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Th´
eorie du choix social et
aide multicrit`
ere `
a la d´
ecision
D. Bouyssou 1
CNRS – LAMSADE

Th. Marchant 2
Universiteit Gent

P. Perny 3
LIP6

mai 2002 – r´evision 10 octobre 2003

1 LAMSADE,

Universit´e Paris Dauphine, Place du Mar´echal de Lattre de Tassigny, F-75775 Paris Cedex 16, France, tel : +33 1 44 05 48 98, fax : +33 1 44 05
40 91, e-mail : bouyssou@lamsade.dauphine.fr.
2 Universiteit Gent, H. Dunantlaan 1, B-9000 Gent, Belgique, tel : +32 9264.63.73, fax : +32 9-264.64.87, e-mail : Thierry.Marchant@rug.ac.be.
3 LIP6 – Universit´
e Pierre et Marie Curie, 8 rue du Capitaine Scott 75015
Paris, FRANCE, tel : + 33 1 44 27 70 04, fax : + 33 1 44 27 70 00 e-mail :
Patrice.Perny@lip6.fr.


esum´
e
L’objet de cet article est de pr´esenter de mani`ere simple quelques r´esultats
importants en th´eorie de choix social et de discuter leur impact pour l’aide
multicrit`ere `a la d´ecision.
En nous appuyant sur des exemples classiques issus de probl`emes de vote
(section 2) nous montrerons quelques difficult´es fondamentales li´ees `a l’agr´egation des pr´ef´erences. Nous pr´esenterons ensuite quelques r´esultats th´eoriques permettant de mieux comprendre la nature et l’ampleur de ces difficult´es (section 3). Nous tenterons ensuite d’analyser les cons´equences de ces
r´esultats pour l’aide multicrit`ere `a la d´ecision (section 4). Une abondante
liste de r´ef´erences permettra au lecteur d’approfondir ces questions.
´
Mots-cl´
es : Agr´egation, Analyse multicrit`ere, Th´eorie du choix social, Elections

1

Introduction

La complexit´e et l’importance des probl`emes de gestion rencontr´es dans
de nombreuses organisations conduisent parfois `a rechercher une pr´eparation scientifique des d´ecisions, ce que l’on appelle une aide `
a la d´ecision.
L’homme d’´etude charg´e d’une telle pr´eparation est, en pratique, confront´e
`a des tˆaches nombreuses et vari´ees : identification des acteurs concern´es, formulation du probl`eme, ´elaboration d’une liste d’actions possibles, d´efinition
d’un ou plusieurs crit`eres d’´evaluation de ces actions, collecte d’informations,
analyses de sensibilit´e, ´elaboration d’une recommandation, par exemple, sous
la forme d’une s´election des bonnes actions ou d’un classement de celles-ci,
etc. Son travail est souvent compliqu´e du fait de la volont´e ou de la n´ecessit´e de prendre en compte des points de vue ou des crit`eres conflictuels pour
´evaluer les actions mises en ´evidence ; on parle alors d’aide multicrit`ere `
a la
d´ecision (voir Pomerol et Barba-Romero, 1993 ; Vincke, 1989 ; Roy, 1985).
Se pose alors le probl`eme de l’agr´egation des pr´ef´erences consistant `a tenter
de synth´etiser les pr´ef´erences partielles mod´elis´ees par chaque crit`ere en un
tout coh´erent, une pr´ef´erence globale, pouvant servir de base `a l’´elaboration
d’une recommandation.
Un probl`eme d’agr´egation tr`es voisin a ´et´e depuis longtemps abord´e dans
le cadre de la th´eorie des ´elections. Il consiste en la recherche d’un m´ecanisme
(on parlera dans la suite de syst`eme ´electoral ou de m´ethode d’agr´egation)
permettant d’agr´eger de mani`ere raisonnable les avis exprim´es lors d’une
´election par plusieurs votants concernant divers candidats de fa¸con `a d´eterminer un vainqueur (le candidat ´elu) ou encore `a classer par ordre de pr´ef´erence
les divers candidats. Si ce probl`eme a une origine fort ancienne, il est d’usage
de faire remonter son analyse moderne aux travaux de Borda (1781) et de
Condorcet (1785). La vari´et´e des syst`emes ´electoraux utilis´es dans le monde
montre qu’il est toujours d’actualit´e. Au cours des ann´ees 1950, les travaux
de Arrow (1963), Black (1958) et May (1952) sur cette question ont suscit´e
une immense litt´erature (voir Kelly, 1991) constituant ce que l’on appelle aujourd’hui la th´eorie du choix social. Son objet est d’´etudier les liens devant ou
pouvant exister entre les pr´ef´erences individuelles des membres d’un groupe
social et les d´ecisions prises par ce groupe, d´ecisions refl´etant la pr´ef´erence
collective du groupe.
Les nombreux r´esultats obtenus en th´eorie du choix social sont riches
d’enseignements pour l’aide multicrit`ere `a la d´ecision. On se convaincra ais´ement des liens entre ces deux domaines en notant qu’il est ais´e de passer de
l’un a` l’autre en rempla¸cant respectivement les mots action , crit`ere ,
pr´ef´erence partielle et pr´ef´erence globale par candidat , votant ,
pr´ef´erence individuelle et pr´ef´erence collective dans ce qui pr´ec`ede
1

(voir Arrow et Raynaud, 1986).
L’objet de cet article est de pr´esenter de mani`ere simple quelques r´esultats
importants en th´eorie du choix social et de discuter leur impact pour l’aide
multicrit`ere `a la d´ecision.
En nous appuyant sur des exemples classiques issus de probl`emes de vote
(section 2) nous montrerons quelques difficult´es fondamentales li´ees `a l’agr´egation des pr´ef´erences. Nous pr´esenterons ensuite quelques r´esultats th´eoriques permettant de mieux comprendre la nature et l’ampleur de ces difficult´es (section 3). Nous tenterons ensuite d’analyser les cons´equences de ces
r´esultats pour l’aide multicrit`ere `a la d´ecision (section 4). Une abondante
liste de r´ef´erences permettra au lecteur d’approfondir ces questions.

2

Exemples introductifs

Les choix effectu´es par un groupe social affectent, en g´en´eral, l’ensemble
des individus qui le composent. D`es lors, il semble naturel de chercher `a fonder ces choix sur les pr´ef´erences de ces individus. Le choix d’un candidat (loi,
projet, ´etat social, etc.) d´epend alors du r´esultat d’une ´election permettant
aux individus (on dira les votants) d’exprimer leurs pr´ef´erences. Un syst`eme
´electoral (ou m´ethode d’agr´egation) permet de tirer parti de l’information
recueillie lors du scrutin pour d´eterminer le candidat ´elu ou, plus g´en´eralement, la d´ecision prise au niveau du groupe. Comment, dans ces conditions,
concevoir un bon syst`eme ´electoral ? Le bon sens nous incite `a penser
qu’un tel syst`eme doit ˆetre d´emocratique, c’est-`a-dire permettre de refl´eter
le plus fid`element possible les pr´ef´erences individuelles au niveau du groupe.
Dans de nombreux pays (collectivit´es, groupes, comit´es), la traduction de
cet id´eal d´emocratique s’op`ere en faisant appel `a une version ou `a une autre
d’une m´ethode de type majoritaire : un candidat a doit l’emporter sur un
candidat b si une majorit´e de votants pr´ef`erent a `a b. Cette r`egle simple est
tr`es naturelle. Comme on le verra plus bas, elle ne soul`eve que peu de difficult´es dans une situation ne faisant intervenir que deux candidats (voir May,
1952). On peut l’adapter de bien des fa¸cons pour faire face `a des situations
faisant intervenir au moins trois candidats. Ces adaptations peuvent donner
lieu `a des ph´enom`enes surprenants. Cette section vise `a en donner quelques
exemples. On consid´erera tout d’abord le cas des syst`emes dit uninominaux
dans lesquels voter consiste uniquement `a d´esigner le nom d’un candidat
(section 2.1) avant d’aborder celui de syst`emes o`
u le vote peut prendre des
formes plus complexes (section 2.2).
Dans tous les exemples qui suivent on supposera que chaque votant est en
mesure de classer — avec d’´eventuels ex æquo — l’ensemble des candidats par
2

ordre de pr´ef´erence ; on parle alors de pr´eordre complet. On ´ecrira dans cette
section a b c pour signifier qu’un votant pr´ef`ere le candidat a au candidat
b qui est lui-mˆeme pr´ef´er´e au candidat c (le candidat a ´etant d`es lors pr´ef´er´e
au candidat c). Sauf exception, on supposera de plus que les votants sont
sinc`eres, c’est-`a-dire utilisent les possibilit´es offertes par le syst`eme ´electoral
pour r´ev´eler leurs vraies pr´ef´erences. Notons enfin que la plupart des
exemples que nous pr´esenterons sont classiques. On en trouvera de nombreux
autres ainsi que la description et l’analyse de multiples m´ethodes dans Moulin
(1980, 1988) ; Dummet (1984) ; Fishburn (1977) ; Nurmi (1987).

2.1

Syst`
emes uninominaux

Exemple 1 (Dictature de la majorit´
e)
Soit {a, b, c, . . . , z} l’ensemble des 26 candidats `a une ´election pour laquelle
il y a 100 votants dont les pr´ef´erences sont les suivantes :
51 votants ont les pr´ef´erences
49 votants ont les pr´ef´erences

a b c . . . y z,
z b c . . . y a.

Quel que soit le syst`eme ´electoral uninominal envisag´e, il est clair, sous l’hypoth`ese de sinc´erit´e des votants, que le candidat a recevra 51 voix contre 49
au candidat z ; les autres candidats ne re¸coivent aucune voix. Le candidat a
est alors ´elu `a la majorit´e absolue. On peut s’interroger ici sur la pertinence
du r´esultat dans la mesure o`
u le candidat ´elu est particuli`erement mal per¸cu
par une proportion importante de votants alors que le candidat b semble bien
per¸cu par l’ensemble du groupe et pourrait constituer un bon compromis .
Un syst`eme majoritaire ainsi con¸cu laisse place `a une possible dictature de
la majorit´e et ne favorise pas n´ecessairement l’´emergence de compromis. Il
peut y avoir l`a un argument d´ecisif pour adopter des syst`emes ´electoraux o`
u
l’on demande aux votants de r´ev´eler une information plus riche que le seul
nom du candidat qu’ils pr´ef`erent. On en verra des exemples `a la section 2.2. 3
La reconnaissance de l’existence d’une possible dictature de la majorit´e remonte `a l’apparition de l’id´ee d´emocratique dans la Gr`ece antique.
Bien d’autres ph´enom`enes troublants peuvent cependant se produire avec
des syst`emes ´electoraux uninominaux de type majoritaire. Nous en donnons
ici quelques exemples.
Exemple 2 (Respect de la majorit´
e dans le syst`
eme britannique)
Le syst`eme ´electoral en vigueur au Royaume Uni consiste en un vote uninominal `a un tour ( plurality voting ) : est ´elu le candidat recevant le plus
de suffrages `a l’issue de l’unique tour de scrutin. Soit {a, b, c} l’ensemble
3

des candidats lors d’une ´election comprenant 21 votants (rien n’empˆeche de
multiplier ce chiffre par 106 si l’on souhaite davantage de r´ealisme) dont les
pr´ef´erences sont les suivantes :
10 votants ont les pr´ef´erences a b c,
6 votants ont les pr´ef´erences b c a,
5 votants ont les pr´ef´erences c b a.
En supposant les votants sinc`eres, l’issue du scrutin est facilement pr´evisible :
le candidat a recevra 10 voix contre respectivement 6 et 5 aux candidats b et
c. La candidat a est donc ´elu avec 10 voix sur 21. Il semble n´eanmoins qu’un
tel r´esultat ne refl`ete que tr`es imparfaitement les vœux de la majorit´e des
´electeurs. On notera en effet qu’une majorit´e absolue de votants pr´ef`ere tous
les autres candidats `a celui qui est ´elu (11 votants sur 21 pr´ef`erent b et c `a
a) !
3
Observons ce que donne sur cet exemple le scrutin uninominal `a deux
tours ( plurality with runoff ) tel qu’il est pratiqu´e en France (on supposera
qu’au second tour, seuls les deux candidats ayant re¸cu le plus de suffrages
au premier tour restent en lice). Au premier tour a et b arrivent en tˆete avec
respectivement 10 et 6 voix. En supposant que l’´elimination du candidat
c n’affecte pas les pr´ef´erences des votants concernant les candidats qui se
maintiennent au second tour, on obtient alors la situation suivante :
10 votants ont les pr´ef´erences
11 votants ont les pr´ef´erences

a b,
b c.

Le candidat b emporte alors l’´election avec 11 voix sur 21. On constatera
ais´ement ici qu’aucun des deux candidats battus (a et c) n’est pr´ef´er´e `a
b par une majorit´e absolue d’´electeurs. On ne peut toutefois pas tirer de
cet exemple de conclusion g´en´erale en faveur du syst`eme fran¸cais comme le
montre l’exemple suivant.
Exemple 3 (Respect de la majorit´
e dans le syst`
eme fran¸
cais)
Soit {a, b, c, d} l’ensemble des candidats `a une ´election pour laquelle il y a 21
votants dont les pr´ef´erences sont les suivantes :
10 votants ont les pr´ef´erences b a c d,
6 votants ont les pr´ef´erences c a d b,
5 votants ont les pr´ef´erences a d b c.

4

Avec le syst`eme fran¸cais, seuls les candidats b et c restent en lice au second
tour et b l’emporte confortablement avec 15 voix sur 21 bien qu’une majorit´e
absolue (11/21) de votants lui pr´ef`ere `a la fois le candidat a et le candidat d
(nous laissons le soin au lecteur familier de la vie politique fran¸caise la tˆache,
ais´ee, de mettre des noms `a nos quatre candidats et d’imaginer une situation
politique o`
u les pr´ef´erences pr´esent´ees sont plausibles).
3
Les deux exemples pr´ec´edents montrent donc qu’un scrutin `a un ou deux
tours fond´e sur un principe majoritaire peut donc amener `a l’´election d’un
candidat alors qu’une majorit´e absolue de votants en pr´ef`ere un ou plusieurs
autres. Dans ces conditions, il peut ˆetre l´egitime de s’interroger sur l’hypoth`ese de sinc´erit´e des votants puisque ceux-ci r´ealiseront bien vite la possibilit´e d’occurrence de tels ph´enom`enes. C’est l’id´ee du vote utile .
Exemple 4 (Vote utile et sinc´
erit´
e des votants)
Reprenons les donn´ees de l’exemple 3 et supposons que les 6 votants dont
les pr´ef´erences sont c a d b choisissent de ne pas ˆetre sinc`eres et
de se comporter comme si leurs pr´ef´erences ´etaient a c d b, ce qui
traduit un vote utile au premier tour en faveur du candidat a. Il est clair
qu’alors le candidat a est ´elu d`es le premier tour de scrutin en recevant une
majorit´e absolue de suffrages (11/21). On a vu `a l’exemple pr´ec´edent que si
ces 6 votants avaient ´et´e sinc`eres, le candidat b aurait ´et´e ´elu. En ne r´ev´elant
pas leurs vraies pr´ef´erences, ces 6 votants parviennent `a faire ´elire le candidat
a, ce qui leur est favorable puisqu’ils pr´ef`erent a `a b. On voit donc qu’un tel
syst`eme peut ne pas inciter les votants `a r´ev´eler leurs vraies pr´ef´erences .
La m´ethode est dite manipulable. Une telle possibilit´e conduit `a ne plus
voir dans les ´elections un m´ecanisme de r´ev´elation des opinions du corps
´electoral et `a donner une prime `a l’astuce , ce qui peut paraˆıtre ´eloign´e
d’un certain id´eal d´emocratique.
3
Le syst`eme de vote fran¸cais laisse place `a d’autres ph´enom`enes troublants
comme le montrent les trois exemples suivants.
Exemple 5 (Probl`
emes de monotonie dans le syst`
eme fran¸
cais)
Soit {a, b, c} l’ensemble des candidats `a une ´election pour laquelle il y a 17
votants. Suite `a une enquˆete d’opinion publi´ee avant les ´elections, le candidat
a conjecture que les pr´ef´erences des votants sont les suivantes :
6
5
4
2

votants
votants
votants
votants

ont
ont
ont
ont

les
les
les
les

pr´ef´erences
pr´ef´erences
pr´ef´erences
pr´ef´erences
5

a b c,
c a b,
b c a,
b a c.

Avec le syst`eme fran¸cais seuls les candidats a et b devraient passer le premier
tour et a devrait gagner l’´election au second tour avec 11 voix sur 17. Ne
trouvant pas cette pr´evision suffisamment confortable, le candidat a d´ecide
de lancer une campagne ´electorale active visant `a s´eduire l’´electorat de son
plus proche concurrent, le candidat b. Supposons que l’enquˆete ait r´ev´el´e de
mani`ere exacte la totalit´e des pr´ef´erences des votants et que la campagne
´electorale ait l’effet recherch´e sur les deux derniers votants pour lesquels a
est pass´e devant b (les pr´ef´erences des autres votants restent inchang´ees). On
obtient alors les pr´ef´erences suivantes :
8 votants ont les pr´ef´erences
5 votants ont les pr´ef´erences
4 votants ont les pr´ef´erences

a b c,
c a b,
b c a.

Apr`es le premier tour, on peut observer que b est effectivement victime de la
campagne men´ee par a puisque ce sont a et c qui restent en lice. Cependant, `a
cette premi`ere victime vient s’ajouter une seconde beaucoup plus inattendue.
En effet, au second tour a perd l’´election devant c qui obtient 9 voix sur 17.
Avec le syst`eme fran¸cais et dans cette configuration particuli`ere, on peut
donc dire que la bonne campagne ´electorale de a lui a ´et´e fatale. On dit
que la m´ethode est non monotone dans la mesure o`
u l’am´elioration de la
position d’un candidat dans les pr´ef´erences individuelles peut se traduire par
une d´egradation de sa situation `a l’issue du scrutin. Avec une telle m´ethode,
les possibilit´es de manipulations mises `a jour `a l’exemple 4 n’en deviennent
que plus nombreuses : il est clair que l’on peut avoir int´erˆet `a ne pas voter
pour le candidat que l’on pr´ef`ere. Notons d’ailleurs que le syst`eme fran¸cais
autorise parfois des manipulations tr`es simples comme le fait de ne pas
exprimer ses pr´ef´erences ainsi que le montre l’exemple suivant.
3
Exemple 6 (Paradoxe du pˆ
echeur `
a la ligne )
Soit {a, b, c} l’ensemble des candidats `a une ´election pour laquelle il y a 11
´electeurs dont les pr´ef´erences se r´epartissent comme suit :
4 votants ont les pr´ef´erences
4 votants ont les pr´ef´erences
3 votants ont les pr´ef´erences

a b c,
c b a,
b c a.

Avec le syst`eme fran¸cais seuls les candidats a et c devraient passer le premier
tour et c devrait gagner l’´election au second tour avec 7 voix sur 11. Supposons toutefois que 2 parmi les 4 premiers ´electeurs, particuli`erement peu
int´eress´es par l’´election de c qui est donn´e largement favori, d´ecident d’aller
pˆecher `a la ligne plutˆot que d’aller voter. On se retrouve donc devant une
population de 9 votants dont les pr´ef´erences se r´epartissent comme suit :
6

2 votants ont les pr´ef´erences
4 votants ont les pr´ef´erences
3 votants ont les pr´ef´erences

a b c,
c b a,
b c a.

` leur retour `a la maison nos deux pˆecheurs ne peuvent que se f´eliciter de leur
A
d´ecision puisque non seulement ils ont profit´e d’une belle journ´ee de pˆeche,
mais ils peuvent constater que leur abstention a caus´e la d´efaite du candidat c
puisque le candidat b est ´elu au second tour avec une majorit´e de 5 voix sur 9
suffrages exprim´es. L’abstention de deux votants potentiellement hostiles `a c
a entraˆın´e sa d´efaite. Une telle m´ethode n’incite pas `
a la participation. 3
Exemple 7 (Vote en sous-comit´
es)
Soit {a, b, c} l’ensemble des candidats `a une ´election pour laquelle il y a 26
´electeurs. Les 13 votants situ´es dans des zones urbaines ont des pr´ef´erences
r´eparties comme suit :
4
3
3
3

votants
votants
votants
votants

ont
ont
ont
ont

les
les
les
les

pr´ef´erences
pr´ef´erences
pr´ef´erences
pr´ef´erences

a b c,
b a c,
c a b,
c b a.

Les 13 votants situ´es dans des zones rurales ont eux des pr´ef´erences r´eparties
comme suit :
4
3
3
3

votants
votants
votants
votants

ont
ont
ont
ont

les
les
les
les

pr´ef´erences
pr´ef´erences
pr´ef´erences
pr´ef´erences

a b c,
c a b,
b c a,
b a c.

Imaginons qu’un scrutin se d´eroule en zone urbaine. Il est facile de constater
que a et c seront confront´es au second tour et que a l’emportera avec 7
voix contre 6. De mˆeme pour un scrutin en zone rurale, a et b subsisteront
au second tour et a l’emportera avec 7 voix contre 6. On constate que a
l’emporte `a la fois en zone urbaine et en zone rurale. Il serait donc naturel
de penser que a devrait l’emporter lors du scrutin national. Il est facile de
constater qu’il n’en va pas ainsi puisqu’au niveau national a est ´elimin´e d`es
le premier tour, b l’emportant au second face `a c avec 17 voix contre 9. On
dit qu’une telle m´ethode n’est pas s´
eparable.
3
Lorsqu’il y a plus de deux candidats, les exemples qui pr´ec`edent montrent
qu’il n’est pas simple de vouloir bˆatir un syst`eme ´electoral r´epondant, dans
7

toutes les situations, `a ce que l’on pourrait en attendre. Notons que le syst`eme
britannique (vote uninominal `a un tour) ne pose aucun des probl`emes mentionn´es ci-dessus, d`es lors qu’il n’y a que deux candidats. On pourrait donc
imaginer qu’il suffit de traiter un probl`eme de vote `a n candidats (n > 2)
comme une s´equence de n − 1 probl`emes de votes `a deux candidats : on commence par choisir arbitrairement deux candidats que l’on confronte dans un
vote `a la majorit´e, le vainqueur est oppos´e `a un troisi`eme candidat dans un
second vote, et ainsi de suite jusqu’au dernier des n candidats. Malheureusement cette fa¸con d’enchaˆıner les vote majoritaires en cascade comporte
´egalement des inconv´enients s´erieux comme le montrent les deux exemples
suivants.
Exemple 8 (Influence de l’ordre du jour dans un vote majoritaire en cascade)
Soit {a, b, c} l’ensemble des candidats `a une ´election. Consid´erons trois votants dont les pr´ef´erences sont les suivantes :
1 votant a les pr´ef´erences
1 votant a les pr´ef´erences
1 votant a les pr´ef´erences

a b c,
b c a,
c a b.

Si l’ordre du jour consiste `a consid´erer les candidats dans l’ordre a, b, c, on
oppose d’abord les candidats a et b et a l’emporte `a la majorit´e absolue
(deux voix contre une). On confronte alors les candidats a et c ce qui conduit
`a la victoire de c par deux voix contre une. Le candidat c remporte donc
l’´election. Avec un ordre du jour b, c, a, on oppose d’abord les candidats b et
c. Le candidat b l’emporte par deux voix contre une. Il est alors confront´e
au candidat a qui l’emporte avec deux voix contre une et est donc ´elu. On
constatera sans difficult´e qu’avec un ordre du jour c, a, b, le candidat b est
´elu.
On remarque dans cet exemple que chacun des candidats est susceptible
de gagner l’´election et que la victoire de l’un ou de l’autre ne d´epend que du
choix arbitraire de l’ordre du jour (on notera que cette m´ethode est fr´equemment employ´ee dans les assembl´ees l´egislatives pour examiner un projet de
loi : les amendements sont examin´es successivement selon un certain ordre
du jour et le projet amend´e fait ensuite l’objet d’un vote l’opposant au statu
quo). Le choix d’un ordre du jour particulier favorise tel ou tel candidat.
Ceux-ci ne sont plus alors trait´es de mani`ere sym´etrique : plus un candidat entre en lice tˆot moins il est avantag´e. Une telle m´ethode n’est
pas neutre. On notera que les syst`emes britanniques et fran¸cais sont, eux,
clairement neutres puisqu’il n’ont tendance `a favoriser ou `a d´efavoriser syst´ematiquement aucun candidat.
3
8

Exemple 9 (Violation de l’unanimit´
e dans un vote majoritaire en cascade)
Soit {a, b, c, d} l’ensemble des candidats `a une ´election. Consid´erons trois
votants dont les pr´ef´erences sont les suivantes :
1 votant a les pr´ef´erences
1 votant a les pr´ef´erences
1 votant a les pr´ef´erences

b a d c,
c b a d,
a d c b.

Si l’ordre du jour est a, b, c, d alors le candidat d emporte l’´election alors
que la totalit´e des votants lui pr´ef`erent a, candidat qui est ´elimin´e face `a b
d`es la premi`ere confrontation. Une telle m´ethode ne respecte pas le principe
d’unanimit´
e voulant qu’une proc´edure de vote respecte un avis partag´e par
l’ensemble de tous les votants. On notera que dans les syst`emes britanniques
et fran¸cais, il est exclu d’´elire un candidat tel que l’unanimit´e des votants lui
en pr´ef`ere un autre.
3
Exemple 10 (Voix pr´
epond´
erante du pr´
esident)
Imaginons qu’au second tour d’une ´election conduite selon le syst`eme fran¸cais les deux candidats en lice re¸coivent exactement le mˆeme nombre de voix.
Si une telle situation a une tr`es faible probabilit´e d’occurrence lors d’´elections nationales (elle cr´eerait, au second tour d’une ´election pr´esidentielle en
France, un d´elicat probl`eme de Droit Constitutionnel), elle est en revanche
tr`es fr´equente lors d’´elections faisant intervenir un petit nombre de votants
(conseil d’administration, comit´es divers). Une pratique usuelle consiste alors
`a donner `a l’un des votants le pouvoir de briser `a sa guise une ´eventuelle situation d’´egalit´e : le pr´esident a une voix pr´epond´erante en cas d’´egalit´e .
Cette technique, si elle permet de sortir de l’impasse (d’autres pourraient ˆetre
envisag´ees comme un tirage au sort ou un choix fond´e sur un crit`ere arbitraire
comme le nom ou l’ˆage des candidats — cette derni`ere solution cr´eerait une
m´ethode non neutre) conduit `a ne plus toujours traiter sur un pied d’´egalit´e
les opinions de tous les votants. La m´ethode ainsi cr´e´ee n’est pas anonyme
(contrairement `a toutes les m´ethodes envisag´ees jusqu’alors).
3
Face aux difficult´es mentionn´ees plus haut, une attitude naturelle consiste
`a demander aux votants de fournir une information plus riche que dans un
scrutin uninominal. On peut, en particulier, s’int´eresser `a des syst`emes ´electoraux o`
u chaque votant doit fournir une liste de tous les candidats ordonn´ee
selon ses pr´ef´erences (pr´eordre complet). Nous examinons `a la section suivante les difficult´es propres `a ces syst`emes (d’autres types d’information sont
utilis´es par certaines techniques comme, par exemple, dans le vote par assentiment, voir Brams et Fishburn, 1982).
9

2.2

Syst`
emes par

listes ordonn´ees

Le probl`eme de l’agr´egation se pose ici de mani`ere sensiblement diff´erente
qu’avec les syst`emes uninominaux envisag´es au 2.1. Il s’agit ici d’agr´eger
des listes ordonn´ees pour d´eterminer le candidat le mieux soutenu par
l’ensemble de ces listes, ou mˆeme d’´etablir un classement global sens´e r´esumer
au mieux les pr´ef´erences exprim´ees.
Pour r´ev´eler l’opinion majoritaire dans un tel scrutin, Condorcet (1785)
propose de comparer les candidats par paires en utilisant la m´ethode suivante :

ethode de Condorcet (ou m´
ethode majoritaire) un candidat a est
pr´ef´er´e `a un candidat b si et seulement si le nombre de votants ayant
class´e a devant b est strictement sup´erieur au nombre de votants ayant
class´e b devant a (en cas d’´egalit´e les deux candidats sont jug´es indiff´erents).
Il pose alors le principe suivant :
Principe de Condorcet s’il existe un candidat qui est pr´ef´er´e `a chacun des
autres candidats en utilisant la m´ethode majoritaire, c’est ce candidat
qu’il faut ´elire. Ce candidat est le vainqueur de Condorcet, il est
n´ecessairement unique.
Il est `a noter que ni le syst`eme anglais (1 tour) ni le syst`eme fran¸cais
(2 tours) ne v´erifient ce principe. Pour s’en convaincre, il suffit d’examiner
l’exemple 2 o`
u le syst`eme anglais conduit `a l’´election du candidat a alors
que b est le vainqueur de Condorcet, puis l’exemple 3 o`
u le syst`eme fran¸cais
conduit `a ´elire b alors que a est le vainqueur de Condorcet.
Le principe de Condorcet semble naturel (mˆeme s’il peut faire probl`eme
comme le sugg`ere l’exemple 1 o`
u le candidat a est un vainqueur de Condorcet). Il n’est pas toujours op´erationnel : dans certaines situations, il n’existe
pas de vainqueur de Condorcet ; c’est le paradoxe de Condorcet. Ainsi, dans
l’exemple 8, le candidat a est pr´ef´er´e au candidat b. Ce dernier est pr´ef´er´e
au candidat c. Mais la confrontation de a et de c r´ev`ele que c est pr´ef´er´e `a
a. Chaque candidat est battu par au moins un autre ; il n’existe donc pas de
vainqueur de Condorcet. Un tel cas de figure se pr´esentant assez fr´equemment
(environ 4 fois sur 10 dans des scrutins `a 7 candidats avec un grand nombre
de votants lorsque l’on ne fait pas de restrictions sur les listes admissibles,
voir Fishburn, 1973 ; Gehrlein, 1983). On doit trouver comment proc´eder
lorsqu’il n’y a pas de vainqueur de Condorcet. On peut par exemple exiger
de choisir un ´el´ement tel qu’aucun autre ne le batte selon la m´ethode majoritaire (principe faible de Condorcet) mais l`a encore, un tel candidat n’existe
10

pas toujours (c’est, bien sˆ
ur, le cas dans l’exemple 8). Bien des m´ethodes
ont ´et´e propos´ees pour tenter de tirer parti de la relation de pr´ef´erence bˆatie en utilisant la m´ethode majoritaire ; on en trouvera un bon aper¸cu dans
Fishburn (1977) ; Nurmi (1987) ; Laslier (1997).
Une approche alternative pour traiter de tels scrutins a ´et´e propos´ee par
Borda (1781). Elle consiste `a associer un score global `a chaque candidat en
calculant la somme de son rang de classement dans les listes des votants.

ethode de Borda un candidat a est pr´ef´er´e `a un candidat b si la somme
des rangs de a dans les listes des votants est strictement inf´erieure `a
celle de b (on suppose ici que les listes sont des ordres complets — sans
ex æquo — et on attribue le rang 1 au premier de la liste, 2 au second
et ainsi de suite ; comme nous le verrons, la m´ethode se g´en´eralise sans
difficult´e pour traiter les cas d’ex æquo).
Exemple 11 (M´
ethodes de Borda et Condorcet)
Soit {a, b, c, d} l’ensemble des candidats `a une ´election. Consid´erons trois
votants dont les pr´ef´erences sont les suivantes :
2 votants ont les pr´ef´erences
1
votant a les pr´ef´erences

b a c d,
a c d b.

En utilisant la m´ethode de Borda, c’est a qui emporte l’´election avec un score
de 2×2+1×1 = 5. Elle conduit au classement a, b, c, d, les candidats recevant
respectivement les scores 5, 6, 8 et 11. En utilisant la m´ethode de Condorcet
c’est b qui l’emporte en tant que vainqueur de Condorcet. On constatera ici
que la pr´ef´erence collective donn´ee par la m´ethode de Condorcet est transitive
et conduit au classement b, a, c, d. Les deux m´ethodes divergent ; la m´ethode
de Borda ne v´erifie pas le principe de Condorcet (`a titre de curiosit´e, on
pourra chercher `a v´erifier que si la m´ethode de Borda ne conduit pas toujours
`a ´elire un vainqueur de Condorcet, elle ne peut conduire — comme le syst`eme
anglais — `a ´elire un perdant de Condorcet, c’est-`a-dire un candidat battu
par tous les autres `a la majorit´e absolue).
3
La m´ethode de Borda pr´esente un avantage important sur la m´ethode de
Condorcet. Elle permet non seulement de d´esigner un (ou plusieurs) vainqueur(s) dans tous les cas de figure (candidats dont la somme des rangs est
minimale) mais fournit un rangement de tous les candidats du meilleur au
pire. Ce n’est pas le cas de la m´ethode de Condorcet qui conduit parfois `a
des pr´ef´erences non transitives ne permettant pas d’ordonner les candidats ni
mˆeme de choisir un sous-ensemble de bons candidats (cf. exemple 8). On
11

v´erifiera ais´ement que la m´ethode de Borda est neutre, anonyme, s´eparable,
monotone et incite `a la participation.
La m´ethode de Borda poss`ede en revanche une caract´eristique qui peut
sembler peu naturelle. Pour la mettre en ´evidence, reprenons l’exemple 11
et supposons que les candidats c et d, estimant que leurs chances de victoire
sont trop faibles, retirent leur candidature la veille de l’´election. On constate
alors que b devient le vainqueur avec la m´ethode de Borda comme avec celle
de Condorcet. Ainsi, la d´efection des candidats c et d a invers´e les r´esultats de
la m´ethode de Borda entre a et b. Contrairement `a ce que l’on observe pour
la m´ethode de Condorcet, la relation de pr´ef´erence liant deux candidats a
et b avec la m´ethode de Borda d´epend non seulement des positions relatives
de a et b dans les classements des votants, mais aussi de leurs situations
respectives vis-`a-vis de tous les autres candidats. Le fait qu’un candidat a
batte un candidat b est donc contingent `a l’ensemble des candidats qui se
sont pr´esent´es. Une telle contingence peut ˆetre assez probl´ematique dans la
r´ealit´e en raison de d´efections ´eventuelles ; elle l’est d’autant plus en aide `a
la d´ecision dans la mesure o`
u l’ensemble des actions `a ´evaluer est rarement
donn´e et requiert un travail de mod´elisation important.
Au vu des exemples qui viennent d’ˆetre pr´esent´es, on aimerait pouvoir
proposer une m´ethode d´emocratique qui dispose `a la fois des avantages de
la m´ethode de Borda (transitivit´e du r´esultat) et de ceux de la m´ethode de
Condorcet (respect du principe de Condorcet et absence de ph´enom`enes de
contingence). On verra `a la section 3 qu’un tel espoir est largement illusoire.
Mentionnons enfin que nous nous sommes limit´es dans cette section `a des
syst`emes ´electoraux tendant `a l’´election d’un unique candidat et non d’un
ensemble de candidats. On pourrait en conclure `a la sup´eriorit´e des syst`emes
tendant `a l’´election d’une assembl´ee repr´esentative `a la proportionnelle .
Une telle conclusion serait hˆative pour au moins deux raisons. Tout d’abord,
la d´efinition de ce qui est juste repr´esentation proportionnelle soul`eve
des probl`emes d´elicats, la plupart des syst`emes proportionnels utilis´es en
pratique donnant lieu `a de nombreuses situations paradoxales (voir Balinski
et Young, 1982). Remarquons ensuite que la r`egle de d´ecision au sein de
l’assembl´ee repr´esentative ´elue `a la proportionnelle est le plus souvent du
type de celles pr´esent´ees dans cette section. Il ne faut donc pas chercher
dans l’id´ee de repr´esentation proportionnelle une solution miracle aux
difficult´es mentionn´ees ici.

12

3

Quelques r´
esultats th´
eoriques

Les exemples de la section pr´ec´edente laissent croire que concevoir de
bonnes proc´edures d’agr´egation de pr´ef´erences soul`eve des difficult´es s´erieuses. Des r´esultats c´el`ebres en th´eorie du choix social viennent conforter
cette intuition.

3.1

Le th´
eor`
eme d’Arrow

Le th´eor`eme d’Arrow (Arrow, 1963) est central en th´eorie du choix social.
Il concerne les m´ethodes qui visent `a agr´eger n (n ≥ 3) pr´eordres complets
(classements avec ou sans ex æquo) en un pr´eordre complet synth´etique. De
mˆeme qu’au 2.2, chaque votant fournit donc une liste classant par ordre
de pr´ef´erence l’ensemble des candidats (avec possibilit´e d’ex æquo).
Formalisation
Une relation binaire R sur un ensemble A est un sous-ensemble de A × A. On
note souvent a R b au lieu de (a, b) ∈ R. Un pr´eordre complet sur A est une
relation binaire sur A compl`ete (pour tout a, b ∈ A on a a R b et/ou b R a)
et transitive (pour tout a, b, c ∈ A, a R b et b R c impliquent a R c). On
note WO(A) l’ensemble des pr´eordres complets d´efinis sur l’ensemble A. La
partie asym´etrique de R est la relation binaire P d´efinie par a P b ⇔ [a R
b et Non[b R a]]. La partie sym´etrique de R est la relation binaire I d´efinie
par a I b ⇔ [a R b et b R a].
Notons N = {1, 2, . . . n} l’ensemble des votants et A l’ensemble des candidats. On suppose que le votant i ∈ N exprime sa pr´ef´erence pour les
candidats en indiquant un pr´eordre complet Ri ∈ WO(A) sur l’ensemble A
des candidats. On note Pi (resp. Ii ) la partie asym´etrique (resp. sym´etrique)
de Ri .

Arrow s’est int´eress´e aux m´ethodes d’agr´egation v´erifiant les conditions
suivantes :
Universalit´
e toute configuration de listes est admissible.
Formalisation
On recherche une fonction d’agr´egation F donnant un r´esultat pour tout
´el´ement (R1 , R2 , . . . , Rn ) de WO(A)n .

Cette condition exclut toute contrainte portant sur l’ensemble des listes
vot´ees. Les exemples de la section pr´ec´edente ont r´ev´el´e des probl`emes dus `a
des configurations particuli`eres o`
u, par exemple, il n’y avait pas de vainqueur
13

de Condorcet. On pourrait alors vouloir proposer une m´ethode qui fonctionne
seulement pour les configurations simples . Imposer des restrictions sur les
configurations des listes admissibles `a l’entr´ee de la m´ethode d’agr´egation est
parfois naturel. C’est, par exemple, le cas si l’on estime que tous les votants
situent de mani`ere identique l’ensemble des candidats sur une ´echelle gauchedroite et jugent les candidats en calculant leur distance `a un point id´eal
sur cette ´echelle (la position de ce point id´eal ´etant propre `a chaque votant).
On obtient ainsi des pr´ef´erences unimodales au sens de Black (1958) qui
garantissent l’existence d’un vainqueur de Condorcet. De telles restrictions
impliquent cependant l’absence de votants atypiques, ce qu’il est difficile
d’exclure a priori. Avec une m´ethode d’agr´egation non universelle, certains
scrutins ne pourraient pas ˆetre d´epouill´es.
Transitivit´
e la m´ethode doit toujours fournir un classement sous la forme
d’un pr´eordre complet.
Formalisation
La fonction d’agr´egation recherch´ee est `a valeur dans WO(A).
Lorsqu’il n’y aura pas d’ambigu¨ıt´e possible, on notera R = F (R1 , R2 , . . . , Rn )
et P (resp. I) la partie asym´etrique (resp. sym´etrique) de R.

Cette condition impose la transitivit´e du r´esultat quelles que soient les
pr´ef´erences exprim´ees. Ainsi, lorsque la soci´et´e pr´ef`ere a `a b et b `a c elle doit
pr´ef´erer a `a c. Nous avons vu que la m´ethode de Condorcet ne v´erifiait pas
cette condition. Elle est suffisante (mais non n´ecessaire) pour garantir que
la m´ethode permettra, dans tous les cas, d’isoler un ou plusieurs meilleurs
candidats (ceux figurant en tˆete du classement). On verra plus bas que l’affaiblissement de cette condition ne contribue que faiblement `a la r´esolution
de la difficult´e mise `a jour par le r´esultat d’Arrow.
Unanimit´
e le r´esultat de la m´ethode ne doit pas contredire un avis unanime
des votants.
Formalisation
La fonction d’agr´egation F doit ˆetre telle que, pour tout a, b ∈ A, si a Pi b
pour tout i ∈ N alors a P b.

Si a est class´e devant b dans chacune des listes, il doit figurer devant b
dans le classement global. Cette condition est tr`es naturelle ; l’exemple 9 nous
a cependant montr´e qu’elle pouvait ˆetre viol´ee par certaines m´ethodes.
Ind´
ependance le r´esultat de la comparaison entre deux candidats ne d´epend que de leur position relative dans les listes ordonn´ees fournies par
les votants.
14

Formalisation
Pour tout (R1 , R2 , . . . , Rn ), (R10 , R20 , . . . , Rn0 ) ∈ WO(A)n et pour tout a, b ∈

A, si a Ri b ⇔ a Ri0 b et b Ri a ⇔ b Ri0 a, alors a R b ⇔ a R0 b.
Cette condition est plus complexe que les trois pr´ec´edentes. Elle fait reposer la relation de pr´ef´erence entre deux candidats sur la seule donn´ee de la
relation liant ces deux candidats dans les listes individuelles. Ceci exclut en
particulier :
• la prise en compte d’intensit´e de pr´ef´erence dans le traitement des listes
individuelles : seules sont prise en compte les relations de pr´ef´erences,
• la prise en compte de la position de deux candidats vis-`a-vis d’un tiers
pour mieux les comparer.
Un exemple permettra de mieux comprendre la port´ee de cette condition.
Exemple 12 (M´
ethode de Borda et Ind´
ependance)
Soit {a, b, c, d} l’ensemble des candidats `a une ´election. Consid´erons trois
votants dont les pr´ef´erences sont les suivantes :
2 votants ont les pr´ef´erences
1
votant a les pr´ef´erences

c a b d,
a b d c.

La m´ethode de Borda conduit alors au classement : a, c, b, d avec des scores
respectifs de 5, 6, 8 et 11.
Consid´erons `a pr´esent un scrutin de mˆeme type, avec les pr´ef´erences :
2 votants ont les pr´ef´erences
1
votant a les pr´ef´erences

c a b d,
a c b d.

La m´ethode de Borda conduit alors au classement : c, a, b, d avec des scores
respectifs de 4, 5, 9 et 12.
Notons que dans chacune des listes la position respective de a et de c est
rest´ee identique d’un scrutin `a l’autre : a est pr´ef´er´e `a c par un votant tandis
que deux ont la pr´ef´erence inverse. La condition d’ind´ependance voudrait
alors que la position relative de a et de c soit identique `a l’issue des deux
scrutins, ce qui n’est pas le cas avec la m´ethode de Borda. Cette derni`ere
utilise le fait que l’´ecart entre a et c semble plus grand dans la liste a b
d c que dans la liste a c b d, puisque b et d viennent s’intercaler
entre a et c dans le premier cas. Cette d´ependance de la position respective de
a et de c par rapport `a b et `a d est exclue par la condition d’ind´ependance.
Elle exclut de mˆeme toute m´ethode qui utiliserait en plus des listes une
information qualifiant la plus ou moins grande intensit´e de chaque pr´ef´erence
`a l’int´erieur des listes.
3
15

La derni`ere des conditions utilis´ees par Arrow stipule qu’aucun des votants ne peut dicter en toutes circonstances ses pr´ef´erences `a la collectivit´e.
Cette condition s’impose de mani`ere ´evidente pour qui recherche une m´ethode minimalement d´emocratique.
Non dictature il n’existe pas de dictateur.
Formalisation
Pour tout i ∈ N et pour tout a, b ∈ A, il existe un profil (R1 , R2 , . . . , Rn ) ∈
WO(A)n tel que a Pi b et b R a.

On peut alors ´enoncer le c´el`ebre :
Th´
eor`
eme 1 (Arrow (1963))
Si le nombre de votants est fini, d`es lors qu’il y a plus de trois candidats
aucune m´ethode d’agr´egation ne peut satisfaire simultan´ement les conditions
d’universalit´e, de transitivit´e, d’unanimit´e, d’ind´ependance et de non dictature.
´monstration
De
La d´emonstration du r´esultat d’Arrow fait appel aux d´efinitions suivantes.
Un sous-ensemble I ⊆ N de votants est presque d´ecisif pour le couple de
candidats (a, b) ∈ A2 si, pour tout (R1 , R2 , . . . , Rn ) ∈ WO(A)n , [a Pi b, ∀i ∈
I et b Pj a, ∀j ∈
/ I] ⇒ a P b]. De mˆeme, le sous-ensemble I ⊆ N de votants
est d´ecisif pour le couple de candidats (a, b) ∈ A2 si, pour tout (R1 , R2
, . . . , Rn ) ∈ WO(A)n , [a Pi b, ∀i ∈ I] ⇒ a P b.
Montrons tout d’abord que si I est presque d´ecisif pour un couple (a, b)
alors I est d´ecisif pour tout couple de candidats.
Consid´erons un candidat c distinct de a et b (un tel candidat existe toujours puisque, par hypoth`ese, n ≥ 3). Soit un profil (R1 , R2 , . . . , Rn ) ∈
WO(A)n tel que a Pi c, ∀i ∈ I. Consid´erons un profil (R10 , R20 , . . . , Rn0 ) ∈
WO(A)n tel que :
• a Pi0 b Pi0 c, ∀i ∈ I,
• b Pj0 a et b Pj0 c, ∀j ∈
/ I.
Puisque, par hypoth`ese, I est presque d´ecisif pour le couple (a, b), on a a P 0 b.
L’axiome d’unanimit´e impose b P 0 c. L’axiome de transitivit´e implique alors
a P 0 c. Puisque l’on n’a pas sp´ecifi´e la relation de pr´ef´erence liant a et c pour
les votants n’appartenant pas `a I dans le profil (R10 , R20 , . . . , Rn0 ), l’axiome
d’ind´ependance implique alors que a P c. On a donc montr´e que si I est
presque d´ecisif pour le couple (a, b) alors I est d´ecisif pour tout couple (a, c)
16

de candidats avec c 6= a, b. Nous laissons le soin au lecteur de g´en´eraliser ce
raisonnement pour traiter des cas o`
u c est confondu avec a ou avec b.
Montrons `a pr´esent qu’il existe toujours un votant i ∈ N qui est presque
d´ecisif pour un couple de candidats. En vertu du r´esultat pr´ec´edent, {i} sera
d´ecisif pour tout couple de candidats et sera donc un dictateur.
En vertu de l’axiome d’unanimit´e, N est presque d´ecisif pour tout couple
de candidats. Puisque N est fini, il existe au moins un sous-ensemble J ⊆ N
presque d´ecisif pour le couple (a, b) de cardinalit´e minimale. Supposons que
|J| > 1 et consid´erons un profil (R1 , R2 , . . . , Rn ) ∈ WO(A)n tel que :
• a Pi b Pi c, pour i ∈ J,
• c Pj a Pj b ∀j ∈ J \ {i},
• b Pk c Pk a ∀k ∈
/ J.
Par hypoth`ese, puisque J est presque d´ecisif pour le couple (a, b), on a : a P b.
Il est impossible que c P b. Ceci impliquerait en effet, en utilisant l’axiome
d’ind´ependance, que J \ {i} est presque d´ecisif pour le couple (c, b) et, donc,
d´ecisif pour tout couple, contrairement `a notre hypoth`ese. On a donc b R c
et l’axiome de transitivit´e implique que a P c. Ceci implique que {i} est
presque d´ecisif pour le couple (a, c).
2
Ce r´esultat n´egatif ne concerne que le cas de plus de trois candidats :
on v´erifiera facilement que la m´ethode majoritaire permet de respecter les 5
conditions du th´eor`eme avec deux candidats. Le th´eor`eme d’Arrow explique
en grande partie les difficult´es rencontr´ees (cf. section 2) dans l’´elaboration d’une proc´edure d’agr´egation satisfaisante . Observons, par exemple,
que la m´ethode de Borda respecte les conditions d’universalit´e, de transitivit´e, d’unanimit´e et de non dictature ; par cons´equent elle ne peut satisfaire `a la condition d’ind´ependance, comme nous l’avons v´erifi´e directement
`a l’exemple 12. La m´ethode de Condorcet, pour sa part, respecte les conditions d’universalit´e, d’unanimit´e, d’ind´ependance et de non dictature ; elle
ne peut donc satisfaire `a l’axiome de transitivit´e ainsi que nous l’avons vu
plus haut (cf. exemple 8). Notons que le th´eor`eme d’Arrow utilise un petit
nombre de conditions parmi celles introduites plus haut. Il est clair qu’en
sus des conditions propos´ees par Arrow, on aurait aim´e voir aussi impos´e la
neutralit´e, l’anonymat, la monotonie, l’incitation `a la participation, le respect du principe de Condorcet, la non manipulabilit´e ou la s´eparabilit´e. La
puissance du r´esultat tient `a son ´economie : un petit nombre de conditions,
toutes raisonnables en apparence et tr`es en de¸c`a de ce que l’on aurait envie
d’exiger d’une proc´edure r´eellement d´emocratique , suffit `a engendrer un
r´esultat d’impossibilit´e.
17

Le th´eor`eme d’Arrow a engendr´e une tr`es vaste litt´erature dont on trouvera un bon aper¸cu dans Campbell et Kelly (2002) ; Kelly (1978) ; Fishburn
(1987) ; Sen (1986). On se contentera de mentionner ici que l’affaiblissement
de la condition de transitivit´e ne contribue pas de mani`ere significative `a
la disparition du probl`eme r´ev´el´e par le th´eor`eme d’Arrow. Par exemple,
imposer seulement la quasi-transitivit´e de la relation collective, c’est-`a-dire
la transitivit´e de sa partie asym´etrique (pr´ef´erence stricte), ce qui est toujours suffisant pour pouvoir d´eterminer dans tous les cas un ou plusieurs
vainqueurs, conduit, en pr´esence des conditions d’universalit´e, d’unanimit´e
et d’ind´ependance non plus `a une dictature mais `a une oligarchie, c’est-`adire a` l’existence d’un sous-ensemble de votants capable d’imposer leur avis
unanime au reste du groupe et disposant chacun d’un pouvoir de veto absolu
interdisant au groupe de pr´ef´erer strictement a `a b s’il sont d’avis contraire
(voir Gibbard, 1969 ; Mas-Colell et Sonnenschein, 1972).
Exemple 13
Consid´erons une situation avec 6 votants num´erot´es de i = 1 `a 6 et une r`egle
d’agr´egation conduisant `a une relation R = F (R1 , R2 , . . . , R6 ) en posant :
P
xP y ⇔
wi > λ,
{i:xPi y}

x I y sinon,
avec w1 = w2 = 0, 4, w3 = w3 = w5 = w6 = 0, 05 et λ = 0, 7 est oligarchique.
En effet, si l’on consid`ere l’ensemble O constitu´e des votants 1 et 2, on v´erifie
ais´ement que, quelque soit le profil de pr´ef´erences consid´er´e, on a :
[x P1 y et x P2 y] ⇒ x P y,
[x P1 y ou x P2 y] ⇒ Non[y P x].

3

L’existence d’une oligarchie est aussi probl´ematique que celle d’un dictateur. En effet, si l’oligarchie comprend la totalit´e des votants (seule solution pour pr´eserver l’aspect d´emocratique du vote) alors le droit de
veto de chaque membre de l’oligarchie impliquera, en g´en´eral, une relation
` l’inverse, une oligarchie ne
de pr´ef´erence collective fort peu discriminante. A
contenant qu’un seul votant fait de ce dernier un dictateur. Entre ces deux
extrˆemes, aucune solution n’est vraiment pleinement satisfaisante.
Si l’on affaiblit encore la condition de transitivit´e en exigeant seulement
qu’il n’existe pas de circuit dans la partie asym´etrique de la relation de pr´ef´erence collective (condition n´ecessaire et suffisante pour pouvoir d´efinir des ´el´ements maximaux dans tout sous-ensemble fini de candidats, voir Sen, 1970),
alors on peut mettre en ´evidence l’existence d’un votant ayant un pouvoir de
veto absolu (Mas-Colell et Sonnenschein, 1972) ce qui ne semble gu`ere plus
d´emocratique.
18

Le th´
eor`
eme d’Arrow et les pr´
ef´
erences floues. S’il est impossible
d’agr´eger de fa¸con satisfaisante (c’est-`a-dire en respectant les conditions d’Arrow) les pr´ef´erences des votants, c’est essentiellement pour deux raisons :
• parce que l’information contenue dans les pr´eordres complets d´ecrivant
les pr´ef´erences des votants est trop pauvre : elle est uniquement ordinale. On peut donc esp´erer, en agr´egeant des structures de pr´ef´erence
plus riches, ´echapper au th´eor`eme d’Arrow. En l’occurrence, en repr´esentant les pr´ef´erences des votants par des relations floues, on peut non
seulement parler de la pr´ef´erence de a sur b mais aussi de l’intensit´e de
la pr´ef´erence de a sur b. On dispose donc d’une information plus riche.
• parce que la pr´ef´erence globale doit ˆetre un pr´eordre complet et que
ceci est une contrainte forte. L’affaiblissement de cette condition nous
am`ene donc `a consid´erer des m´ethodes d’agr´egation conduisant `a des
pr´ef´erences sociales qui ne soient pas forc´ement des pr´eordres complets
mais des relations autorisant plus de souplesse, par exemple des relations floues.
Certains auteurs ont ´etudi´e si les cons´equences n´egatives du th´eor`eme d’Arrow pouvaient ˆetre ´evit´ees en demandant que le r´esultat de la m´ethode d’agr´egation soit une relation de pr´ef´erence floue (voir, par exemple, Barrett, Pattanaik et Salles, 1986, 1992 ; Leclerc, 1984 ; Perny, 1992a), c’est-`a-dire une
fonction R de A2 dans [0; 1]. Leurs conclusions sont, en g´en´eral, malheureusement n´egatives. D`es lors que l’on impose `a la relation de pr´ef´erence floue
obtenue comme r´esultat de v´erifier des conditions permettant d’en d´eduire
simplement des vainqueurs ou un rangement, on retrouve tr`es vite comme seul
r´esultat possible des m´ethodes d’agr´egation distribuant de fa¸con tr`es in´egale
le pouvoir entre les divers votants. C’est, par exemple, le cas si l’on impose
`a la relation de pr´ef´erence floue de v´erifier la min-transitivit´e, c’est-`a-dire,
pour tout a, b, c ∈ A :
R(a, c) ≥ min(R(a, b), R(b, c)),
condition qui assure que la relation Rλ d´efinie par :
aRλ b ⇔ R(a, b) ≥ λ,
` partir d’une relation min-transitive,
est transitive pour toute valeur de λ. A
il n’est donc pas difficile de d´eterminer un ou plusieurs vainqueurs ou encore
de bˆatir un rangement des candidats.
On trouve cependant dans la litt´erature des r´esultats positifs utilisant
des conditions de transitivit´e plus faibles qui pourraient laisser croire que
19

l’on peut r´econcilier les axiomes d’Arrow dans le cas de pr´ef´erences floues
(voir, par exemple, Ovchinnikov, 1991). Ces r´esultats apparemment positifs
reposent sur un malentendu : ils utilisent une notion de transitivit´e floue si
faible qu’elle tol`ere, par exemple, les effets Condorcet, comme on le montre
dans l’exemple qui suit.
Exemple 14
La notion de transitivit´e consid´er´ee dans Ovchinnikov (1991) pour les relations floues revient `a poser, pour tout a, b, c ∈ A :
R(a, c) ≥ R(a, b) + R(b, c) − 1.

(1)

Or dans un probl`eme admettant n votants, on montre que la relation de
pr´ef´erence floue :
1
R(a, b) = #{i ∈ A : a Ri b},
n
v´erifie la condition (1). Ainsi, en pr´esence de 3k votants dont les pr´ef´erences
sont les suivantes (effet Condorcet):
k
k
k

votants ont les pr´ef´erences
votants ont les pr´ef´erences
votants ont les pr´ef´erences

a b c,
b c a,
c a b,

on obtient : R(a, b) = 2/3, R(b, c) = 2/3 et R(c, a) = 2/3, ce qui est bien
compatible avec (1). Cette apparente solution au probl`eme soulev´e par le
th´eor`eme d’Arrow est n´eanmoins illusoire puisqu’il est loin d’ˆetre ais´e d’utiliser une relation floue v´erifiant la condition (1) pour en d´eduire des vainqueurs
ou un rangement.
3
Pour r´esumer, on peut dire que, sauf `a consid´erer une notion de transitivit´e artificiellement faible et n’ayant donc pas d’int´erˆet pratique, les proc´edures d’agr´egation conduisant `a des relations floues n’´echappent pas `a la
difficult´e r´ev´el´ee par le th´eor`eme d’Arrow.

3.2

Autres r´
esultats

Le th´eor`eme d’Arrow et ses nombreuses extensions sont tr`es loin d’´epuiser
l’ensemble des r´esultats en th´eorie du choix social concernant l’agr´egation des
pr´ef´erences. Il est illusoire de vouloir en tenter ici une pr´esentation d’ensemble
(on pourra, pour cela, se reporter `a Sen, 1986). On peut sch´ematiquement
regrouper ces r´esultats en trois cat´egories :
20

• les r´esultats de type impossibilit´e qui, dans le veine du th´eor`eme
d’Arrow, montrent l’existence de contradictions logiques entre certaines
conditions. De tels r´esultats permettent de mieux cerner les limites
auxquelles se heurte la recherche d’une m´ethode d’agr´egation satisfaisante ;
• les r´esultats de type caract´erisation s’attachant `a exhiber des conditions telles qu’une m´ethode d’agr´egation donn´ee soit la seule `a les satisfaire simultan´ement. De tels r´esultats visent `a mettre `a jour les caract´eristiques essentielles d’une m´ethode et, ainsi, d’en mieux comprendre
les sp´ecificit´es et de la comparer plus ais´ement `a d’autres ;
• les r´esultats de type analyse s’attachant `a confronter une s´erie de
m´ethodes `a un ensemble de conditions jug´ees souhaitables. Ils visent `a
permettre la mise `a jour de m´ethodes satisfaisantes , dans les limites
indiqu´ees par les r´esultats de type impossibilit´e.
Il est clair que cette distinction emporte une part d’arbitraire non n´egligeable et que ces trois types d’analyse ne sont nullement contradictoires ;
id´ealement, elles devraient faire appel aux mˆemes conditions.
Nous nous contenterons ici de mentionner, de mani`ere informelle, quelques
r´esultats qui nous semblent importants et/ou int´eressants pour ´eclairer certains des ph´enom`enes mis `a jour par les exemples de la section 2.
3.2.1


esultats d’impossibilit´
e

Parmi les tr`es nombreux r´esultats de ce type disponibles en th´eorie du
choix social, deux nous semblent particuli`erement importants :
• le th´eor`eme de Gibbard-Satterthwaite (Gibbard, 1973 ; Satterthwaite,
1975). Ce r´esultat montre l’impossibilit´e de concevoir des m´ethodes
d’agr´egation (conduisant `a l’´election d’un unique candidat) v´erifiant la
condition d’universalit´e qui soient non manipulables et non dictatoriales
d`es lors qu’il a plus de trois candidats. Le syst`eme ´electoral fran¸cais est
clairement non dictatorial et v´erifie la condition d’universalit´e. En n´egligeant les situations d’ex æquo au second tour, le r´esultat de Gibbard
et Satterthwaite nous assure alors qu’il est possible de trouver au moins
une situation o`
u un votant peut ne pas avoir int´erˆet `a r´ev´eler ses pr´ef´erences sinc`erement. Nous en avons pr´esent´e une `a l’exemple 4. Notons
que ce r´esultat a donn´e lieu `a une abondante litt´erature analysant les
probl`emes de vote en termes de jeux non coop´eratifs. On trouvera un
aper¸cu de la litt´erature sur ces questions dans Dummet (1984) ; Moulin
(1980, 1988) ; Peleg (1984).
21

• le th´eor`eme de Sen dit de l’ anarchiste par´etien (Sen, 1970). Supposons que les ´etats sociaux soumis au vote soient d´efinis de mani`ere
telle qu’ils concernent la sph`ere priv´ee d’un individu. Il est clair qu’il
existe des conflits entre le principe majoritaire, pouvant conduire `a la
dictature de la majorit´e (cf. exemple 1), et le respect, pour cet individu, de sa sph`ere priv´ee `a l’int´erieur de laquelle il devrait seul avoir le
pouvoir de d´ecider. Le th´eor`eme de l’anarchiste par´etien montre bien
davantage puisqu’il ´enonce l’impossibilit´e de faire coexister le principe
du respect d’une sph`ere individuelle et les conditions d’unanimit´e
et d’universalit´e. Ce r´esultat a engendr´e une abondante litt´erature dont
trouvera un bon aper¸cu dans Sen (1983, 1992).
3.2.2

Caract´
erisations

Parmi les tr`es nombreux r´esultats visant `a caract´eriser telle ou telle m´ethode d’agr´egation, ceux concernant la m´ethode de Borda pr´esent´ee `a la section 2.2 m´eritent une attention toute particuli`ere (on trouvera de nombreux
autres r´esultats de ce type dans Sen, 1986). En effet, cette m´ethode satisfait
`a la plupart des conditions pr´esent´ees jusqu’`a pr´esent et est particuli`erement
simple `a mettre en œuvre.
Une caract´
erisation de la m´
ethode de Borda Nous pr´esentons dans
ce paragraphe la caract´erisation de la m´ethode de Borda due `a Young (1974).
Il consid`ere la m´ethode de Borda comme une proc´edure de choix, c’est-`a-dire
une proc´edure associant `a tout profil de pr´eordres sur A un sous-ensemble
non vide de l’ensemble A des candidats. La m´ethode de Borda utilis´ee dans
ce contexte fonctionne comme suit : `a chaque candidat a, on associe un score
(dit de Borda) B(a) qui est ´egal `a la somme des rangs du candidat a dans
les pr´eordres totaux exprim´es par les diff´erents votants (en cas d’indiff´erence,
on utilise le rang moyen). L’ensemble de choix est alors constitu´e du ou des
candidats avec le score minimal. Le lecteur pourra se reporter `a l’exemple 11
pour une illustration du calcul des scores (noter que, dans l’exemple 11, la
m´ethode de Borda est utilis´ee pour ranger et non pour choisir mais le calcul
du score est le mˆeme).
Formalisation
` chaque
Une proc´edure de choix est une fonction f : WO(A)n → 2A \ ∅. A
n-uplet de pr´eordres complets, f associe un sous-ensemble non vide de A,
interpr´et´e comme l’ensemble des meilleurs candidats. La m´ethode de choix

22

de Borda est d´efinie par :
f (R1 , R2 , . . . , Rn ) = {a ∈ A : B(a) ≤ B(b), ∀b ∈ A},
o`
u B(a) est le score de Borda du candidat a et est d´efini par :
B(a) =

n
X

[#{b ∈ A : b Ri a} − #{b ∈ A : a Ri b}] .

(2)

i=1

Cette formalisation du score de Borda n’est pas exactement la somme des
rangs mais le lecteur v´erifiera ais´ement que B(a), d´efini par (2), est une
transformation affine de la somme des rangs et que, par cons´equent, utiliser
(2) ou la somme des rangs dans la m´ethode de Borda revient au mˆeme. Nous
retenons la formulation (2), plus commode `a manipuler que la somme des
rangs.

Pour caract´eriser la m´ethode de Borda, Young (1974) utilise quatre conditions.
Neutralit´
e l’ensemble de choix ne d´epend que de la position des candidats
dans les pr´ef´erences des votants et pas, par exemple, du nom des candidats ou de leur ˆage.
Formalisation
Soit P l’ensemble des permutations de A, π un ´el´ement de P et R une relation
binaire sur A. On note π(R) la relation binaire telle que π(a) π(R) π(b) ⇔
a R b. Une m´ethode de choix est neutre si et seulement si f (R1 , . . . , Rn ) =
π(f (π(R1 ), . . . , π(Rn ))) pour toute permutation π dans P.

Cette condition impose que tous les candidats soient trait´es de fa¸con
identique. Elle interdit par exemple les m´ethodes o`
u, en cas d’ex æquo, le
candidat le plus ˆag´e l’emporte. De mˆeme les m´ethodes de vote en cascade
sont exclues (voir l’exemple 8).
Loyaut´
e s’il n’y a qu’un seul votant, alors l’ensemble de choix doit contenir
les candidats figurant en tˆete des pr´ef´erences de l’unique votant.
Formalisation
f (R1 ) = {a ∈ A : a R1 b, ∀b ∈ A}.



Cette condition est extrˆemement naturelle. S’il n’y a qu’un seul votant,
on voit mal pourquoi ses pr´ef´erences ne seraient pas respect´ees.
23

Coh´
erence Comme `a l’exemple 7, imaginons que les votants soient divis´es en deux groupes ou deux circonscriptions et que l’on applique la
m´ethode de choix aux deux groupes s´epar´ement. Si certains candidats
appartiennent aux ensembles de choix des deux groupes, alors eux et
eux seuls doivent se retrouver dans l’ensemble de choix obtenu en appliquant la m´ethode de choix `a tous les votants.
Formalisation
f (R1 , . . . , Rm ) ∩ f (Rm+1 , . . . , Rn ) 6= ∅ ⇒
f (R1 , . . . , Rn ) = f (R1 , . . . , Rm ) ∩ f (Rm+1 , . . . , Rn ).



La coh´erence apparaˆıt comme une condition de bon sens. Si deux groupes
sont d’accord pour dire que tel candidat est parmi les meilleurs, alors il doit
en ˆetre de mˆeme lorsque les deux groupes sont r´eunis.
De nombreuses conditions faisant intervenir deux groupes de votants ont
´et´e utilis´ees dans la litt´erature. Elles sont souvent appel´ees s´eparabilit´e .
La coh´erence fait partie de ces conditions.
Annulation Consid´erons deux candidats a et b et supposons que le nombre
de votants pr´ef´erant a `a b soit ´egal au nombre de votants pr´ef´erant b
`a a. Ceci est une situation assez ordinaire. Supposons maintenant que
ceci soit vrai non seulement pour a et b mais pour toutes les paires de
candidats, simultan´ement. Nous avons alors `a faire `a une situation tr`es
particuli`ere. Dans une telle situation, une m´ethode v´erifiant la condition
d’annulation m`ene `a un ensemble de choix contenant tous les candidats.
Formalisation
∀a, b ∈ A, #{i ∈ N : a Ri b} = #{i ∈ N : b Ri a} ⇒ f (R1 , . . . , Rn ) = A.



Des quatre conditions utilis´ees par Young, l’annulation est sans doute la
plus d´elicate. Dans un certain sens, elle est raisonnable : lorsque, pour chaque
paire a, b de candidats, il y a autant de votants en faveur de a qu’en faveur
de b, il peut effectivement paraˆıtre prudent de d´eclarer tous les candidats ex
æquo. Mais il y a d’autres situations d´elicates o`
u la prudence recommanderait de d´eclarer tous les candidats ex æquo. Par exemple, lorsque la relation
majoritaire est cyclique (voir supra le paradoxe de Condorcet). Le choix de la
condition d’annulation plutˆot que d’une condition imposant l’ex æquo en cas
de relation majoritaire cyclique ou encore dans une autre situation d´elicate
apparaˆıt donc comme arbitraire.
Le lecteur v´erifiera ais´ement que la m´ethode de Borda v´erifie la neutralit´e,
la loyaut´e, la coh´erence et l’annulation. Le th´eor`eme suivant, dˆ
u `a Young, va
beaucoup plus loin.
24

Th´
eor`
eme 2 (Young (1974))
Une seule m´ethode de choix v´erifie les conditions de neutralit´e, loyaut´e, coh´erence et annulation : la m´ethode de Borda.
La preuve de ce th´eor`eme ´etant assez longue, nous ne la reproduisons pas
dans ce texte. Il est `a noter qu’une caract´erisation tr`es similaire existe pour
la m´ethode Borda utilis´ee pour ranger et non pour choisir (Nitzan et Rubinstein, 1981). De plus, diff´erentes g´en´eralisations ont ´et´e obtenues concernant
l’agr´egation de relations de pr´ef´erences qui ne sont pas forc´ement des pr´eordres complets mais toutes sortes de relations binaires et mˆeme des relations
floues (Debord, 1987 ; Marchant, 1996, 1998, 2000 ; Ould-Ali, 2000).

en´
eralisations de la m´
ethode de Borda La m´ethode de Borda est
un cas particulier d’une classe plus g´en´erale de m´ethodes d’agr´egation dites
m´ethodes de scorage . Elles consistent `a agr´eger les pr´ef´erences en associant un nombre `a chaque rang dans les listes de pr´ef´erence fournies par les
votants, en faisant la somme de ces nombres pour chaque candidat et en
d´eclarant ´elu le ou les candidats ayant le total le plus faible. La m´ethode
de Borda est une m´ethode de scorage particuli`ere o`
u les nombres associ´es `a
chaque rang sont ´egalement espac´es. Le syst`eme britannique est ´egalement
une m´ethode de scorage o`
u le candidat class´e en tˆete re¸coit 1 point tandis
que tous les autres en re¸coivent, par exemple, 2.
Smith (1973) et Young (1974, 1975) ont montr´e que les m´ethodes de scorage ´etaient essentiellement caract´eris´ees par la conjonction des conditions de
neutralit´e, d’anonymat et de s´eparabilit´e (il suffit alors d’ajouter la condition
d’annulation pour parvenir `a une caract´erisation de la m´ethode de Borda ;
pour une vue d’ensemble r´ecente de tr`es nombreux r´esultats se rapportant aux
m´ethodes de scorage, on pourra consulter Saari (1994)). Le syst`eme fran¸cais
n’est pas une m´ethode de scorage du fait du deuxi`eme tour ´eventuel. Cette
m´ethode est cependant neutre et anonyme. Il n’est donc pas surprenant de
constater qu’elle n’est pas s´eparable comme l’a montr´e l’exemple 7. On a
not´e `a la section 2 que ni le syst`eme britannique ni la m´ethode de Borda
ne satisfont au principe de Condorcet (cf. exemples 2 et 10). Ceci n’est pas
surprenant. En effet, on peut montrer qu’aucune m´ethode de scorage ne peut
satisfaire au principe de Condorcet (voir Moulin, 1988).
Notons enfin que le syst`eme fran¸cais peut se concevoir comme une m´ethode de scorage avec it´eration : on utilise une m´ethode de type britannique
au premier tour pour isoler les deux candidats restant en lice au second tour
et on applique une m´ethode de mˆeme type sur ces deux candidats. Notons
qu’il y a de nombreuses fa¸cons d’utiliser une m´ethode de scorage de fa¸con it´erative (on pourrait envisager, par exemple, de recourir `a plus de deux tours).
25

Un r´esultat dˆ
u `a Smith (1973) montre qu’aucune m´ethode de ce type n’est
monotone. La non monotonie du syst`eme fran¸cais illustr´ee `a l’exemple 5 n’est
qu’une manifestation particuli`ere de ce r´esultat.
Une caract´
erisation de la majorit´
e simple Nous pr´esentons dans ce
paragraphe la caract´erisation de la m´ethode de la majorit´e simple due `a May
(1952) et traitant du cas de deux candidats. Dans ce cas, la distinction entre
choix et rangement n’a plus beaucoup de sens mais, pour ne pas introduire un
nouveau formalisme, nous adopterons ici, de fa¸con arbitraire, le formalisme du
choix. May consid`ere donc une proc´edure de choix, c’est-`a-dire une m´ethode
qui d´esigne un ou plusieurs candidats gagnants au d´epart des pr´ef´erences des
votants. Une d´efinition formelle d’une m´ethode de choix a ´et´e donn´ee plus
haut `a propos de la m´ethode de Borda.
Un candidat fait partie de l’ensemble de choix `a la majorit´e simple si le
nombre de votants le supportant n’est pas inf´erieur au nombre de votants
supportant son adversaire.
Formalisation
La m´ethode de choix `a la majorit´e simple est d´efinie par : a ∈ f (R1 , . . . , Rn )
ssi
#{i ∈ N : a Ri b} ≥ #{i ∈ N : b Ri a}.

Il est `a noter que les votants indiff´erents ne jouent aucun rˆole dans le
r´esultat de l’´election. Leur voix sont compt´ees des deux cˆot´es de l’in´egalit´e et
tout se passe donc comme s’ils n’existaient pas. Pour caract´eriser la m´ethode
de la majorit´e simple, May a utilis´e trois conditions.
Anonymat l’ensemble de choix ne d´epend que des pr´ef´erences des votants
et pas, par exemple, de leur nom ou de leur ˆage.
Formalisation
Soit S l’ensemble des permutations de N = {1, . . . , n}. Une m´ethode de choix
est anonyme si et seulement si f (R1 , . . . , Rn ) = f (Rσ(1) , . . . , Rσ(n) ) pour toute
permutation σ dans S.

Cette condition interdit par exemple les m´ethodes o`
u certains votants
ont plus de poids que d’autres de mˆeme que les m´ethodes o`
u un votant
(g´en´eralement le pr´esident de l’assembl´ee) a le pouvoir de trancher en cas
d’ex æquo.
Neutralit´
e voir supra.

26

Monotonie Stricte ´etant donn´ees les pr´ef´erences des votants, si les candidats a et b sont choisis et si un des votants revoit ses pr´ef´erences
en faveur de a (les autres votants ne changeant rien), alors seul a est
encore choisi. Si au d´epart seul a ´etait choisi, alors a reste seul dans
l’ensemble de choix.
Formalisation
Consid´erons deux pr´eordres Ri et Ri0 identiques sauf pour un couple (a, b) de
candidats, pour lequel on a :
• Non[a Ri b] et a Ri0 b ou
• b Ri a et Non[b Ri0 a].
La monotonie stricte impose alors que :
f (R1 , . . . , Ri , . . . , Rn ) = {a} ⇒ f (R1 , . . . , Ri0 , . . . , Rn ) = {a},
et
f (R1 , . . . , Ri , . . . , Rn ) = {a, b} ⇒ f (R1 , . . . , Ri0 , . . . , Rn ) = {a}.



Cette condition impose donc que, en cas d’ex æquo, un seul votant qui
changerait d’avis suffise `a faire basculer la situation dans un sens ou l’autre.
La m´ethode de la majorit´e simple v´erifie clairement les conditions ´enonc´ees ci-dessus. De plus, elle est la seule `a les satisfaire.
Th´
eor`
eme 3 (May (1952))
Lorsqu’il n’y a que deux candidats, la seule m´ethode de choix v´erifiant les
conditions de neutralit´e, anonymat et monotonie stricte est la m´ethode de la
majorit´e simple.
Pour comprendre pourquoi ce th´eor`eme ne s’applique que au cas de deux
candidats, il suffit de se rendre compte que de nombreuses m´ethodes de choix
diff´erentes co¨ıncident dans le cas de deux candidats. En l’occurrence, la m´ethode de Borda et de nombreuses m´ethodes de scorage donnent toujours le
mˆeme ensemble de choix que la majorit´e simple, avec deux candidats. On
peut alors se poser la question de l’int´erˆet de cette caract´erisation. En fait,
comme on l’a vu plus haut, avec le th´eor`eme d’Arrow, la m´ethode de la
majorit´e simple ne peut pas ˆetre ´etendue `a plus de deux candidats (si on
veut en conserver l’essence). Sa caract´erisation avec deux candidats est donc
essentielle.

27

3.2.3

Analyse

Les quelques m´ethodes d’agr´egation pr´esent´ees jusqu’`a pr´esent sont loin
d’´epuiser toutes celles qui ont ´et´e propos´ees dans la litt´erature (en particulier, on n’a pas abord´e les nombreuses m´ethodes cherchant `a tirer parti de
la pr´ef´erence collective bˆatie par la m´ethode de Condorcet pour parvenir `a
un choix ou `a un classement). De mˆeme les propri´et´es souhaitables introduites pour les analyser ne repr´esentent qu’une tr`es faible part de toutes
celles propos´ees dans la litt´erature. On trouvera une vue d’ensemble de ces
m´ethodes et propri´et´es dans De Donder, Le Breton et Truchon (2000) ; Felsenthal et Moaz (1992) ; Fishburn (1977) ; Levin et Nalebuff (1995) ; Nurmi
(1987) ; Richelson (1975, 1978a,b, 1981).

4

Aide multicrit`
ere `
a la d´
ecision et th´
eorie
du choix social

4.1

Int´
erˆ
et et limites des r´
esultats de type choix social
en aide multicrit`
ere `
a la d´
ecision

On a observ´e en section 1 que les probl`emes d’agr´egation en aide multicrit`ere `a la d´ecision ´etaient formellement tr`es proches de ceux rencontr´es
en th´eorie du choix social. Or, il ressort des exemples de la section 2 et
des r´esultats de la section 3 qu’en ce domaine, la conception d’une m´ethode
d’agr´egation satisfaisante se heurte `a des probl`emes s´erieux. Certains
(voir, par exemple Gargaillo, 1982) ont cru pouvoir en conclure `a la vanit´e de
l’analyse multicrit`ere. Des raisons de place nous empˆechent ici de r´epondre
de mani`ere d´etaill´ee `a une telle objection (voir Roy et Bouyssou, 1993). Il
nous faut n´eanmoins mentionner :
• qu’une telle conclusion rel`eve d’une interpr´etation biais´ee et trop radicale des principaux r´esultats disponibles en th´eorie du choix social.
Si certains r´esultats d’impossibilit´e existent, ils ne signifient pas autant
que vouloir recourir `a une m´ethode d’agr´egation pour tenter de d´egager
une d´ecision collective est un exercice futile. C’est un exercice difficile
qui demande de r´ealiser des compromis entre divers types d’exigences
qu’il n’est pas, en g´en´eral, possible de satisfaire simultan´ement. Ces
r´esultats quand ils sont combin´es `a ceux de type caract´erisation et
analyse fournissent une base tr`es riche pour raisonner le choix d’une
m´ethode. Il n’y a pas de m´ethode id´eale , mais il existe peut-ˆetre
des m´ethodes plus satisfaisantes (ou moins mauvaises) que d’autres.
28

On pourra par exemple se r´ef´erer `a Saari (1994)pour une d´efense fort
convaincante de la m´ethode de Borda ou `a Brams et Fishburn (1982)
pour celle du vote par assentiment ;
• qu’il serait mal venu de confondre une proximit´e formelle avec une
identit´e entre les deux types de probl`eme d’agr´egation. Notons, en particulier, que :
– la pratique de l’aide multicrit`ere `a la d´ecision am`ene souvent `a
vouloir bˆatir des recommandations de nature plus vari´ee que le
seul choix d’une et d’une seule action, comme c’est souvent, naturellement, le cas en th´eorie du choix social (voir Roy, 1985),
– certaines conditions ou hypoth`eses naturelles en th´eorie du choix
social le sont beaucoup moins en aide multicrit`ere `a la d´ecision
` titre d’exemple, mentionnons que la condition
et vice versa. A
d’anonymat n’a pas lieu d’ˆetre en analyse multicrit`ere d`es lors
que l’on souhaite prendre en compte l’importance relative des crit`eres. Inversement, mentionnons que l’ensemble des actions potentielles qu’il s’agit d’´evaluer peut rarement ˆetre consid´er´e comme
une donn´ee en analyse multicrit`ere, contrairement au cas d’une
´election o`
u l’ensemble des candidats est, en g´en´eral, bien d´efini.
Les conditions portant sur les r´eactions d’une m´ethode d’agr´egation `a l’apparition ou `a la disparition d’actions peuvent alors se
r´ev´eler d’importance beaucoup plus grande en analyse multicrit`ere
qu’en th´eorie du choix social,
– les pr´ef´erences qu’il s’agit d’agr´eger en analyse multicrit`ere sont
le r´esultat d’un long travail de mod´elisation de chacun des crit`eres (voir Bouyssou, 1990). Ce travail peut parfois amener `a
agr´eger une information moins riche qu’une liste ordonn´ee
comme, par exemple, des structures de pr´ef´erences incompl`etes,
floues et/ou dans lesquelles la relation d’indiff´erence n’est pas transitive (sur ces questions voir Fodor et Roubens, 1994 ; Perny et
Roubens, 1998 ; Perny et Roy, 1992 ; Roubens et Vincke, 1985).
Au contraire, dans certaines circonstances, on sera `a mˆeme de
mod´eliser finement des intensit´es de pr´ef´erences sur un crit`ere
donn´e voire de comparer des ´ecarts de pr´ef´erences exprim´es selon
divers crit`eres (voir Keeney et Raiffa, 1976). Mentionnons enfin
que le traitement de l’incertitude, de l’impr´ecision ou de la mauvaise d´etermination est souvent essentiel pour parvenir `a ´elaborer
une recommandation probante en analyse multicrit`ere (Bouyssou,
1989), contrairement `a ce qui est le cas en th´eorie du choix social.
29

– en aide multicrit`ere `a la d´ecision, contrairement au choix social,
il n’est pas toujours n´ecessaire de construire totalement la pr´ef´erence globale. En effet, il peut arriver que le d´ecideur puisse
exprimer avec plus ou moins de certitude ses pr´ef´erences globales
quant `a certaines paires d’alternatives. Par exemple, un d´ecideur
serait capable de dire qu’il pr´ef`ere x `a z et y `a z mais il h´esiterait entre x et y. S’il utilise alors une m´ethode d’agr´egation, c’est
uniquement pour construire une pr´ef´erence entre x et y et non
pas sur l’ensemble des alternatives. Bien entendu, cette pr´ef´erence
construite sur certaines paires d’alternatives doit ˆetre fond´ee sur
les pr´ef´erences unicrit`eres du d´ecideur mais aussi sur ses pr´ef´erences globales d´eclar´ees. On dispose donc en aide multicrit`ere `a
la d´ecision d’un ´el´ement tout `a fait neuf par rapport `a la th´eorie
du choix social : les pr´ef´erences globales du d´ecideur. Celles-ci sont
´evidemment incompl`etes et mˆeme souvent tr`es incompl`etes mais
peuvent n´eanmoins aider `a construire la pr´ef´erence globale. Il est
d’ailleurs bon de remarquer que, dans la pratique, ces pr´ef´erences
globales sont souvent utilis´ees par les analystes afin de fixer certains param`etres de la m´ethode d’agr´egation qu’ils utilisent. Par
exemple, avec les m´ethodes de type MAUT, le d´ecideur doit comparer des alternatives (souvent mais pas n´ecessairement) fictives
afin de d´eterminer la forme des fonctions d’utilit´e. L’existence de
ces pr´ef´erences globales, totalement absentes en th´eorie du choix
social, brise la sym´etrie entre l’aide multicrit`ere `a la d´ecision et
la th´eorie du choix social. Peu de r´esultats th´eoriques ont jusqu’`a
pr´esent pris en compte les pr´ef´erences globales du d´ecideur. Il y a
l`a un vaste champ de recherches encore inexplor´e.
S’il existe une proximit´e formelle entre les deux domaines et si certaines
conditions classiques utilis´ees en th´eorie du choix social se retrouvent naturellement en multicrit`ere (unanimit´e, monotonie, neutralit´e par exemple),
il faut donc se garder de transpositions trop brutales tant l’agr´egation multicrit`ere pr´esente de caract`eres sp´ecifiques.
Il ne faut pas en conclure pour autant que ces deux domaines soient
sans liens et que les exemples et r´esultats pr´esent´es aux sections 2 et 3 soient
sans cons´equence pour l’analyse multicrit`ere. Ainsi que l’a clairement montr´e
Vansnick (1986a), il est possible et utile de voir les m´ethodes d’agr´egation
multicrit`ere au travers du filtre de la th´eorie du choix social. Mentionnons ici,
par exemple, que la diff´erence de philosophie entre les m´ethodes de Condorcet
et de Borda se retrouve en analyse multicrit`ere o`
u coexistent des m´ethodes
de nature plutˆot ordinales (les m´ethodes de surclassement, voir Roy, 1991 ;
30

Roy et Bouyssou, 1993) et des m´ethodes plutˆot cardinales o`
u l’id´ee d’´ecart
de pr´ef´erence est centrale (m´ethodes fond´ees sur la th´eorie de l’utilit´e multiattribut, voir Keeney et Raiffa, 1976). Au vu du th´eor`eme d’Arrow, on ne
sera pas ´etonn´e du fait que les m´ethodes du premier type conduisent souvent
`a des relations de pr´ef´erence globales ne se prˆetant pas de mani`ere imm´ediate
`a l’´elaboration d’une recommandation (Vanderpooten, 1990).
Beaucoup reste `a faire pour adapter et/ou ´etendre les r´esultats disponibles
en th´eorie du choix social pour les rendre pertinents en analyse multicrit`ere.
Un effort a ´et´e entrepris dans ce sens depuis quelques ann´ees. On mentionnera
en particulier :
• des r´esultats d’ impossibilit´e (Arrow et Raynaud, 1986 ; Bouyssou,
1992a ; Perny, 1992b),
• des r´esultats de caract´erisation (Bouyssou, 1992b ; Bouyssou et
Vansnick, 1986 ; Bouyssou et Perny, 1992 ; Marchant, 1996 ; Pirlot,
1995, 1997) et
• des r´esultats d’ analyse (Bouyssou et Vincke, 1997 ; Lansdowne,
1996, 1997 ; P´erez, 1994 ; P´erez et Barba-Romero, 1995 ; Pirlot, 1997 ;
Vincke, 1992).
Il reste cependant beaucoup `a faire (voir Bouyssou, Perny, Pirlot, Tsouki`as et Vincke, 1993).

4.2

Quelques r´
esultats en rapport direct avec des m´
ethodes d’aide multicrit`
ere `
a la d´
ecision

Jusqu’ici, nous avons tent´e de donner un aper¸cu global de la th´eorie du
choix social, de montrer les liens entre cette th´eorie et l’aide multicrit`ere `a la
d´ecision ainsi que les limites de cette analogie. Dans cette derni`ere section,
nous nous attachons `a signaler des r´esultats de la th´eorie du choix social
ayant un rapport direct avec des m´ethodes populaires d’aide multicrit`ere `a
la d´ecision.
TACTIC (Vansnick, 1986b) Le premier r´esultat en rapport avec la m´ethode TACTIC est le r´esultat de May (1952) pr´esent´e plus haut. Ce r´esultat
caract´erise la m´ethode de la majorit´e simple lorsqu’elle est appliqu´ee `a un
ensemble de deux alternatives. Or la m´ethode de la majorit´e simple peut
ˆetre vue comme un cas particulier de la m´ethode TACTIC, avec un seuil de
concordance ´egal `a 1, sans poids et sans discordance. Concernant ´egalement

31

un ensemble de deux alternatives, un r´esultat de Fishburn (1973) caract´erisant la m´ethode de la majorit´e simple avec des poids attach´es `a chaque
crit`ere.
Un autre article `a mentionner ici est Marchant (2003). Il caract´erise de
deux fa¸cons la m´ethode de la majorit´e simple pond´er´ee appliqu´ee `a un nombre
quelconque d’alternatives. Il s’agit donc de r´esultats l´eg`erement plus g´en´eraux
que ceux de May et de Fishburn. Il correspond `a un cas particulier de la
m´ethode TACTIC, avec un seuil de concordance ´egal `a 1 et sans discordance.
Multi-Attribute Utility Theory (MAUT) (Keeney et Raiffa, 1976)
Les m´ethodes de cette famille ont g´en´eralement ´et´e ´etudi´ees dans le cadre
de la th´eorie du mesurage (Krantz, Luce, Suppes et Tversky, 1971 ; Wakker,
1989). Il existe cependant des r´esultats pertinents en th´eorie du choix social
pour d´ecrire ces m´ethodes. Il s’agit en particulier de r´esultats dits de choix
social cardinal . Dans cette partie de la th´eorie du choix social, l’information
`a agr´eger n’est pas ordinale (des rangements) mais cardinale : on d´esire agr´eger des utilit´es. Un article particuli`erement int´eressant `a cet ´egard est celui
de Roberts (1980). Jusqu’`a pr´esent, aucun de ces r´esultats n’a ´et´e transpos´e,
`a notre connaissance, en aide multicrit`ere `a la d´ecision. Un travail important
reste donc `a accomplir.
Somme pond´
er´
ee La somme pond´er´ee ´etant un cas particulier des m´ethodes de type MAUT, nous renvoyons le lecteur au paragraphe pr´ec´edent.
Un r´esultat particulier `a ´epingler `a ce propos est le th´eor`eme 2 dans Roberts
(1980) qui caract´erise la somme pond´er´ee (voir aussi Blackwell et Girshik,
1954 ; d’Aspremont et Gevers, 1977).
ELECTRE et PROMETHEE (Roy, 1991 ; Roy et Bouyssou, 1993 ;
Vincke, 1989) Les m´ethodes ELECTRE et PROMETHEE permettent de
comparer des solutions potentielles `a un probl`eme de d´ecision, en pr´esence de
plusieurs crit`eres. Chaque solution potentielle est repr´esent´ee par un vecteur
de Rn , x = (x1 , . . . , xn ) o`
u xi repr´esentant la performance de x sur le crit`ere
i (on suppose ici que les crit`eres sont `a maximiser).
La premi`ere ´etape de la m´ethode PROMETHEE consiste `a choisir, pour
chaque crit`ere i, une fonction de pr´ef´erence fi (Mareschal et Brans, 1988) qui
permet de calculer, pour chaque paire d’alternatives x, y, un nombre compris
entre 0 et 1 traduisant un degr´e de pr´ef´erence de x sur y not´e Pi (x, y) et d´efini
par Pi (x, y) = fi (xi , yi ).
On dispose donc `a la fin de la premi`ere ´etape d’autant de relations de
pr´ef´erence floues qu’il y a de crit`eres, Pi ´etant la relation floue associ´ee au
32

crit`ere i et Pi (x, y) la valeur de cette relation pour le couple x, y. Les ´etapes
suivantes de la m´ethode PROMETHEE peuvent en fait ˆetre vues comme
l’agr´egation de relations floues `a l’aide d’une g´en´eralisation de la m´ethode de
Borda. Cette g´en´eralisation permettant d’agr´eger des relations floues a ´et´e
caract´eris´ee dans Marchant (1996). Des variantes de cette caract´erisations
sont propos´ees dans Marchant (1998, 2000) ; Ould-Ali (2000).
Les m´ethodes ELECTRE utilisent une construction analogue mais autorisent en plus des ph´enom`enes de veto (Roy, 1991 ; Roy et Bouyssou, 1993).
La relation de pr´ef´erence construite `a l’issue de l’´etape d’agr´egation utilise
des fonctions fi et gi `a valeur dans [0; 1] pour d´efinir d’une part des indices
de concordance Ci (x, y) = fi (xi , yi ) qui repr´esentent le degr´e avec lequel xi
est au moins aussi bon que yi et d’autre part des indices de discordance
Di (x, y) = gi (xi , yi ) qui ´evaluent dans quelle mesure la diff´erence yi − xi est
compatible avec une pr´ef´erence globale de x sur y. Lorsque yi − xi d´epasse un
certain seuil dit seuil de veto, Di (x, y) prend la valeur 1 (on dit que le crit`ere
oppose son veto) et la r`egle d’agr´egation utilis´ee interdit alors la pr´ef´erence
de x sur y (pour plus de d´etail sur l’agr´egation des relations floues Ci et Di
voir Perny et Roy (1992)).
Les m´ethodes ELECTRE et PROMETHEE utilisent donc des proc´edures
d’agr´egation multicrit`eres fond´ees sur la construction puis l’agr´egation de re` cet ´egard, elles n’´echappent pas aux r´esultats d’impossibilit´e
lation floues. A
´evoqu´es en section 3.1, au sujet de l’agr´egation de relations floues (pour
plus de d´etails voir Perny, 1992b). Ce constat explique la n´ecessite d’une
phase d’exploitation (voir par exemple Roy et Bouyssou, 1993 ; Vanderpooten, 1990), utilis´ee au sortir de l’agr´egation pour proposer une prescription
au d´ecideur. Cette phase d’exploitation est souvent d´elicate et les probl`emes
rencontr´es peuvent ´egalement ˆetre analys´es `a la lumi`ere des r´esultats axiomatiques sur l’agr´egation ordinale de pr´ef´erences. Ainsi certains ph´enom`enes de
non monotonie observ´es sur des proc´edures d’exploitation reposant sur l’it´eration d’une fonction de choix (Fodor, Orlovski, Perny et Roubens, 1998 ;
Perny, 1992a) s’expliquent par le th´eor`eme de Smith ´evoqu´e au paragraphe
3.2.2 ou par des d´eveloppements axiomatiques plus r´ecents men´es dans la
mˆeme veine (voir Bouyssou, 2003 ; Juret, 2003).
Mentionnons enfin que Bouyssou (1996) a ´etendu au cas des m´ethodes
ELECTRE et PROMETHEE les r´esultats classiques de McGarvey (1953)
concernant la m´ethode de la majorit´e simple.

33


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