Serie 9 perturb vs temps .pdf
Nom original: Serie_9_perturb_vs_temps.pdf
Ce document au format PDF 1.4 a été généré par TeX / pdfTeX-1.40.3, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 10/02/2012 à 20:51, depuis l'adresse IP 105.153.x.x.
La présente page de téléchargement du fichier a été vue 987 fois.
Taille du document: 74 Ko (2 pages).
Confidentialité: fichier public
Aperçu du document
Se´rie 9
Mécanique quantique II
http://itp.epfl.ch/page53525.html
29 Avril 2010
Exercice 1 Perturbation limitée dans le temps
Dans cet exercice, on s'intéresse à l'évolution d'un système soumis à une perturbation
Vˆ (t) dont l'e et est limité dans le temps. Plus précisément, on suppose que Vˆ (t) = 0 si
t ≤ 0 ou si t ≥ T , et que Vˆ (t) est une fonction continue en t = 0 et en t = T . On rappelle
que si à l'instant t0 le système est dans un état propre non perturbé |ii, la probabilité pour
qu'à l'instant t > t0 il soit dans un autre état propre non perturbé |ni est donnée par
2
Z
i t
i(En −Ei )(t1 −t0 )/¯
h
ˆ
Pi→n = −
dt1 e
(1)
hn|V (t1 )|ii
h t0
¯
Par la suite, on suppose que t0 < 0 et t > T .
1. Démontrer que Pi→n ne dépend ni de t0 ni de t.
2. Démontrer que Pi→n est aussi donnée par
Pi→n
Z
1
=
En − Ei
T
dt1 e
i(En −Ei )t1 /¯
h
0
2
d
ˆ
(hn|V (t1 )|ii)
dt1
(2)
3. On considère désormais une perturbation dé nie par
si t ≤ 0
si 0 ≤ t ≤ T2
Vˆ (t) = T
ˆ si T ≤ t ≤ T
(2 − 2t
T )V
2
0
si t ≥ T
0
2t Vˆ
,
(3)
où Vˆ est un opérateur indépendant du temps.
(a) Calculer Pi→n .
(b) Déterminer les valeurs
de T pour lesquelles Pi→n = 0.
ˆ
(c) On suppose que hn|V |ii ≤ |En − Ei |. A quelle condition sur T peut-on être
sûr que Pi→n 1, même sans ajuster T pour que la condition de la question
(b) soit satisfaite ? Donner une interprétation physique du résultat.
Exercice 2 Perturbation harmonique
Considérons une perturbation harmonique da la forme suivante :
(
0
V (t) =
V eiωt + V † e−iωt
si t ≤ 0
,
si t ≥ 0
(4)
où V est un opérateur indépendant du temps. On pose hn|V |ii = Vni , hn|V † |ii = Vin∗ et
¯hωni = En − Ei , où |ii et |ni dénotent des états propres non perturbés aux énergies Ei et
En .
1. Calculez Pi→n dé ni dans l'exercice précédent en fonction de Vni et Vin∗ .
2. En se plaçant dans un régime tel que tωni 1 et ωni − ω ≈ 0, montrez que Pi→n est
de la forme
1
|Vin |2 t2 f
h2
¯
(ωni − ω)t
2
Simpli er cette relation en utilisant le fait que
sin2 αx
= πδ(x)
α→∞ αx2
lim
Conclure sur le résultat obtenu.
2


Télécharger le fichier (PDF)
Serie_9_perturb_vs_temps.pdf (PDF, 74 Ko)