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Semaine d’interrogation no 11
du mardi 03 au samedi 07 janvier 2012

MPSI 1





Polynˆ
omes.


1. Construction de l’alg`ebre K[X] des polynˆomes a` une ind´etermin´ee.
– Un polynˆome a` coefficients dans K est une suite d’´el´ements appartenant a` K tous
nuls a` partir d’un certain rang.
– D´efinition d’une addition dans l’ensemble des polynˆomes a` coefficients dans K :
P = (ak ) , Q = (bk ) ´etant deux polynˆomes a` coefficients dans K, nous d´efinissons
la suite not´ee P + Q = (ck ) par :
∀k ∈ N , ck = ak + bk .
Et P + Q est un polynˆome `a coefficients dans K.
Plus pr´ecis´ement, il existe M ∈ N tel que : ∀k > M , ak = 0 et il existe N ∈ N tel
que : ∀k > N , bk = 0,
et alors : ∀k > max{M, N} , ck = 0 .
L’addition est une LCI sur l’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans K,
commutative et associative,
admet un ´el´ement neutre a` savoir la suite nulle,
et tout polynˆome P = (ak ) a` coefficients dans K admet un oppos´e dans l’ensemble
des polynˆomes a` coefficients dans K a` savoir le polynˆome Q = (bk ) d´efini par :
∀k ∈ N , bk = −ak et not´e −P .
L’ensemble des polynˆomes a` coefficients dans K muni de l’addition d´efinie ci-dessus
est un groupe commutatif.
– D´efinition d’une multiplication dans l’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans
K : P = (ak ) , Q = (bk ) ´etant deux polynˆomes a` coefficients dans K, nous d´efinissons
la suite not´ee P × Q = (dk ) par :
∀k ∈ N , dk =

k
X

ai × bk−i =

i=0

k
X

ak−i × bi .

i=0

Et P × Q est un polynˆome a` coefficients dans K.
Plus pr´ecis´ement, il existe M ∈ N tel que : ∀k > M , ak = 0 et il existe N ∈ N tel
que : ∀k > N , bk = 0,
et alors : ∀k > M + N , dk = 0 .
La multiplication est une LCI sur l’ensemble des polynˆomes a` coefficients dans K,
commutative et associative,
admet un ´el´ement neutre a` savoir la suite (1, 0, 0, . . .),
et la multiplication est distributive par rapport a` l’addition dans l’ensemble des
polynˆomes a` coefficients dans K.
L’ensemble des polynˆomes a` coefficients dans K muni de l’addition et de la multiplication d´efinies ci-dessus est un anneau commutatif.
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Semaine d’interrogation no 11
du mardi 03 au samedi 07 janvier 2012

MPSI 1

– D´efinition d’un produit externe dans l’ensemble des polynˆomes a` coefficients dans
K:
P = (ak ) ´etant un polynˆome a` coefficients dans K, λ appartenant a` K, nous d´efinissons la suite not´ee λ · P = (ek ) par :
∀k ∈ N , ek = λak .
Et λ · P est un polynˆome a` coefficients dans K.
Plus pr´ecis´ement, il existe M ∈ N tel que : ∀k > M , ak = 0,
et alors : ∀k > M , ek = 0 .
L’ensemble des polynˆomes a` coefficients dans K muni de l’addition, de la multiplication et du produit externe d´efinis ci-dessus est une alg`ebre commutative.
– Notation de l’ind´etermin´ee : X = (0, 1, 0, . . .) ,
X
puis notation d´efinitive du polynˆome P = (ak ) sous la forme : P =
ak Xk ,
k∈N

et de l’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans K : K[X] .
– Calculs dans K[X] ( comme par exemple X
la formule du binˆ
ome ).
X
k
bk Xk appartenant `a
ak X et Q =
– Unicit´e de l’´ecriture polynˆomiale : P =
k∈N

k∈N

K[X], alors :
P = Q ⇔ ∀k ∈ N , ak = bk .
2. Degr´e d’un polynˆome et ses cons´equences.
X
ak Xk ´etant un polynˆome non nul de K[X], le degr´e de P est le plus grand
– P=
k∈N

entier naturel n tel que an 6= 0 , an est appel´e le coefficient dominant de P et se
note cd(P) .
Par convention, le degr´e du polynˆome nul est −∞.
Le degr´e d’un polynˆome P se note deg(P) .
P ´etant un polynˆome non nul de K[X], P est de degr´e n et de coefficient dominant
a si et seulement s’il existe un polynˆome Q appartenant a` K[X] de degr´e inf´erieur
ou ´egal `a n − 1 tel que :
a 6= 0 et P = aXn + Q.
– deg(P + Q) 6 max{deg(P) , deg(Q)},
et dans le cas particulier o`
u deg(P) > deg(Q) :
deg(P + Q) = deg(P) , cd(P + Q) = cd(P) .
deg(P × Q) = deg(P) + deg(Q) ,
et das le cas o`
u P et Q sont diff´erents du polynˆome nul : cd(P×Q) = cd(P)×cd(Q).
deg(λ · P) 6 deg(P) ,
et das le cas o`
u λ est non nul : deg(λ · P) = deg(P) , cd(λ · P) = λ · cd(P) .
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Semaine d’interrogation no 11
du mardi 03 au samedi 07 janvier 2012

MPSI 1

– Cons´equences importantes :
– Les polynˆomes inversibles sont les polynˆomes de degr´e 0.
– L’anneau (K[X], +, ×) est int`egre,
autrement dit, P et Q appartenant `a K[X] : P × Q = 0 ⇔ P = 0 ou Q = 0 .
– L’ensemble des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal a` n ( n ∈ N ) not´e Kn [X]
est stable par combinaison lin´eaire.
3. Polynˆome d´eriv´e.
X
– P=
ak Xk appartenant a` K[X], la suite Q = (bk ) d´efinie par :
k∈N

∀k ∈ N∗ , bk−1 = kak ou ∀k ∈ N , bk = (k + 1)ak+1
appartient `a K[X],
Q est appel´e le polynˆome d´eriv´ee de P et se note P0 .
– P ´etant un polynˆome de degr´e sup´erieur ou ´egal a` 1 : deg(P0 ) = deg(P) − 1,
et P ´etant un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal a` 0 : P0 = 0 .
Plus g´en´eralement : deg(P0 ) 6 deg(P) − 1 .
– (λP + Q)0 = λP0 + Q0 , (P × Q)0 = P0 × Q + P × Q0 ,
n
X
0
P1 × P2 × . . . × Pk−1 × P0k × . . . × Pk−1 . . . × Pn .
et : (P1 × P2 × . . . × Pn ) =
k=1

P et Q appartenant a` K[X] : P0 = Q0 ⇔ ∃α ∈ K , P = Q + α .
– D´eriv´ee n`eme d’un polynˆome : d´efinition r´ecursive, notation P(n) .
P ´etant un polynˆome de degr´e n : ∀k ∈ J0, nK , deg(P(k) ) = deg(P) − k,
et : ∀k ∈ N , k > n ⇒ P(k) = 0 .
Plus g´en´eralement : deg(P(k) ) 6 deg(P) − k .
n
X
n (k) (n−k)
(n)
(n)
(n)
(n)
– (λP + Q) = λP + Q , (P × Q) =
P Q
.
k
k=0
4. Polynˆome compos´e.
– D´efinition.
X
X
P=
ak Xk , Q appartenant a` K[X], par d´efinition : P ◦ Q =
ak Qk .
k∈N

k∈N

Introduction de la notation P(X) .
– Dans le cas o`
u P et Q sont de degr´e sup´erieur ou ´egal `a 1 :
deg(P ◦ Q) = deg(P) × deg(Q) .
– D´eriv´ee du polynˆome compos´e : (P ◦ Q)0 = Q0 × P0 ◦ Q .
5. Divisibilit´e dans K[X].
– D´efinition : B|A ⇔ ∃ Q ∈ K[X]/A = BQ .
A ´etant un polynˆome non nul de K[X], B un diviseur de A : deg(B) 6 deg(A) .
– Propri´et´es usuelles ( identiques a` celles vues dans Z ).

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Semaine d’interrogation no 11
du mardi 03 au samedi 07 janvier 2012

MPSI 1

– Polynomes associ´es : A et B sont dits associ´es si et seulement si : A|B et B|A .
Deux polynˆomes associ´es sont de mˆeme degr´e, la r´eciproque est fausse.
Deux polynˆomes A et B sont associ´es si et seulement si il existe λ ∈ K∗ tel que :
B = λA .
Deux polynˆomes unitaires et associ´es sont ´egaux.
– Division euclidienne dans K[X] : A et B appartenant a` K[X], B ´etant distinct du
polynˆome nul, il existe un unique couple (Q, R) tel que :
(
A = BQ + R
.
deg(R) < deg(B)
B divise A si et seulement si le reste de la division euclidienne de A par B est nul.
6. Fonction polynˆome.
X
– P=
ak Xk appartenant a` K[X], nous assosions a` P la fonction polynˆomiale not´ee


k∈N

P : K → K d´efinie par :


∀x ∈ K , P(x) =

X

ak x k .

k∈N




P appartenant a` R[X] : P(a) = P(a) .
– Calcul de la valeur de la fonction polynˆomiale en un point selon diff´erents algorithmes, en particulier l’algorithme de H¨orner.
– Fonction polynˆome associ´ee a` λP + Q et `a P × Q.


– Le reste de la division euclidienne de P par X − a est P(a) .


Par cons´equent, X − a|P si et seulement si P(a) = 0,
et cas particulier o`
u P appartient `a R[X] : X − a|P ⇔ X − a|P .
a et b appartenant a` (
K distincts :


X − a|P
(X − a)(X − b)|P ⇔
⇔ P(a) = P(b) = 0 , g´en´eralisation a` n facteurs,
X − b|P
et cas particulier o`
u P appartient `a R[X] et a a` C − R :


X2 − 2Re(a)X + |a|2 |P ⇔ P(a) = 0 .
Factorisation d’un polynˆome P de degr´e n, de coefficient dominant a dont la fonction polynˆome s’annule en n valeurs deux `a deux distinctes α1 , . . . , αn :
P = a(X − α1 )(X − α2 ) . . . (X − αn ) .
a et b appartenant a` K(distincts, i et j appartenant a` N :
(X − a)i |P
(X − a)i (X − b)j |P ⇔
, g´en´eralisation `a n facteurs.
(X − b)j |P
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Semaine d’interrogation no 11
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MPSI 1

7. Racine ( ou z´ero ) d’un polynˆome.


– Par d´efinition, a est racine de P si et seulement si P(a) = 0 .
Et par propri´et´e, a est racine de P si et seulement si X − a|P .
– Un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n admettant au moins n + 1 racines deux
a` deux distinctes est le polynˆome nul.
Par cons´equent, un polynˆome non nul de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n admet au plus
n racines deux a` deux distinctes.
Un polynˆome admettant une infinit´e de racines est le polynˆome nul.
– Deux polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n dont les fonctions polynˆomes associ´ees prennent la mˆeme valeur en n + 1 points deux a` deux distincts sont ´egaux.
Deux polynˆomes dont les fonctions polynˆomes associ´ees prennent la mˆeme valeur
en une infinit´e de points deux `a deux distincts sont ´egaux.




– Et : P = Q ⇔ P = Q , par cons´equent, nous pouvons « confondre » le polynˆome


P et la fonction polynˆome P ...
8. Formule de Taylor dans K[X] et ses cons´equences.



– D´emonstration par r´ecurrence sur le degr´e du polynˆome : P =

X P(k) (a)
k∈N

k!

(X − a)k .

– Expression du reste de la division euclidienne par (X − a)k .
n
X

λk (X − a)k = 0 ⇔ ∀k ∈ J0, nK , λk = 0 .
k=0

Par cons´equent : (X − a)k |P ⇔ P(a) = P0 (a) = . . . = P(k−1) (a) = 0 ,
Dans le cas particulier o`
u P appartenant a` R[X] : (X − a)k |P ⇔ (X − a)k |P .
a et b ´etant distincts :
(
P(a) = P0 (a) = . . . = P(k−1) (a) = 0
(X − a)k (X − b)l |P ⇔
,
P(b) = P0 (b) = . . . = P(l−1) (b) = 0
Dans le cas particulier o`
u P appartenant a` R[X] et a a` C − R :
(X2 − 2Re(a)X + |a|2 )k |P ⇔ P(a) = P0 (a) = . . . = P(k−1) (a) = 0
9. Racine multiple d’un polynˆome.
– D´efinition : (X − a)k divise P et (X − a)k+1 ne divise pas P .
(
P = (X − a)k Q
a est racine multiple d’ordre k de P si et seulement si : ∃ Q ∈ K[X] ,
Q(a) 6= 0
– Caract´erisation a` l’aide des polynˆomes d´eriv´es :
a est racine multiple d’ordre k de P si et seulement si :
(
P(a) = P0 (a) = . . . = P(k−1) (a) = 0
P(k) (a) 6= 0
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.

.

Semaine d’interrogation no 11
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MPSI 1

– Un polynˆome non nul de degr´e inf´erieur ou ´egal a` n admet au plus n racines, chaque
racine ´etant compt´ee avec son ordre de multiplit´e.
Cas particulier o`
u la somme des ordres de multiplicit´e est ´egale au degr´e, factorir
Y
sation du polynˆome : P = a (X − αi )ki .
i=1

10. Factorisation d’un polynˆome dans C[X] ou dans R[X] .
– Tout polynˆome de C[X] de degr´e sup´erieur ou ´egal `a 1 admet au moins une racine
( admis ).
– Par cons´equent, factorisation d’un polynˆome de C[X] de degr´e sup´erieur ou ´egal a`
1, en un produit de polynˆomes de degr´e 1 :
P=a

r
Y
(X − αi )ki ,
i=1

o`
u : a = cd(P) , α1 , . . . , αr sont les racines deux a` deux distinctes de P, k1 , . . . , kr
r
X
leur ordre de multiplcit´e respectif avec :
ki = deg(P) ,
i=1

factorisation unique `a l’ordre des facteurs pr`es.
– En regroupant les racines conjugu´ees, factorisation d’un polynˆome de R[X] de degr´e
sup´erieur ou ´egal a` 1, en un produit de polynˆomes de degr´e 1 et/ou de degr´e 2 `a
discriminant strictement n´egatif :
r
s
Y
Y
ki
P = a (X − αi )
(X2 − sj X + pj )lj ,
i=1

j=1

o`
u : a = cd(P) , α1 , . . . , αr sont les racines r´eelles deux a` deux distinctes de P,
r
s
X
X
k1 , . . . , kr leur ordre de multiplcit´e respectif avec :
ki + 2 ∗
lj = deg(P) ,
i=1

j=1

factorisation unique `a l’ordre des facteurs pr`es.
11. Relations coefficients-racines d’un polynˆome scind´e.
– D´efinition d’un polynˆome scind´e : P est dit scind´e sur K si et seulement si P s’´ecrit :
r
Y
P = a (X − αi )ki , α1 , ... , αr ´etant deux a` deux distincts,
i=1

ou aussi : P = a

n
Y

(X − αi ) o`
u α1 , ... , αn n’´etant pas n´ecessairement deux `a deux

i=1

distincts.
Tout polynˆome de C[X] est scind´e sur C .
– Relations
X coefficients -racines d’un polynˆome scind´e.
P=
ak Xk ´etant de degr´e n > 1 et scind´e sur K,
k∈N

il s’´ecrit : P = an (X − α1 )(X − α2 ) . . . (X − αn ) .
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Semaine d’interrogation no 11
du mardi 03 au samedi 07 janvier 2012

MPSI 1

Et pour tout k appartenant a` J1, nK, notons : σk =
Alors par « d´eveloppement » : ∀k ∈ J1, nK , σk =

P

α1 α2 . . . αk .

(−1)k an−k
,
an

et ainsi : P = an (Xn − σ1 Xn−1 + σ2 Xn−2 + . . . + (−1)n σn ) .

Prochain programme : Limites et continuit´e.

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