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` UN FACTEUR (ONE WAY ANOVA)
3.9. ANALYSE DE VARIANCE A

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Il est ´evident que (I − A) projette sur le s.e.v. D ⊥ de Rn orthogonal `a D. Comme D0 ⊂ D, les
s.e.v. D ⊥ et D0 sont orthogonaux, d’o`
u l’ind´ependance de
p
p X
ni
X
X
(Yij − Y¯i )2 = k(I − A)ξk2 et
ni (Y¯i − Y¯ )2 = k(A − n−1 1n 1Tn )ξk2 .
i=1 j=1

i=1

La preuve de la derni`ere assertion d´ecoule des mˆemes calculs : posons
p X
ni
X
η1 =
(Yij − Y¯i )2 = k(I − A)ξk2
i=1 j=1

et
η2 =

p
X

ni (Y¯i − Y¯ )2 = k(A − n−1 1n 1Tn )ξk2 .

i=1

Il est clair que σ −2 η1 ∼ χ2n−p et σ −2 η2 ∼ χ2p−1 . En cons´equence,
(n − p)η2
σ −2 η2 /(p − 1)
= −2
∼ F(p − 1, n − p).
(p − 1)η1
σ η1 /(n − p)
Ceci compl`ete la d´emonstration du th´eor`eme.
F =

¤

Dans ce mod`ele, les valeurs pr´edites sont

  

1n1 0n1 . . . 0n1
Y¯1
Y¯1 1n1

..
.  .   . 
yb = Xθb =  ...
. · · · ..   ..  =  ..  .
0np 0np . . . 1np
Y¯p
Y¯p 1np
Il r´esulte de cette ´egalit´e que
η1 =

p X
ni
X
(Yij − Y¯i )2 = ky − ybk2 = SSE
i=1 j=1

est la variance r´esiduelle et
η2 =

p
X

ni (Y¯i − Y¯ )2 = kb
y − Y¯ k2 = SSR

i=1

est la variance expliqu´ee par le facteur f . Comme X v´erifie l’hypoth`ese (I), on a T SS = SSR +
SSE, ce qui implique
n − p η2
n−p
SSR
F =
·
=
·
.
p − 1 η1
p − 1 T SS − SSR
Si le facteur f n’a pas d’influence significative sur Y , alors les moyennes Y¯i , i = 1, . . . , p, sont
proches de la moyenne globale Y¯ . Par cons´equent, si H0 est vraie, la variance expliqu´ee SSR est
petite, ce qui traduit le fait que f explique mal la variable Y . Par cons´equent, il est naturel de
d´efinir la r´egion critique du test de la mani`ere suivante :
R = {y : F > c}
o`
u la constante c doit ˆetre choisie en sorte que ce test soit de niveau α. Soit Θ0 = {θ ∈ Rp : θ1 =
. . . = θp }. Pour que ce test soit de niveau α, il faut que supθ∈Θ0 Pθ (R) ≤ α. Or, il d´ecoule de
l’assertion (4) du Th´eor`eme 3.5 que, pour tout θ ∈ Θ0 ,
Pθ (R) = 1 − Pθ (F ≤ c) = 1 − FF (p−1,n−p) (c).
En cons´equence, ce test est de niveau α, si c ≥ q1−α (p − 1, n − p) o`
u q1−α (p − 1, n − p) d´esigne le
quantile d’ordre 1 − α de la loi de Fisher F(p − 1, n − p). Parmi toutes ces valeurs de c, celle qui
fournit le test le plus puissant est c = q1−α (p − 1, n − p). C’est pourquoi le test ANOVA est d´efini
comme suit :



on rejette l’hypoth`ese H0 si F > q1−α (p − 1, n − p),
on accepte l’hypoth`ese H0 , si F ≤ q1−α (p − 1, n − p).