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Aperçu texte


a)
b)
c)

Exercice 15 :


f (x) = ln e2x + 3e−3x + 1
x4 − 2x3 + 2x2 + 1
x3 + 2x2 + 1

f (x) = x4 + x3 − x2

f (x) =

En utilisant les d.l. ´etudier `a l’infini, les fonctions suivantes :
a) f (x) =
b)
c)
d)

Exercice 16 :

p

x(2 + x) e1/x

x3 + 2x2 − x + 1
x2 − x + 2
r
x−1
f (x) = x
x+1
2x
f (x) = ln(e − ex + 3e−3x + 1)
f (x) =

a) Ecrire le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 en z´ero de la fonction g d´efinie

par
g(u) = ln

ln(1 + 2u)
.
ln(1 + u)

(On justifiera le choix de l’ordre auquel on commence les calculs, et on d´etaillera les calculs
interm´ediaires).
b) En d´eduire le comportement `
a +∞ de la fonction f d´efinie par
f (x) = x ln

ln(2 + x) − ln x
.
ln(1 + x) − ln x

(Equation de l’asymptote, position de la courbe par rapport `a l’asymptote et dessin (on prendra
ln 2 = 0, 7)).

Exercice 17 :

a) Soit a et b deux r´eels. Donner le d´eveloppement limit´e `a l’ordre n en 0

de
g(x) = ln

1 + ax
.
1 + bx

b) Soit f la fonction d´efinie, lorsque cela a un sens, par
f (x) = (3x2 + 6x − 10) ln

x+4
.
x+2

Montrer qu’elle admet un d´eveloppement asymptotique lorsque x tend vers l’infini, de la forme

γ
1
f (x) = αx + β + 2 + ◦
,
x
x2
o`
u α, β et γ sont des r´eels non nuls.
En d´eduire le comportement de la courbe repr´esentative de f `a +∞ et `a −∞. (Asymptote,
position par rapport `
a l’asymptote et dessin).
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