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Math´ematiques

Exercices invent´es

Exercice 1
Soit φ une application de N dans N.
Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur φ pour qu’il existe deux applications
de N dans N µ et ρ v´erifiant :
1. µ(1) = ρ(1) = 1
2. Pour tout couple d’entiers (n1 , n2 ), si PGCD(n1 , n2 ) = 1, alors µ(n1 n2 ) = µ(n1 )µ(n2 )
et ρ(n1 n2 ) = ρ(n1 )ρ(n2 ),
P
telles que pour tout entier n, φ(n) = d|n ρ(d)µ( nd ).

Exercice 2
Soit e l’application de la variable r´eelle qui a` t r´eel associe 0 si t < 0, et K ∈ R+ sinon.
Soit p un entier naturel premier strictement sup´erieur a` 1.
1. Trouver une base des solutions de l’´equation diff´erentielle :
p−1
X

f (k) = 0

k=0

2. Montrer que l’´equation :
p−1
X

f (k) = e(t)

k=0

admet une unique solution s born´ee telle que s(0− ) = 0, et d´eterminer s.

Exercice 3
On consid`ere l’´equation suivante :
(En ) : z n − 1 =

n−1
X

k2z k

k=1

On note un le plus grand des modules des solutions de (En ).
D´eterminer la limite de (un ).

1


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