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indices

Question 1) Un projecteur est un endormorphisme p qui vérifie p ◦ p = p.
Peut on trouver un polynôme annulateur ? quelles sont alors ses racines ?

Remarque : Certain endormorphismes sont à bien connaître
– les projecteurs p ◦ p = p
– Les symétries s ◦ s = IdE
– Les endormorphismes nilpotents ( f k = 0 ) ( et leurs matrices dans une base appropriée
cf exo 3 td 5..)
– Les rotations ( exemple de matrices non trigonalisable dans R ) : pour t 6= 0 et t 6= π


cos t − sin t
sin t cos t
Question 2)
Que peut on dire de det(f 3 ) ? Et donc de det(f ) ? quel est le lien avec la valeur propre 0 ?
Remarque : On a le résultat du cours
λ valeur propre de f ⇒ λk valeur propre def k ,
mais la réciproque est fausse en général. Ici 0 est donc un cas très particulier.

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