integral .pdf


Nom original: integral.pdf

Ce document au format PDF 1.4 a été généré par TeX / pdfeTeX-1.30.4, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 29/12/2011 à 19:18, depuis l'adresse IP 41.225.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 1287 fois.
Taille du document: 153 Ko (4 pages).
Confidentialité: fichier public


Aperçu du document


Int´egration et calcul de primitives
C. Ducourant
September 13, 2007

1

Int´
egrale d’une fonction continue

•D´efinition :
Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle [a,b].
Rb
Le r´eel not´e a f (x)dx est appell´e int´egrale de a `a b de f .
•Signe de l’int´egrale :
Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I contenant les reels a et b tels que a≤b.
Rb
- Si f est positive sur [a,b], ⇒ a f (x)dx ≥ 0
Rb
- Si f est n´egative sur [a,b], ⇒ a f (x)dx ≤ 0
•Int´egrale et Aire :
Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle [a,b] et soit (Cf ) sa courbe repr´esentative.
Soit (D), l’aire comprise entre l’axe des abscisses, la courbe (Cf ) et les droites d’´equation x=a et
x=b.
• Si f est toujours positive sur [a,b] :

Rb
a

f (x)dx = aire(D) (unit´es d’aire)

Rb
• Si f est toujours n´egative sur [a,b] : a f (x)dx = −aire(D)
Rb
• Si f a un signe variable sur [a,b] : a f (x)dx = aire(D1) − aire(D2) + aire(D3)

1

2

Propri´
etes des int´
egrale

•Relation de chasle :
Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I. Pour tout r´eel a, b, et c de I :
Rb
Rc
Rc
a f (x)dx + b f (x)dx = a f (x)dx
•Lin´earit´e de l’int´egrale :
Soient f et g deux fonctions d´efinies et continues sur un intervalle I contenant a et b. Pour tous
r´eels α et β on a :
Rb
Rc
Rc
a [αf (x) + βg(x)]dx = α a f (x)dx + β a f (x)dx

3

Int´
egrales et Primitives

•D´efinition d’une primitive :
Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute
application F d´erivable sur I telle que f soit l’application d´eriv´ee de F sur I.
0

F est primitive de f sur I ⇔ ∀x ∈ I, F (x) = f (x)
Par exemple:
F : x → x3 est une primitive de f : x → 3x2 surR
Mais
G : x → x3 − 12 est aussi une primitive de f.
R
⇒ on dit que F est une primitive de f sur R On note l’ensemble des primitives de la fonction f : f (x)dx
R
f (x)dx = F (x) + C
En
R particulier : 1
(ax + b)dx = a F (ax + b) + C
•Calcul d’une int´egrale `a l’aide d’une primitive :
Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I. Soient deux
r´eels a et b de I, alors:
Rb
b
a f (x)dx = [F (x)]a = F (b) − F (a)
•Primitives
classiques:
R
P
(x)
=
Q
es du polynome Pn (x)
n+1 (x) + C, n est le degr´
R n
ax
ax
+C
R Pn (x)e = Qn (x)e kx
[Asin(x) + Bcos(x)]e dx = [Dsin(x) + Ecos(x)]ekx + C

2

4


ethodes de calcul d’une int´
egrale

•Int´egration par partie :
0
0
Soient u et v deux fonctions d´erivables sur un intervalle I telles que leurs d´eriv´ees u et v soient
continues sur I.
Pour tout r´eel a et b de I :
Rb
a

0

u (x)v(x)dx = [u(x)v(x)]ba −

Rb
a

0

u(x)v (x)dx

Par
:
R b nexemple
Rb
kx
x e dx = [ k1 ekx xn ]ba − k1 a nxn−1 ekx ...etc...
a
Rb
1
kx
kx b
a sin(x)e dx = 1+k2 [(ksinx − cosx)e ]a
•D´ecomposition en ´elements simples :
R
x5
D
C
+ (x+1)
+
= Pn (x) + (x−3)
(x−3)(x+1)2

E
(x+1)2

avec n =diff´erence de degr´es entre num´erateur et d´enominateur, ici n=2. Si n´egatif alors pas
de polynome.
Exemple :

5

Rb

1
a (x−a)(x−b)

=

1
a−b

R

1
( x−a


1
x−b )dx

Int´
egrales g´
en´
eralis´
ees

Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle ouvert I, in´egrable sur tout segment contenu
dans I. On peut calculer l’int´egrale de f sur des segments de plus en plus grands , contenus dans
I, dont les bornes se rapprochent de celles de I. Quand l’int´egrale a une limite on dit qu’elle est
convergente, sinon on la dit divergente.
Par exemple :
R∞
RB
lim
a f (x)dx =B→∞ a f (x)dx
Ainsi
pour k > 0 :
R ∞ −kx
e
dx = k1
0

3

6

Tableau des d´
eriv´
ees usuelles
Figure 1: De Y. Villessuzanne - Bordeaux

4


Aperçu du document integral.pdf - page 1/4

Aperçu du document integral.pdf - page 2/4

Aperçu du document integral.pdf - page 3/4

Aperçu du document integral.pdf - page 4/4




Télécharger le fichier (PDF)


integral.pdf (PDF, 153 Ko)

Télécharger
Formats alternatifs: ZIP



Documents similaires


integral
cours et exercice sur les integrales
integration sur un segment primitives
cours int grales
integrales doubles ou triples
c3 gbm dl 2015

Sur le même sujet..