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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Exercice 1

Résoudre sur R les équations différentielles suivantes :
(a) y 0 − xy = x ;
(b) y 0 + 2y = 4ex + sin x + cos x.

Exercice 2

1. Résoudre les équations différentielles suivantes sur des intervalles que l’on précisera.
Recoller les solutions aux points critiques.
(a) y 0 cos x + y sin x = cos x + x sin x ;
(b) x2 y 0 − y = (x2 − 1)ex ;
(c) xy 0 − 2y = x3 ;
(d) xy 0 + y = Arc tan x ;
(e) y 0 cos2 x − y = etan x .
2. Y a-t-il unicité d’une solution vérifiant une
condition initiale y(x0 ) = y0 ? Discuter en
fonction des valeurs de x0 et y0 si besoin.

Exercice 3

Résoudre sur R les équations différentielles suivantes :
(a) y 00 + y = ex ;
(b) y 00 − 5y 0 + 6y = (2x2 − 4x + 1)ex ;
(c) y 00 − 4y 0 + 4y = 7 sin x − cos x ;

(d) y 00 − 3y 0 + 2y = x ex + e−2x .

Exercice 4

Résoudre sur R les équations différentielles suivantes avec les conditions initiales données :
(a) y 00 + 9y = x2 + 1 avec y(0) = 0 et y 0 (0) = 0 ;
(b) y 00 −3y 0 +2y = xex avec y(1) = 0 et y 0 (1) = 0 ;
x
(c) 4y 00 + 4y 0 + y = e− 2 avec y(0) = 1 et
0
y (0) = 0 ;
π
(d) y 00 − 2y 0 + 2y = ex sin x avec y
= 0
2
π
et y 0
= 0.
2

Exercice 5

Résoudre sur R l’équation différentielle
y 00 − 2ay 0 + y = ex

Exercices VII

en discutant suivant les valeurs du réel a si nécessaire.

Exercice 6

Exercice 7

Résoudre le problème de Cauchy suivant :

0

(x + 1)y (x) − xy(x) + 1 = 0,
(E) y(0) = 2,


x ∈] − 1 ; +∞[.

Exercice 8

1. On considère une particule de masse m. On
note x(t) la position de la particule à l’instant t. L’équation du mouvement de cette
particule s’écrit
m

d2 x
= −kx
dt2

(1)

où k est une constanter
réelle strictement pok
sitive et on pose ω0 =
.
m
(a) Soient x0 et y0 deux réels donnés.
Résoudre l’équation différentielle (1)
avec les conditions initiales x(0) = x0
et x0 (0) = y0 . Tracer l’allure d’une solution avec x0 > 0 et y0 = 0.
(b) Soit T un réel non nul et x0 , xT deux
réels. Suivant les paramètres T et xT ,
donner, lorsqu’il n’est pas vide, l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (1) avec les conditions initiales
x(0) = x0 et x(T ) = xT .
2. On considère maintenant que l’équation du
mouvement de cette particule est
m

dx
d2 x
= −kx − c
dt2
dt

(2)

où c est une constante réelle strictement poc
sitive et on pose p =
.
2m
(a) Déterminer les solutions de l’équation
différentielle (2). Trois cas sont à distinguer.
(b) Dans chacun de ces cas tracer l’allure des solutions vérifiant x(0) = x0
et x0 (0) = 0 où x0 est un réel strictement positif.
3. L’équation du mouvement de cette particule
est désormais
m

d2 x
dx
+ λm2 eiωt
= −kx − c
dt2
dt

(3)

où λ et ω sont des constantes réelles strictement positives.

1. Résoudre sur ]0 ; +∞[ l’équation différentielle :
x2 y 0 + y = x2 .

(a) Déterminer une solution de (3) de la
forme aeiωt où a est une constante complexe.

On fera apparaître une intégrale que l’on ne
cherchera pas à calculer.
2. Déterminer une solution prolongeable par
continuité en 0.

(b) On note A et ϕ le module et l’argument
de a. Montrer que A dépend de ω0 et que
si ω0 = ω alors A possède un maximum
et déterminer ϕ dans ce cas.


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