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nous allons voir que nous avons là tout ce qu'il faut pour expliquer aussi bien l'absorption
que l'émission stimulées. (L'émission spontanée quant à elle, est un phénomène purement
quantique qui demande la quanti cation du champ électromagnétique.)
L'idée de la méthode des perturbations dépendentes du temps est identique à celle
vue dans la série 2. Dans cette dernière, nous avons e ectué un changement de référentiel car dans le référentiel tournant les équations d'évolution du système se simpli aient
grandement. Ici nous voulons évaluer l'in uence d'une perturbation V sur l'évolution d'un
système initialement uniquement soumis à un hamiltonien H0 . L'idée est de se placer dans
la représentation liée à H0 . En e et, une fois soustraite l'évolution du système due à H0
seul, l'évolution due à V est plus facile à estimer. Encore une fois, d'un point de vue mathématique, la raison qui nous oblige à un tel détour est le fait que les opérateurs H0 et V
ne commutent pas.
1. On veut estimer la probabilité Pi→f (t) de mesurer à l'instant t le système dans l'état
|f i sachant qu'il est initialement dans l'état |ii. On doit donc déterminer l'amplitude
de transition cf (t) = hf |φS (t)i avec |φS (t)i l'état du système à l'instant t tel que
|φS (0)i = |ii et |φS (t)i = US (t)|φS (0)i =

X

cn (t)|ni ,

n

où US (t) est l'opérateur d'évolution en représentation de Schrödinger. Il est di cile
de voir comment développer US (t) en puissances de V , c'est pour cette raison que
nous utilisons l'opérateur UI (t) de ni par US (t) = e−iH0 t/¯h UI (t). Comme le montre
l'équation (11.19) des notes de cours, cet opérateur est plus facile développer : au
premier ordre, nous avons
UI (t) = 1 −

i
¯h

Z

t

dt0 VI (t0 ) + O(V 2 ) ,

0

où VI (t0 ) ≡ eiH0 t /¯h V (t0 )e−iH0 t /¯h . On a donc
0

0



Rt
0
0
|φS (t)i = e−iH0 t/¯h 1 − ¯hi 0 dt0 eiH0 t /¯h V (t0 )e−iH0 t /¯h + O(V 2 ) |φS (0)i


Rt
0
0
= e−iH0 t/¯h |ii − ¯hi 0 dt0 eiH0 t /¯h V (t0 )e−iH0 t /¯h |ii + O(V 2 )

On en déduit l'amplitude de transition entre l'état |ii et l'état |f i au premier ordre
(1)
(1)
cf (t) et la probabilité Pi→f (t) = |cf (t)|2
(1)
cf (t)

−iH0 t/¯
h

= hf |φS (t)i = hf |e

= e

−iEf t/¯
h

= −

i
¯h

Z

t

i
hf |ii −
h
¯

Z

t

i
|ii −
¯h

Z

t

0

0

dt0 hf |e−iH0 t/¯h eiH0 t /¯h V (t0 )e−iH0 t /¯h |ii

0
0

0

dt0 e−iEf t/¯h eiEf t /¯h e−iEi t /¯h hf |V (t0 )|ii

0

0

dt0 eiωf i t hf |V (t0 )|iie−iEf t/¯h

0

où nous avons posé ωf i = (Ef − Ei )/¯h. Nous avons aussi
0

0

0

0

0

0

hf |V (t0 )|ii = hf |V eiωt |ii+hf |V † e−iωt |ii = Vf i eiωt +(V † )f i e−iωt = Vf i eiωt +Vif∗ e−iωt

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