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Se´rie 9

Mécanique quantique II
http://itp.epfl.ch/page53525.html

Correction

Exercice 1 Perturbation limitée dans le temps
Dans cet exercice, on s'intéresse à l'évolution d'un système soumis à une perturbation

Vˆ (t) dont l'e et est limité dans le temps. Plus précisément, on suppose que Vˆ (t) = 0 si
t ≤ 0 ou si t ≥ T , et que Vˆ (t) est une fonction continue en t = 0 et en t = T . On rappelle
que si à l'instant t0 le système est dans un état propre non perturbé |ii, la probabilité pour
qu'à l'instant t > t0 il soit dans un autre état propre non perturbé |ni est donnée par

2
Z
i t

i(En −Ei )(t1 −t0 )/¯
h
ˆ

Pi→n = −
dt1 e
hn|V (t1 )|ii
(1)
h t0
¯

Par la suite, on suppose que t0 < 0 et t > T .
1.
Pi→n

2

Z

i t>T
i(En −Ei )(t1 −t0 )/¯
h
ˆ

dt1 e
hn|V (t1 )|ii
= −
h t0 <0
¯
Z
2

1 t>T
i(En −Ei )t1 /¯
h
ˆ

dt
e
hn|
V
(t
)|ii
=
1
1

h2 t0 <0
¯
Z T
2

1
=
dt1 ei(En −Ei )t1 /¯h hn|Vˆ (t1 )|ii ,
2
h
¯
0

puisque Vˆ (t) = 0 si t ≤ 0 ou si t ≥ T . On voit que l'expression nale ne fait intervenir
explicitement ni t0 ni t, donc elle n'en dépend pas.
2. Faisons une intégration par partie sur l'intégrale :
Z

"

T

dt1 e

i(En −Ei )t1 /¯
h

hn|Vˆ (t1 )|ii =

0

#T
¯hei(En −Ei )t1 /¯h
hn|Vˆ (t1 )|ii
i(En − Ei )
0

Z


T

dt1
0

¯hei(En −Ei )t1 /¯h

d
(hn|Vˆ (t1 )|ii)
i(En − Ei ) dt1

Le premier terme s'annule parce que Vˆ (0) = Vˆ (T ) = 0 par continuité, et le deuxième
terme conduit à
Pi→n


Z

1

=
En − Ei

T

dt1 e

i(En −Ei )t1 /¯
h

0

2

d
ˆ
(hn|V (t1 )|ii)
dt1

3. On considère désormais une perturbation dé nie par

Vˆ (t) =



0



 2t Vˆ
T


(2 −



0

2t ˆ
T )V

si t ≤ 0
si 0 ≤ t ≤ T2
si T2 ≤ t ≤ T
si t ≥ T

où Vˆ est un opérateur indépendant du temps.

,

(2)