Serie 9 perturb vs temps .pdf

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Se´rie 9

Mécanique quantique II
http://itp.epfl.ch/page53525.html

29 Avril 2010

Exercice 1 Perturbation limitée dans le temps
Dans cet exercice, on s'intéresse à l'évolution d'un système soumis à une perturbation

Vˆ (t) dont l'eet est limité dans le temps. Plus précisément, on suppose que Vˆ (t) = 0 si
t ≤ 0 ou si t ≥ T , et que Vˆ (t) est une fonction continue en t = 0 et en t = T . On rappelle
que si à l'instant t0 le système est dans un état propre non perturbé |ii, la probabilité pour
qu'à l'instant t > t0 il soit dans un autre état propre non perturbé |ni est donnée par

2
Z
 i t

i(En −Ei )(t1 −t0 )/¯
h
ˆ

Pi→n = −
dt1 e
(1)
hn|V (t1 )|ii
h t0
¯

Par la suite, on suppose que t0 < 0 et t > T .
1. Démontrer que Pi→n ne dépend ni de t0 ni de t.
2. Démontrer que Pi→n est aussi donnée par
Pi→n


Z

1

=
En − Ei

T

dt1 e

i(En −Ei )t1 /¯
h

0

2

d
ˆ
(hn|V (t1 )|ii)
dt1

(2)

3. On considère désormais une perturbation dénie par
si t ≤ 0
si 0 ≤ t ≤ T2
Vˆ (t) = T
ˆ si T ≤ t ≤ T

(2 − 2t

T )V
2


0
si t ≥ T


0



 2t Vˆ

,

(3)

où Vˆ est un opérateur indépendant du temps.
(a) Calculer Pi→n .
(b) Déterminer les valeurs
de T pour lesquelles Pi→n = 0.

 ˆ 
(c) On suppose que hn|V |ii ≤ |En − Ei |. A quelle condition sur T peut-on être
sûr que Pi→n  1, même sans ajuster T pour que la condition de la question
(b) soit satisfaite ? Donner une interprétation physique du résultat.

Exercice 2 Perturbation harmonique
Considérons une perturbation harmonique da la forme suivante :
(
0
V (t) =
V eiωt + V † e−iωt

si t ≤ 0
,
si t ≥ 0

(4)

où V est un opérateur indépendant du temps. On pose hn|V |ii = Vni , hn|V † |ii = Vin∗ et
¯hωni = En − Ei , où |ii et |ni dénotent des états propres non perturbés aux énergies Ei et
En .

1. Calculez Pi→n déni dans l'exercice précédent en fonction de Vni et Vin∗ .
2. En se plaçant dans un régime tel que tωni  1 et ωni − ω ≈ 0, montrez que Pi→n est
de la forme


1
|Vin |2 t2 f
h2
¯

(ωni − ω)t
2

Simplier cette relation en utilisant le fait que
sin2 αx
= πδ(x)
α→∞ αx2
lim

Conclure sur le résultat obtenu.

2



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