Oscillations .pdf



Nom original: Oscillations.pdfTitre: marissa10Auteur: Chambard Nicolas

Ce document au format PDF 1.4 a été généré par Latex HyperRef sur chaine dvips + ps2pdf / ps2pdf, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 30/12/2011 à 11:32, depuis l'adresse IP 82.251.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 1266 fois.
Taille du document: 77 Ko (6 pages).
Confidentialité: fichier public


Aperçu du document


Pendule amortis
Boltzmann Solver
Ce document a ´et´e compil´e le 19 octobre 2009 `a 19:13

Chapitre

1

Sujet
Soit un mobile M de masse m, suspendu par un fil de longueur l. Ce mobile est soumis `a la pesanteur et `a une force

−→

de frottement fluide de type stokes (FF l = −α · −
v avec α > 0). Soit l’angle θ, orient´e positivement dans sa position
initiale. On cherche `
a ´etablir l’´equation du mouvement dans le cas de faibles d´eplacements.

θ


T
−−



eθ FF l
Py

M
b



er
Px
b



P

2

Chapitre

2

Correction
2.1

´
Etablissement
de l’´
equation diff´
erentielle r´
egissant le mouvement

On se place dans un rep`ere cylindrico-polaire d’origine au point d’angrage du pendule, de vecteur radiale collin´eaire
au fil et dans le sens de la chute et le vecteur angulaire est pris de tel mani`ere que le rep`ere soit direct.
On suppose que pour les temps de l’exp´erience, le r´ef´erentiel est Gall´een.
Notre syst`eme est sujet `
a trois forces :



Le poids : m−
g = g cos(θ) · −
er − g sin(θ) · −
eθ .




La tention du fil : T = −T · er .
−−


Le frotttement fluide de Stokes : F = −α · −
v.
Fl

Dans ces conditions, on peut appliquer le principe fondamontale de la dynamque :
X−


Fi = m−
a
i



mg ·


→ −
→ −
−→

P + T + FF l = m−
a

1
cos(θ)


− α·−
v = m−
a
− T ·
0
− sin(θ)

Dans ces coordonn´ees, on sait (ou d´emontrer quand on ne le sait pas) :



d2 r




dt2
a =
d2 θ

r· 2
dt



dr




dt
v =
r · dθ

dt

Or r = l = Cste, donc :



0



v =


dt
On obtient finalement l’´equation diff´erentielle suivante :


cos(θ)
mg ·
−T
− sin(θ)


1
·
− α·
0

3




dt
dr dθ
+ 2
dt dt
− r·


2

−l · dθ



dt
a =
d2 θ

l· 2

dt



0

dθ = m ·


dt


2

−l · dθ

dt


2
d
θ

l· 2

dt

2

C HAPITRE 2 : Correction

Ici, on obtient deux expressions. Dans la premi`ere composante, on a la tention du fil qui est inconnu. Donc iniexploitatable de mani`ere isol´ee. Et la seconde composante nous donne l’´equation diff´erentielle du mouvement sans
inconnue. Donc avec la deixi`eme composante, on trouve θ(t), et avec la premi`ere, on trouve T (t). Mais on ne nous la
demande pas, donc, on peut l’ignorer.
On obtient donc :

−mg sin(θ) − αl
⇐⇒

d2 θ

= ml 2
dt
dt

d2 θ
αl dθ g
+
+ · sin(θ) = 0
dt2
ml dt
l

Or, on se place dans l’approximation des petits angles, donc sin(θ) ∼ θ. Cette ´equation devient alors :
α dθ g
d2 θ
+
+ ·θ = 0
dt2
m dt
l

(2.1)

Par identification, on trouve les valeurs de ω0 et τ .

2m
τ=
α

ω0 =

r

g
l

(les constantes sont toutes positives)

Le terme τ provient du frottements fluide dans l’expression du PDF. Donc la constante de temps τ donne un ordre
de grandeur du temps que met le syst`eme `
a s’ammortir. Pour t’en convaincre, calcules la limite quand τ → +∞.
Et tu retombes sur une ED de terminal form´ee d’un cosinus d´ephas´e qui donne un syst`eme sans ammortissement.
Conclusion, tau est la mesure de la capacit´e du fluide (ici l’air) a frein´e le mobile.

2.2

Question n◦2

Soit (2.2), l’´equation caract`eristique de l’´equation diff´erentielle (2.1).

r2 +

2
r + ω02 = 0
τ

(2.2)

4
− 4ω02. Et le r´egime sera pseudo p´eriodique si le discriminant est strictement inf´erieur
τ2
a z´ero. Donc pour ˆetre en r´egime pseudo p´eriodique, il faut que : (τ ω0 )2 > 1 ⇔ τ ω0 > 1 (par positivit´e des constantes.).
`
Pour continuer, il nous faut r´esoudre l’´equation diff´erentielle. On se place en r´egime pseudo-p´eriodique, donc les
solutions de (2.2) sont :
Son discriminant vaut ∆ =

x1,2


1

=− ±
τ
2

(2.3)

Donc la solution de cette ´equation diff´erentielle est :




t
θ(t) = exp −
A cos
∆·t + φ
τ


∆ et la pseudo-p´eriode T vaut √ .

Le d´ecrement logarithmique est d´efini par :

Donc, la pseudo pulsation vaut

Master 2 PCFA

(2.4)

2.3 Question n◦ 3

ln

2.2.1



θ(t)
θ(t + T )







∆·t + φ
exp − τt A cos


= ln 

A
cos
exp − t+T

·
(t
+
T
)
+
φ
τ





∆·t + φ
exp − τt A cos


= ln 


exp − Tτ exp − τt A cos
∆ · (t) + φ


T
= ln exp
τ
T
=
τ


(2.5)

(2.6)

(2.7)
(2.8)

Bonus : R´
esolution compl`
ere de l’ED

On remarque sur la courbe que θ(0) est un maximum avec une pente quasi nulle. Conclusion, le mobile part sans
vitesse initial. De plus, on voit sur le sch´ema que θ0 = 10◦ . On a bien nos deux conditions aux limites pour d´eterminer
A et φ.

θ(0) = 10
S = dθ
 (0) = 0
dt




θ(0) = exp − τ0 A cos
∆ · 0 + φ = 10◦




= dθ
 (0) = − 1 exp − 0 A cos √∆ · 0 + φ − √∆ exp − 0 A sin √∆ · 0 + φ = 0
τ
τ
dt
τ

10

A =
cos(φ)
=
1

tan(φ) = − √
(2.9)
τ ∆

10

A =
cos(φ)

=
1

φ = − arctan

τ ∆

10





A=


1


cos − arctan
=
τ ∆




1



φ = − arctan
τ ∆
Donc :





1
10 · cos


∆ · t − arctan
t
τ ∆



θ(t) = exp −
1
τ

cos − arctan
τ ∆

2.3

(2.10)

Question n◦3

Le d´ecrement logarithmique est obtenue `
a l’aide des points B et C.

δ = ln



8.95
8.02



= 0, 110

(2.11)

La pseudo p´eriode se calcule `
a l’aide des points A et D ou B et C. On prendra A et D car, d’une part on a plus
de p´eriode, donc une meilleur pr´ecision sur la mesure. Et ensuite, ces points sont situ´es `a l’intersection d’axe, se qui

Master 2 PCFA

C HAPITRE 2 : Correction

consitue aussi bien d’un point de vue pratique que num´erique, la zone ou la pr´ecision de la mesure est la meilleure
(DL lin´eaire en ce point).

T =

8.25 − 0.53
= 1, 10 s
7

(2.12)

Finalement, on a la mˆeme valeur qu’avec B et C.
D’apr`es la question 2.2 :
T
1.10
=
= 10, 0 s
δ
0.110

(2.13)

2 ∗ 0.470
2m
=
= 9, 40.10−2 N.m−1 .s
τ
10.0

(2.14)

τ=
D’ap`es la question 2.1 :

α=

2.4

NB

J’ai ´ecris une petite animation que je publierai demain si cela t’interesse.

Master 2 PCFA


Aperçu du document Oscillations.pdf - page 1/6

Aperçu du document Oscillations.pdf - page 2/6

Aperçu du document Oscillations.pdf - page 3/6

Aperçu du document Oscillations.pdf - page 4/6

Aperçu du document Oscillations.pdf - page 5/6

Aperçu du document Oscillations.pdf - page 6/6




Télécharger le fichier (PDF)


Oscillations.pdf (PDF, 77 Ko)

Télécharger
Formats alternatifs: ZIP Texte



Documents similaires


oscillations
fichier pdf sans nom
maths
pc physique mines 1 2008 enonce
td2
2p010 cours analyse vectorielle

Sur le même sujet..




🚀  Page générée en 0.009s