺ௫ା௛ሻି௨(௫)



h ®0

On a aussi: lim

௨ሺ௫ା௛ሻି௨(௫)

h ®0

f’(x)= lim

=limு→଴



௙ሺ௫ା௛ሻି௙(௫)

h ®0



= ݃ᇱ (‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬ሻ)

=u’(x) donc:

=݃ᇱ (‫ ݑ‬ሺ‫ݔ‬ሻ)×u’(x) . CQFD.

Exemple :
Soit f la fonction définie sur [0 ;+¥[ par f(x)=sin ( x). On pose g(x)=sin x et u(x)= x ; g est
1
dérivable sur IR de dérivée g’(y) = cos y et u sur ]0 ;+¥[ de dérivée u’(x) =
donc f est
2 x
1
dérivable sur ]0 ;+¥[ et pour tout x dans ]0 ;+¥[ f’(x) = cos( x)´
.
2 x
Le théorème ne permet pas de savoir si f est dérivable en 0 : on revient à la définition en
calculant la limite en 0 de t(x)=

f(x) – f(0) sin x 1 sin x
=
=
´
dont la limite en 0 est +¥,
x-0
x
x
x

donc f n’est pas dérivable en 0.
Remarques :
§ Si g est la fonction exp, on retrouve un résultat connu.
§ Si u est une fonction affine on retrouve un résultat connu.
Exercice : dérivabilité et dérivée des fonctions définies par : f1(x) = cos(1/x), f2(x) = 1-x²,
f3(x)=(x²-2x+14)12.
Il existe quelques cas particuliers importants :
Propriété .
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I et n un entier naturel non nul alors la fonction f
définie par f(x) = [u(x)]n est dérivable sur I et f’(x) = n[u(x) ]n-1´u’(x).
Ou encore (un)’ = nun-1´u’
Démonstration :
On pose g(x)= xn, g est dérivable sur IR et g’(x) = n x n-1 d’où le résultat d’après le théorème
précédent.
Corollaire : on a la même formule si n<0 à condition d’avoir u(x) ¹ 0 sur I.(car g ne serait pas
dérivable en zéro).
Propriété .
Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur I, la fonction u est dérivable sur I et
u’
( u)’=
.
2 u
Dem : évidente.
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Exercices : 84,85,87 88 p 81, 90p11.
Petit problème : 90p109 (avec exp).

3. La fonction tangente.
Activité :
1. Que signifie tan(x) ? En déduire le domaine de définition D de la fonction f :x ¾¾® tan(x).
2. Montrer que f est périodique de période p.
3. Montrer que la fonction tangente est impaire.Pourquoi suffit-il d’étudier f sur l’intervalle
[0 ; p/2[ ?
1
4. Justifier que f est dérivable sur D et que f’(x) = 1+tan ² x =
.
cos²x
5. Déterminer la lim f(x). Qu’en déduit-on graphiquement ?
½

x ®p / 2
x <p / 2

6. Etablir le tableau de variations de f sur [0 ;p/2[.
7. Déterminer une équation de la tangente T au point de la courbe d’abscisse 0. Etudier la
position relative de T et C (courbe de la fonction tangente dans un repère
orthonormal)pour x Î[0 ;p/2[.
r r
8. Tracer T er C dans un repère orthonormal O ; i , j pour x Î]-3 p/2 ; p/2[.
Synthèse :

(

)

Définition : la fonction tangente est définie pour tout x ¹ p/2 + k p ( k ÎZZ) par tan x =

sin x
.
cos x

On note D l’ensemble de définition de cette fonction.
Propriété :
Pour tout x de D, tan(x+p) =tan x et tan(-x) = -tan x.
On dit que la fonction tangente est périodique de période p et qu’elle est impaire.
Dem : si x ÎD, x+p et –x sont aussi dans D et …
Conséquence : puisque elle est périodique de période p, il suffit de l’étudier sur ]-p/2 ;
p/2[, le reste de la courbe se déduisant par translation. Puisqu’elle est impaire, il suffit
de l’étudier pour x ³0, le reste de la courbe se déduisant par symétrie de centre 0.
Il suffit donc de l’ étudier sur [0 ; p/2[ .
Prop : tableau de variation.
Prop : la tangente en 0 admet pour équation y=x.

Exercice 79 p 80.

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