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Exercices sur les d´eveloppements limit´es.
Remarque : les exercices concernant l’utilisation des d.l. pour ´etudier localement une fonction (continuit´e et d´erivabilit´e en un point), se trouvent
dans la partie “d´erivabilit´e”.
Exercice 1 :

Montrer que le d´eveloppement limit´e d’ordre n en 0 de th

que soit n > 0.

1
vaut 1 quel
x2

Exercice 2 : En utilisant la formule de Taylor-Young, calculer le d.l. de arctan x `a l’ordre 3
au voisinage de 1. Puis retrouver ce r´esultat `a partir du d.l. de la d´eriv´ee d’arctan x au voisinage
de 1.
Exercice 3 :

Donner la r´eponse, en la justifiant, aux questions suivantes :

a) La fonction x 7→ ln x a-t-elle un d´eveloppement limit´e en z´ero ?
b) La fonction x 7→
c) La fonction x 7→
d’ordre 3 ?



x a-t-elle un d´eveloppement limit´e d’ordre 1 en z´ero ?



x5 poss`ede-t-elle un d´eveloppement limit´e en z´ero d’ordre 1 ? d’ordre 2 ?
2

d) La fonction x 7→ e−1/x poss`ede-t-elle un d´eveloppement limit´e en z´ero d’ordre n ?

1