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On effectue un d.l. `
a l’ordre 2 de cette fonction puis on int´egre pour retrouver le d.l. d’ordre 3
de f . En utilisant le d.l. de 1/(1 + u) on a
"
#


2
2 2
1
h
1 h h2
h
f ′ (1 + h) =
1− h+
+ ◦(h2 ) = − +
+ ◦(h2 ) .
+ h+
2
2
2
2 2
4
En int´egrant

h h2 h3

+
+ ◦(h3 ) .
2
4
12

f (1 + h) = f (1) +
On retrouve bien le d.l. obtenu plus haut.

3) a) Lorsque x tend vers z´ero, x 7→ ln x n’a pas de limite finie, donc pas de d.l. d’ordre 0, ni
d’aucun autre ordre.

b) La fonction x 7→ x n’est pas d´erivable en z´ero, donc n’a pas de d.l. d’ordre 1 en z´ero, ni
d’aucun ordre sup´erieur `
a 1.
c) On a




x5 = x2 x = ◦(x2 ) .

Donc elle poss`ede des d.l. d’ordre 1 et 2 en z´ero. Si elle poss´edait un d.l. d’ordre 3, il serait de
la forme

x5 = ax3 + ◦(x3 ) ,
et l’on aurait



x5
=a,
x→0+ x3
ce qui n’est pas le cas, puisque cette limite est infinie. Donc la fonction ne poss`ede pas de
d.l. d’ordre 3 en z´ero.
lim

d) On a, pour tout entier n positif
lim

x→0+

1 −1/x2
e
=0.
xn

Donc

2

e−1/x = ◦(xn ) .
La fonction poss`ede un d.l. d’ordre n pour tout entier n.

4)

a) On part des d.l. de arctan x , ex et sin x `a l’ordre 3 en z´ero.
1 + arctan x = 1 + x −

x3
+ ◦(x3 ) ,
3

et
x

e + 2 sin x =



x2 x3
1+x+
+
2
6



x3
+2 x−
6




+ ◦(x3 ) = 1 + 3x +

x2 x3

+ ◦(x3 ) .
2
6

On effectue le produit en tronquant `
a l’ordre 3.
(1 + arctan x)(ex + 2 sin x) = 1 + 4x +
8

7x2
+ ◦(x3 ) .
2