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Exercices de mécanique des fluides .pdf



Nom original: Exercices de mécanique des fluides.pdf
Titre: Exercices de mécanique des fluides
Auteur: HEPCUT

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Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

1

Exercices de mécanique des fluides

1ère Bach informatique et systèmes
Préparé par Cécile Josse

HEPH Condorcet
Site de Tournai
2 rue Paul Pastur 7500 Tournai

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

2

Introduction :
Les gaz et les liquides s’écoulent. C’est pourquoi on les appelle des « fluides ».
Leurs atomes et/ou leurs molécules peuvent se déplacer assez librement. On
peut ainsi dire qu’un fluide est un agrégat d’atomes résistant peu au cisaillement.
Lorsque que l’on chauffe un solide (glace ou acier par exemple), ses atomes ou
ses molécules reçoivent de l’énergie thermique. Si l’énergie reçue est suffisante
pour surmonter les forces intermoléculaires, le solide fond. A l’état liquide, de
petits groupes de molécules associées persistent mais ils se font et se défont au
gré du déplacement de l’échantillon. Il y a de l’ordre mais il est local et
changeant.
En élevant encore la température, le liquide se rapproche de son point
d’ébullition, les liens entre les molécules finissent par céder. Les agrégats locaux
se désagrègent et le liquide s’évapore : il devient un gaz.
Le liquide est donc l’état intermédiaire entre la désorganisation d’un gaz et
l’arrangement d’un solide. Aux pressions et températures ordinaires, l’état
liquide est facile à former soit avec des molécules hautement polarisées comme
l’eau, soit avec de grandes molécules lourdes comme le pétrole.
L’aptitude à couler est la propriété caractéristique des fluides. Elle varie avec la
force de cohésion des molécules. La viscosité est la résistance aux mouvements
des molécules. Habituellement les petites molécules comme l’eau se déplacent
aisément et présentent une faible viscosité en comparaison avec les grandes
molécules complexes telles que le goudron.
Nous nous limiterons dans ce cours à l’étude des « liquides parfaits »,
incompressibles et non visqueux.

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Partie 1 : La statique des fluides :
1 La pression hydrostatique :
Au lieu de forces ponctuelles, nous considérons maintenant des forces dont
l’action se répartit, des forces qui agissent sur une surface étendue.
Si une force se répartit sur une surface, nous définissons la pression P comme le
quotient de la force par la surface.
F
La pression est une quantité scalaire ; en chaque point, elle a une valeur
S
mais pas de direction. L’unité de la pression est le Pascal Pa ou N/m2.
p

Si l’on considère un liquide dans un récipient, ce liquide exerce une force de
pression vers l’extérieur sur la base et les parois latérales du récipient. Les
parois réagissent avec une contre-force. C’est cette force de pression qui fait
couler le liquide si le récipient a un trou latéral ou au fond.
La force exercée par un fluide au repos sur une surface rigide est toujours
perpendiculaire à cette surface.
La pression exercée par un fluide sera considérée comme positive quand le
fluide est soumis à cette pression, ce qui est souvent le cas.
La pesanteur est la cause de la pression hydrostatique. Si l’on considère un
timbre poste de surface S immergé dans un liquide à une profondeur h,
parallèlement à la surface du liquide. La face supérieure du timbre est soumise
de la part du liquide à une force normale vers le bas, égale au poids de la colonne
de fluide au dessus du timbre. En supposant que la masse volumique ρ est
constante, la masse de la colonne est ρV, c'est-à-dire ρSh.

La pression est : p

F
S

gSh
S

gh

La pression d’un fluide à une profondeur h est égale au poids du liquide contenu
dans un cylindre de section égale à l’unité de surface et de hauteur h.

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Applications :
Quelle est la pression (due seulement à l’eau) subie par un nageur 20m au dessous
de la surface de l’océan ?

Lorsque la surface du liquide est elle-même soumise à une pression (due à
d’autres fluides ou à un système mécanique), celle-ci doit être ajoutée à la
pression ρgh du liquide.
La pression à une profondeur h du liquide devient :
p p s pl p s
gh
La pression est la même en tous les points situés à un même niveau horizontal
d’un même fluide au repos.
La pression en A est ps+ρgh, si l’on descend jusqu’à D, elle augmente de ρg∆h,
mais diminue de la même quantité en remontant jusque B. Elle augmente encore
jusqu’à E et ensuite diminue si on remonte en C les pressions sont les mêmes en
A, B, et C.
Il en découle deux constatations :
- La pression à la surface du liquide dans toutes les colonnes communicantes est
la pression atmosphérique. Le niveau de la surface du liquide dans toutes les
colonnes doit être le même, indépendamment de la forme de la colonne.

- La pression à une profondeur donnée est indépendante de la forme du
récipient. Elle ne dépend que de la masse volumique du liquide et de la profondeur
h
.

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La pression atmosphérique pA vaut une atmosphère ; 1 atm= 1,01325X105Pa.
C’est la pression que produit à 0°C une colonne de mercure d’exactement
760 mmHg. L’unité dite « mm de mercure » appelée aussi torr, en hommage à
Toricelli est utilisée par les médecins et les spécialistes du vide. Les mécaniciens
utilisent le bar (105 Pa) et les météorologues le millibar (10 2 Pa ou hecto Pa). La
pression atmosphérique normale est 1013 millibars ou hectopascals.
L’atmosphère exerçant une force vers le bas sur la surface libre du mercure
peut soutenir760mm de Hg dans la colonne. Le tube est d’abord rempli puis
renversé dans le bol de mercure. La colonne descend laissant un vide dans
l’espace au dessus.

Application :
Une atmosphère est définie comme la pression équivalente à celle que produit à
0°C une colonne de 76cm de mercure de masse volumique 13.5950X10 3 kg/m3dans
les conditions de pesanteur normale. Montrez qu’une colonne barométrique de
mercure de 76cm de mercure correspond bien à une pression d’air de
1.013X105Pa.
On mesure la pression des pneus ou des réservoirs d’air comprimé avec un
manomètre dont le zéro correspond à la pression atmosphérique. Le manomètre
mesure en fait une différence de pression, celle entre la pression réelle ou
pression absolue (p) et la pression atmosphérique. On appelle cette surpression
la pression manométrique ou la pression relative (pM). On a :p=pA+pM
Applications :
- La pression manométrique du liquide au niveau de l’aiguille de la perfusion est
de pM=ρgh, ou ρ est la masse volumique du fluide injecté. Pour que le fluide de
perfusion coule dans la veine du patient, il faut que la pression manométrique de
la poche de plastique excède la pression du sang dans la veine (environ 2kPa).
La poche doit donc être placée au moins 200mm au dessus de l’aiguille.

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- Un buveur aspire de l’eau avec une paille. Sa bouche est 150mm au dessus de la
surface du liquide. Que doit être la pression absolue dans la bouche et la
pression manométrique correspondante ?

Illustration du vide : Les deux hémisphères ci-dessous sont vidés de leur air et
la pression de l’air agit vers l’intérieur. Les éléments de force de pression
agissant dans la direction radiale ont pour résultantes 2 forces agissant suivant
l’axe des Z sur chacun des hémisphères pour les maintenir soudés.

Loi de Boyle-Mariotte :A température constante, le volume d’un gaz est
inversement proportionnel à sa pression, ce qui revient à dire que le produit du
volume et de la pression est constant à température constante :PV=constante.

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2 Le manomètre :
Le manomètre est un tube en U contenant un liquide de masse volumique ρ et qui
sert à mesurer la pression des gaz. Le liquide peut être du mercure ou quand il
s’agit de mesurer des pressions plus faibles de l’eau ou de l’huile. L’une des
extrémités du tube est ouverte à l’air libre et l’autre est en contact avec le gaz
dont on veut mesurer la pression.

Dans le bas du tube, du côté gauche, la pression vaut : p
du côté droit, p atm

gy1 , au même niveau,

gy2

En égalant les 2 termes : p

gy1

p atm

gy2

p

p atm

g ( y2

y1 )

p atm

gh

C’est donc la différence de hauteur entre les 2 colonnes du tube en U qui permet
de déterminer la pression P du gaz.
Applications : Jusqu’à quelle hauteur l’eau peut-elle s’élever dans les tuyaux d’un
immeuble si la pression de la jauge au niveau du rez-de- chaussée est égale à
2 105Pa ?

Une certaine pression peut supporter une colonne d’eau pure de 0.7m. La même
pression supportera une colonne de solution saline de 0.6m de haut. Quelle est la
masse volumique de la solution saline ?

Un tube en U est ouvert à son extrémité contient deux liquides non miscibles de
masses volumiques ρ1 et ρ2. Que vaut le rapport h1/h2 en fonction de ρ1 et ρ2 ?

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Le rôle de la gravitation dans la circulation sanguine
L’évolution de certains animaux vers un stade de développement où ils passent
une grande partie de leur temps dans la position debout s’est accompagnée de
modifications dans le système circulaire. Le système veineux qui ramène le sang
des extrémités inférieures vers le cœur est d’une importance capitale dans ce
contexte et les êtres humains ont été forcés de s’adapter au problème posé par
le transport du sang sur une grande distance verticale, donc contre la force de
gravitation. Les animaux qui n’ont pas fait cette adaptation, tels que les
serpents, les anguilles ou même les lapins meurent si on leur maintient la tête
vers le haut.
La figure ci-dessous montre les tensions artérielles dans la position debout et
dans la position couchée, où l’on remarque qu’elles sont pratiquement les mêmes.

Nous pouvons calculer la pression aux différents points ;
pp

pc

ghc

p cv

ghcv , ρ=masse volumique du sang :1.0595 103 kg/m3

Les valeurs typiques de hcv et hc sont pour un adulte : 1.7m et 1.3m
Calculez la différence de pression entre les pieds et le cœur :

On constate une forte différence de pression. Cela pose plusieurs problèmes
dont le plus important est le drainage du sang de la partie inférieure du corps
vers le cœur. L’importance de cet effet est illustrée par le fait qu’un soldat,
obligé de rester au garde à vous, peut s’évanouir à cause d’un flux sanguin
insuffisant. Une fois couché, les pressions s’égalisent et le soldat reprend
conscience.

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Les effets dus à l’accélération :
Lorsqu’une personne en position debout subit une accélération a vers le haut, son
poids effectif de vient m.(g+a). En remplaçant g par (g+a), on obtient :
pc
( g a)hc pcv
( g a)hcv
pcv pc
( g a)( hcv hc )
La pression du sang dans le cerveau sera donc réduite d’avantage. L’expérience
montre que si a est égal à 2 ou 3g, un être humain s’évanouit. Ceci limite la
vitesse à laquelle un pilote d’avion peut sortir d’un vol en piqué. Un phénomène
analogue est la sensation d’étourdissement qui se produit lorsque l’on se lève
rapidement.
Un avion de chasse à réaction vole à la vitesse constante de 500 m/s. Il sort d’un
piqué suivant une trajectoire circulaire.
Calculez pour quelle accélération centripète, le sang n’arrive plus au cerveau du
pilote. Le pilote est assis dans l’avion, sa tête étant 50cm au dessus du niveau du
cœur. Exprimer cette accélération en nombre de g.

Pour un adulte d’un 1.8m en position debout, le cerveau se trouve 0.5m au dessus
du cœur. Si cette personne se penche de façon à ce que son cerveau soit à 0.4m
au dessous du cœur, quel est le changement de pression du sang dans le
cerveau ?

Lors d’une manœuvre, un pilote subit une accélération de 4g dirigée vers le bas.
Quelle est la pression du sang au niveau de son cerveau, en supposant que le
pilote se tienne droit ?

La mesure de la tension artérielle au sphygmomanomètre :
La mesure de la tension artérielle faite au bras d’une personne fournit une valeur
proche de la pression au voisinage du cœur puisque le bras est à peu près à la
hauteur du cœur. La pression nécessaire à cette opération est réalisée par un
sphygmomanomètre.

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Son utilisation est basée sur le fait que l’écoulement sanguin dans les artères
n’est pas toujours laminaire. L’écoulement devient turbulent quand les artères
sont comprimées et donc le débit sanguin important. Cet écoulement turbulent
est bruyant et peut être perçu au moyen d’un stéthoscope.
La pression est d’abord augmentée jusqu’à ce que l’artère brachiale soit
entièrement fermée. Le médecin réduit ensuite la tension doucement. Lorsque
l’artère s’ouvre partiellement, la vitesse d’écoulement est élevée et l’écoulement
est turbulent, donc bruyant mais discontinu. La pression correspondante est
appelée la pression systolique. Lorsque l’artère est totalement ouverte,
l’écoulement est toujours turbulent mais le bruit est continu. La pression
correspondante est la pression diastolique. Les valeurs typiques d’un adulte en
bonne santé sont de l’ordre de 16/11 kPa. L’hypertension commence à partir de
19/12 kPa, elle est surveillée car une tension artérielle élevée peut comporter de
sérieux risques pour le cœur ou d’autres organes.
Que valent les tensions artérielles en torr, unités encore largement utilisées
dans le domaine médical ?

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3 Le principe de Pascal:
Une pression externe appliquée à un fluide confiné à l’intérieur d’un récipient
fermé est transmise intégralement à travers tout le fluide.
Quand une pression est exercée sur une certaine région d’un liquide confiné (par
exemple en poussant un piston sur un liquide dans un cylindre), le fluide se
comprime légèrement et la pression augmente uniformément partout dans le
liquide.
Les machines hydrauliques constituent des applications directes du principe
de Pascal : Une même pression peut être produite au sein d’un liquide par des
pistons de sections différentes qui exercent des forces qui diffèrent en
proportion. Plus la section est grande, plus grande est la force nécessaire pour
produire la même pression.

Sur les figures ci-dessus, la pression exercée par le piston sur le liquide est
égale à la force F divisée par la section S du piston. Les forces et les sections de
ces deux pistons produisent ici la même pression car elles sont dans le même
rapport.
Si deux enceintes communicantes, c'est-à-dire partageant le même fluide,
sont munies de deux pistons de différentes sections, la pression générée par
l’un des pistons est transmise intégralement à l’autre.
Le dispositif le plus simple est un tube en U, fermé de chaque côté par un piston.
Une petite force Fi est appliqué sur le piston de section Si générant une pression
p=Fi/Si. Cette pression est transmise en tout point du liquide, en particulier au
cylindre de l’élévateur de section Sf. Celui-ci est alors soumis à une force
verticale vers le haut Ff telle que Ff/Sf=Fi/Si.
Ff
Sf
On a :
Fi
Si

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Bien que les pressions sur les 2 cylindres soient égales, les forces ne le sont pas :
si Sf=100Si, le force utile Ff est 100 fois plus grande que la force appliquée Fi.
On peut alors soulever une voiture de 20000N en exerçant une force de 200N.
C’est une machine, multiplicateur de force mais non multiplicateur de travail.
Il y a conservation d’énergie mécanique : le travail de Ff est égal au travail
de Fi. Comme dans cet exemple, le liquide est incompressible, le volume S iyi du
liquide du coté du petit piston est égal au volume S fyf du liquide déplacé du côté
Sf
y
du grand piston, on a donc : i
.
yf
Si
Lorsque le petit piston descend de 1000mm, le grand piston ne monte que de
10mm On exerce une petite force Fi sur une grande distance yi pour
obtenir une grande force Ff qui se déplace sur une petite distance yf.
Application :
La chaise d’un coiffeur est montée sur un piston hydraulique de diamètre égal à
10cm. Elle peut être soulevée en agissant sur une pédale qui communique avec un
autre piston ayant une section de 10cm2. Si la chaise et le client ont une masse
totale de 160 kg, quelle force doit-on appliquer ?

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4 La poussée d’Archimède:
La légende dit que Hiéron II, tyran de Syracuse commanda une couronne en or
massif. Quand la pièce fut livrée, bien que le poids fut correct, Hiéron soupçonna
son bijoutier d’avoir mélangé de l’argent à l’or. On mit Archimède au défi de
trancher, sans abîmer le trésor royal. C’est en prenant son bain qu’Archimède
trouva la solution. Euréka, hurla t il et ce qu’il avait trouvé était effectivement
beaucoup plus important que la couronne de Hiéron !!
C’est ainsi qu’Archimède énonça le principe du même nom :
« Un objet immergé dans un fluide paraît plus léger: il est poussé vers le
haut avec une force égale au poids du fluide déplacé »
Autrement dit : Un corps totalement plongé dans un liquide déplace un volume de
ce liquide égal à son propre volume.
L’expérience montre aussi qu’un objet immergé semble plus léger : L’eau le pousse
vers le haut, le soutenant partiellement d’une manière ou d’une autre. Cette
force ascendante exercée par le fluide est connue sous le nom de « poussée
d’Archimède ».Ainsi un corps de 10N qui déplace un volume dont le poids vaut
2N, pèse seulement 8N lorsqu’il est immergé.
La poussée d’Archimède trouve son origine dans la différence de pression qui
existe entre les parties supérieure et inférieure d’un objet immergé, une
différence qui existe toujours car la pression varie avec la profondeur.
La poussée d’Archimède sur le cube ci-dessous est la différence entre la force
de pression ascendante sur la face inférieure et la force de pression
descendante sur la face supérieure.

La pression sur la base est: pbase

ghb .

La pression sur la face supérieure : psup

ghs

La différence de pression est donc :

g (hb

p

hs )

gh

La force de pression dirigée vers le haut dépasse celle dirigée vers le bas.
 La poussée d’Archimède FA S . p S . gh Sh. .g V . .g m.g
Avec m=masse de fluide déplacé et V=volume du fluide déplacé

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Application :
Un ballon météorologique a une masse de 5kg lorsqu’il est vide et un rayon de
2.879m quand il est entièrement gonflé à l’hélium. Il porte une petite charge
d’instruments de 10kg. Sachant que l’air et l’hélium ont respectivement des
masses volumiques de 1.16kg/m3 et 0.160 kg/m3, le ballon a-t-il pu décoller?

Densité :
Il est souvent pratique de comparer la masse volumique d’un corps à celle de
l’eau. Le résultat est ce qu’on appelle la densité de la substance par rapport à
l’eau. Si on suppose qu’un objet de masse m est immergé dans l’eau et que la
masse du fluide déplacé est me. A l’aide d’une balance, nous pouvons mesurer
directement la masse apparente dans l’eau : ma=m-me, qui fournit une mesure
m
m
facile de la densité par rapport à l’eau :
me m m a
e
Application :
La couronne de Hiéron avait une masse de 0.982kg et déplaçait 0.060kg d’eau,
quand elle était complètement immergée.
Etait-elle en or massif ?
Donnée : Densité de l’or : 19.3

Flottabilité :
Si un objet pèse plus lourd que le fluide qu’il peut déplacer, il coule. Si le fluide
est de l’eau, cela équivaut à dire que tout objet de densité supérieure à 1 coule.
Si l’objet est moins lourd que le fluide de même volume, il s’y enfonce
jusqu’à ce que le poids du fluide déplacé par sa partie immergée équilibre
son poids total.

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Un objet, dont la densité moyenne relative à l’eau est inférieure à 1 ne s’y
enfonce que partiellement, on dit qu’il flotte.
Par exemple, un navire d’acier renferme un grand volume vide, il a donc un grand
volume total et une faible densité moyenne. Tant que son poids total (cargaison
comprise) reste inférieur à la poussée d’Archimède maximum qui peut le
soutenir, il flotte. Le poids de l’eau déplacée par la partie immergée est alors
égal au poids du navire.
Plus la densité du fluide est grande, plus grande est la poussée d’Archimède.
C’est pour cela qu’il est plus facile de nager en mer que dans une piscine d’eau
douce et qu’une pièce de monnaie peut flotter sur du mercure.
Applications :
1 Un radeau en bois à une masse volumique de 0.5 103kg/m3 et mesure
3.O5mX6.1mX0.305m. Quelle épaisseur de ce radeau est-elle immergée ?
Quelle est la charge que supporte ce radeau lorsqu’il s’enfonce de 2.54cm dans
l’eau douce ?

2 Un morceau de métal de volume inconnu est suspendu à une corde. Avant
l’immersion, la tension dans la corde vaut 10N. Quand le métal est immergé dans
l’eau, la tension dans la corde vaut 8N. Quelle est la masse volumique ρ du métal ?

3 La masse volumique de la glace vaut 920kg/m 3 tandis que celle de l’eau de mer
est de 1025kg/m3. Calculez la fraction du volume de l’iceberg immergée.

4 Un dinosaure de masse 2.2 106kg et d’un volume de 2000m3 est en train de
patauger dans une eau peu profonde. 30% de son corps sont immergés dans l’eau.
Quel est le poids que les jambes du dinosaure doivent supporter ?

5 Un garçon tient dans ses mains une pierre de poids égal à 122N et de volume
égal à 1.8 litres. S’il place sa main et la pierre sous l’eau, quelle force doit-il
exercer pour maintenir la pierre sous l’eau ?

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5 Les forces hydrostatiques s’exerçant sur des surfaces :
Rappels théoriques :
La poussée totale : FT

p moy .S avec pmoy : pression effective régnant au centre

géométrique de la surface immergée.
Le point l’application de la force de poussée totale FT se trouve au centre de
poussée hcp :

hcp

I cg
hcg .S

Avec : hcp

hcg

profondeur du centre de poussée par rapport à la surface libre (à patm). Dans le cas

où la surface n’est pas à la pression atmosphérique, il faut tenir compte du niveau d’eau
imaginaire NEI.

hcg

profondeur du centre géométrique par rapport à la surface libre. Si la surface

n’est pas à la patm, il faut tenir compte du NEI.

I cg

moment d’inertie de la surface par rapport à un axe passant par le centre

géométrique.
Toutes les grandeurs sont positives -> hcp>hcg.
La différence

hcp

hcg

I cg
hcg .S diminue lorsque hcg augmente, c'est-à-dire lorsque le centre

géométrique est plus profond. Dans ce cas, hcp se rapproche de hcg mais le centre de poussée
restera toujours plus bas que le centre géométrique.

Applications:
1 Calculez la force résultante F due à l’action de l’eau sur la surface
rectangulaire de 1mX2m.
Méthode de résolution :
- Trouver le centre géométrique cg :
- Calculer la pression moyenne pmoy=ρghcg :
- Calculer la force de poussée FT :
- Calculer l’inertie de la surface Icg et le point de poussée hcp :

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Calculez maintenant la force résultante F due à l’action de l’eau sur toute la
surface immergée.

On constate que dans ce cas, le centre de poussée se trouve toujours au 2/3 de
la surface immergée.
2 Calculez la force résultante due à l’action de l’eau sur la surface triangulaire
CD de 1 .2mX1.8m. Le sommet du triangle est en C.

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Exercices sur la statique des fluides :
1 Une piscine de 5m de largeur, de 10m de longueur est remplie d’eau sur une
hauteur de 3m. Quelle est la pression au fond de la piscine (seulement due à
l’eau) ?

2 Un réservoir d’oxygène a une pression manométrique interne égale à 5 fois la
pression atmosphérique. Quelle est la force dirigée vers l’extérieur sur chaque
cm2 de la paroi du réservoir ?

3 A 16km d’altitude, la pression atmosphérique tombe à environ 0.136 atm (au
lieu de 1 atm au niveau de la mer). Que valent ces grandeurs en pascals ?

4 Lorsque l’on monte au sommet du Puy-de-Dôme d’altitude égale à 1400m, le
baromètre indique une chute de mercure d’environ 7.5cm. Quelle est la chute de
pression correspondante ?

5 Un pneu ordinaire de voiture a une pression manométrique de 2kgf/cm 2. Quelle
est cette pression en pascals ? Si une voiture pèse 8897 N, quelle est la surface
de contact de chaque pneu avec la route ? Le kilogramme-force kgf est une
ancienne unité valant 9.81 N.

6 A quelle profondeur d’eau douce, la pression manométrique est-elle égale à 1
atmosphère ?

7 Une piscine de largeur égale à 5m et de longueur égale à 10m est remplie d’eau
sur 3m de hauteur. Quelle est la pression absolue au fond ?

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8 Déterminez la pression manométrique au point le plus profond de l’océan, à
environ 11km de profondeur. Supposez que la masse volumique de l’eau de mer est
constante. (ρeau de mer : 1.025 103kg/m3)

9 Une piscine de largeur égale à 5m, de longueur égale à 10m et de profondeur
égale à 3m est remplie d’eau. Quelle est la force totale exercée sur le fond due à
la pression de l’eau ?

10 La pression initiale de l’air à l’intérieur d’une seringue hypodermique tirée à
10cm3 est 1.013 105Pa. On ferme l’extrémité fine de l’aiguille et on comprime
lentement le gaz jusqu’à un volume de 2.5cm3, sans aucun changement de
température. Quelle sera la pression du gaz ?

11 Un cric hydraulique consiste en 2 pistons de sections respectives de 64 cm 2 et
3200cm2 et communiquant par un liquide. Quelle force doit-on exercer sur le
premier piston pour que le second piston soulève une voiture de 900kg ? Si la
voiture doit être soulevée de 2m, de combien devrait-on déplacer le premier
piston ?

12 Une pièce de monnaie ancienne, que la radiographie montre pleine et homogène
a une masse de 0.01kg. Quand elle est immergée dans l’eau, elle en déplace
0.952g. Quelle est sa densité et de quelle métal est-elle est probablement
faite ?

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1ère informatique et systèmes

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13 La pression manométrique dans un tuyau d’eau alimentant un grand immeuble
est de 3 105 Pa au niveau du sous-sol. Dans un appartement de l’immeuble, la
pression de l’eau est la moitié de cette valeur. A quelle hauteur se trouve cet
appartement ?

14 Un bloc de béton a une masse de 227 kg et une masse volumique de 2.8
103kg/m3. Combien pèse-t-il s’il est immergé dans l’eau d’une rivière ?

15 Une femme pesant 500N saute dans une piscine de dimensions 10mX10m et
5m de profondeur et flotte entre deux eaux. De combien la hauteur d’eau a-telle varié par suite de sa plongée ?

16 Les icebergs flottent dans l’océan, la plus grande partie de leur énorme
volume cachée sous l’eau. Quelle est la fraction visible au dessus de l’eau ?
De même quelle est la portion d’un glaçon flottant au dessus d’un verre d’eau du
robinet ?
(ρeau de mer : 1.025 103kg/m3)

17 Un piston en équilibre a une superficie de 0.1m2 et il subit une force
descendante de 1 KN. Le mercure, dans le récipient cylindrique, a une profondeur
de 10cm. Quelle est la pression manométrique au fond du récipient.

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

21

18 Un sous-marin est immobile sous 20m d’eau. Avec quelle force un plongeur
doit-il agir contre la pression de la mer pour ouvrir une écoutille de dimension
1mX0.5m, en supposant que la pression interne dans le sous-marin est 90% de la
pression atmosphérique ?

19 Une personne flotte sur le Grand Lac Salé qui a une masse de 1.15X10 3kg/m3.
Quelle fraction approximative du corps du nageur est-elle au dessus de l’eau ?

20 Déterminez la masse d’hélium nécessaire pour fournir assez de poussée (dans
l’air sec à 0°C) pour soulever un ballon et sa charge de masse totale de 454kg.

21 Un ours polaire de masse 226.7kg et de hauteur de 1,83m monte sur une
plaque flottante de glace d’épaisseur de 0.305m. Que doit être l’aire de cette
plaque si elle affleure à la surface en portant l’ours ?

22 Le barrage rectangulaire retient l’eau d’un lac artificiel de longueur égale à
100Km. En supposant que la masse volumique de l’eau est constante, déterminez
la force totale qui s’exerce sur la face verticale du barrage.

23 Une piscine de largeur égale à 5m et de longueur égale à 10m est remplie
d’eau sur 3m de hauteur. Quelle est la force latérale due à l’eau sur les deux
parois de la largeur ?

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

22

24 Les forces hydrostatiques :
L’eau monte jusqu’au niveau E dans le conduit fixé au réservoir ABCD.
En négligeant le poids du réservoir et du conduit, déterminez :
- la force résultante agissant sur la surface AB qui a 2.4m de large ;
positionnez cette force en recherchant le centre de poussée h cp.
- la force totale s’exerçant sur le fond du réservoir et comparez-la avec le
poids total de l’eau. Expliquez la différence sachant que la surface du
conduit vaut 0.1m2.

25 La porte AB a 1.2m de large et peut pivoter autour de A. Le manomètre G
affiche -0.15 bar et le réservoir de droite est rempli d’huile (ρ=0.75kg/m 3).
Quelle force horizontale doit-on appliquer en B pour assurer l’équilibre de la
porte AB ?

26 Le réservoir ci-dessous contient de l’huile et de l’eau. Trouvez la force
résultante agissant sur le côté ABC qui a 1.2m de large.

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

23

27 La porte ABC pivote autour de B et a 1.2m de long. En négligeant le poids de la
porte,

28 La porte de diamètre’AB’ égal à 1.8m pivote autour d’un axe C situé à 0.1m
sous le centre de gravité. Jusqu’à quelle hauteur h l’eau peut-elle s’élever sans
provoquer de moment non compensé ?

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

24

Exercices supplémentaires :
1 Calculez la pression (Pa) à une profondeur de 6m au dessous de la surface libre
d’une masse d’eau

2 Déterminez la pression (Pa) à une profondeur de 9m dans une huile de pétrole
( ρhuile de pétrole :0.75 103 kg/m3)

3 Quelle profondeur d’huile de pétrole produit une pression de 2.8 kgf/cm 2 ?
Quelle profondeur d’eau produit une pression de 2.8 kgf/cm 2 ?
4 A quelle hauteur d’huile (m) correspond une hauteur d’eau de 5m ?
A quelle hauteur d’huile (m) correspond une hauteur de 60 cm de mercure ?
5 Les surfaces A et B ont respectivement 40 et 4000 cm 2. La masse B est de
4000kg. Le récipient et les conduits sont remplis d’huile (:0.75 103 kg/m3).
Quelle masse A assurera l’équilibre?

Même question en considérant cette fois les masses A et B au même niveau.

6 Calculez la pression manométrique (Pa) en A due à la dénivellation du mercure
dans le manomètre en U représenté ci-dessous.

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

25

7 De l’huile (ρ= 0.75 103 kg/m3) coule à travers la buse représentée ci-dessous et
fait monter le mercure dans le manomètre en U. Calculer la valeur de h si la
pression en A est e 1.4 Kgf/cm2

8 Un manomètre différentiel est fixé entre deux sections A et B d’un tuyau
horizontal où s’écoule de l’eau. La dénivellation du mercure dans le manomètre
est de 0.6m, le niveau le plus proche de A étant le plus bas. Calculez la
différence de pression en Pa ou en bar entre les sections A et B.

9 La chute de pression entre un dispositif X doit être mesurée à l’aide d’un
manomètre différentiel utilisant de l’huile (ρ= 0.75 103 kg/m3) comme fluide
manométrique (entre B’ et D). Le liquide en circulation (entre B-B’ et D-A) a une
masse volumique de 1.5 103 kg/m3. Trouvez la différence de pression entre A et
B pour la dénivellation d’huile entre D et B’ représentée ci-dessous.

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

26

10 Le réservoir ci-dessous contient de l’huile. Calculez la valeur affichée par le
manomètre en A (Pa).

11 Un réservoir fermé contient 60cm de mercure, 150cm d’eau, 240cm d’huile et
de l’air au dessus de l’huile. Si la pression au fond du réservoir est de 3 kgf/cm2,
qu’affiche le manomètre en haut du réservoir (pression de l’air)?

12 Sur la figure ci-dessous, le point A est à 53cm de la surface du liquide (ρ=
1.25 103 kg/m3) contenu dans le récipient. Quelle est la pression en A (Pa) si le
mercure s’élève de 34.30cm dans le tube ?

13 Sur la figure ci-dessous, que vaut la pression en B (Pa) ? Les masses
volumiques du gaz et de l’air sont 0.56 10 3 kg/m3 et 1.2 103 kg/m3.

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

27

14 Les réservoirs A et B contiennent respectivement de l’huile et de la glycérine
de masses volumiques 0.78 103 kg/m3 et 1.25 103 kg/m3 qui sont mis en
communication à l’aide d’un manomètre différentiel. Le mercure du manomètre
est à une hauteur de 50cm du côté de A et de 35cm du côté de B. Si la hauteur
de la glycérine du côté B est de 6.4m, quelle est la hauteur d’huile dans le
réservoir A ?

15 Un objet pèse 30kg dans l’air et 19kg dans l’eau. Trouvez son volume et sa
masse volumique.

16 Un objet pèse 30 kg dans l’air et 19 kg dans de l’huile de masse volumique
égale à 0.75 103 kg/m3. Trouvez son volume et sa masse volumique.

17 La masse volumique de l’aluminium est de 2700 kg/m 3, combien pèse une
sphère de 30cm de diamètre immergée dans l’eau ?
Combien pèse-t-elle si elle est immergée dans l’huile?

18 Un cube d’aluminium de 15cm de côté pèse 5.5kg lorsqu’il est immergé dans
l’eau. Quel est son poids apparent lorsqu’il est immergé dans un liquide de densité
1.25 ?

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

28

19 Une pierre pèse 60kg. Quand on l’introduit dans un réservoir cubique de 60cm
de côté rempli d’eau, le poids de la pierre est de 33kg. De combien le niveau d’eau
a-t-il augmenté dans le récipient ?

20 Quelle est la longueur d’un morceau de bois de section 7.5cmX30cm , de
densité égale à O.5 et qui peut supporter un enfant de 45kg qui se tient debout ?

21 Un objet ayant un volume de 170 dm3 nécessite une force de 270N pour le
maintenir immergé dans l’eau et de 160N pour maintenir immergé dans un autre
liquide. Quelle est la densité de ce liquide ?

22 Une péniche de 3m de profondeur a une section droite en forme de trapèze
de 9m de large en haut et 6m en bas. La péniche a 15m de long et ses extrémités
sont verticales. Déterminez son poids si elle tire 1.8m d’eau.
Déterminez sont tirant d’eau si on y charge 86 tonnes de pierres ?

23 Une sphère de 120cm de diamètre flotte à demi immergée dans l’eau salée
(ρ=1025Kg/m3). Quel est le poids minimum de béton (ρ=2400Kg/m3) qui utilisé
comme ancre, peut l’immerger complètement ?

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

29

24 Un iceberg de masse volumique égale à 912 kg/m3 flotte dans l’océan avec un
volume de 600m3 hors de l’eau. Quel est le volume total de l’iceberg ?

25 Un ballon vide ainsi que l’équipement qui l’accompagne pèse 50kg. Quand on
gonfle le ballon d’un gaz de masse volumique égale à 0.533 kg/m 3, le ballon est
sphérique et présente un diamètre de 6m. Quelle est la charge maximale que
peut enlever le ballon (masse volumique de l’air : 1.230Kg/m3) ?

26 Un flotteur cubique de 120cm de côté pèse 180kg et est amarré à un bloc de
béton qui pèse 680kg dans l’air. Le flotteur est immergé de 23cm quand la chaîne
le reliant à l’amarre est tendue. Quelle est l’élévation du niveau de la mer sur le
flotteur lorsque le bloc de béton se détache?

27 Un cube d’aluminium de 15cm de côté est suspendu par une corde. Le cube est
à moitié immergé dans de l’huile (masse volumique : 0.8kg/m3) et à moitié dans
l’eau. Trouvez la tension dans la corde (masse vol de l’aluminium: 2640kg/m3).

28 Si le cube de la question est à moitié dans l’air et à moitié dans l’huile, quelle
est la tension dans la corde ?

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

30

Partie 2 : La dynamique des fluides :
Nous allons aborder les problèmes suivants :
- Comment le liquide coule-t-il dans les tubes, les pompes ou les artères ?
- Quel est l’effet de la pression de l’air sur les ailes d’un avion ou la face d’un
gratte-ciel ?
- Comment évaluer quantitativement l’écoulement d’un fluide et quelles sont ces
lois ?

1 L’écoulement d’un fluide:

Des expériences réalisées par O. Reynolds en 1883 sur le mouvement des fluides
dans des tubes ont montré qu’il y avait deux régimes distincts d’écoulement :
laminaire et turbulent. Si l’on souffle doucement entre les lèvres, on obtient le
cas extrême d’un écoulement précis et régulier, par contre lorsque l’on tousse, on
obtient l’autre cas extrême, celui d’un mouvement de l’air complexe et
tourbillonnant.

Ecoulement laminaire :
On parle d’écoulement régulier lorsqu’un fluide se déplace de façon à ce que la
vitesse en tout point de ce fluide reste constante en module et en direction. Un
écoulement régulier signifie habituellement un écoulement lent. La vitesse peut
être différente en différents points mais en un point donné de l’espace, le
liquide a la même vitesse à tout instant. Chaque particule suit l’itinéraire de la
précédente. Ces trajectoires invariables sont appelées les lignes de courant.
Deux lignes de courant ne se croisent jamais. Elles sont plus serrées là où la
vitesse est plus grande.
Ce mouvement de fluide est aussi appelé écoulement laminaire.

Ecoulement laminaire : vecteurs vitesse aux différents points du fluide, lignes de courant
autour d’un obstacle.

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

31

Ecoulement turbulent :
L’écoulement turbulent correspond à un mouvement irrégulier, chaotique et
variable. A vitesse élevée, le fluide a assez de quantité de mouvement pour
contourner les obstacles. L’écoulement n’épouse plus les formes de ces obstacles
et la situation ressemble à un flot de motocyclistes conduisant sur un terrain
montagneux : plus leur vitesse est grande, plus ils ont tendance à sauter au
dessus des bosses plutôt que de les contourner.
La couche du fluide qui est en contact avec la paroi solide adhère à la paroi
et reste immobile par rapport à cette paroi. La vitesse du fluide augmente
alors de zéro au voisinage de la paroi jusqu’à la vitesse d’écoulement libre au sein
du fluide. Ceci se passe dans une région relativement mince, appelée couche
limite.

2 L’équation de continuité:
La constance de la masse volumique d’un liquide est la base de la relation
fondamentale qui permet de comprendre l’écoulement d’un liquide dans les tuyaux
ou les veines.
- Soit un tube de courant dans un liquide, le fluide entre par l’élément de
tube 1 de section S1 et sort par l’élément de tube 2 de section S2. Les
sections S1 et S2 sont perpendiculaires aux lignes de courant.
- Soient v1 et v2, les vitesses moyennes du fluide sur les sections 1 et 2,
- Il n’y a ni source, ni siphon dans le volume du tube

Le volume entrant par unité de temps par l’élément 1 doit être égal au
volume sortant par unité de temps de l’élément 2.

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

32

Pendant un intervalle de temps ∆t, les molécules entrent dans le tube,
traversent une distance v1 ∆t, tandis que les particules sortant de l’élément 2
parcourent une distance v2 ∆t. Puisque le volume entrant est égal au volume
sortant :
On a : S1v1 t S 2 v 2 t
S1v1 S 2 v 2
C’est l’équation de continuité, elle implique que si la section du tube
augmente, la vitesse du fluide diminue et vice versa. Un cours d’eau coule
rapidement en traversant une gorge étroite dans une région montagneuse et
lentement en plaine.
En coulant en régime laminaire vers le bas, l’eau d’un robinet augmente sa vitesse
et la section du tube de courant diminue.

Le produit Sv, constant dans le tube de courant, est le débit volumique et sera
représenté par le symbole J. Si ∆V est le volume de liquide entant à travers la
section 1 ou sortant de la section 2 pendant l’intervalle ∆t, on a :
V 3
J Sv
(m / s )
t
En multipliant J par la masse volumique, on obtient le débit massique en kg/s qui
est la masse de liquide qui traverse la section par unité de temps.
Application :
Le sang est pompé vers l’extérieur du cœur dans l’aorte, qui est un tube aux
parois épaisses (2mm) et de diamètre intérieur égal à 18mm, à une vitesse
moyenne de 0.33m/s. Calculez le débit sanguin
L’aorte se divise en 32 grandes artères d’environ 4mm de diamètre intérieur,
quelle est la vitesse du sang dans ces artères ?
Les plus petites branches du système sont les capillaires, de diamètre intérieur
égal à 8 10-6m. Sachant que la section totale de l’ensemble des capillaires est de
2.5 105mm2, quelle est la vitesse du sang dans un capillaire ?

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

33

3 L’équation de Bernoulli:
Le premier traitement moderne de l’hydrodynamique fut réalisé en 1734 par le
mathématicien, physicien et médecin suisse Daniel Bernoulli.
Le premier point à considérer est qu’un fluide sous pression contient de l’énergie
produite par le travail mettant le fluide sous pression. En effet, si l’on ouvre
soudainement une canette de bière qui a été bien secouée, le fluide en sort avec
de l’énergie cinétique. Ceci montre bien que de l’énergie potentielle a été
emmagasinée dans le système sous pression  Un fluide sous pression subit
donc une variation d’énergie.
Considérons un fluide idéal et incompressible, la pression agissant sur un élément
de volume de ce fluide en mouvement exerce un travail qui se traduit par une
variation de son énergie cinétique ou de son énergie potentielle.
On a donc : W

Ec

E pg

Comment peut-on déterminer la variation de travail ∆W ?
La figure ci-dessous représente un tube de courant limité à ses extrémités par
des disques d’aires S1 et S2 qui se déplacent avec le fluide.

Etat initial

La force de pression, F1

Etat final

p1 S1 exercée par le milieu extérieur sur le disque

d’aire S1 le pousse dans la direction du mouvement et effectue un travail moteur
F1 . s1 . Les molécules sont déplacées vers la droite et le disque S2 est déplacé de
∆s2.

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

34

Le fluide extérieur agit sur le disque S2 avec une force F2

p 2 S 2 dirigée vers la

gauche et donc contre le mouvement. La force F2 exerce donc un travail
résistant F2 . s 2 . Le travail total exercé sur le fluide du tube est donc :

W

F1 s1

F2 s 2

p1 S1 s1

On peut donc écrire :

W

p 2 S 2 s 2 avec

p1 S1v1 t

v.S . t.( p1

p2 ) ; avec

m

v1 t;

s2

v2 t

p2 S 2 v2 t

En utilisant l’équation de continuité, S1v1
W

s1

S 2 v2

Sv , on trouve :

(S.v. t ), on trouve

. V

W

m

p1

p2

Le travail est positif lorsque le fluide se déplace d’une région de haute pression
vers une région de basse pression.
Comment évaluer la variation d’énergie cinétique ?
Une masse ∆m à la vitesse v1 est transférée de la région 1 (A-B) à la région 2 (CD) où la vitesse est v2. la variation d’énergie cinétique est :
1
2
2
Ec
m. v2 v1
2
Comment évaluer la variation d’énergie potentielle?
La masse ∆m se déplace de la région 1 vers la région 2, l’énergie potentielle
m.g . y 2 y1
gravitationnelle vaut : E p
En regroupant les 3 équations, on a :
W
Ec
E pg
m

( p1

1
2
2
m v 2 v1
2

( p1

p2 )

p2 )

1
2
(v 2
2

2

v1 )

.g ( y 2

m.g y 2

y1

y1 )

En réarrangeant les termes, on obtient l’équation de Bernoulli :
1
1
2
2
v1
.g . y1 p 2
v2
2
2
1 2
ou : p
v
.g . y cste
2
p1

.g . y 2

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

35

Dans l’équation de Bernoulli, chaque terme a les dimensions d’une énergie par
unité de volume ou densité d’énergie. Il y a la densité d’énergie cinétique
associée au mouvement global du fluide, la densité d’énergie potentielle, associée
à la position dans le champ gravitationnel et une densité d’énergie de pression
due aux forces internes du fluide en mouvement.
La densité d’énergie totale contenue dans le fluide est constante au cours de
son déplacement le long d’un tube de courant.
Application :
La figure ci-dessous représente une cuve ouverte destinée à la fabrication de la
bière et un tuyau pour prélever des échantillons. La cuve a une section de 1.5m 2.
A un instant donné, le niveau du liquide baisse à la vitesse de 1cm/s tandis que la
bière coule à la vitesse de 50cm/s au niveau du manomètre. Quel est à cet
instant la pression absolue en ce point du tuyau (au niveau du manomètre) ?

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

36

Exercices sur les équations de continuité et de Bernoulli
1 Du pétrole coule dans un tuyau de diamètre égal à 10cm à une vitesse de 2m/s.
Déterminez le débit en supposant que le liquide est parfait.

2 Un tuyau de 5cm de diamètre transporte de l’essence de masse volumique égale
à 0.68 103 kg/m3 à une vitesse de 2.5m/s. Calculez le débit massique, en
supposant le liquide parfait.

3 De l’essence coule dans un tuyau de 0.5m de diamètre. En supposant le liquide
parfait, quelle est la variation de la pression subie, quand le tuyau descend sur un
dénivelé de 4m ?

4 Déterminez la tension artérielle du cerveau en supposant qu’il est à une
hauteur de 40cm au dessus du cœur.

5 Lorsque l’on se coupe un doigt, pour réduire le saignement, on soulève la
blessure 85cm au dessus du niveau normal. Quelle variation de la pression du
sang en résulte –il ? Comparez avec la pression au cœur (13 à 20 kPa)

6 Un tuyau d’eau horizontal de section égale à 200cm2, comporte un
étranglement qui réduit sa section à 50cm2. Un manomètre dont les 2 colonnes
sont branchées respectivement avant et dans l’étranglement indique une
différence de pression de 80kPa. Déterminez le débit à travers ce tuyau, en
supposant que le fluide est parfait.

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

37

7 Un tube est employé comme siphon pour vider un réservoir d’eau. A un moment
donné, l’ouverture basse du tube, de laquelle l’eau coule, est à 20cm au dessous
du niveau du liquide dans le réservoir. Calculez la vitesse d’écoulement de l’eau.

8 Un gazoduc texan, de diamètre égal à 35cm, transporte du gaz naturel (ρ= 0.9
kg/m3) avec un débit massique de 1kg/s. Déterminez la vitesse moyenne
d’écoulement du gaz dans ce gazoduc.

9 Une conduite d’eau est schématisée dans la figure ci-dessous. A l’entrée, on
mesure une pression de 1.5 bar, une vitesse de 8 m/s et une hauteur de 12m. La
sortie est à une hauteur de 2m et la pression est de 1 bar.
Que vaut la vitesse à la sortie ?
Si le débit, constant dans la conduite, est de 6l/s, que valent les diamètres
d’entrée et de sortie ?

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

38

10 Le niveau d’eau dans un château d’eau est de 325m et le point le plus bas du
réseau de distribution est de 240m. Calculez la vitesse de l’eau à la sortie d’un
robinet placé au point le plus bas.
Si le robinet a un diamètre de 15mm, quel est le débit d’eau à ouverture
maximale ?

11 La vitesse de l’eau à la sortie d’une lance d’incendie est de 100m/s. Dans la
pompe d’alimentation, elle est de 10m/s.
Que doit valoir la pression dans la pompe d’alimentation pour assurer une telle
vitesse de sortie ?

12 Une pompe aspire l’eau d’un puits. La pression minimum de l’eau dans la
conduite d’aspiration à la sortie du puits doit être de 4 104 Pa et la vitesse de
l’eau à cet endroit est de 3m/s.
Déterminez la différence d’altitude de l’eau dans le puits et à l’entrée de la
pompe.

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

39

4 Applications des écoulements permanents de fluide
parfait incompressibles :
14 La figure ci-dessous représente un barrage alimentant une turbine
hydraulique par l’intermédiaire d’une conduite forcée :
La hauteur d’eau est de 840m et la sortie de la tuyère de la turbine est à 410m.
Si le diamètre de sortie de la tuyère est de 50mm, que valent la vitesse et le
débit d’eau à la sortie ?

1 2
2
v2 v1
g ( z 2 z1 ) 0 : la somme de la variation d’énergie cinétique et
2
de la variation d’énergie potentielle due à la variation d’altitude=0



15 L’injection de gasoil dans un moteur diesel doit être réalisée sous haute
pression (300 bars) dans le cylindre du moteur où règne une pression de 50 bars.
Quelle est la vitesse du combustible à la sortie de l’injecteur. La masse volumique
du gasoil est de 860 kg/m3.

 v2

2( p1

p2 )

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

40

16 Un tronçon de conduite forcée de turbine hydraulique, transportant de l’eau,
présente une entrée et une sortie de même section. La hauteur d’entrée est de
830m et la pression est de 2 bars. La hauteur de sortie est de 510m.
Que vaut la pression de sortie ?

--

p2

p1

g(z2

z1 )

0

17 Mesure du débit en volume d’un fluide incompressible :
De l’eau s’écoule dans le venturi ci-dessous. La section d’entrée présente un
diamètre de 100mm et le rapport S1/S2 est de 1.5.
L’appareil de mesure indique une différence de pression entre les points 1 et 2
représentée par une colonne de mercure de 80mm de hauteur.
Que valent la vitesse du fluide en 1 et le débit volumique ?

2

v
- 1
2

S1
S2

2

1

p1

p2

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

41

18 Dans un réservoir de grand volume, se trouvent de l’huile et de l’air sous une
pression de 10 bars. L’huile peut s’échapper dans l’atmosphère par un trou de
diamètre égal à 6mm.
En considérant que la différence d’altitude entre l’entrée et la sortie est
négligeable, que vaut la vitesse à la sortie du réservoir ?
Déterminez aussi le débit massique (masse volumique de l’huile : 860 kg/m3)

19 Une conduite forcée va d’un barrage réservoir (altitude 845m) à la turbine
(altitude 625m). Le débit maximal est 0.4m3/s et la vitesse de l’eau dans la
conduite doit être inférieure ou égale à 6m/s.
Déterminez le diamètre de la conduite et la pression effective maximale à
laquelle est soumise la paroi de la turbine.

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

42

20 Le tube manométrique en U ci-dessous est relié aux prises de pression 1 et 2
dans un venturi par des tubes remplis d’eau.
En appliquant la loi de la statique des fluide, montrez que p1 p 2 ( ' ). g.H
Avec :

' Hg 13600kg / m3 ;

H 2O

103 kg / m3

Si on mesure une hauteur H de 80mm, calculez la vitesse du fluide, sachant que
le rapport des diamètres D1/D2=2gH1.22.

Mesure de la vitesse en un point de l’écoulement :
Tube de Pitot. On trouve v1
2gH

21 Dans le tube de Venturi représenté ci-dessous, la dénivellation du mercure du
manomètre différentiel est de 358mm. Calculez le débit d’eau dans le Venturi si
aucune énergie n’est perdue entre A et B.

22 Un réservoir contenant de l’eau est rempli à 3m de hauteur. Si une ouverture
est pratiquée au bas du réservoir, déterminez la vitesse de sortie du liquide et le
débit de sortie.

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

43

23 Un conduit d’eau horizontal a une section qui passe de 0.07m2 à 0.02m2. En
supposant qu’il n’y ait pas de pertes, quelle est la variation de pression quand
0.7kg/s d’eau y circule (masse volumique de l’air : 3.2kg/m3)

24 Un bateau sur un lac subit un choc avec un rocher immergé qui fait un trou
de 40cm2 dans sa coque à 1m en dessous de la ligne de flottaison. Si le bateau
peut recevoir 10 m3 d’eau avant d’avoir sa cargaison trempée, estimez le temps
qu’il reste à l’équipage pour agir. On supposera que le bateau ne s’enfonce pas.

25 Le tube de venturi ci-dessous est implanté dans un oléoduc de section droite
de 200cm2. Il indique une différence de hauteur de 5cm entre ses 2 colonnes. Si
l’étranglement a un diamètre de 10cm, quel est le débit dans l’oléoduc ?

26 Un pistolet de vaccination propulse un jet ultra fin de vaccin par un minuscule
orifice de diamètre d’environ 0.1mm. La pression de propulsion est de 38 bars.
Calculez la vitesse à laquelle le vaccin (ρ= 1.1 103kg/m3) quitte le pistolet. On
suppose la vitesse à l’intérieur du pistolet négligeable.

Conclusion :
Lors de l’effet Venturi, l’accroissement de l’énergie cinétique est dû à la
diminution de l’énergie de pression et vice versa  Une partie du fluide
forcée de se déplacer plus rapidement est le siège d’une pression inférieure
à celle du fluide qui se déplace lentement : Lorsqu’un camion passe à côté
d’une voiture, la pression entre les 2 véhicules est réduite, ce qui donne
l’impression au conducteur de la voiture d’être attiré par le camion.

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

44

4 Portance et tourbillons
Une plaque volante est un objet dont la forme est choisie de façon à engendrer
une force de réaction de la part du fluide dans laquelle elle se déplace. Sur le
schéma ci-dessous, la plaque volante est dissymétrique. Les lignes de courant le
sont aussi.

A cause de la courbure de la surface supérieure, l’air circule au dessus de l’aile à
une vitesse supérieure à la vitesse du-dessous de l’aile. La différence de pression
au- dessus et au-dessous de l’aile produit une force ascendante appelée
portance.
L’effet combiné de la portance, du poids de l’avion, de la résistance de l’air et de
la poussée des moteurs permet aux avions et aux oiseaux de voler et aux
planeurs de glisser.
Un avion peut voler horizontalement, cabré vers le haut, ses ailes formant avec
le plan horizontal un angle d’attaque. La pression au-dessus de l’aile diminue et la
pression au-dessous augmente, ce qui augmente la portance. Il y a un angle limite
à ne pas dépasser. En effet, si l’aile est trop inclinée, l’écoulement au-dessus de
l’aile devient turbulent et la portance diminue.

On peut montrer que la portance est proportionnelle au produit du carré de
1
2
2
(v s v i ) S
la vitesse relative de l’air et de la surface de l’air : Fpor tan te
2
Cette relation explique aussi pourquoi les grands avions et les grands oiseaux ont
de grandes ailes, et pourquoi les grands oiseaux doivent avoir une vitesse
minimum plus grande pour décoller et se maintenir en vol.

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

45

Un tourbillon ou vortex est une masse tourbillonnante d’un fluide, entourée par
une zone qui n’est pas en mouvement de rotation. Un tourbillon est formé quand il
y a une discontinuité dans la forme de l’écoulement, souvent due à la présence
d’un obstacle.
Lorsque deux courants de vitesses différentes s’approchent l’un de l’autre, la
couche d’écoulement rapide s’enroule et tourne autour de la couche plus lente.
Les surfaces qui développent une portance, comme les ailes des avions, créent
des vortex à leurs extrémités, dus à la différence de pression au-dessus et audessous. L’air s’écoule en s’éloignant du fuselage et en s’élevant aux extrémités
des ailes, de la région de haute pression au-dessous de l’aile vers la région de
basse pression au-dessus. Des tourbillons peuvent aussi se produire à travers les
rues d’une ville.

27 Montrez que la portance sur l’aile d’un avion de superficie S est donnée par
1
2
2
(v s vi ) S avec ρ =masse volumique de l’air, vs=vitesse au dessus
2
de l’aile et vi en dessous de l’aile.
Fpor tan te

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

46

28 Un petit avion a une masse de 3000kg. L’air (1kg/m3) s’écoule au dessus et au
dessous de l’aile à des vitesses respectives de 160m/s et 130m/s. Quelle doit
être l’aire minimum des 2 ailes ?

29 Pendant un orage, un vent de 50m/s souffle horizontalement au-dessus du
toit plan et horizontal d’un supermarché de 220m2. Quelle est la plus grande
force qui pourrait agir sur le toit, en supposant que le supermarché est bien
fermé pendant la nuit (ρair=1.1 kg/m3)

30 Déterminez la force résultante sur un panneau de 1m sur 2m placé face à un
vent de 120km/h

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

47

Masse volumique de quelques matériaux :

Pression manométrique de quelques fluides dans le corps humain

Exercices de mécanique des fluides
1ère informatique et systèmes

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5 Généralisation du théorème de Bernoulli:
Etude de l’écoulement dans une machine hydraulique :
Une masse ∆m de fluide traverse une machine hydraulique quelconque (pompe ou
turbine) échangeant un travail avec le milieu extérieur.
Si le travail est reçu :+ et si il est cédé au système :Le théorème de Bernoulli devient :
w12

P2

P1

1 2
c2
2

c1

2

g(z2

z1 )

 Le travail échangé avec le milieu ext =∆Epot(due à la ∆p)+∆Ecin(due à la ∆c)+∆
Epot(due à la ∆h)


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