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Exercice 9 :

Trouver un ´equivalent simple, lorsque x tend vers z´ero des fonctions suivantes

a) x(1 + cos x) − 2 tan x


c)
sin x − 4 x tan x
e)

1+

Exercice 10 :

ln cos x
ln ch x

b)

ecos x + ech x − 2e

d)

(2e cos x − ex+1 )ln x

f)

2 − tan x
4

−x
1+e
4 + x2

Calculer les limites des fonctions suivantes en utilisant les d´eveloppements

limit´es.
a)
c)
e)
g)

x − arcsin x
sin3 x
8x − 4x
3x − 2x
xe − ex
(x − e)2


1 − x 1/x
1+x
2

i)

(x → 0)
(x → 0)
(x → e)
(x → 0)

(ch x)−1/x − (cos x)1/x
ch x − cos x

Exercice 11 :

2
sin x 1/x
b)
sh x


x− e
d)
ln x − 1
x

1 1/x
1/x
(a + b )
f)
2

(2x − x3 )1/3 − x
h)
1 − x3/4
1
j) cotan2 x − 2
x


2

(x → 0)

Exercice 12 :

(x → e )
(x → ∞)
(x → 1 )
(x → 0 )

Calculer la limite lorsque x tend vers e de
f (x) =

vers 0 de

(x → 0 )

xe − ex
.
1 − cos(x − e)

En utilisant les d´eveloppements limit´es, trouver la limite quand x tend




+ e 4−x − 2e2
f (x) =
.
tan2 x
(On justifiera le choix de l’ordre auquel on commence les calculs, et on d´etaillera les calculs
interm´ediaires).
e

Exercice 13 :

4+x

Calculer la limite lorsque x tend vers π/2 de
p

1 + sin x − 3 − sin2 x
,
f (x) =
cos2 x

en indiquant comment vous choisissez l’ordre des d´eveloppements limit´es que vous utilisez.

Exercice 14 : Sans utiliser de d.l. , ´etudier les asymptotes et la position de la courbe
par rapport aux asymptotes lorsque x tend vers +∞ et −∞ dans les cas suivants :
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