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Corrig´
e des exercices sur les d´
eveloppements limit´
es.

Remarque : Les calculs de quotients de d.l. ont ´et´e effectu´es dans ce qui
suit en utilisant la m´ethode de division suivant les puissances croissantes.
On peut, bien sˆ
ur, utiliser d’autres m´ethodes.
1)

On veut donc montrer que, pour tout entier n
th

1
= 1 + ◦(xn ) ,
x2

ou encore

1
−1
x2
= ◦(1) ,
xn
ce qui signifie que l’expression de gauche tend vers z´ero lorsque x tend vers l’infini. Mais
th

2

2

1
1 − e−2/x
−2e−2/x
th 2 − 1 =

1
=
.
x
1 + e−2/x2
1 + e−2/x2
En posant
u=
soit

1
,
x2

1
x= √ ,
u

on obtient

1
−1
−2u
−n/2 −e
x2
=
u
,
xn
1 + e−2u
et lorsque x tend vers z´ero, u tend vers +∞. Il r´esulte du crit`ere de croissance compar´ee des
fonctions exponentielles et puissances que cette quantit´e tend bien vers z´ero, ce qui donne le
r´esultat voulu.
th

2)

Posons f (x) = arctan x. On a donc
f ′ (x) =

1
−2x
1 − 3x2
′′
(3)
,
f
(x)
=
,
f
(x)
=
−2
,
1 + x2
(1 + x2 )2
(1 + x2 )3

d’o`
u

π
1
1
1
, f ′ (1) = , f ′′ (1) = − , f (3) (1) = .
4
2
2
2
En utilisant la formule de Taylor-Young, on a alors
f (1) =

arctan x =

π 1
1
1
+ (x − 1) − (x − 1)2 + (x − 1)3 + ◦((x − 1)3 ) .
4 2
4
12

Partons maintenant de f ′ (x), et posons h = x − 1. On a donc
f ′ (1 + h) =

1
1
1
=
=
2
2
1 + (1 + h)
2 + 2h + h
2
7

1
h2
1+h+
2

.