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Gestion de la Maintenance

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Reprenons l’exemple précédent, mais supposons que nous fassions des mesures au micron. Il est
clair que les résultats possibles deviennent très nombreux, et la probabilité de chacun d’eux tend à devenir
très faible, puisque la probabilité 1 se partage entre un plus grand nombre de résultats. La représentation
graphique est composée de rectangles de très faible largeur (figure 7.3). On conçoit alors bien qu’on puisse
utiliser la formulation d’une loi de probabilité continue comme une bonne approximation dans le cas où les
résultats seraient très nombreux. C’est ce que l’on obtient en faisant tendre la largeur des rectangles vers 0.
En sûreté de fonctionnement, on travaillera sur des V.A. continues, et donc sur des lois de probabilité
continues.

n

x
Figure 3 – Cas d’un très grand nombre de résultats
2.4 – Fonction de répartition
Jusqu’à présent, on a considéré uniquement que des résultats du type X = x i . Les xi étant dans
l’ordre croissant, il est souvent intéressant de considérer un résultat du type X ≤ x i . Par exemple, on peut
chercher à calculer la probabilité pour que 80% des équipements soient toujours en vie après 3000 heures
de fonctionnement.

{

La probabilité du résultat X ≤ x i s’obtient en cumulant les probabilités Pr X = x k

{

} ∑p

Pr X ≤ x i =

} avec k ≤ i, soit

i

k =1

k

. A toute valeur xi que l’on se fixe, correspond une certaine probabilité cumulée, qui est

donc une fonction des valeurs prises par la valeur aléatoire. Cette fonction est appelée fonction de
répartition F(xi), et on écrit : F( x i ) = Pr X ≤ x i

{

}

F
1

0

x1

x
x2

xk

Figure 4 – Fonction de répartition

Comme toutes les probabilités pi sont comprises entre 0 et 1 et que leur somme vaut 1, F(xi) est
monotone croissante entre 0 et 1.
Une application intéressante de la fonction de répartition consiste à chercher la probabilité pour
qu’un évènement se produise entre xk et xk+1 : on voit que cette probabilité vaut F( x k +1 ) − F( x k ) .

2.5 – Densité de probabilité