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Auteur: Alisson Fort

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1

La division euclidienne
A. Activité de découverte
1. Le rangement
Félicien veut ranger sa collection de 82 CD dans des compartiments qui peuvent
chacun contenir 15 CD. Complète le tableau suivant :

Nombre de compartiments

Nombre de CD rangés

Nombre de CD non rangés

0
1
2
3
4
5








Combien reste-t-il de CD non rangés ?..................................
Quelle est la caractéristique des nombres écrits dans la deuxième colonne ?
…………………………………………………………………………………………………………………….
Gradue la droite en prenant comme repère la différence positive entre deux de
ces nombres consécutifs

Sur cette droite graduée, repère le point dont l’abscisse est 82
Encadre 82 entre deux multiples consécutifs de 15
15 . …….. < 82 < 15 . ……….
C’est le quotient approché par défaut,
à l’unité près, de 82 par 15

C’est le quotient approché par excès,
à l’unité près, de 82 par 15.

2







Effectue la division de 82 par 15, en calcul écrit.

Complète : Le dividende (D) :……….
Le diviseur (d) :…………
Le quotient (q) :………..
Le reste (r) :…………
Établis une égalité qui met en relation le dividende (D), le diviseur (d), le
quotient (q) et le reste (r).

Égalité numérique
Pour la division « 82 : 15 »

Égalité algébrique

Représentation géométrique de cette division

r

q

b

On dit que la division euclidienne ………………………………………………. exactement.

3
2. Les cartes
Classe les cartes d’un jeu de 52 cartes suivant leur couleur (noire ou rouge), leur
symbole (carreau, cœur, pique ou trèfle) ou leur valeur (1, 2, 3, …)

Nombre de cartes

classement

52

Par couleur (c’est-à-dire ……)

52

Par valeur (c’est-à-dire ……)

52

Par symbole (c’est-à-dire ……)

Nombre de cartes par tas

Tu remarques que chaque classement peut s’effectuer sans qu’il ne reste de cartes
(c’est-à-dire que r = 0)



Établis une égalité qui met en relation le dividende (D), le diviseur (d) et le
quotient (q)

Égalité numérique
Pour la division « 52 : 13 »

Égalité algébrique

Représentation géométrique de cette division

q

b
On dit que la division euclidienne ………………………………………………. exactement.

4
3. Lien entre diviseur et reste



Complète le tableau suivant :

Dividende
D

Diviseur
d

10

5

11

5

12

5

13

5

14

5

15

5

16

5

17

5

18

5

19

5





Quotient
q

Reste
r

Quelles sont les différentes valeurs attribuées au reste ?
………………………………………………………………………………………..
Compare ces valeurs avec le diviseur
………………………………………………………………………………………..
Encadre le reste r entre ces deux valeurs extrêmes
……….. ≤ r < ……………

B. Définition






Lorsqu’on fait la division ci-contre, le nombre
 D est appelé « ………………………………………. »
 d est appelé « ………………………………………. »
 r est appelé « ……………………………………….. »
 q est appelé « ………………………………………. »
Lorsque l’on fait une division de nombre naturels avec reste, on l’appelle
« ………………………………………………………………………… »
La formule de la « division euclidienne » est : ……………………………………………..
Lorsque r = 0, la formule devient : ……………………………………..
On dit que : D est …………………………………….……. de d et que
d est ………………………………………… de D

5

La division euclidienne est une opération qui, aux nombres naturels D
et d (d ≠ 0), fait correspondre un unique nombre q et un unique
nombre r tel que :
…………………………………………………………………………..
Lorsque D n’est pas un multiple de d, alors D est compris entre deux
multiples consécutifs de d (encadrement du dividende)
…………………………………………………………………………..

C. Exercices

1.

2.

Dans chacun des cas suivants, calcule x et précise s’il représente le dividende, le diviseur,
le quotient ou le reste d’une division euclidienne.

21 . x + 20 = 83

x = ……………………………………..

x est ………………………………….

5 . 27 + x = 137

x = ……………………………………..

x est ………………………………….

x . 2 + 5 = 17

x = ……………………………………..

x est ………………………………….

x = 17 . 3 + 2

x = ……………………………………..

x est ………………………………….

Dans le tableau suivant, détermine les éléments manquants (le diviseur et le quotient
sont toujours différents de 1)
Dividende
…………..
243
235
163
306

Diviseur
5
…………..
………….
11
17

Quotient
12
14
……………
…………..
………….

Reste
3
5
14
…………
………….

6

3.

Soit l’égalité : 241 = 12 . 19 + 13
a) Donne la valeur : du dividende :……….
du diviseur : …………
du quotient : …………
du reste : …………
b) Encadre 241 entre deux multiples consécutifs du diviseur
…………………………………………………………………………………………..
c) Donne la valeur : du quotient approché par défaut, à l’unité près :…………………
du quotient approché par excès, à l’unité près :………………….

4.

En appliquant les relations de la division euclidienne, réponds aux questions suivantes :
a) Quels sont les nombres qui, divisés, par 4, donnent un quotient égal à 15 ?
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
b) Quels sont les nombres pour lesquels la division par 3, donne un reste égal au
quotient ?
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
c) Quels sont les naturels inférieurs à 50 qui, divisés par 12, donnent un reste égal à 5 ?
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
d) Quels sont les naturels qui, divisés par 7, donnent un quotient égal au triple du reste ?
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….

7

5.

Pour chaque division proposée :
a) Traduis la division euclidienne par une égalité
b) Déterminer le plus grand naturel que l’on peut ajouter au dividende sans changer le
quotient. Justifie ta réponse en te basant sur la relation de la division euclidienne
c) Détermine le plus petit naturel que l’ont peut enlever au dividende sans changer le
quotient. Justifie ta réponse en te basant sur la relation de la division euclidienne.

Division euclidienne

a)

b)

c)

365 : 25

71 : 9

252 : 21

6.

Écris chaque problème sous forme d’une équation et résous-la
a) La somme de deux naturels égale 707. Si on divise le plus grand nombre pas le plus
petit, on obtient 21 pour quotient et 3 pour reste. Quels sont ces nombres ?
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
b) La différence entre deux naturels égale 267. Si on divise le plus grand nombre par le
plus petit, on obtient 16 pour quotient et 12 pour reste. Quels sont ces nombres ?
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….

8

7.

Le quotient et le reste de la division de a par b sont respectivement 25 et 4. Si la somme
du dividende, du diviseur, du reste et du quotient est 501, détermine le dividende et le
diviseur
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….

8.

Quelles modifications subissent le quotient et le reste de la division du naturel non nul a
par le naturel non nul b
a) Si l’on multiplie par 10 le dividende et le diviseur ?
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
b) Si l’on divise par 2 le dividende et le diviseur ?
…………………………………………………………………………………………………………………………………….

9.

Vrai ou faux ? Coche la bonne réponse et corrige les propositions incorrectes
vrai

1

3

Si l’égalité 138 = 7 . 18 + 12 traduit une division euclidienne, alors le diviseur
est 7
Si un nombre x est tel que 11 .21 < x < 11 . 22, alors le quotient approché par
défaut, à l’unité près, est 21
Si le dividende est multiple du diviseur, alors le quotient est exact

4

Si on divise un naturel quelconque par 7, alors il y a 6 restes possibles

5

Le nombre 4 est le reste de la division de 32 par 7

6

Le reste d’une division ne peut jamais être égal au dividende

2

faux

9

D. Petits problèmes
a) Monsieur Dubois a reçu un lot de 60 CD qu’il décide de partager entre ses enfants. Il en
donne d’abord 6 à chacun d’eux. il lui en reste alors 18.
 Combien a-t-il d’enfants ? ………………………………………………………………………..
 Lorsque le partage sera terminé, combien de CD chaque enfant aura-t-il
reçus ?................................................................................
 Combien restera-t-il de CD ?..........................................................................

b) Ludivine dit à ses 5 frères : « Si je vous donne à chacun 6 billes, il m’en restera 7 ». Et si
Ludivine donnait 7 billes à chacun de ses frères, combien lui en resterait-il ?
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….

c) Combien de sachets contenant chacun 12 œufs en chocolat peut-on préparer avec un
sac de 4kg, si on sait qu’un kg contient 100 œufs. Combien restera-t-il d’œufs après la
confection des petits sachets ?
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….

10

E. Petite énigme
On se propose de découvrir le nom d’un mathématicien grec du IIIe siècle avant J.-C.:













Pour cela, on dispose des renseignements ci-dessous :

 Arrondi à l’unité du quotient de 196 divisé par 9
 Reste de la division euclidienne de 2004 par 222
 Nombre divisible par 2 et par 5 compris entre 31 et 49
 Quotient entier de la division de 32 par 2
 Plus grand reste possible dans une division euclidienne par 9
Quotient entier de la division de 1079 par 216
Il suffira ensuite de remplacer chaque nombre trouvé par la lettre correspondante dans
l’alphabet, en respectant la règle :
0 → A, 2 → B, 4 → C, 6 → D, etc.


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