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Ecole Supérieure des Ingénieurs
De l’Equipement Rural de Medjez-El-Bab
********************************************************************************
Département de Génie Mécanique et Agro-Industriel
Travaux dirigés du Module :
Initiation à la Technologie des Particules
A.U. 2009/2010

Exercice 1 : Analyse granulométrique par tamisage d'un lot de poudre
Un lot de cristaux de NaCl est tamisé sur une pile de tamis avec le résultat suivant :

Question
1) Déterminer le diamètre moyen en volume.
Solution : On détermine la répartition granulométrique à l'aide des
résultats donnés :

=
Car
dv = 183,6 m

2) Déterminer le diamètre moyen en surface volume.
1

Solution : Le diamètre moyen en surface/volume s'exprime de la façon
suivante :

=
ni étant le nombre de particules dans la classe de taille i (taille d i)
dsv = 89,6 m
Les fines particules ont un rapport surface/volume plus important que les
particules de tailles importante, de ce fait le diamètre moyen en
surface/volume donne un poids important aux fines, contrairement au
diamètre moyen en volume : on trouve bien que dSV < dV.

3) Déterminer la surface spécifique des particules.

D’où

S0=66942 m-1

Exercice 2 : Conversion entre différents types de distribution
La distribution granulométrique suivante a été obtenue par comptage sous microscope.
On considère que les particules sont sphériques.

2

Question
Tracer les distributions granulométriques en surface et en volume qui correspondent à la
distribution en nombre donnée ci-dessous.

Le graphe suivant représente les distributions en nombre (mauve), en surface
(fuschia) et en volume (vert) correspondant à ces valeurs.

On constate un décalage vers les diamètres plus grands lorsque l'on passe d'une
distribution de taille en nombre à une distribution de tailles en surface et en volume.

Exercice 3 : Caractérisation d'un matériau sous forme de fibres
Un matériau de masse volumique 2500 kg/m3, est fabriqué sous forme de fibres de trois
types : Des fibres de diamètre 10 µm x longueur 100 µm, des fibres de diamètre 20 µm
et de longueur 200 µm et des fibres de diamètre 30 µm * longueur 300 µm. 200 g de
chacun des trois types de fibres sont mélangés et ce mélange est versé en pluie dans
un cylindre de 10 cm de diamètre. Initialement la hauteur du lit formé par le mélange
dans le cylindre est de 15 cm, mais après tassement par vibration elle est réduite à 10
cm.

3

Questions
1)

Calculer le diamètre de sphère équivalent en volume des trois types de fibres.

Le diamètre de sphère équivalente en volume dVest le diamètre de la
sphère qui a le même volume V que les fibres cylindriques de diamètre d et
de longueur l. On peut donc écrire :

d'où :
Pour les fibres de type 1 : dV1 = 24,7 μm
Pour les fibres de type 2 : dV2 = 49,3 μm
Pour les fibres de type 3 : dV3 = 74 μm
2)

Calculer le diamètre moyen en volume des fibres dans le mélange.

Le diamètre moyen en volume du mélange des trois types de fibres est
par définition :

où vi et mi représentent respectivement le volume total et la masse totale
des particules de type i impliquées dans le mélange.
Avec mi = 200 g pour i=1,3 on obtient :

3)

Calculer le diamètre moyen en nombre des fibres dans le mélange.

Le diamètre moyen en nombre du mélange des trois types de fibres est
par définition :

avec

où les fibres de masse volumique ρ sont représentées par leurs sphères
équivalentes en volume.
4

Il vient :

et ainsi
On remarque que le diamètre moyen en nombre est inférieur au diamètre
moyen en volume. En effet dans la moyenne en nombre, toutes les
particule ont la même influence alors que dans la moyenne en volume, les
particules les plus grosses en ont beaucoup plus (on peut se souvenir que
le volume d'une particule de 10 μm est égal au volume de 1000 particules
de 1 μm).
4)

Calculer le diamètre moyen en surface volume des fibres dans le mélange.

Le diamètre moyen en nombre du mélange des trois types de fibres est
par définition :

=

5)

=40,4m

Calculer la surface spécifique du mélange.

La surface spécifique S0 du mélange est égale à la surface totale développée par les
particules, divisée par le volume total des particules qui le constituent. Si n i est le
nombre de particules de type i dans le mélange, on peut écrire :

On peut simplifier cette expression par :
(voir définition de

ou réponse à la question précédente).

D'où S0 = 148,5.103 m2/m3.

6) Calculer la masse volumique apparente non-tassée.
La masse volumique apparente d'une poudre en vrac est égale à la masse
de poudre ramenée au volume total occupé par le produit (ici le volume
occupé dans le récipient cylindrique).
Volume = 15.10-2 x π/4 (0,1)2 = 1,178.10-3 m3
Masse = 3 x 0,2 = 0,6 kg
D'où :
5

ρapp = 509,3 kg/m3
7) Calculer la masse volumique apparente tassée.
La masse volumique apparente d'une poudre en vrac est égale à la masse
de poudre ramenée au volume total occupé par le produit (ici le volume
occupé dans le récipient cylindrique).
Volume = 10.10-2 x π/4 (0,1)2 = 7,854.10-4 m3
Masse = 3 x 0,2 = 0,6 kg
D'où :
ρapp = 763,9 kg/m3
8) Calculer le rapport Hausner.
Le rapport d'Hausner d'une poudre est défini comme le rapport des masses
volumiques du produit tassé et non tassé. Ce rapport est supérieur ou égal à 1. On
admet qu'il qualifie l'aptitude d'une poudre à s'écouler. En théorie, plus il est proche de
1 mieux la poudre s'écoule.
Le rapport d'Hausner est le rapport des masses volumiques apparentes
tassée et non tassée :
Hausner = 1,5.
La coulabilité du produit n'est sûrement pas très bonne.

EXERCICE 4 : Manipulation des diamètres équivalents
Diamètre de poussée en fonction du diamètre de Stokes et
du diamètre équivalent en volume
On souhaite calculer le diamètre équivalent en force de poussée d d à
partir du diamètre de Stokes dstk et du diamètre équivalent en volume dV. On
considérera pour cela une particule de forme quelconque en chute libre dans
un liquide.
Notations :
ρs masse volumique du solide
V volume de la particule
Fp force de poussée (traînée) exercée sur la particule
ρl masse volumique du liquide
μ viscosité du liquide

Question
6

Montrer que :

Indice

Diamètre de Stokes équivalent : la vitesse de sédimentation (aux faibles
Reynolds) est conservée.
Un bilan des forces exercées sur une particule qui sédimente à vitesse
constante permet d'exprimer sa force de poussée Fp en fonction de son
volume V. Il est alors possible de relier la vitesse u aux diamètres de sphère
équivalentes en force de poussée (d d) et en volume (dV) en exprimant Fp et
V en fonction de ceux-ci.
Par ailleurs, si la particule sédimente à sa vitesse terminale de chute en
régime laminaire, sa vitesse u peut s'écrire selon la loi de Stokes, en
fonction du diamètre de sphère équivalente en vitesse de chute libre (d stk).
Solution

Bilan des forces exercées sur une particule en chute libre à vitesse
constante : la force de traînée et la force d'Archimède sont opposées au
poids.

7

Forces exercées sur une particule en sédimentation
Forces exercées sur une particule en sédimentation

d'où : Fp = P- PA
et :Fp = (s - l)Vg
Il est par ailleurs possible d'exprimer Fp et V en fonction des diamètres de sphère
équivalentes correspondantes :
Fp = 3dd u

d'où :

Si la vitesse u est atteinte en régime laminaire, elle s'exprime par la loi de Stokes :

On montre ainsi que :

8


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