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Se´rie 9

Mécanique quantique II
http://itp.epfl.ch/page53525.html

Correction

Exercice 1 Perturbation limitée dans le temps
Dans cet exercice, on s'intéresse à l'évolution d'un système soumis à une perturbation

Vˆ (t) dont l'e et est limité dans le temps. Plus précisément, on suppose que Vˆ (t) = 0 si
t ≤ 0 ou si t ≥ T , et que Vˆ (t) est une fonction continue en t = 0 et en t = T . On rappelle
que si à l'instant t0 le système est dans un état propre non perturbé |ii, la probabilité pour
qu'à l'instant t > t0 il soit dans un autre état propre non perturbé |ni est donnée par

2
Z
i t

i(En −Ei )(t1 −t0 )/¯
h
ˆ

Pi→n = −
dt1 e
hn|V (t1 )|ii
(1)
h t0
¯

Par la suite, on suppose que t0 < 0 et t > T .
1.
Pi→n

2

Z

i t>T
i(En −Ei )(t1 −t0 )/¯
h
ˆ

dt1 e
hn|V (t1 )|ii
= −
h t0 <0
¯
Z
2

1 t>T
i(En −Ei )t1 /¯
h
ˆ

dt
e
hn|
V
(t
)|ii
=
1
1

h2 t0 <0
¯
Z T
2

1
=
dt1 ei(En −Ei )t1 /¯h hn|Vˆ (t1 )|ii ,
2
h
¯
0

puisque Vˆ (t) = 0 si t ≤ 0 ou si t ≥ T . On voit que l'expression nale ne fait intervenir
explicitement ni t0 ni t, donc elle n'en dépend pas.
2. Faisons une intégration par partie sur l'intégrale :
Z

"

T

dt1 e

i(En −Ei )t1 /¯
h

hn|Vˆ (t1 )|ii =

0

#T
¯hei(En −Ei )t1 /¯h
hn|Vˆ (t1 )|ii
i(En − Ei )
0

Z


T

dt1
0

¯hei(En −Ei )t1 /¯h

d
(hn|Vˆ (t1 )|ii)
i(En − Ei ) dt1

Le premier terme s'annule parce que Vˆ (0) = Vˆ (T ) = 0 par continuité, et le deuxième
terme conduit à
Pi→n


Z

1

=
En − Ei

T

dt1 e

i(En −Ei )t1 /¯
h

0

2

d
ˆ
(hn|V (t1 )|ii)
dt1

3. On considère désormais une perturbation dé nie par

Vˆ (t) =



0



 2t Vˆ
T


(2 −



0

2t ˆ
T )V

si t ≤ 0
si 0 ≤ t ≤ T2
si T2 ≤ t ≤ T
si t ≥ T

où Vˆ est un opérateur indépendant du temps.

,

(2)

(a) Pour calculer Pi→n , on va utiliser l'expression qui découlait de l'exercice 2. À
l'aide de la variable ω = En ¯h−Ei , l'intégrale s'écrit
Z
0

T

T /2

!

2
hn|Vˆ |ii
T

Z

=

2
hn|Vˆ |ii
T

eiωT /2 − 1 eiωT − eiωT /2




dt1 eiωt1 −

Z

T

d
dt1 eiωt1
(hn|Vˆ (t1 )|ii) =
dt1

0

dt1 eiωt1

T /2

!
,

et donc
Pi→n

2
4 ˆ 2 i(En −Ei )T /(2¯h)
¯2
h
i(En −Ei )T /¯
h
−1−e
=

hn|V |ii 2e
(En − Ei )4 T 2

Le dernier terme peut se mettre sous la forme
2
2
2






iωT /2
− 1 − eiωT = eiωT /2 2 − e−iωT /2 − eiωT /2
2e




ωT 2
ωT 2
= 4 1 − cos
= 4 2 sin2
2
4
ωT
,
= 16 sin4
4

on trouve alors
Pi→n =

¯2
h
64 ˆ 2 4 En − Ei T
hn|V |ii sin
(En − Ei )4 T 2
¯
h
4

(b) Les valeurs de T pour lesquelles Pi→n = 0 sont données par
T = 4kπ

¯
h
,
En − Ei

où k est un nombre
entier.


ˆ
(c) La condition hn|V |ii ≤ |En − Ei | permet d'obtenir une borne supérieure pour
Pi→n :
Pi→n ≤

¯2
h
64
,
(En − Ei )2 T 2
2

on voit alors que Pi→n 1 si T 2 (En ¯h−Ei )2 . Le résultat trouvé est à la base
de la notion d'adiabaticité : si la perturbation varie assez lentement, le système
reste dans l'état initial.

Exercice 2 Perturbation harmonique
Dans cet exercice, nous retrouvons le résultat donné dans les notes de cours concernant le calcul en perturbations d'un système soumis à une perturbation harmonique. Ce
calcul simple est d'une grande portée puisqu'il permet la compréhension (partielle) d'un
phénomène aussi fondamental que l'interaction entre lumière et matière. En e et, considérons que la perturbation harmonique représente un champ électromagnétique classique et
2

nous allons voir que nous avons là tout ce qu'il faut pour expliquer aussi bien l'absorption
que l'émission stimulées. (L'émission spontanée quant à elle, est un phénomène purement
quantique qui demande la quanti cation du champ électromagnétique.)
L'idée de la méthode des perturbations dépendentes du temps est identique à celle
vue dans la série 2. Dans cette dernière, nous avons e ectué un changement de référentiel car dans le référentiel tournant les équations d'évolution du système se simpli aient
grandement. Ici nous voulons évaluer l'in uence d'une perturbation V sur l'évolution d'un
système initialement uniquement soumis à un hamiltonien H0 . L'idée est de se placer dans
la représentation liée à H0 . En e et, une fois soustraite l'évolution du système due à H0
seul, l'évolution due à V est plus facile à estimer. Encore une fois, d'un point de vue mathématique, la raison qui nous oblige à un tel détour est le fait que les opérateurs H0 et V
ne commutent pas.
1. On veut estimer la probabilité Pi→f (t) de mesurer à l'instant t le système dans l'état
|f i sachant qu'il est initialement dans l'état |ii. On doit donc déterminer l'amplitude
de transition cf (t) = hf |φS (t)i avec |φS (t)i l'état du système à l'instant t tel que
|φS (0)i = |ii et |φS (t)i = US (t)|φS (0)i =

X

cn (t)|ni ,

n

où US (t) est l'opérateur d'évolution en représentation de Schrödinger. Il est di cile
de voir comment développer US (t) en puissances de V , c'est pour cette raison que
nous utilisons l'opérateur UI (t) de ni par US (t) = e−iH0 t/¯h UI (t). Comme le montre
l'équation (11.19) des notes de cours, cet opérateur est plus facile développer : au
premier ordre, nous avons
UI (t) = 1 −

i
¯h

Z

t

dt0 VI (t0 ) + O(V 2 ) ,

0

où VI (t0 ) ≡ eiH0 t /¯h V (t0 )e−iH0 t /¯h . On a donc
0

0



Rt
0
0
|φS (t)i = e−iH0 t/¯h 1 − ¯hi 0 dt0 eiH0 t /¯h V (t0 )e−iH0 t /¯h + O(V 2 ) |φS (0)i


Rt
0
0
= e−iH0 t/¯h |ii − ¯hi 0 dt0 eiH0 t /¯h V (t0 )e−iH0 t /¯h |ii + O(V 2 )

On en déduit l'amplitude de transition entre l'état |ii et l'état |f i au premier ordre
(1)
(1)
cf (t) et la probabilité Pi→f (t) = |cf (t)|2
(1)
cf (t)

−iH0 t/¯
h

= hf |φS (t)i = hf |e

= e

−iEf t/¯
h

= −

i
¯h

Z

t

i
hf |ii −
h
¯

Z

t

i
|ii −
¯h

Z

t

0

0

dt0 hf |e−iH0 t/¯h eiH0 t /¯h V (t0 )e−iH0 t /¯h |ii

0
0

0

dt0 e−iEf t/¯h eiEf t /¯h e−iEi t /¯h hf |V (t0 )|ii

0

0

dt0 eiωf i t hf |V (t0 )|iie−iEf t/¯h

0

où nous avons posé ωf i = (Ef − Ei )/¯h. Nous avons aussi
0

0

0

0

0

0

hf |V (t0 )|ii = hf |V eiωt |ii+hf |V † e−iωt |ii = Vf i eiωt +(V † )f i e−iωt = Vf i eiωt +Vif∗ e−iωt

3

et donc
(1)
cf (t)

i
= −
h
¯
= −

Z

t

h
i
0
0
dt0 Vf i ei(ωf i +ω)t + Vif∗ ei(ωf i −ω)t e−iEf t/¯h

0

1 h ei(ωf i +ω)t − 1
ei(ωf i −ω)t − 1 i −iEf t/¯h
Vf i
+ Vif∗
e
h
¯
ωf i + ω
ωf i − ω

2. Dans la formule précédente, on reconnaît presque des sinus aux numérateurs. Si on
les fait apparaître en factorisant par l'exponentielle de l'angle moitié, on obtient
(ω +ω)t
hV t
Vif∗ t i(ω −ω)t/2 2i sin (ωf i2−ω)t i −iE t/¯h
2i sin f i2
fi
(1)
ei(ωf i +ω)t/2
+
e fi
e f ,
cf (t) = −
(ωf i +ω)t
(ωf i −ω)t
2¯h
2¯h
2

2

(3)
Que nous dit cette

en factorisant aussi par t/2 pour faire apparaître la fonction
formule ?
Tout d'abord considérons le facteur Vf¯hi t . D'après la formule (11.19) des notes de
cours, le développement en perturbation n'est valable que pour des temps t tels que
ce terme est petit devant 1 c'est-à-dire pour t ¯h/|Vf i |. Comme la fonction sinx x
est majorée par 1, on en déduit que la perturbation ne sera valable que tant que la
(1)
probabilité Pi→f
(ω, t) reste petite devant 1. C'est cohérent : notre développement
suppose l'e et de la perturbation petit, la probabilité de mesurer le système hors de
l'état |ii doit donc être petite.
Tout en maintenant t ¯h/|Vf i |, plaçons-nous à t xé. Nous voulons savoir pour
quelles valeurs de ω , la probabilité sera la plus élevée car ce sont ces fréquences qui
sin x
x .

4

vont dicter le comportement du système.
Remarque

Dans le cas où t ¯h/|Vf i |, deux cas limites sont alors à distinguer : t 1/ωf i
et t 1/ωf i (si la valeur de ωf i le permet). En e et, la fonction sin2 x/x2 a
une valeur proche de 1 pour x au voisinage de 0 puis devient presque nulle pour
|x| > π .
sin2 x
x2

1

x

Or l'amplitude de transition contient deux termes en sinx x respectivement centrés
sur ±ωf i . Deux situations se présentent alors :
Si t 1/ωf i , alors les courbes représentant ces deux termes (en pointillés cidessous) sont très larges en comparaison de leur écartement et se superposent.
Dans ce cas, le maximum de la probabilité (en trait continu ci-dessous) se trouve
en ω = 0.

x

Que se passe-t-il si t augmente ? La largeur des cloches diminue et si l'on représente
exactement la formule donnant la probabilité pour des valeurs croissantes t1 <
t2 < t3 de t, on trouve

5

Remarque (suite)

(1)

Pi→f (ω, t3 )

(1)

Pi→f (ω, t2 )

(1)

Pi→f (ω, t1 )
x

Le maximum en 0 s'e ace et l'on voit deux pics apparaître en ±ωf i . Ci-dessous,
(1)
nous avons représenté, la probabilité Pi→f
(ω, t) en fonction de t et ω . Nous avons
posé ωf i = 1 et xé Vf i /¯h à une valeur de 10−4 ainsi le régime perturbatif est
valable tant que t 10000. Ci-dessous, nous avons fait varier ω entre -2 et 2 et
t de 0 à 5. On voit clairement le dôme du maximum en 0 disparaître pour laisser
la place à deux pics bien séparables dès une valeur de t = 5ωf i .

0.002
0.001

4

0.000
-2
2

-1
0
1
2

0

Si t 1/ωf i comme le suppose d'o ce la deuxième question, la largeur des cloches
est petite par rapport à leur écartement et leur recouvrement est négligeable comme
le montre la gure suivante.

6

x
(1)
Dans ce cas, la probabilité Pi→f
(ω, t) (est presque égale à la somme de ces deux
fonctions et elle) n'aura une valeur non négligeable que pour ω ' ωf i (pour laquelle
on peut négliger le premier terme de la somme (3)) ou pour ω ' −ωf i (pour laquelle
on peut négliger le second terme de la somme (3)).
Plaçons-nous dans le premier cas, on a alors

(1)

cf = −

Vif∗ t

h

ei(ωf i −ω)t/2

(ωf i −ω)t
2
e−iEf t/¯h
(ωf i −ω)t
2

2i sin

3. Par conséquent
(ω −ω)t

(1)

(1)

Pi→f (ω, t) = |cf |2 =

|Vif |2 t2 sin2 f i2
(ωf i −ω)2 t2
¯h2
4

où f (ω − ωf i ; t) =

=

|Vif |2 t2
f (ω − ωf i ; t)
¯h2

(4)

(ω −ω)t
sin2 f i2
.
(ωf i −ω)2 t2
4

Remarque

On peut comparer ce résultat au calcul exact de la probabilité à partir de la
formule (3). La courbe ci-dessous montre la pertinence de l'approximation dans
le cas où ωf i t = 20.

x

La courbe en traitillés représente la formule exacte de la probabilité alors que la
courbe en trait continu représente la formule (4).
Après toutes ces considérations mathématiques, qu'en déduit-on du point de vue de
7

la physique ?
Pour des temps t courts (devant 1/ωf i ), on voit que la probabilité de transition est
très faible mais qu'elle est très étalée. Ainsi si l'on excite un système à plusieurs
niveaux à l'aide d'une onde de pulsation ω et que l'on mesure l'état du système après
des temps t de cet ordre, on pourra mesurer le système dans des niveaux |f i avec
Ef − Ei très di érent de ¯
hω .
Mais au fur et à mesure que le temps t augmente, la probabilité de transition augmente globalement mais se pique autour des fréquences ±ωf i . Pour |ωf i −ω|t 1,
on a
(ωf i −ω)t
2
(ωf i −ω)2 t2
4

sin2



2πδ(ωf i − ω)
t

Par conséquent, la probabilité de mesurer le système dans un état |f i devient négligeable sauf pour ωf i = ω .
Ainsi nous sommes capables, par ce simple calcul, d'expliquer par exemple les phénomènes d'absorption et d'émission stimulées. L'absorption stimulée correspond au
terme de pulsation −ωf i dans la formule (3) et l'émisson stimulée au terme de pulsation ωf i . L'émission stimulée est essentielle pour comprendre le fonctionnement
d'un laser (acronyme de light ampli cation by stimulated emission of radiation) par
exemple : notre calcul permet de montrer que sous l'action d'un champ électromagnétique de pulsation ω , la probabilité que le système de désexcite en émettant
un photon exactement à cette même pulsation augmente avec le temps et devient
la seule non négligeable. (Mais il est important de noter que la notion de photon,
introduite ici car elle est souvent utilisée pour les lasers, est absolument super ue si
on néglige l'émission spontanée.)
Cette di érence de comportement à temps courts et temps longs est à relier à la
relation de Heisenberg entre temps et énergie. En e et, l'échelle de temps caractéristique de notre système est 1/ω . Ainsi lorsque t est grand devant cette échelle, ladite
relation impose que la largeur de la distribution d'énergie du système tende vers
0 : par conséquent, seules les transitions conservant exactement l'énergie deviennent
possibles.
Application aux horloges atomiques

Cette dernière propriété est à la base du fonctionnement des horloges atomiques.
Tout d'abord, à quoi servent les horloges atomiques ? À une époque où le GPS
devient envahissant, elles sont indispensables . En e et, pour pouvoir e ectuer une triangulation précise, les di érents satellites du système GPS ou Galileo
doivent être synchronisés à mieux que 1 microseconde.
Sur le principe, une horloge atomique fonctionne comme une montre électronique :
un quartz excité génère des oscillations qui donnent la mesure du temps qui passe.
Mais, en plus de cela, elles possèdent une boucle de contre-réaction qui empêche
la fréquence de dériver. C'est là qu'intervient l'atome.
En e et, à quelle référence peut-on comparer la fréquence de l'horloge. Les deux
systèmes les plus précis pour cela que nous o re la nature à ce jour sont l'atome
et les étoiles à neutrons. Pour les horloges, on a choisi l'atome ! (Plus précisément
l'atome de césium qui présente une transition hyper ne particulièrement ne (cf.
le point 2 de la remarque suivante).)

8

Remarque (suite)

Dans la pratique, on génère une onde à la fréquence de l'horloge et (après multiplication adéquate de cette fréquence) on soumet à cette onde un groupe d'atomes
préparés dans un état précis. Si la fréquence de l'horloge est la bonne, la fréquence
de l'onde correspond exactement à une fréquence de transition des atomes. Il suf t donc de mesurer le nombre d'atomes qui changent de niveau pour savoir si
l'horloge est accordée ou non.
Mais un problème se pose : en e et, du fait de la relation de Heisenberg entre
temps et énergie des atomes pourraient bien absorber l'onde même si elle n'est pas
exactement à la bonne fréquence ! La solution nous est donnée par notre calcul :
il faut que les atomes interagissent longtemps avec l'onde pour être sûr que
seules les transitions su samment proches de ωf i soient possibles.
Aujourd'hui, on arrive à les faire interagir pendant un temps de l'ordre de la
seconde grâce à la maîtrise du refroidissement à très basse température. Grosso
modo, on refroidit un nuage d'atomes grâce à un piège magnéto-optique puis on
le relâche et il retombe par gravité dans la zone où se trouve l'onde.
On atteint de cette manière des horloges présentant des dérives de l'ordre de 10−15
secondes par an !
Remarques complémentaires

À strictement parler, nous regardons ci-dessus une situation idéale au sens
mathématique qui suppose (i) que l'on a une perturbation V parfaitement monochromatique et (ii) que les énergies Ei et Ef sont connues avec une précision
parfaite. En réalité, ces deux hypothèses ne sont jamais entièrement valides.
Examinons alors deux cas :
: Expérimentalement, la perturbation est composée d'une bande de fréquences ω , c'est à dire
cas (i)

Z
V (t) =

i

dωg(ω) V eiωt + V † e−iωt ,

où g(ω) a une largeur ∆ω autour de ωf i . Dans ce cas, pour trouver la probabilité
totale de transition, nous devons intégrer le module au carré de cf (t) donné à
l'équation (3) sur toutes les fréquences de la bande
(1)
Pi→f (t)

=

X

(1)
g(ω)Pi→f (ω, t)

ω

|Vif |2 t2
=
¯h2

Z
dωg(ω)f (ω − ωf i ; t) .

Si la largeur ∆ω de g(ω) est beaucoup plus grande que la largeur 2π/t de f on
peut se contenter de remplacer g(ω) par g(ωf i ) qui peut être sorti de l'intégrale.
On obtient alors
(1)

Pi→f (t) =

|Vif |2 t2
g(ωf i )
h2
¯

Z

h |V |2
i
if
dωf (ω − ωf i ; t) = 2π 2 g(ωf i ) t .
¯h

9

(5)

Remarque (suite)

On voit que la probabilité de transition reste linéaire en temps. On peut noter de
plus que la condition |Vif |t/¯h 1 devient
t

¯2
h
.
2π|Vif |2 g(ωf i )

Et

: Même si V est 100% monochromatique l'état nal Ef peut ne pas être
exactement connu et présenter une largeur ∆Ef . Ceci peut être dû à une collection
de systèmes ayant di érentes Ef ou au fait que |f i appartient à un continuum
d'états.
Dans tous ces cas, Ef peut être décrit comme une distribution ρ(Ef ) de largeur
∆Ef . Par conséquent, la distribution des fréquences ωf i aura aussi une distribution, décrite par ρ(ωf i ) de largeur ∆ω = ∆Ef /¯h. Ainsi, on obtient une équation
similaire à Eq. (5) :
cas (ii)

(1)
Pi→f (t)

Z
|Vif |2 t2
=
ρ(ωf i )f (ω − ωf i ; t)
¯h2
ωf i
h |V |2
i
h |V |2
i
if
if
' 2π 2 ρ(ω) t ' 2π 2 ρ(ωf i ) t ,
¯h
¯h

(6)

pour ∆ω 2π/t.
Encore une fois nous trouvons ici une probabilité qui varie linéairement avec t.

10


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