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Partiel janvier 2011

Réponses Vrai ou Faux
Exercice 1

1) Un projecteur p est un endormorphisme vérifiant
p ◦ p = p.

Autrement dit on a
p2 − p = 0L(E) .
Le polynome P = X 2 − X est donc un polynôme annulateur de l’endormophisme p. Or on
a P = X(X − 1) les racines de ce polynôme sont donc 0 et 1. Les seules valeurs propres
possibles sont donc 0 et 1. Réponse : FAUX

(rappel : les valeurs propres sont les racines du polynôme minimal . Le polynôme minimal
divise tout polynôme annulateur donc ici il divise X(X − 1) 3 cas possible X ou X − 1 ou
X(X − 1))

2) On sait d’après le cours que
det(f k ) = det(f )k .
(le déterminant transforme la composition des endormophismes en la multiplication des
nombres réels (c’est un morphisme))
0 est valeur propre de f 3

⇔ ker(f 3 − 0 · id) 6= {0}
⇔ ker(f 3 ) 6= {0}
⇔ det(f 3 ) = 0
⇔ det(f )3 = 0
⇔ det(f ) = 0


0 est valeur propre de f

Réponse : Vrai.
(Rappel : λ est une valeur propre pour un endormorphisme f si ker(f − λ · id) 6= {0} )

1


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